V245.XGP[TEX,DEK]2 - www.SailDart.org

perm filename V245.XGP[TEX,DEK]2 blob sn#382941 filedate 1978-09-17 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000746*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α4.5␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα310␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
}4.5
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.5.␈α
R␈α↓A␈α|TIONAL␈α
ARI␈α↓T␈α␈HMETIC
␈βαj␈↓ ↓H␈εαI␈↓ β_␈εαimportan␈α␈t␈α
to␈α∞kno␈α␈w␈α
that␈α∞the␈α
answ␈α␈er␈α∞to␈α
some␈α∞n␈α␈umerical␈α
problem␈α
is
␈βαo␈↓ ↓T␈ε∧T␈αIS␈αOFTE␈α↓N
␈ββ∩␈↓ αM␈ε¬1
␈ββ∃␈↓ ↓H␈εαexactly␈↓ α←␈εα,␈α⊂not␈α∂a␈α⊂⎇oating-poin␈α␈t␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂that␈α∂gets␈α∂prin␈α␈ted␈α⊂as␈α∂\0.333333574".␈α∃If
␈ββ%␈↓ αM␈∧β%αMα∂
␈ββ(␈↓ αM␈ε¬3
␈ββ@␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αis␈αdone␈αon␈αfractions␈αinstead␈αof␈αon␈αappro␈α␈ximations␈αto␈αfractions,␈αman␈α␈y
␈ββk␈↓ ↓H␈εαcomputations␈αεcan␈απbe␈απdone␈απen␈α␈tirely␈ε∂␈απwithout␈απan␈α␈y␈αεaccum␈α␈ulated␈απrounding␈απerrors.␈εα␈α
This
␈β∧↔␈↓ ↓H␈εαresults␈απin␈απa␈απcomfortable␈απfeeling␈απof␈αλsecurity␈απthat␈απis␈απoften␈απlacking␈απwhen␈απ⎇oating-poin␈α␈t
␈β∧B␈↓ ↓H␈εαcalculations␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αmade,␈αand␈αit␈α
means␈αthat␈αthe␈αaccuracy␈αof␈αthe␈αcalculation
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαcannot␈αbe␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αupon.
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.5.1.␈α
Fr␈α␈actions
␈βε3␈↓ α␈εαWhen␈α∂fractional␈α⊂arithmetic␈α∂is␈α∂desired,␈α⊂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊂can␈α∂be␈α∂represen␈α␈ted␈α∂as
␈βεY␈↓ ∧&␈ε→0␈↓ ε:␈ε→0
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαpairs␈α
of␈α
in␈α␈tegers,␈α∞(␈↓ βi␈ελu␈↓ β}␈εα/␈↓ ∧⊂␈ελu␈↓ ∧-␈εα),␈α∞where␈↓ ¬:␈ελu␈↓ ¬]␈εαand␈↓ ε$␈ελu␈↓ εN␈εαare␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
to␈α
each␈α
other␈α
and
␈βπ∧␈↓ ↓]␈ε→0␈↓ 	i␈ε→0␈↓ 
w␈ε→0
␈βπ	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓o␈εα>␈α
0.␈αThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αzero␈αis␈αrepresen␈α␈ted␈αas␈α(0/1).␈αIn␈αthis␈αform,␈α(␈↓ 	+␈ελu␈↓ 	A␈εα/␈↓ 	S␈ελu␈↓ 	p␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ 
@␈ελv␈↓ 
S␈εα/␈↓ 
e␈ελv␈↓ 
␈␈εα)␈αif
␈βπ/␈↓ ∧H␈ε→0␈↓ ¬~␈ε→0
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαand␈αonly␈αif␈↓ β␈ελu␈↓ β∨␈εα=␈↓ βM␈ελv␈↓ βl␈εαand␈↓ ∧2␈ελu␈↓ ∧Y␈εα=␈↓ ¬π␈ελv␈↓ ¬!␈εα.
␈βπ[␈↓ 	T␈ε→0␈↓ 
d␈ε→0
␈βπ`␈↓ α␈εαMultiplication␈α⊂of␈α⊃fractions␈α⊂is,␈α⊃of␈α⊂course,␈α∩easy;␈α∩to␈α⊂form␈α⊂(␈↓ 	⊗␈ελu␈↓ 	,␈εα/␈↓ 	>␈ελu␈↓ 	[␈εα)␈ε⊗␈αα␈εα␈α(␈↓ 
-␈ελv␈↓ 
?␈εα/␈↓ 
Q␈ελv␈↓ 
k␈εα)␈α⊃=
␈βλε␈↓ α≠␈ε→0␈↓ εx␈ε→0␈↓ π∩␈ε→0␈↓ ␈ε→0␈↓ %␈ε→0
␈βλ␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελw␈↓ ↓n␈εα/␈↓ α␈ελw␈↓ α"␈εα),␈α∪w␈α␈e␈α⊃can␈α∩simply␈α⊃compute␈↓ ¬]␈ελu␈↓ ¬s␈ελv␈↓ ε↔␈εαand␈↓ εb␈ελu␈↓ ε␈␈ελv␈↓ π→␈εα.␈α≤The␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α⊃products␈↓ 	q␈ελu␈↓ 
ε␈ελv␈↓ 
*␈εαand␈↓ 
v␈ελu␈↓ ∩␈ελv
␈βλ1␈↓ λ∪␈ε→0␈↓ λ-␈ε→0
␈βλ6␈↓ ↓H␈εαmigh␈α␈t␈α∂not␈α⊂be␈α∂relativ␈α␈ely␈α⊂prime,␈α⊂but␈α⊂if␈↓ ε+␈ελd␈↓ εO␈εα=␈↓ πβ␈εαgcd␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελu␈↓ π[␈ελv␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈ελu␈↓ λ~␈ελv␈↓ λ4␈εα),␈α⊃the␈α∂desired␈α⊂answ␈α␈er␈α∂is
␈βλ]␈↓ β$␈ε→0␈↓ ∧␈ε→0␈↓ ∧~␈ε→0
␈βλb␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓p␈εα=␈↓ α"␈ελu␈↓ α8␈ελv␈↓ αJ␈εα/␈↓ α\␈ελd␈↓ αp␈εα,␈↓ β	␈ελw␈↓ β9␈εα=␈↓ βk␈ελu␈↓ ∧λ␈ελv␈↓ ∧"␈εα/␈↓ ∧4␈ελd␈↓ ∧H␈εα.␈α∩(See␈α∂ex␈α␈ercise␈α∞2.)␈α∪E}cien␈α␈t␈α∞algorithms␈α∞to␈α∞compute␈α∞the
␈β	
␈↓ ↓H␈εαgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α4.5.2.
␈β	3␈↓ 
P␈ε→0
␈β	8␈↓ α␈εαAnother␈α∂way␈α⊂to␈α∂perform␈α∂the␈α⊂m␈α␈ultiplication␈α∂is␈α∂to␈α⊂|nd␈↓ λs␈ελd␈↓ 	"␈εα=␈↓ 	U␈εαgcd␈↓ 
␈εα(␈↓ 
↔␈ελu␈↓ 
-␈εα,␈↓ 
=␈ελv␈↓ 
W␈εα)␈α∂and
␈β	F␈↓ 	∧␈ε¬1
␈β	↑␈↓ α|␈ε→0␈↓ λC␈ε→0␈↓ 	*␈ε→0␈↓ 

␈ε→0
␈β	c␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓t␈εα=␈↓ α%␈εαgcd␈↓ α[␈εα(␈↓ αg␈ελu␈↓ ββ␈εα,␈↓ β∪␈ελv␈↓ β&␈εα);␈α∂then␈α∞the␈α
answ␈α␈er␈α∞is␈↓ ¬⎇␈ελw␈↓ ε$␈εα=␈α
(␈↓ εa␈ελu␈↓ εw␈εα/␈↓ π	␈ελd␈↓ π(␈εα)(␈↓ π@␈ελv␈↓ πS␈εα/␈↓ πe␈ελd␈↓ λ∧␈εα),␈↓ λ(␈ελw␈↓ λW␈εα=␈α
(␈↓ 	∀␈ελu␈↓ 	1␈εα/␈↓ 	C␈ελd␈↓ 	b␈εα)(␈↓ 	z␈ελv␈↓ 
∀␈εα/␈↓ 
&␈ελd␈↓ 
E␈εα).␈α⊃(See
␈β	q␈↓ ↓X␈ε¬2␈↓ π~␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬2␈↓ 	T␈ε¬2␈↓ 
7␈ε¬1
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α
3.)␈αThis␈αmethod␈α
requires␈αt␈α␈w␈α␈o␈αgcd␈α
calculations,␈αbut␈αit␈α
is␈αnot␈αreally␈α
slo␈α␈w␈α␈er
␈β
:␈↓ ↓H␈εαthan␈α∞the␈α∂former␈α∂method;␈α⊂the␈α∂gcd␈α∞process␈α∂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∂a␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂iterations␈α∞that
␈β
e␈↓ ↓H␈εαis␈αessen␈α␈tially␈αproportional␈α
to␈αthe␈αlogarithm␈αof␈α
its␈αinputs,␈αso␈α
the␈αtotal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαiterations␈α	needed␈α	to␈α	evaluate␈α	both␈↓ ¬a␈ελd␈↓ ε	␈εαand␈↓ εM␈ελd␈↓ εu␈εαis␈α	essen␈α␈tially␈α	the␈α	same␈α	as␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β≡␈↓ ¬r␈ε¬1␈↓ ε]␈ε¬2
␈β;␈↓ ↓H␈εαof␈α∞iterations␈α∞during␈α∞the␈α∞single␈α∞calculation␈α∂of␈↓ π∃␈ελd␈↓ π)␈εα.␈α∩Furthermore,␈α∂each␈α∞iteration␈α∞in
␈βg␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂evaluation␈α⊂of␈↓ βj␈ελd␈↓ ∧→␈εαand␈↓ ∧c␈ελd␈↓ ¬∩␈εαis␈α∂poten␈α␈tially␈α⊂faster,␈α⊂because␈α⊂comparativ␈α␈ely␈α∂small
␈βt␈↓ β{␈ε¬1␈↓ ∧t␈ε¬2
␈β
␈↓ ε∃␈ε→0␈↓ π:␈ε→0
␈β∩␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α∞are␈α∞being␈α
examined.␈α∩If␈↓ ¬Q␈ελu␈↓ ¬g␈εα,␈↓ ¬␈␈ελu␈↓ ε≤␈εα,␈↓ ε5␈ελv␈↓ εG␈εα,␈α∂and␈↓ π(␈ελv␈↓ πP␈εαare␈α∞single-precision␈α
quan␈α␈tities,
␈β=␈↓ ↓H␈εαthis␈αmethod␈α
has␈αthe␈α
advan␈α␈tage␈αthat␈α
no␈αdouble-precision␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αappear␈α
in␈αthe
␈βc␈↓ 
z␈ε→0
␈βh␈↓ ↓H␈εαcalculation␈α
unless␈α
it␈α
is␈α
impossible␈α
to␈α
represen␈α␈t␈α
both␈α
of␈α
the␈α
answ␈α␈ers␈↓ 	q␈ελw␈↓ 
_␈εαand␈↓ 
←␈ελw␈↓ ∞␈εαin
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαsingle-precision␈αform.
␈β
?␈↓ α␈εαDivision␈αmay␈αbe␈αdone␈αin␈αa␈αsimilar␈αmanner;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α4.
␈β
j␈↓ α␈εαAddition␈α
and␈αsubtraction␈α
are␈α
sligh␈α␈tly␈α
more␈αcomplicated.␈αThe␈α
obvious␈α
proce-
␈β
v␈↓ ¬0␈ε↓␈␈↓ π,␈ε↓↓
␈β∞⊂␈↓ βa␈ε→0␈↓ ∧e␈ε→0␈↓ ¬s␈ε→0␈↓ ε=␈ε→0␈↓ π
␈ε→0␈↓ π$␈ε→0
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαdure␈α	is␈α
to␈α	set␈α
(␈↓ β$␈ελu␈↓ β9␈εα/␈↓ βK␈ελu␈↓ βh␈εα)␈ε⊗␈α¬ε␈εα␈α∧(␈↓ ∧-␈ελv␈↓ ∧@␈εα/␈↓ ∧R␈ελv␈↓ ∧l␈εα)␈α
=␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελu␈↓ ¬`␈ελv␈↓ ¬}␈ε⊗ε␈↓ ε'␈ελu␈↓ εD␈ελv␈↓ εW␈εα)/␈↓ εu␈ελu␈↓ π∩␈ελv␈↓ πC␈εαand␈α
then␈α	to␈α	reduce␈α
this␈α	fraction
␈β∞<␈↓ εa␈ε→0␈↓ π0␈ε→0␈↓ πp␈ε→0␈↓ λ
␈ε→0
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαto␈αlo␈α␈w␈α␈est␈αterms␈αby␈αcalculating␈↓ ¬*␈ελd␈↓ ¬H␈εα=␈↓ ¬v␈εαgcd␈↓ ε,␈εα(␈↓ ε8␈ελu␈↓ εN␈ελv␈↓ εo␈ε⊗ε␈↓ π~␈ελu␈↓ π7␈ελv␈↓ πJ␈εα,␈↓ πZ␈ελu␈↓ πw␈ελv␈↓ λ⊃␈εα)␈αas␈αin␈αthe␈α|rst␈αm␈α␈ultiplica-
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαtion␈αmethod.␈αBut␈αagain␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αav␈α␈oid␈αw␈α␈orking␈αwith␈αsuch␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈bers,
␈β∂∩␈↓ ε ␈ε→0␈↓ εJ␈ε→0␈↓ 	v␈ε→0␈↓ 
J␈ε→0
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαif␈α∞w␈α␈e␈α∞start␈α∞by␈α∂calculating␈↓ ∧j␈ελd␈↓ ¬↔␈εα=␈↓ ¬I␈εαgcd␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελu␈↓ ε'␈εα,␈↓ ε7␈ελv␈↓ εQ␈εα).␈α∪If␈↓ π ␈ελd␈↓ πM␈εα=␈α∞1␈α∞then␈↓ λt␈ελw␈↓ 	≤␈εα=␈↓ 	N␈ελu␈↓ 	d␈ελv␈↓ 
π␈ε⊗ε␈↓ 
5␈ελu␈↓ 
Q␈ελv␈↓ 
r␈εαand
␈β∂$␈↓ ∧{␈ε¬1␈↓ π1␈ε¬1
␈β∂=␈↓ ↓b␈ε→0␈↓ α<␈ε→0␈↓ αV␈ε→0
␈β∂B␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓v␈εα=␈↓ α'␈ελu␈↓ αC␈ελv␈↓ αk␈εαare␈α
the␈α∞desired␈α
n␈α␈umerator␈α∞and␈α
denominator.␈α⊃(According␈α
to␈α
Theorem
␈β∂h␈↓ 
\␈ε→0
␈β∂m␈↓ ↓H␈εα4.5.2D␈↓ α.␈εα,␈↓ αG␈ελd␈↓ αv␈εαwill␈α∂be␈α∂1␈α∂about␈α∂61␈α∂percen␈α␈t␈α∂of␈α∂the␈α∂time,␈α⊂if␈α∂the␈α∂denominators␈↓ 
F␈ελu␈↓ 
r␈εαand
␈β∂{␈↓ αX␈ε¬1
␈β⊂∀␈↓ ↓Z␈ε→0
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓p␈εαare␈α∞randomly␈α∞distributed,␈α∞so␈α∞it␈α∞is␈α∞wise␈α∞to␈α∞single␈α∞out␈α∞this␈α∞case␈α∞separately.)␈α∩If
␈β⊂?␈↓ ∧C␈ε→0␈↓ ¬m␈ε→0
␈β⊂D␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓q␈εα>␈α
1,␈αthen␈αlet␈↓ βJ␈ελt␈↓ βa␈εα=␈↓ ∧∂␈ελu␈↓ ∧%␈εα(␈↓ ∧1␈ελv␈↓ ∧K␈εα/␈↓ ∧]␈ελd␈↓ ∧|␈εα)␈ε⊗␈αεε␈↓ ¬9␈ελv␈↓ ¬L␈εα(␈↓ ¬X␈ελu␈↓ ¬u␈εα/␈↓ επ␈ελd␈↓ ε&␈εα)␈αand␈αcalculate␈↓ λ↔␈ελd␈↓ λ@␈εα=␈↓ λn␈εαgcd␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελt␈↓ 	=␈εα,␈↓ 	M␈ελd␈↓ 	l␈εα);␈α|nally␈αthe
␈β⊂Q␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ ∧m␈ε¬1␈↓ ε↔␈ε¬1␈↓ λ(␈ε¬2␈↓ 	↑␈ε¬1
␈β⊂j␈↓ ∧≥␈ε→0␈↓ ∧}␈ε→0␈↓ ¬a␈ε→0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαansw␈α␈er␈α	is␈↓ α]␈ελw␈↓ βα␈εα=␈↓ β0␈ελt␈↓ β=␈εα/␈↓ βO␈ελd␈↓ βn␈εα,␈↓ ∧α␈ελw␈↓ ∧.␈εα=␈α
(␈↓ ∧h␈ελu␈↓ ¬¬␈εα/␈↓ ¬↔␈ελd␈↓ ¬6␈εα)(␈↓ ¬N␈ελv␈↓ ¬h␈εα/␈↓ ¬z␈ελd␈↓ ε~␈εα).␈α(Ex␈α␈ercise␈α	6␈α
pro␈α␈v␈α␈es␈α	that␈α	these␈α
values␈α	of␈↓ ∩␈ελw
␈β⊂|␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ¬(␈ε¬1␈↓ ε␈ε¬2
␈β⊃∃␈↓ α(␈ε→0
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελw␈↓ α<␈εαare␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈αeach␈αother.)␈αIf␈αsingle-precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αbeing
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.1␈ε∞␈↓ 	∀FRA␈α␈CT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα311
␈βα(␈↓ ↓H␈εαused,␈α
this␈α
method␈αrequires␈α
only␈α
single-precision␈α
operations,␈αex␈α␈cept␈α
that␈↓ 
#␈ελt␈↓ 
:␈εαmay␈α
be
␈βαS␈↓ ↓H␈εαa␈α∞double-precision␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞or␈α∞sligh␈α␈tly␈α∂larger␈α∞(see␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞7);␈α∂since␈↓ 	q␈εαgcd␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελt␈↓ 
@␈εα,␈↓ 
P␈ελd␈↓ 
o␈εα)␈α
=
␈βαa␈↓ 
`␈ε¬1
␈βα}␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελt␈↓ α≥␈εαmod␈↓ αg␈ελd␈↓ βε␈εα,␈↓ β⊗␈ελd␈↓ β5␈εα),␈αthe␈αcalculation␈αof␈↓ ¬u␈ελd␈↓ ε ␈εαdoes␈αnot␈αrequire␈αdouble␈αprecision.
␈ββ␈↓ αw␈ε¬1␈↓ β'␈ε¬1␈↓ εε␈ε¬2
␈ββ*␈↓ α␈εαFor␈α
example,␈α
to␈α
compute␈α
(7/66)␈α	+␈αλ(17/12),␈α
w␈α␈e␈α
form␈↓ λU␈ελd␈↓ 	␈εα=␈↓ 	/␈εαgcd␈↓ 	e␈εα(66,␈αε12)␈α=␈α6;
␈ββ7␈↓ λf␈ε¬1
␈ββU␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α~␈ελt␈↓ α1␈εα=␈α
7␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ2␈αλ+␈αλ17␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ11␈α
=␈α
201,␈αand␈↓ ¬⎇␈ελd␈↓ ε&␈εα=␈↓ εT␈εαgcd␈↓ π
␈εα(201,␈αε6)␈α
=␈α
3,␈αso␈αthe␈αansw␈α␈er␈αis
␈ββb␈↓ ε
␈ε¬2
␈β∧#␈↓ ¬G␈ε↓≡
␈β∧'␈↓ ¬
␈εα201␈↓ ¬q␈εα66␈↓ ε#␈εα12
␈β∧>␈↓ εU␈εα=␈α
67/44␈↓ πa␈εα.
␈β∧N␈↓ ¬
␈∧∧N¬
α6␈↓ ¬q␈∧∧N¬qα$␈↓ ε#␈∧∧Nε#α$
␈β∧V␈↓ ¬∨␈εα3␈↓ ¬z␈εα6␈↓ ε,␈εα3
␈β¬%␈↓ α␈εαExperience␈απwith␈αλfractional␈απcalculations␈αλsho␈α␈ws␈απthat␈αλin␈απman␈α␈y␈αλcases␈απthe␈απn␈α␈um␈α␈bers
␈β¬K␈↓ ¬z␈ε→0
␈β¬P␈↓ ↓H␈εαgro␈α␈w␈α
to␈α
be␈αquite␈α
large.␈αSo␈αif␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬ ␈εαand␈↓ ¬e␈ελu␈↓ ε␈εαare␈α
in␈α␈tended␈α
to␈αbe␈α
single-precision␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈β¬v␈↓ ∧→␈ε→0
␈β¬{␈↓ ↓H␈εαfor␈α	each␈α	fraction␈α
(␈↓ β\␈ελu␈↓ βq␈εα/␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧ ␈εα),␈α
it␈α	is␈α
importan␈α␈t␈α	to␈α	include␈α
tests␈α	for␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α	in␈α
each␈α	of␈α	the
␈βε&␈↓ ↓H␈εαaddition,␈α⊂subtraction,␈α⊂m␈α␈ultiplication,␈α⊂and␈α⊂division␈α∂subroutines.␈α⊗For␈α∂n␈α␈umerical
␈βεQ␈↓ ↓H␈εαproblems␈α
in␈α∞which␈α
perfect␈α∞accuracy␈α∞is␈α
importan␈α␈t,␈α∞a␈α∞set␈α∞of␈α
subroutines␈α∞for␈α
frac-
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εαtional␈α	arithmetic␈α
with␈ε∂␈α	arbitrary␈εα␈α
precision␈α	allo␈α␈w␈α␈ed␈α
in␈α	n␈α␈umerator␈α
and␈α	denominator
␈βπ(␈↓ ↓H␈εαis␈αv␈α␈ery␈αuseful.
␈βπS␈↓ α␈εαThe␈α
methods␈α
of␈α
this␈α
section␈α
extend␈α
also␈α
to␈α
other␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
|elds␈α
besides␈α
the
␈βπ}␈↓ ↓H␈εαrational␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αfor␈αexample,␈αw␈α␈e␈αcould␈αdo␈αarithmetic␈αon␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform
␈βλ#␈↓ α←␈∧λ#α←α∩
␈βλ$␈↓ α4␈ε→0␈↓ α;␈ε⊗p␈↓ β+␈ε→00␈↓ ∧{␈ε→0␈↓ ¬/␈ε→00␈↓ λ∀␈ε→0␈↓ λA␈ε→00␈↓ 
≠␈ε→00
␈βλ)␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓r␈εα+␈↓ α≡␈ελu␈↓ α←␈εα5␈↓ αw␈εα)/␈↓ β∃␈ελu␈↓ β9␈εα,␈α
where␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧N␈εα,␈↓ ∧e␈ελu␈↓ ¬α␈εα,␈↓ ¬→␈ελu␈↓ ¬J␈εαare␈α
in␈α␈tegers,␈↓ π⊗␈εαgcd␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ελu␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈ελu␈↓ λ≠␈εα,␈↓ λ+␈ελu␈↓ λO␈εα)␈α=␈α1,␈α
and␈↓ 
¬␈ελu␈↓ 
4␈εα>␈α0;␈α
or
␈βλN␈↓ ¬s␈∧λN¬sα∩␈↓ π↓␈∧λNπ↓α∩
␈βλO␈↓ ¬H␈ε→0␈↓ ¬O␈ε⊗p␈↓ εO␈ε→00␈↓ ε]␈ε⊗p␈↓ πM␈ε→000
␈βλP␈↓ ¬X␈επ3␈↓ εf␈επ3
␈βλU␈↓ ↓H␈εαon␈αquan␈α␈tities␈αof␈αthe␈αform␈α(␈↓ ∧i␈ελu␈↓ ¬ε␈εα+␈↓ ¬2␈ελu␈↓ ¬s␈εα2␈↓ ε
␈εα+␈↓ ε9␈ελu␈↓ π↓␈εα4␈↓ π→␈εα)/␈↓ π7␈ελu␈↓ πc␈εα,␈αetc.
␈β	␈↓ α␈εαTo␈αhelp␈αcheck␈αout␈αsubroutines␈αfor␈αrational␈αarithmetic,␈αin␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αmatrices
␈β	+␈↓ ↓H␈εαwith␈αkno␈α␈wn␈αin␈α␈v␈α␈erses␈α(e.g.,␈αCauch␈α␈y␈αmatrices,␈αex␈α␈ercise␈α1.2.3↑41)␈αis␈αsuggested.
␈β	V␈↓ α␈εαExact␈α∞represen␈α␈tation␈α∂of␈α∞fractions␈α∞within␈α∂a␈α∞computer␈α∞was␈α∂|rst␈α∞discussed␈α∞in
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαthe␈αliterature␈αby␈αP.␈αHenrici,␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α3␈εα␈α(1956),␈α6↑9.
␈β↓␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βQ␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Su␈α␈gg␈α␈est␈αa␈αrea␈α␈son␈α␈able␈αco␈α␈mp␈α␈utatio␈α␈nal␈αme␈α␈thod␈α
for␈αco␈α␈mpa␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αt␈α␈w␈α␈o␈αfra␈α␈ctions␈α␈,␈αto
␈βt␈↓ ∧0␈ε~0␈↓ ¬3␈ε~0
␈βy␈↓ ↓H␈εβte␈α␈st␈αwheth␈α␈er␈αor␈αn␈α␈ot␈α(␈↓ βw␈ε	u␈↓ ∧␈εβ/␈↓ ∧≤␈ε	u␈↓ ∧6␈εβ)␈α	<␈α
(␈↓ ¬␈ε	v␈↓ ¬⊃␈εβ/␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬:␈εβ).
␈β+␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓f␈↓ ∧;␈ε	d␈↓ ∧W␈εβ=␈↓ ¬↓␈εβgcd␈↓ ¬3␈εβ(␈↓ ¬>␈ε	u␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬a␈ε	v␈↓ ¬r␈εβ)␈αth␈α␈en␈↓ εT␈ε	u␈↓ εh␈εβ/␈↓ εy␈ε	d␈↓ π↔␈εβa␈α␈nd␈↓ πW␈ε	v␈↓ πi␈εβ/␈↓ πy␈ε	d␈↓ λ↔␈εβare␈αr␈α␈el␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime.
␈βY␈↓ ¬7␈ε~0␈↓ 	X␈ε~0
␈β]␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
if␈↓ ∧@␈ε	u␈↓ ∧a␈εβan␈α␈d␈↓ ¬#␈ε	u␈↓ ¬K␈εβa␈α␈re␈α
rela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α
p␈α␈rime,␈α
and␈αif␈↓ λf␈ε	v␈↓ 	∧␈εβan␈α␈d␈↓ 	G␈ε	v␈↓ 	k␈εβare␈αrelativ␈α␈ely
␈β
␈↓ ∧␈ε~0␈↓ ∧_␈ε~0␈↓ ¬N␈ε~0␈↓ ε7␈ε~0
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime,␈αthe␈α␈n␈↓ α{␈εβgcd␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	u␈↓ βL␈ε	v␈↓ β↑␈εβ,␈↓ βl␈ε	u␈↓ ∧π␈ε	v␈↓ ∧≡␈εβ)␈α
=␈↓ ∧]␈εβgcd␈↓ ¬∂␈εβ(␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬=␈ε	v␈↓ ¬U␈εβ)␈↓ ¬e␈εβgcd␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε"␈ε	u␈↓ ε=␈εβ,␈↓ εL␈ε	v␈↓ ε]␈εβ).
␈β
6␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	11␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Design␈αλa␈α	div␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈α	algo␈α␈rithm␈α	for␈α	fra␈α␈ction␈α␈s,␈α
an␈α␈alog␈α␈ous␈α	to␈αλthe␈α	sec␈α␈on␈α␈d␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈-
␈β
↑␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αmeth␈α␈od␈α
of␈αthe␈αt␈α␈ext.␈α(Note␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈↓ ε⎇␈ε	v␈↓ π~␈εβm␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αc␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈ered␈α␈.␈α↓)
␈β∞⊂␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Com␈α␈pu␈α␈te␈α(17/␈α␈120␈α␈)␈αλ+␈απ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ27␈α␈/7␈α␈0)␈αby␈α
the␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αreco␈α␈mmen␈α␈de␈α␈d␈αin␈αth␈α␈e␈αtex␈α␈t.
␈β∞>␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧i␈ε~0␈↓ λ-␈ε~0
␈β∞B␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
if␈↓ ∧2␈ε	u␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ∧U␈ε	u␈↓ ∧y␈εβare␈α	relativ␈α␈ely␈α	prime␈α	an␈α␈d␈α
if␈↓ π|␈ε	v␈↓ λ
␈εβ,␈↓ λ≤␈ε	v␈↓ λ=␈εβare␈α	relativ␈α␈ely␈α	prime␈α␈,␈αth␈α␈en
␈β∞f␈↓ α*␈ε~0␈↓ ββ␈ε~0␈↓ β,␈ε~0␈↓ βD␈ε~0␈↓ εT␈ε~0␈↓ ε{␈ε~0␈↓ 	>␈ε~0␈↓ 
Z␈ε~0
␈β∞j␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α→␈ε	v␈↓ α6␈εβ+␈↓ α]␈ε	v␈↓ αo␈ε	u␈↓ β	␈εβ,␈↓ β_␈ε	u␈↓ β2␈ε	v␈↓ βJ␈εβ)␈α	=␈↓ ∧	␈ε	d␈↓ ∧%␈ε	d␈↓ ∧A␈εβ,␈α
where␈↓ ¬3␈ε	d␈↓ ¬Y␈εβ=␈↓ εβ␈εβgcd␈↓ ε5␈εβ(␈↓ ε@␈ε	u␈↓ ε[␈εβ,␈↓ εj␈ε	v␈↓ π↓␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ πV␈ε	d␈↓ π{␈εβ=␈↓ λ&␈εβg␈α␈cd␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	d␈↓ λ␈␈εβ,␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	v␈↓ 	E␈εβ/␈↓ 	U␈ε	d␈↓ 	q␈εβ)␈αε+␈↓ 
)␈ε	v␈↓ 
;␈εβ(␈↓ 
F␈ε	u␈↓ 
`␈εβ/␈↓ 
q␈ε	d␈↓ 
␈εβ)).
␈β∞t␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ∧4␈εε2␈↓ ¬C␈εε1␈↓ πe␈εε2␈↓ λr␈εε1␈↓ 	e␈εε1␈↓ ␈εε1
␈β∂
␈↓ ∧:␈ε~0␈↓ ¬⊗␈ε~0␈↓ πw␈ε~0␈↓ λ∂␈ε~0
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εβ(Hen␈α␈ce␈αif␈↓ αT␈ε	d␈↓ αz␈εβ=␈α	1,␈αthe␈α␈n␈↓ ∧∃␈ε	u␈↓ ∧)␈ε	v␈↓ ∧H␈εβ+␈↓ ∧q␈ε	v␈↓ ¬α␈ε	u␈↓ ¬(␈εβis␈αrelativ␈α}ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ πc␈ε	u␈↓ π⎇␈ε	v␈↓ λ∃␈εβ.)
␈β∂≤␈↓ αd␈εε1
␈β∂C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈α	larg␈α␈e␈α	can␈αλthe␈αλabso␈α␈lute␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	q␈α␈uan␈α}tity␈↓ λ:␈ε	t␈↓ λO␈εβb␈α␈ecom␈α␈e,␈α
in␈α	th␈α␈e␈α	ad␈α␈dition␈α␈-
␈β∂k␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈btr␈α␈action␈αεmeth␈α␈od␈απre␈α␈comm␈α␈end␈α␈ed␈απin␈αεthe␈απtex␈α␈t,␈αλif␈αλth␈α␈e␈απinp␈α␈ut␈απn␈α}ume␈α␈rators␈απa␈α␈nd␈αεden␈α␈omin␈α␈ator␈α␈s
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αless␈αtha␈α␈n␈↓ β
␈ε	N␈↓ β4␈εβin␈αa␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈αva␈α␈lue?
␈β⊂@␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂D␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈α
usin␈α␈g␈α
(1␈α␈/0)␈αand␈α(␈ε↔␈␈εβ1/␈α␈0)␈α
as␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
for␈ε↔␈α1␈εβ␈α
an␈α␈d␈ε↔␈α
␈1␈εβ,␈α∞a␈α␈nd␈α␈/o␈α␈r
␈β⊂l␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tions␈αo␈α␈f␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w.
␈β⊃~␈↓ βq␈ε~0␈↓ ∧≥␈ε~0␈↓ ∧g␈εn␈↓ εD␈εε2␈↓ εQ␈εn␈↓ π~␈ε~0␈↓ π}␈εε2␈↓ λ␈εn␈↓ λO␈ε~0␈↓ 
↔␈ε~0␈↓ ∧␈ε~0
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ β]␈ε	u␈↓ βw␈εβ,␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧,␈εβ<␈↓ ∧W␈εβ2␈↓ ∧x␈εβ,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈ε↔␈αb␈↓ ε3␈εβ2␈↓ εa␈ε	u␈↓ εu␈εβ/␈↓ πε␈ε	u␈↓ π ␈ε↔c␈εβ␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ πn␈εβ2␈↓ λ≠␈ε	v␈↓ λ-␈εβ/␈↓ λ=␈ε	v␈↓ λU␈ε↔c␈εβ␈αimp␈α␈l␈α↓ies␈↓ 	↑␈ε	u␈↓ 	r␈εβ/␈↓ 
β␈ε	u␈↓ 
&␈εβ=␈↓ 
Q␈ε	v␈↓ 
b␈εβ/␈↓ 
s␈ε	v␈↓ 
␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα312␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	41␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exten␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
sub␈α␈rou␈α␈tines␈α
su␈α␈gge␈α␈sted␈α
in␈α
ex␈α}ercise␈α
4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑34␈α	so␈α
tha␈α␈t␈α
they␈α	dea␈α␈l␈αwith
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈arb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry"␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s.
␈βα⎇␈↓ π;␈∧α⎇π;α⊃
␈βα␈␈↓ π∪␈ε~0␈↓ π→␈ε↔p␈↓ λ↓␈ε~00␈↓ 	:␈ε~0␈↓ 	g␈ε~0␈α↓0
␈ββ∧␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α	of␈α	the␈α	form␈α	(␈↓ ε?␈ε	u␈↓ εX␈εβ+␈↓ ε␈␈ε	u␈↓ π;␈εβ5␈↓ πQ␈εβ)/␈↓ πm␈ε	u␈↓ λ
␈εβ,␈α
where␈↓ λ␈␈ε	u␈↓ 	∪␈εβ,␈↓ 	&␈ε	u␈↓ 	@␈εβ,␈↓ 	S␈ε	u␈↓ 	⎇␈εβare␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈ββ'␈↓ α<␈ε~0␈↓ αe␈ε~00␈↓ ∧(␈ε~0␈α↓0
␈ββ+␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α→␈εβ,␈↓ α(␈ε	u␈↓ αB␈εβ,␈↓ αQ␈ε	u␈↓ αq␈εβ)␈α
=␈α	1,␈α
and␈↓ ∧∀␈ε	u␈↓ ∧>␈εβ>␈α
0␈α␈.␈αE␈α↓x␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α	ho␈α␈w␈α
to␈α
d␈α␈ivide␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	such␈α	f␈α↓r␈α␈action␈α␈s␈α
and␈α	to␈α
ob␈α␈tain
␈ββS␈↓ ↓H␈εβa␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈αh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αsame␈αfo␈α␈rm.
␈β∧↓␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧¬␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(Da␈α␈vid␈α
W␈α↓.␈αM␈α␈atu␈α␈l␈α↓a␈α␈.␈α↓)␈α_Con␈α␈sider␈α
\|␈α␈x␈α␈ed␈α␈-sl␈α↓a␈α␈sh"␈α
an␈α␈d␈α
\⎇o␈α␈ating␈α␈-sl␈α↓a␈α␈sh"␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈β∧,␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈α	a␈α␈re␈α	an␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈α	to␈α	⎇␈α␈oatin␈α␈g-po␈α␈in␈α␈t␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	b␈α␈ut␈α	b␈α␈ased␈αλon␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α
fra␈α␈ction␈α␈s␈α	instea␈α␈d␈α	o␈α␈f
␈β∧T␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αra␈α␈dix␈α
poin␈α}t␈αpo␈α␈si␈α↓tio␈α␈ns.␈αIn␈αa␈α
|x␈α}ed-slash␈α
sch␈α␈eme,␈αth␈α␈e␈αn␈α}ume␈α␈rator␈αa␈α␈nd␈α
de␈α␈nom␈α␈i␈α↓n␈α␈ato␈α␈r␈αof␈αa
␈β∧{␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tab␈α␈le␈αλfraction␈απeach␈απcon␈α␈sist␈α	o␈α␈f␈α	a␈α␈t␈αλmost␈↓ εT␈ε	p␈↓ εm␈εβb␈α␈i␈α↓ts,␈α	fo␈α␈r␈α	so␈α␈me␈αλgiv␈α}en␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	≤␈εβ.␈α
In␈αλa␈αλ⎇␈α␈oatin␈α␈g-slash
␈β¬#␈↓ ↓H␈εβsc␈α␈hem␈α␈e,␈αth␈α␈e␈ε⊂␈αs␈α␈um␈εβ␈α
of␈α
n␈α␈u␈α␈mera␈α␈tor␈α
bits␈α
plu␈α␈s␈αd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈α
bits␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αb␈α␈e␈α
a␈α
tota␈α␈l␈αof␈α
at␈α
mo␈α␈st␈↓ ∀␈ε	q␈↓ #␈εβ,
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsome␈α
giv␈α␈en␈↓ β&␈ε	q␈↓ β5␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
ano␈α␈the␈α␈r␈α|eld␈α
of␈αth␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α
is␈αuse␈α␈d␈αto␈α
ind␈α␈i␈α↓ca␈α␈te␈αh␈α␈o␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y
␈β¬r␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αth␈α␈ese␈↓ αD␈ε	q␈↓ α↑␈εβbits␈αb␈α␈elon␈α␈g␈αto␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈mera␈α␈tor.␈αTo␈αdo␈αarith␈α␈metic␈αon␈αsu␈α␈ch␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈αw␈α␈e␈αde|␈α␈ne
␈βε~␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓`␈ε↔λ␈↓ α	␈ε	y␈↓ α%␈εβ=␈↓ αP␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ β%␈εβ(␈↓ β0␈ε	x␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε	y␈↓ ∧∧␈εβ),␈↓ ∧$␈ε	x␈↓ ∧<␈ε↔␈	␈↓ ∧e␈ε	y␈↓ ¬↓␈εβ=␈↓ ¬,␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε%␈ε↔␈␈↓ εM␈ε	y␈↓ ε`␈εβ),␈αetc.,␈αwh␈α␈ere␈αrou␈α␈nd␈α␈(␈↓ 	λ␈ε	x␈↓ 	→␈εβ)␈αis␈αa␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈l␈α↓e
␈βεA␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αclose␈α␈st␈αto␈↓ βR␈ε	x␈↓ βc␈εβ.
␈βεf␈↓ 	"␈εε1␈↓ 	p␈εε82␈↓ 
E␈εε73
␈βεi␈↓ α␈εβFor␈αλex␈α␈amp␈α␈le,␈α	sup␈α␈po␈α␈se␈αλw␈α␈e␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλa␈αλc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλth␈α␈at␈αλtak␈α}es␈αλthe␈αλfo␈α␈rm␈↓ 	;␈εβ=␈↓ 
↔␈ε↔␈␈↓ 
i␈εβ,␈αλbu␈α␈t
␈βεw␈↓ 	"␈∧εw	"α
␈↓ 	j␈∧εw	jα&␈↓ 
?␈∧εw
?α&
␈βεy␈↓ 	"␈εε3␈↓ 	j␈εε1␈α␈73␈↓ 
?␈εε51␈α␈9
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αλare␈αλusing␈αλ|␈α␈x␈α␈ed␈α␈-sl␈α↓a␈α␈sh␈αλarithme␈α␈ti␈α↓c␈αλwith␈↓ επ␈ε	p␈↓ ε"␈εβ=␈α	5␈α	so␈αλth␈α␈at␈α	a␈α␈l␈α↓l␈α	n␈α}um␈α␈erato␈α␈rs␈α	an␈α␈d␈αλden␈α␈omin␈α␈ator␈α␈s
␈βπ8␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈α
be␈α
l␈α↓e␈α␈ss␈α∞th␈α␈an␈α
32␈α␈;␈α∂the␈α
in␈α␈term␈α␈ediat␈α␈e␈α∞q␈α␈uan␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈α
to␈α
be␈α
rou␈α␈nd␈α␈ed␈α
to␈α
th␈α␈e␈α∞n␈α␈eares␈α␈t
␈βπ\␈↓ ¬r␈εε82␈↓ λ"␈εε9␈↓ 	∃␈εε73
␈βπ`␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tab␈α␈le␈α∂n␈α}um␈α}bers.␈α∃In␈α∞this␈α∞case␈↓ ε$␈εβw␈α␈ou␈α␈ld␈α∞rou␈α␈nd␈α∞to␈↓ λG␈εβan␈α␈d␈↓ 	G␈εβw␈α␈ou␈α␈ld␈α∞rou␈α␈nd␈α∞to
␈βπn␈↓ ¬l␈∧πn¬lα&␈↓ λ≤␈∧πnλ≤α~␈↓ 	∂␈∧πn	∂α&
␈βπp␈↓ ¬l␈εε1␈α␈73␈↓ λ≤␈εε1␈α␈9␈↓ 	∂␈εε5␈α␈19
␈βλ∧␈↓ ↓K␈εε1␈↓ αN␈εε9␈↓ β≥␈εε1␈↓ βw␈εε44␈↓ ε!␈εε1
␈βλπ␈↓ ↓\␈εβ;␈α⊂the␈α␈n␈↓ αo␈ε↔␈␈↓ β=␈εβ=␈↓ ∧)␈εβw␈α␈ou␈α␈ld␈α∞rou␈α␈nd␈α∞to␈↓ ε1␈εβ.␈α⊗S␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α⊂if␈α∂w␈α␈e␈α∞w␈α␈ere␈α∞using␈α∞⎇␈α␈oatin␈α␈g-slash
␈βλ⊗␈↓ ↓K␈∧λ⊗↓Kα
␈↓ αH␈∧λ⊗αHα~␈↓ β≥␈∧λ⊗β≥α
␈↓ βq␈∧λ⊗βqα&␈↓ ε!␈∧λ⊗ε!α
␈βλ_␈↓ ↓K␈εε7␈↓ αH␈εε19␈↓ β≥␈εε7␈↓ βq␈εε1␈α␈33␈↓ ε!␈εε3
␈βλ,␈↓ ε7␈εε8␈α␈2␈↓ λ[␈εε55␈↓ 	↑␈εε73␈↓ 
@␈εε9
␈βλ/␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αwith␈↓ β5␈ε	q␈↓ βN␈εβ=␈α
13,␈αit␈αturn␈α␈s␈αo␈α␈ut␈αtha␈α␈t␈↓ εf␈εβw␈α␈o␈α␈uld␈αrou␈α␈nd␈αto␈↓ λ}␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ 

␈εβto␈↓ 
W␈εβ;␈αo␈α␈nce
␈βλ=␈↓ ε1␈∧λ=ε1α&␈↓ λU␈∧λ=λUα&␈↓ 	X␈∧λ=	Xα&␈↓ 
:␈∧λ=
:α~
␈βλ?␈↓ ε1␈εε1␈α␈73␈↓ λU␈εε1␈α␈16␈↓ 	X␈εε51␈α␈9␈↓ 
:␈εε6␈α␈4
␈βλS␈↓ ∧␈εε5␈↓ ∧W␈εε9␈↓ ¬,␈εε6␈α␈19␈↓ πU␈εε1
␈βλW␈↓ ↓H␈εβa␈α␈gain␈α
the␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ce␈↓ ∧$␈ε↔␈␈↓ ∧w␈εβ=␈↓ ¬g␈εβw␈α␈o␈α␈uld␈αro␈α␈un␈α␈d␈αto␈↓ πe␈εβ.␈αI␈α↓n␈α
bo␈α␈th␈αca␈α␈ses␈αall␈αt␈α␈he␈αrou␈α␈nd␈α␈ing
␈βλe␈↓ βt␈∧λeβtα&␈↓ ∧Q␈∧λe∧Qα~␈↓ ¬%␈∧λe¬%α3␈↓ πU␈∧λeπUα
␈βλg␈↓ βt␈εε1␈α␈16␈↓ ∧Q␈εε6␈α␈4␈↓ ¬%␈εε185␈α␈6␈↓ πU␈εε3
␈βλ}␈↓ ↓H␈εβe␈α␈rrors␈αc␈α␈anc␈α␈el␈αou␈α␈t,␈αi␈α↓n␈α␈dica␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
that␈α
i␈α↓f␈α
the␈α
true␈α
answ␈α␈e␈α␈r␈αis␈αa␈αsimp␈α␈le␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
we␈α
ten␈α␈d␈αto␈α
ge␈α␈t
␈β	&␈↓ ↓H␈εβit␈ε⊂␈α
ex␈α␈actly␈εβ␈α
with␈α
\␈α␈slash␈α
a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c,"␈α
in␈α
sp␈α␈i␈α↓te␈α
o␈α␈f␈α∞t␈α␈he␈α
fact␈α
th␈α␈at␈α
in␈α␈te␈α␈rmed␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈α
calcu␈α␈lation␈α␈s
␈β	M␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αinac␈α␈cura␈α␈te.
␈β	u␈↓ α␈εβExp␈α␈erimen␈α}t␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈α
slash␈α	arith␈α␈metic␈α
in␈α	a␈α
v␈α␈ariety␈α	of␈α
calcu␈α␈lation␈α␈s.␈αFor␈α
ex␈α␈amp␈α␈le,␈αtr␈α␈y␈α
to
␈β
→␈↓ 
←␈εε1
␈β
≥␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αh␈α␈o␈α␈w␈αm␈α␈an␈α␈y␈α
ratio␈α␈nal␈αn␈α}um␈α}bers␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε ␈εβa␈α␈nd␈↓ ε`␈ε	y␈↓ ε⎇␈εβha␈α␈v␈α␈e␈αt␈α␈he␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈α
tha␈α␈t␈↓ 	U␈ε	x␈↓ 	m␈ε↔␈␈↓ 
∃␈ε	y␈↓ 
1␈εβ=␈↓ 
z␈εβbu␈α␈t
␈β
+␈↓ 
←␈∧
+
←α
␈β
-␈↓ 
←␈εε3
␈β
A␈↓ ∧2␈εε1
␈β
D␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ α≥␈εβ(␈↓ α(␈ε	x␈↓ α9␈εβ)␈ε↔␈α	␈	␈↓ αw␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	y␈↓ βj␈εβ)␈ε↔␈α≤␈↓ ∧O␈εβi␈α↓n␈α|x␈α}ed␈α␈-␈α↓s␈α␈l␈α↓a␈α␈sh␈α
o␈α␈r␈α
⎇o␈α␈ating␈α␈-␈α↓s␈α␈l␈α↓a␈α␈sh␈α
a␈α␈ri␈α↓th␈α␈metic.␈α≥[␈ε⊂Refer␈α␈ence␈α␈s:␈εβ␈α∂D.
␈β
R␈↓ ∧2␈∧
R∧2α
␈β
T␈↓ ∧2␈εε3
␈β
l␈↓ ↓H␈εβW.␈αM␈α␈atula␈α␈,␈αi␈α↓n␈ε⊂␈α
Ap␈α␈plication␈α␈s␈αo␈α␈f␈αNum␈α}ber␈α
Theo␈α␈ry␈α
to␈αNu␈α␈merica␈α␈l␈αAna␈α␈l␈α↓y␈α␈sis␈εβ,␈αS.␈αK.␈α
Z␈α↓a␈α␈rem␈α␈ba␈α␈,
␈β∪␈↓ ↓H␈εβe␈α␈d.␈α
(New␈α
Yo␈α␈rk:␈α∂Aca␈α␈dem␈α␈i␈α↓c␈αP␈α↓r␈α␈ess,␈α∞1␈α␈972␈α␈),␈α∞48␈α␈6↑4␈α␈89␈α␈;␈α∞D.␈α
W␈α↓.␈α
M␈α␈atula␈αan␈α␈d␈α
Peter␈αKorn␈α␈erup␈α␈,
␈β;␈↓ ↓H␈ε⊂Proc␈α␈.␈αIEEE␈αS␈α␈ym␈α␈p.␈αCom␈α␈pu␈α␈ter␈αArith.␈ε∪␈α4␈εβ␈α(19␈α␈78),␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar.]
␈β3␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.5.2.␈α
The␈α
Gr␈α␈eatest␈α∞Common␈α
Div␈α↓isor
␈βs␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓i␈ελu␈↓ α	␈εαand␈↓ αM␈ελv␈↓ αi␈εαare␈α
in␈α␈tegers,␈αnot␈α	both␈α
zero,␈α
w␈α␈e␈α
say␈α
that␈α
their␈ε∂␈α
greatest␈α
common␈α	divisor␈εα,
␈β
∨␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελu␈↓ α∨␈εα,␈↓ α/␈ελv␈↓ αB␈εα),␈αis␈αthe␈αlargest␈αin␈α␈teger␈αthat␈αev␈α␈enly␈αdivides␈αboth␈↓ λ8␈ελu␈↓ λY␈εαand␈↓ 	∨␈ελv␈↓ 	1␈εα.␈αThis␈αde|nition
␈β
J␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈α
sense,␈αbecause␈αif␈↓ ∧;␈ελu␈↓ ∧[␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αthen␈α
no␈αin␈α␈teger␈αgreater␈α
than␈ε⊗␈αj␈↓ λr␈ελu␈↓ 	λ␈ε⊗j␈εα␈α
can␈αev␈α␈enly␈α
divide
␈β
u␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα,␈α⊂but␈α∂the␈α⊂in␈α␈teger␈α∂1␈α∂does␈α∂divide␈α∂both␈↓ ε2␈ελu␈↓ εW␈εαand␈↓ π ␈ελv␈↓ π3␈εα;␈α⊃hence␈α∂there␈α∂m␈α␈ust␈α∂be␈α∂a␈α∂largest
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger␈α	that␈α	divides␈α	them␈α	both.␈αWhen␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε8␈εαand␈↓ ε{␈ελv␈↓ π↔␈εαare␈α	both␈α	zero,␈α
ev␈α␈ery␈α	in␈α␈teger␈α	ev␈α␈enly
␈β∞K␈↓ ↓H␈εαdivides␈αzero,␈αso␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αde|nition␈αdoes␈αnot␈αapply;␈αit␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αto␈αset
␈β∂↔␈↓ ∧p␈εαgcd␈↓ ¬&␈εα(0,␈αε0)␈↓ ¬|␈εα=␈α
0.␈↓ α␈εα(1)
␈β∂X␈↓ ↓H␈εαThe␈αde|nitions␈αjust␈αgiv␈α␈en␈αobviously␈αimply␈αthat
␈β⊂→␈↓ ∧l␈εαgcd␈↓ ¬"␈εα(␈↓ ¬.␈ελu␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬S␈ελv␈↓ ¬f␈εα)␈↓ ¬|␈εα=␈↓ ε*␈εαgcd␈↓ ε`␈εα(␈↓ εl␈ελv␈↓ ε␈␈εα,␈↓ π∂␈ελu␈↓ π$␈εα),␈↓ α␈εα(2)
␈β⊂Y␈↓ ∧l␈εαgcd␈↓ ¬"␈εα(␈↓ ¬.␈ελu␈↓ ¬C␈εα,␈↓ ¬S␈ελv␈↓ ¬f␈εα)␈↓ ¬|␈εα=␈↓ ε*␈εαgcd␈↓ ε`␈εα(␈ε⊗␈␈↓ π⊂␈ελu␈↓ π&␈εα,␈↓ π6␈ελv␈↓ πH␈εα),␈↓ α␈εα(3)
␈β⊃~␈↓ ∧l␈εαgcd␈↓ ¬"␈εα(␈↓ ¬.␈ελu␈↓ ¬D␈εα,␈αε0)␈↓ ¬|␈εα=␈ε⊗␈α
j␈↓ ε4␈ελu␈↓ εJ␈ε⊗j␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα313
␈βα(␈↓ α␈εαIn␈α⊂the␈α⊂previous␈α⊃section,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂reduced␈α⊂the␈α⊃problem␈α⊂of␈α⊂expressing␈α⊂a␈α⊂rational
␈βαS␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
in␈α
\lo␈α␈w␈α␈est␈αterms"␈α
to␈αthe␈α
problem␈α
of␈α|nding␈α
the␈αgreatest␈α
common␈α
divisor
␈βα}␈↓ ↓H␈εαof␈α
its␈α∞n␈α␈umerator␈α∞and␈α
denominator.␈α⊃Other␈α∞applications␈α
of␈α∞the␈α∞greatest␈α
common
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
hav␈α␈e␈αbeen␈α
men␈α␈tioned␈α
for␈α
example␈α
in␈α
Sections␈α
3.2.1.2,␈α
3.3.3,␈α
4.3.2,␈α
4.3.3.
␈ββU␈↓ ↓H␈εαSo␈αthe␈αconcept␈αof␈↓ βf␈εαgcd␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ ∧(␈ελu␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧M␈ελv␈↓ ∧`␈εα)␈αis␈αimportan␈α␈t␈αand␈αw␈α␈orth␈α␈y␈αof␈αserious␈αstudy.
␈β∧␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈α
least␈α
common␈α
m␈α␈ultiple␈εα␈α∞of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α␈tegers␈↓ πB␈ελu␈↓ πe␈εαand␈↓ λ,␈ελv␈↓ λ?␈εα,␈α
written␈↓ 	U␈εαlcm␈↓ 

␈εα(␈↓ 
→␈ελu␈↓ 
/␈εα,␈↓ 
?␈ελv␈↓ 
R␈εα),␈α
is␈α
a
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαrelated␈α	idea␈α	that␈α	is␈α	also␈α	importan␈α␈t.␈αIt␈α	is␈α
de|ned␈α	to␈α	be␈α	the␈α	smallest␈α	positiv␈α␈e␈α	in␈α␈teger
␈β∧W␈↓ ↓H␈εαthat␈αis␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈α
(i.e.,␈α
ev␈α␈enly␈α
divisible␈αby)␈α
both␈↓ πy␈ελu␈↓ λ≠␈εαand␈↓ λb␈ελv␈↓ λt␈εα;␈α
and␈↓ 	R␈εαlcm␈↓ 

␈εα(0,␈αε0)␈α=␈α0.
␈β∧⎇␈↓ 
␈ε→0␈↓ ␈ε→0
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαThe␈α
classical␈α
method␈α∞for␈α
teaching␈α
children␈α∞ho␈α␈w␈α
to␈α
add␈α∞fractions␈↓ 	N␈ελu␈↓ 	d␈εα/␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
≠␈εα+␈↓ 
H␈ελv␈↓ 
[␈εα/␈↓ 
m␈ελv␈↓ ∀␈εαis
␈β¬(␈↓ 
#␈ε→0␈↓ 
M␈ε→0
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαto␈αtrain␈αthem␈αto␈α|nd␈αthe␈α\least␈αcommon␈αdenominator,"␈αwhich␈αis␈↓ 	J␈εαlcm␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈ελu␈↓ 
+␈εα,␈↓ 
;␈ελv␈↓ 
T␈εα).
␈β¬X␈↓ α␈εαAccording␈α∞to␈α
the␈α∞\fundamen␈α␈tal␈α
theorem␈α∞of␈α∞arithmetic"␈α
(pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞in␈α
ex␈α␈ercise
␈βε∧␈↓ ↓H␈εα1.2.4↑21),␈αeach␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈↓ ¬8␈ελu␈↓ ¬Y␈εαcan␈αbe␈αexpressed␈αin␈αthe␈αform
␈βε;␈↓ π↑␈ε↓Y
␈βεX␈↓ ∧n␈εu␈↓ ¬≤␈εu␈↓ ¬K␈εu␈↓ ¬z␈εu␈↓ ε:␈εu␈↓ λ=␈εu
␈βε↑␈↓ ∧∞␈ελu␈↓ ∧.␈εα=␈↓ ∧\␈εα2␈↓ ¬
␈εα3␈↓ ¬9␈εα5␈↓ ¬h␈εα7␈↓ ε⊗␈εα1␈↓ ε(␈εα1␈↓ εb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⊗␈εα=␈↓ λ+␈ελp␈↓ λ\␈εα,␈↓ α␈εα(5)
␈βεa␈↓ ∧␈␈επ2␈↓ ¬.␈επ3␈↓ ¬\␈επ5␈↓ ε␈επ7␈↓ εL␈επ11␈↓ λO␈ε
p
␈βπ⊂␈↓ πD␈εp␈↓ π]␈ε¬prime
␈βπj␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∞the␈α∞exponen␈α␈ts␈↓ ∧≥␈ελu␈↓ ∧@␈εα,␈↓ ∧Y␈ελu␈↓ ∧|␈εα,␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬M␈εαare␈α∂uniquely␈α∞determined␈α∞nonnegativ␈α␈e␈α∞in␈α␈tegers,
␈βπx␈↓ ∧2␈ε¬2␈↓ ∧n␈ε¬3
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαand␈α
where␈α
all␈αbut␈α
a␈α
|nite␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
the␈αexponen␈α␈ts␈α
are␈α
zero.␈αFrom␈α
this␈α
canonical
␈βλA␈↓ ↓H␈εαfactorization␈αof␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger,␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αone␈αway␈αto␈αcompute␈αthe
␈βλl␈↓ ↓H␈εαgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αof␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬∨␈εαand␈↓ ¬e␈ελv␈↓ ¬x␈εα:␈αBy␈α(2),␈α(3),␈αand␈α(4),␈αw␈α␈e␈αmay␈αassume␈αthat␈↓ ↔␈ελu
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελv␈↓ α.␈εαare␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers,␈α
and␈α
if␈αboth␈α
of␈α
them␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
canonically␈αfactored
␈β	B␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈αprimes␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β	x␈↓ ε↔␈ε↓Y
␈β
∃␈↓ εw␈ε¬min␈↓ π'␈ε¬(␈↓ π1␈εu␈↓ πP␈ε¬,␈↓ πX␈εv␈↓ πs␈ε¬)
␈β
≠␈↓ ∧@␈εαgcd␈↓ ∧v␈εα(␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα,␈↓ ¬'␈ελv␈↓ ¬:␈εα)␈↓ ¬P␈εα=␈↓ εe␈ελp␈↓ π|␈εα,␈↓ α␈εα(6)
␈β
≥␈↓ πB␈ε
p␈↓ πe␈ε
p
␈β
L␈↓ ¬}␈εp␈↓ ε↔␈ε¬prime
␈β
a␈↓ ε↔␈ε↓Y
␈β
␈␈↓ εw␈ε¬ma␈α↓x␈↓ π.␈ε¬(␈↓ π7␈εu␈↓ πV␈ε¬,␈↓ π↑␈εv␈↓ πy␈ε¬)
␈β¬␈↓ ∧>␈εαlcm␈↓ ∧v␈εα(␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα,␈↓ ¬'␈ελv␈↓ ¬:␈εα)␈↓ ¬P␈εα=␈↓ εe␈ελp␈↓ λβ␈εα.␈↓ α␈εα(7)
␈βπ␈↓ πI␈ε
p␈↓ πl␈ε
p
␈β6␈↓ ¬}␈εp␈↓ ε↔␈ε¬prime
␈β⊃␈↓ 	l␈ε¬3␈↓ 
(␈ε¬3
␈β↔␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈α∞for␈α
example,␈α∞the␈α∞greatest␈α∞common␈α
divisor␈α∞of␈↓ λ↓␈ελu␈↓ λ#␈εα=␈α
7000␈α
=␈↓ 	Z␈εα2␈↓ 
β␈ε⊗↓␈↓ 
⊗␈εα5␈↓ 
@␈ε⊗↓␈εα␈α	7␈α
and
␈β=␈↓ β$␈ε¬4␈↓ β[␈ε¬2␈↓ ∧b␈ε¬min␈↓ ¬∩␈ε¬(3,4␈α↓)␈↓ ¬b␈ε¬min␈↓ ε∩␈ε¬(3,2␈α↓)␈↓ εb␈ε¬min␈↓ π∩␈ε¬(1,0␈α↓)␈↓ πt␈ε¬min␈↓ λ$␈ε¬(0,1␈α↓)␈↓ 	&␈ε¬3␈↓ 	]␈ε¬2
␈βB␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓d␈εα=␈α
4400␈α
=␈↓ β∩␈εα2␈↓ β9␈ε⊗↓␈↓ βI␈εα5␈↓ βo␈ε⊗↓␈εα␈αε11␈αis␈↓ ∧P␈εα2␈↓ ¬P␈εα5␈↓ εP␈εα7␈↓ πP␈εα1␈↓ πb␈εα1␈↓ λf␈εα=␈↓ 	∀␈εα2␈↓ 	;␈ε⊗↓␈↓ 	K␈εα5␈↓ 	u␈εα=␈α
200.␈αThe
␈βh␈↓ λ¬␈ε¬4␈↓ λ?␈ε¬3
␈βm␈↓ ↓H␈εαleast␈αcommon␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αsame␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αis␈↓ πs␈εα2␈↓ λ≠␈ε⊗↓␈↓ λ-␈εα5␈↓ λU␈ε⊗↓␈εα␈αλ7␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ11␈α
=␈α
154000.
␈β
_␈↓ α␈εαFrom␈α
form␈α␈ulas␈α(6)␈α
and␈α
(7)␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
easily␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
a␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
basic␈αiden␈α␈tities
␈β
D␈↓ ↓H␈εαconcerning␈αthe␈αgcd␈αand␈αthe␈αlcm:
␈β∞∃␈↓ ∧λ␈εαgcd␈↓ ∧>␈εα(␈↓ ∧J␈ελu␈↓ ∧←␈εα,␈↓ ∧o␈ελv␈↓ ¬α␈εα)␈↓ ¬∞␈ελw␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈εαgcd␈↓ ε↔␈εα(␈↓ ε#␈ελu␈↓ ε8␈ελw␈↓ εS␈εα,␈↓ εc␈ελv␈↓ εv␈ελw␈↓ π⊃␈εα),␈↓ λ\␈εαif␈↓ λ}␈ελw␈↓ 	"␈ε⊗∃␈εα␈α
0;␈↓ α␈εα(8)
␈β∞K␈↓ ∧ε␈εαlcm␈↓ ∧>␈εα(␈↓ ∧J␈ελu␈↓ ∧←␈εα,␈↓ ∧o␈ελv␈↓ ¬α␈εα)␈↓ ¬∞␈ελw␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈εαlcm␈↓ ε→␈εα(␈↓ ε%␈ελu␈↓ ε:␈ελw␈↓ εU␈εα,␈↓ εe␈ελv␈↓ εx␈ελw␈↓ π∪␈εα),␈↓ λ\␈εαif␈↓ λ}␈ελw␈↓ 	"␈ε⊗∃␈εα␈α
0;␈↓ α␈εα(9)
␈β∂↓␈↓ ∧f␈ελu␈↓ ¬∧␈ε⊗↓␈↓ ¬⊗␈ελv␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈εαgcd␈↓ ε↔␈εα(␈↓ ε#␈ελu␈↓ ε8␈εα,␈↓ εH␈ελv␈↓ ε[␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ π↓␈εαlcm␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελu␈↓ π[␈εα,␈↓ πk␈ελv␈↓ π}␈εα),␈↓ λ\␈εαif␈↓ λ}␈ελu␈↓ 	∪␈εα,␈↓ 	#␈ελv␈↓ 	@␈ε⊗∃␈εα␈α
0;␈↓ 
p␈εα(10)
␈β∂↔␈↓ αd␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε→␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈β∂7␈↓ α.␈εαgcd␈↓ αr␈εαlcm␈↓ β*␈εα(␈↓ β6␈ελu␈↓ βL␈εα,␈↓ β\␈ελv␈↓ βn␈εα),␈↓ ∧
␈εαlcm␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ∧N␈ελu␈↓ ∧d␈εα,␈↓ ∧t␈ελw␈↓ ¬∂␈εα)␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈εαlcm␈↓ ε'␈ελu␈↓ ε<␈εα,␈↓ εL␈εαgcd␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελv␈↓ π!␈εα,␈↓ π1␈ελw␈↓ πL␈εα)␈↓ πf␈εα;␈↓ 
p␈εα(11)
␈β∂M␈↓ αh␈ε↓␈␈↓ ¬≠␈ε↓↓␈↓ ε↔␈ε↓␈␈↓ πX␈ε↓↓
␈β∂m␈↓ α0␈εαlcm␈↓ αv␈εαgcd␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελu␈↓ βN␈εα,␈↓ β↑␈ελv␈↓ βp␈εα),␈↓ ∧␈εαgcd␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ∧N␈ελu␈↓ ∧d␈εα,␈↓ ∧t␈ελw␈↓ ¬∂␈εα)␈↓ ¬3␈εα=␈↓ ¬a␈εαgcd␈↓ ε%␈ελu␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈εαlcm␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελv␈↓ π!␈εα,␈↓ π1␈ελw␈↓ πL␈εα)␈↓ πf␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαThe␈α	latter␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	form␈α␈ulas␈α	are␈α	\distributiv␈α␈e␈α	laws"␈α	analogous␈α	to␈α	the␈α	familiar␈α	iden␈α␈tity
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈ελv␈↓ ↓x␈εα+␈↓ α%␈ελu␈↓ α;␈ελw␈↓ α`␈εα=␈↓ β∂␈ελu␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελv␈↓ βL␈εα+␈↓ βy␈ελw␈↓ ∧∪␈εα).␈α∞Equation␈α
(10)␈αreduces␈α
the␈α
calculation␈αof␈↓ 	;␈εαgcd␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελu␈↓ 
∩␈εα,␈↓ 
"␈ελv␈↓ 
5␈εα)␈α
to␈αthe
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαcalculation␈αof␈↓ β(␈εαlcm␈↓ β`␈εα(␈↓ βl␈ελu␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελv␈↓ ∧$␈εα),␈αand␈αcon␈α␈v␈α␈ersely.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα314␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Euclid's␈α⊃algorithm.␈εα␈α"Although␈α⊃Eq.␈α⊃(6)␈α⊃is␈α∩useful␈α⊃for␈α⊃theoretical␈α⊃purposes,␈α∩it␈α⊃is
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαgenerally␈αno␈αhelp␈αfor␈αcalculating␈αa␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αin␈αpractice,␈αbecause
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαit␈α	requires␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	|rst␈α	determine␈α	the␈α	factorization␈α	of␈↓ λε␈ελu␈↓ λ%␈εαand␈↓ λh␈ελv␈↓ λ{␈εα.␈αThere␈α	is␈α	no␈α	kno␈α␈wn
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαmethod␈αλfor␈α	|nding␈α	the␈αλprime␈α	factors␈α	of␈αλan␈α	in␈α␈teger␈α	v␈α␈ery␈αλrapidly␈α	(see␈α	Section␈αλ4.5.4).
␈ββS␈↓ ↓H␈εαBut␈α	fortunately␈α	there␈α	is␈α	an␈α	e}cien␈α␈t␈α
way␈α	to␈α	calculate␈α	the␈α	greatest␈α	common␈α	divisor
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαof␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλin␈α␈tegers␈απwithout␈αλfactoring␈απthem,␈αλand,␈α	in␈απfact,␈α	such␈απa␈αλmethod␈απwas␈απdisco␈α␈v␈α␈ered
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈απ2250␈αλy␈α␈ears␈αλago;␈α	this␈απis␈αλ\Euclid's␈απalgorithm,"␈α	which␈αλw␈α␈e␈απhav␈α␈e␈αλalready␈απexamined
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαin␈αSections␈α1.1␈αand␈α1.2.1.
␈β¬␈↓ α␈εαEuclid's␈αalgorithm␈αis␈αfound␈αin␈αBook␈α7,␈αPropositions␈α1␈αand␈α2␈αof␈αhis␈ε∂␈αElemen␈α␈ts
␈β¬+␈↓ ↓H␈εα(␈ε∂c␈εα.␈α⊂300␈ε∞␈α∂B.C.␈εα␈α␈),␈α⊃but␈α⊂it␈α⊂probably␈α⊂wasn't␈α⊂his␈α⊂o␈α␈wn␈α⊂in␈α␈v␈α␈en␈α␈tion.␈α_Scholars␈α⊂believ␈α␈e␈α∂that
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαthe␈αmethod␈α
was␈α
kno␈α␈wn␈αup␈α
to␈α
200␈αy␈α␈ears␈α
earlier,␈α
at␈α
least␈αin␈α
its␈α
subtractiv␈α␈e␈αform,
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαand␈α∂it␈α∂was␈α∂almost␈α∂certainly␈α∂kno␈α␈wn␈α∂to␈α∂Eudo␈α␈xus␈α∂(␈ε∂c␈εα.␈α∂375␈ε∞␈α∂B.␈α␈C.␈εα);␈α⊂cf.␈α∂K.␈α∂v␈α␈on␈α∂Fritz,
␈βε-␈↓ ↓H␈ε∂Ann.␈α
Math.␈εα␈α∞(2)␈ε∩␈α∞46␈εα␈α
(1945),␈α∂242↑264.␈α⊃We␈α
migh␈α␈t␈α∞call␈α∞it␈α∞the␈α
granddaddy␈α∞of␈α∞all␈α
al-
␈βεX␈↓ ↓H␈εαgorithms,␈α
because␈α
it␈α
is␈α
the␈α
oldest␈α
non␈α␈trivial␈α
algorithm␈α
that␈α
has␈α
surviv␈α␈ed␈α
to␈α
the
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t␈α⊂day.␈α~(The␈α⊂chief␈α⊃rival␈α⊂for␈α⊃this␈α⊂honor␈α⊂is␈α⊃perhaps␈α⊂the␈α⊃ancien␈α␈t␈α⊂Egyptian
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαmethod␈αfor␈αm␈α␈ultiplication,␈αwhich␈αwas␈αbased␈αon␈αdoubling␈αand␈αadding,␈αand␈αwhich
␈βπY␈↓ ↓H␈εαforms␈α∂the␈α⊂basis␈α∂for␈α⊂e}cien␈α␈t␈α∂calculation␈α⊂of␈↓ εw␈ελn␈↓ π
␈εαth␈α∂po␈α␈w␈α␈ers␈α⊂as␈α∂explained␈α⊂in␈α∂Section
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εα4.6.3.␈α∃But␈α∂the␈α∂Egyptian␈α∂man␈α␈uscripts␈α⊂merely␈α∂giv␈α␈e␈α∂examples␈α∂that␈α∂are␈α∂not␈α∂com-
␈βλ0␈↓ ↓H␈εαpletely␈α
systematic,␈αand␈α
these␈αexamples␈αw␈α␈ere␈αcertainly␈αnot␈αstated␈α
systematically;
␈βλ[␈↓ ↓H␈εαthe␈αEgyptian␈α
method␈αis␈αtherefore␈α
not␈αquite␈α
deserving␈αof␈α
the␈αname␈α\algorithm."
␈β	ε␈↓ ↓H␈εαSev␈α␈eral␈α	ancien␈α␈t␈α
Babylonian␈α
methods,␈α
for␈α	doing␈α
such␈α
things␈α	as␈α
solving␈α
special␈α	sets
␈β	1␈↓ ↓H␈εαof␈αquadratic␈αequations␈αin␈αt␈α␈w␈α␈o␈αvariables,␈αare␈αalso␈αkno␈α␈wn.␈αGen␈α␈uine␈αalgorithms␈αare
␈β	]␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α
in␈αthis␈αcase,␈αnot␈αjust␈α
special␈αsolutions␈αto␈αthe␈α
equations␈αfor␈αcertain␈α
input
␈β
λ␈↓ ↓H␈εαparameters;␈α∞ev␈α␈en␈α
though␈α
the␈α
Babylonians␈α
in␈α␈variably␈α∞presen␈α␈ted␈α
each␈α
method␈α
in
␈β
3␈↓ ↓H␈εαconjunction␈αwith␈αan␈αexample␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αwith␈αparticular␈αinput␈αdata,␈αthey␈αregularly
␈β
↑␈↓ ↓H␈εαexplained␈α∞the␈α∂general␈α∞procedure␈α∂in␈α∞the␈α∂accompan␈α␈ying␈α∞text.␈α∀[See␈α∞D.␈α∂E.␈α∞Kn␈α␈uth,
␈β	␈↓ ↓H␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈αλ15␈εα␈α	(1972),␈α
671↑677.]␈αMan␈α␈y␈αλof␈α	these␈α	Babylonian␈α	algorithms␈α	predate␈αλEuclid
␈β5␈↓ ↓H␈εαby␈α
1500␈αy␈α␈ears,␈α∞and␈αthey␈α
are␈α
the␈α
earliest␈α
kno␈α␈wn␈α
instances␈α
of␈α
written␈αprocedures
␈β`␈↓ ↓H␈εαfor␈αmathematics.␈α∂But␈α
they␈α
do␈αnot␈α
hav␈α␈e␈α
the␈α
stature␈α
of␈α
Euclid's␈αalgorithm,␈α
since
␈β␈↓ ↓H␈εαthey␈α∞do␈α∞not␈α∞in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈α∂iteration␈α∞and␈α∞since␈α∞they␈α∂hav␈α␈e␈α∞been␈α∞superseded␈α∞by␈α∞modern
␈β6␈↓ ↓H␈εαalgebraic␈αmethods.)
␈βa␈↓ α␈εαIn␈α⊂view␈α⊂of␈α⊃the␈α⊂importance␈α⊂of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm,␈α∩for␈α⊂historical␈α⊂as␈α⊂w␈α␈ell␈α⊂as
␈β

␈↓ ↓H␈εαpractical␈α	reasons,␈α	let␈α	us␈α	no␈α␈w␈α	consider␈α	ho␈α␈w␈α	Euclid␈α	himself␈α	treated␈αλit.␈αParaphrasing
␈β
8␈↓ ↓H␈εαhis␈αw␈α␈ords␈αin␈α␈to␈αmodern␈αterminology,␈αthis␈αis␈αessen␈α␈tially␈αwhat␈αhe␈αwrote:
␈β
v␈↓ α␈ε∪Prop␈α␈ositi␈α↓o␈α␈n.␈ε⊂␈α→Giv␈α␈en␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αpo␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈α|n␈α␈d␈αthe␈α␈i␈α↓r␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αcomm␈α␈on␈αd␈α␈ivisor.
␈β∞'␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	A␈↓ αb␈εβ,␈↓ αy␈ε	C␈↓ β!␈εβbe␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α∞in␈α␈te␈α␈gers;␈α∂it␈α
is␈α∞req␈α␈uired␈α
to␈α
|␈α␈nd␈α
th␈α␈eir␈α∞g␈α␈reates␈α␈t
␈β∞O␈↓ α␈εβco␈α␈mmon␈α
diviso␈α␈r.␈αIf␈↓ ∧)␈ε	C␈↓ ∧O␈εβdivid␈α␈es␈↓ ¬@␈ε	A␈↓ ¬V␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ ε7␈ε	C␈↓ ε]␈εβis␈αa␈αco␈α␈mmon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ 	3␈ε	C␈↓ 	Y␈εβand␈↓ 
~␈ε	A␈↓ 
0␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈αit
␈β∞v␈↓ α␈εβalso␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈αitself.␈α⊂An␈α␈d␈αit␈α
c␈α␈l␈α↓e␈α␈arly␈αis␈α
in␈αfac␈α␈t␈α
th␈α␈e␈αgrea␈α␈test,␈α
sinc␈α␈e␈α
n␈α␈o␈αgrea␈α␈ter␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β∂≡␈↓ α␈εβth␈α␈an␈↓ αZ␈ε	C␈↓ β␈εβwill␈αd␈α␈ivide␈↓ ∧#␈ε	C␈↓ ∧=␈εβ.
␈β∂O␈↓ α␈εβBut␈α
if␈↓ αq␈ε	C␈↓ β→␈εβd␈α␈oes␈α
n␈α␈ot␈α
divid␈α␈e␈↓ ¬λ␈ε	A␈↓ ¬∨␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈α
c␈α␈on␈α␈tin␈α}ually␈α
su␈α␈btra␈α␈ct␈α
the␈α
lesser␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β∂w␈↓ α␈ε	A␈↓ α"␈εβ,␈↓ α:␈ε	C␈↓ αb␈εβfrom␈α
the␈α
gr␈α␈eater,␈α∞un␈α}til␈α∞som␈α␈e␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞is␈α
l␈α↓e␈α␈ft␈α∞th␈α␈at␈α∞d␈α␈ivide␈α␈s␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rev␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α
on␈α␈e.
␈β⊂∨␈↓ α␈εβThis␈α	wi␈α↓ll␈α
ev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈α	ha␈α␈pp␈α␈en,␈α
for␈α	i␈α↓f␈α	un␈α␈i␈α↓t␈α␈y␈α
is␈α	l␈α↓e␈α␈f␈α↓t,␈α
it␈α
will␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈α	the␈α	prev␈α␈iou␈α␈s␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β⊂P␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈α∂let␈↓ β⊂␈ε	E␈↓ β6␈εβbe␈α∞the␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α∂of␈↓ εn␈ε	A␈↓ π∪␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ided␈α∞b␈α␈y␈↓ λA␈ε	C␈↓ λ\␈εβ;␈α⊃let␈↓ 	)␈ε	F␈↓ 	O␈εβbe␈α∞the␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e
␈β⊂w␈↓ α␈εβrema␈α␈ind␈α␈er␈α
o␈α␈f␈↓ βM␈ε	C␈↓ βr␈εβd␈α␈ivide␈α␈d␈α
b␈α␈y␈↓ ¬∃␈ε	E␈↓ ¬,␈εβ;␈αa␈α␈nd␈α	let␈↓ ε.␈ε	F␈↓ εN␈εβbe␈α	a␈α
d␈α␈ivisor␈α	of␈↓ λ%␈ε	E␈↓ λ<␈εβ.␈αS␈α␈ince␈↓ 	%␈ε	F␈↓ 	F␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ 
5␈ε	E␈↓ 
V␈εβan␈α␈d␈↓ ∃␈ε	E
␈β⊃∨␈↓ α␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ α{␈ε	C␈↓ β~␈ε↔␈␈↓ β@␈ε	F␈↓ βX␈εβ,␈↓ βj␈ε	F␈↓ ∧␈εβa␈α␈lso␈α	div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬:␈ε	C␈↓ ¬Y␈ε↔␈␈↓ ¬␈␈ε	F␈↓ ε↔␈εβ;␈α
b␈α␈ut␈α	it␈α	a␈α␈l␈α↓so␈αλdivid␈α␈es␈α	itself,␈α
so␈α	it␈α	div␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ 
A␈ε	C␈↓ 
\␈εβ.␈α
And
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα315
␈βα+␈↓ α␈ε	C␈↓ α2␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ β#␈ε	A␈↓ βA␈ε↔␈␈↓ βi␈ε	E␈↓ ∧↓␈εβ;␈αth␈α␈erefore␈↓ ¬"␈ε	F␈↓ ¬D␈εβalso␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ εx␈ε	A␈↓ π∃␈ε↔␈␈↓ π>␈ε	E␈↓ πU␈εβ.␈αBu␈α␈t␈αi␈α↓t␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
divid␈α␈es␈↓ 	␈␈ε	E␈↓ 
↔␈εβ;␈αth␈α␈erefore
␈βαS␈↓ α␈εβit␈αdivid␈α␈es␈↓ β≡␈ε	A␈↓ β4␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈αit␈αis␈αa␈αcom␈α␈mon␈α
diviso␈α␈r␈αof␈↓ π"␈ε	A␈↓ πD␈εβa␈α␈nd␈↓ λ∧␈ε	C␈↓ λ∨␈εβ.
␈ββ	␈↓ α␈εβI␈α	no␈α␈w␈α	claim␈α	th␈α␈at␈α	i␈α↓t␈α	is␈α	also␈α	the␈α	g␈α␈reatest␈α␈.␈αFor␈α	i␈α↓f␈↓ π~␈ε	F␈↓ π;␈εβis␈α	no␈α␈t␈α	the␈α	gre␈α␈atest␈α	co␈α␈mmon␈αλdiviso␈α␈r
␈ββ1␈↓ α␈εβof␈↓ α3␈ε	A␈↓ αT␈εβan␈α␈d␈↓ β∃␈ε	C␈↓ β0␈εβ,␈αsome␈α
l␈α↓a␈α␈rger␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αwil␈α↓l␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈αth␈α␈em␈αb␈α␈oth.␈αLet␈αsu␈α␈ch␈αa␈αn␈α}um␈α}ber␈αb␈α␈e␈↓ ε␈ε	G␈↓ ∨␈εβ.
␈ββg␈↓ α␈εβNo␈α␈w␈αsinc␈α␈e␈↓ β,␈ε	G␈↓ βR␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	C␈↓ ∧k␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈↓ ¬C␈ε	C␈↓ ¬j␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ ε\␈ε	A␈↓ εz␈ε↔␈␈↓ π#␈ε	E␈↓ π:␈εβ,␈↓ πP␈ε	G␈↓ πu␈εβdivid␈α␈es␈↓ λg␈ε	A␈↓ 	ε␈ε↔␈␈↓ 	/␈ε	E␈↓ 	F␈εβ.␈↓ 	↑␈ε	G␈↓ 
β␈εβalso␈αd␈α␈ivide␈α␈s
␈β∧∞␈↓ α␈εβth␈α␈e␈αwh␈α␈ole␈αo␈α␈f␈↓ βL␈ε	A␈↓ βb␈εβ,␈αso␈αit␈αdivid␈α␈es␈αth␈α␈e␈αrem␈α␈aind␈α␈er␈↓ π␈ε	E␈↓ π#␈εβ.␈α
Bu␈α␈t␈↓ πz␈ε	E␈↓ λ≥␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ 	∞␈ε	C␈↓ 	1␈ε↔␈␈↓ 	Z␈ε	F␈↓ 	q␈εβ;␈αther␈α␈efore␈↓ ∪␈ε	G
␈β∧6␈↓ α␈εβalso␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ β<␈ε	C␈↓ β\␈ε↔␈␈↓ ∧α␈ε	F␈↓ ∧→␈εβ.␈αAnd␈↓ ∧t␈ε	G␈↓ ¬⊗␈εβalso␈α	d␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈α	th␈α␈e␈α
wh␈α␈ole␈α	of␈↓ π␈␈ε	C␈↓ λ~␈εβ,␈α
so␈α	it␈α
d␈α␈ivide␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α	rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r
␈β∧↑␈↓ α␈ε	F␈↓ α#␈εβ;␈αth␈α␈at␈αis,␈αa␈αgre␈α␈ater␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈αa␈αsm␈α␈all␈α↓e␈α␈r␈αone␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αis␈αimp␈α␈ossible.
␈β¬∀␈↓ α␈εβThe␈α␈refore␈α
n␈α␈o␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
grea␈α␈ter␈α
tha␈α␈n␈↓ ε∪␈ε	F␈↓ ε7␈εβwil␈α↓l␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈↓ π↑␈ε	A␈↓ λ↓␈εβan␈α␈d␈↓ λD␈ε	C␈↓ λ←␈εβ,␈α∞so␈↓ 	!␈ε	F␈↓ 	E␈εβis␈α
the␈α␈i␈α↓r␈α
g␈α␈reates␈α␈t
␈β¬<␈↓ α␈εβco␈α␈mmon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r.
␈β¬r␈↓ α␈ε∪Coro␈α␈ll␈α↓a␈α␈ry.␈εβ␈α∩Th␈α␈i␈α↓s␈αλa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αλma␈α␈k␈α␈es␈αλit␈αλevid␈α␈en␈α␈t␈αλth␈α␈at␈αλan␈α}y␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	d␈α␈ividin␈α␈g␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βε→␈↓ α␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈αth␈α␈eir␈αgrea␈α␈test␈αcom␈α␈mon␈α
divisor␈α␈.␈ε⊂␈αQ.E.D.
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε∂Note.␈εα␈α≥Euclid's␈α∞statemen␈α␈ts␈α∞hav␈α␈e␈α∞been␈α∞simpli|ed␈α∞here␈α∞in␈α∞one␈α∞non␈α␈trivial␈α∞respect:
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαGreek␈α∞mathematicians␈α∂did␈α∂not␈α∞regard␈α∂unity␈α∂as␈α∂a␈α∞\divisor"␈α∂of␈α∂another␈α∞positiv␈α␈e
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger.␈α~Tw␈α␈o␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊃in␈α␈tegers␈α⊃w␈α␈ere␈α⊂either␈α⊃both␈α⊃equal␈α⊃to␈α⊂unity,␈α∩or␈α⊃they␈α⊂w␈α␈ere
␈βπ`␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈αprime,␈αor␈αthey␈α
had␈αa␈αgreatest␈αcommon␈α
divisor.␈αIn␈α
fact,␈αunity␈αwas␈αnot
␈βλ␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈α∞considered␈α∞to␈α∂be␈α∞a␈α∞\n␈α␈um␈α␈ber,"␈α∂and␈α∞zero␈α∂was␈α∞of␈α∞course␈α∂nonexisten␈α␈t.␈α∩These
␈βλ6␈↓ ↓H␈εαrather␈αawkward␈α
con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α
made␈α
it␈α
necessary␈αfor␈α
Euclid␈α
to␈α
duplicate␈α
m␈α␈uch␈αof
␈βλa␈↓ ↓H␈εαhis␈α∞discussion,␈α∂and␈α∞he␈α∞gav␈α␈e␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞separate␈α∂propositions␈α∞that␈α∞each␈α∞are␈α∞essen␈α␈tially
␈β	
␈↓ ↓H␈εαlik␈α␈e␈αthe␈αone␈αappearing␈αhere.
␈β	9␈↓ α␈εαIn␈α⊂his␈α⊂discussion,␈α⊃Euclid␈α⊂|rst␈α⊂suggests␈α⊂subtracting␈α⊂the␈α⊂smaller␈α⊂of␈α∂the␈α⊂t␈α␈w␈α␈o
␈β	d␈↓ ↓H␈εαcurren␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αfrom␈αthe␈αlarger,␈αrepeatedly,␈αun␈α␈til␈αw␈α␈e␈αget␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αwhich
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαone␈α⊂is␈α⊃a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α⊃another.␈α→But␈α⊃in␈α⊂the␈α⊃proof␈α⊂he␈α⊃really␈α⊂relies␈α⊃on␈α⊂taking␈α⊂the
␈β
:␈↓ ↓H␈εαremainder␈α	of␈α
one␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	divided␈α
by␈α
another;␈α
and␈α
since␈α
he␈α	has␈α
no␈α
simple␈α	concept
␈β
f␈↓ ↓H␈εαof␈α
zero,␈αhe␈αcannot␈α
speak␈αof␈α
the␈αremainder␈α
when␈αone␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αdivides␈α
the␈αother.␈αIt
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαis␈αreasonable␈α
to␈αsay␈α
that␈αhe␈α
imagines␈α
each␈ε∂␈αdivision␈εα␈α
(not␈αthe␈α
individual␈αsubtrac-
␈β<␈↓ ↓H␈εαtions)␈α∞as␈α∞a␈α
single␈α∞step␈α∞of␈α∞the␈α∞algorithm,␈α∂and␈α∞hence␈α∞an␈α∞\authen␈α␈tic"␈α
rendition␈α∞of
␈βg␈↓ ↓H␈εαhis␈αalgorithm␈αcan␈αbe␈αphrased␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β/␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α	E␈εα␈α	(␈ε∂Original␈α	Euclidean␈α	algorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∩Giv␈α␈en␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	in␈α␈tegers␈↓ 	4␈ελA␈↓ 	U␈εαand␈↓ 
_␈ελC␈↓ 
>␈εαgreater
␈βZ␈↓ ↓H␈εαthan␈αunity,␈αthis␈αalgorithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor.
␈β
∀␈↓ ↓L␈ε∩E1.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελA␈↓ α:␈εαdivisible␈αby␈↓ β|␈ελC␈↓ ∧→␈εα?]␈α→If␈↓ ∧n␈ελC␈↓ ¬↔␈εαdivides␈↓ ε⊃␈ελA␈↓ ε)␈εα,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈↓ 
%␈ελC␈↓ 
N␈εαas␈αthe
␈β
?␈↓ α␈εαansw␈α␈er.
␈β
y␈↓ ↓L␈ε∩E2.␈↓ α␈εα[Replace␈↓ β≥␈ελA␈↓ βA␈εαby␈αremainder.]␈α_If␈↓ ¬c␈ελA␈↓ ε↓␈εαmod␈↓ εK␈ελC␈↓ εt␈εαis␈αequal␈αto␈αunity,␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β∞$␈↓ α␈εαw␈α␈ere␈α∂relativ␈α␈ely␈α∞prime,␈α⊂so␈α∂the␈α∞algorithm␈α∂terminates.␈α∀Otherwise␈α∂replace␈α∞the
␈β∞O␈↓ α␈εαpair␈αof␈αvalues␈α(␈↓ βz␈ελA␈↓ ∧∩␈εα,␈↓ ∧"␈ελC␈↓ ∧?␈εα)␈αby␈α(␈↓ ¬↔␈ελC␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬E␈ελA␈↓ ¬c␈εαmod␈↓ ε-␈ελC␈↓ εJ␈εα)␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αE1.
␈β∞T␈↓ 	i␈∧∞T	i≠∂
␈β∂↔␈↓ α␈εαThe␈α⊂\proof"␈α⊂Euclid␈α⊂gav␈α␈e,␈α⊃which␈α⊂is␈α⊂quoted␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃is␈α⊂especially␈α⊂in␈α␈teresting
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαbecause␈αit␈αis␈α
not␈αreally␈αa␈αproof␈αat␈αall!␈αHe␈αv␈α␈eri|es␈αthe␈αresult␈αof␈αthe␈α
algorithm␈αonly
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαif␈α
step␈αE1␈αis␈α
performed␈αonce␈αor␈α
thrice.␈αSurely␈α
he␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈α
realized␈αthat␈αstep␈α
E1
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαcould␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α∞more␈α
than␈α∞three␈α
times,␈α∞although␈α
he␈α∞made␈α
no␈α∞men␈α␈tion␈α
of␈α
such
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαa␈α∞possibility.␈α⊃Not␈α∞having␈α∞the␈α∞notion␈α∞of␈α∞a␈α
proof␈α∞by␈α∞mathematical␈α∞induction,␈α∞he
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαcould␈α	only␈α
giv␈α␈e␈α	a␈α
proof␈α
for␈α	a␈α
|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
cases.␈α(In␈α
fact,␈α
he␈α	often␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈α	only
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαthe␈α	case␈↓ αM␈ελn␈↓ αm␈εα=␈α
3␈α
of␈α	a␈α
theorem␈α
that␈α
he␈α
wan␈α␈ted␈α	to␈α
establish␈α
for␈α
general␈↓ 	d␈ελn␈↓ 	y␈εα.)␈αAlthough
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα316␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαEuclid␈αλis␈α	justly␈α	famous␈α	for␈αλthe␈α	great␈α	advances␈αλhe␈α	made␈α	in␈α	the␈αλart␈α	of␈α	logical␈αλdeduc-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαtion,␈α∞techniques␈α∂for␈α∞giving␈α∞valid␈α∞proofs␈α∞by␈α∂induction␈α∞w␈α␈ere␈α∞not␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α∞un␈α␈til
␈βα}␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈α
cen␈α␈turies␈α
later,␈αand␈α
the␈α
crucial␈αideas␈α
for␈α
pro␈α␈ving␈αthe␈α
validity␈α
of␈ε∂␈α
algorithms
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαare␈α∞only␈α∞no␈α␈w␈α∞becoming␈α∞really␈α∞clear.␈α∪(See␈α∞Section␈α∞1.2.1␈α∞for␈α∞a␈α∞complete␈α∞proof␈α∞of
␈ββU␈↓ ↓H␈εαEuclid's␈αalgorithm,␈αtogether␈αwith␈αa␈αshort␈αdiscussion␈αof␈αgeneral␈αproof␈αprocedures
␈β∧␈↓ ↓H␈εαfor␈αalgorithms.)
␈β∧+␈↓ α␈εαIt␈α	is␈αλw␈α␈orth␈α	noting␈α	that␈αλthis␈α	algorithm␈αλfor␈α	|nding␈α	the␈αλgreatest␈α	common␈αλdivisor
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαwas␈α	chosen␈α
by␈α	Euclid␈α
to␈α
be␈α	the␈α
v␈α␈ery␈α
|rst␈α	step␈α
in␈α	his␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈t␈α
of␈α	the␈α
theory␈α	of
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers.␈α
The␈αλsame␈απorder␈αλof␈αλpresen␈α␈tation␈απis␈αλstill␈απin␈αλuse␈αλtoday␈απin␈αλmodern␈απtextbooks.
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαEuclid␈αalso␈αgav␈α␈e␈α(Proposition␈α34)␈αa␈αmethod␈αto␈α|nd␈αthe␈α
least␈αcommon␈αm␈α␈ultiple␈αof
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αin␈α␈tegers␈↓ β∂␈ελu␈↓ β0␈εαand␈↓ βu␈ελv␈↓ ∧λ␈εα,␈αnamely␈αto␈αdivide␈↓ ε1␈ελu␈↓ εR␈εαby␈↓ π¬␈εαgcd␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελu␈↓ π]␈εα,␈↓ πm␈ελv␈↓ π␈␈εα)␈αand␈αto␈αm␈α␈ultiply␈αthe␈αresult
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓|␈ελv␈↓ α∞␈εα;␈αthis␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto␈αEq.␈α(10).
␈βε.␈↓ α␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α∞av␈α␈oid␈α
Euclid's␈α∞bias␈α
against␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
0␈α∞and␈α
1,␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
reform␈α␈ulate
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αE␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αway:
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλA␈εα␈α	(␈ε∂Modern␈α	Euclidean␈αλalgorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∩Giv␈α␈en␈αλnonnegativ␈α␈e␈α	in␈α␈tegers␈↓ 
/␈ελu␈↓ 
M␈εαand␈↓ ⊂␈ελv␈↓ "␈εα,
␈βπ!␈↓ πk␈ε↓␈
␈βπ@␈↓ ↓H␈εαthis␈α
algorithm␈α
|nds␈α
their␈αgreatest␈α
common␈α
divisor.␈↓ πy␈ε∂Note:␈εα␈αThe␈α
greatest␈α
common
␈βπk␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
of␈ε∂␈α
arbitrary␈εα␈α	in␈α␈tegers␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬≡␈εαand␈↓ ¬b␈ελv␈↓ ¬␈␈εαmay␈α
be␈α
obtained␈α
by␈α
applying␈α	this␈α
algorithm
␈βπw␈↓ εX␈ε↓↓
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εαto␈ε⊗␈αj␈↓ ↓}␈ελu␈↓ α∪␈ε⊗j␈εα␈αand␈ε⊗␈αj␈↓ αy␈ελv␈↓ β␈ε⊗j␈εα,␈αbecause␈αof␈αEqs.␈α(2)␈αand␈α(3).
␈βλJ␈↓ ↓J␈ε∩A1.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελv␈↓ α3␈εα=␈α
0?]␈α→If␈↓ βH␈ελv␈↓ βe␈εα=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈↓ λ!␈ελu␈↓ λB␈εαas␈αthe␈αansw␈α␈er.
␈βλ⎇␈↓ ↓J␈ε∩A2.␈↓ α␈εα[Tak␈α␈e␈↓ αs␈ελu␈↓ β∂␈εαmod␈↓ βY␈ελv␈↓ βk␈εα.]␈α≥Set␈↓ ∧\␈ελr␈↓ ∧y␈ε⊗ ␈↓ ¬+␈ελu␈↓ ¬F␈εαmod␈↓ ε⊂␈ελv␈↓ ε#␈εα,␈↓ ε;␈ελu␈↓ ε↑␈ε⊗ ␈↓ π⊂␈ελv␈↓ π#␈εα,␈↓ π;␈ελv␈↓ π[␈ε⊗ ␈↓ λ␈ελr␈↓ λ≤␈εα,␈α∂and␈α∞return␈α∞to␈α∞A1.␈α⊃(The
␈β	(␈↓ α␈εαoperations␈α⊃of␈α∩this␈α⊃step␈α∩decrease␈α⊃the␈α⊃value␈α∩of␈↓ πw␈ελv␈↓ λ
␈εα,␈α∪but␈α⊃they␈α∩leav␈α␈e␈↓ 
&␈εαgcd␈↓ 
\␈εα(␈↓ 
h␈ελu␈↓ 
}␈εα,␈↓ ∞␈ελv␈↓  ␈εα)
␈β	T␈↓ α␈εαunchanged.)
␈β	Y␈↓ βr␈∧	Yβr≠∂
␈β
∂␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αw␈α␈e␈αmay␈αcalculate␈↓ εβ␈εαgcd␈↓ ε9␈εα(40902,␈αε24140)␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β
V␈↓ α↓␈εαgcd␈↓ α7␈εα(40902,␈αε24140)␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ∧K␈εαgcd␈↓ ¬↓␈εα(24140,␈αε16762)␈α
=␈↓ π∃␈εαgcd␈↓ πK␈εα(16762,␈αε7378)
␈β↓␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ∧K␈εαgcd␈↓ ¬↓␈εα(7378,␈αε2006)␈α
=␈↓ εq␈εαgcd␈↓ π'␈εα(2006,␈αε1360)␈α
=␈↓ 	↔␈εαgcd␈↓ 	M␈εα(1360,␈αε646)
␈β,␈↓ ∧≥␈εα=␈↓ ∧K␈εαgcd␈↓ ¬↓␈εα(646,␈αε68)␈α
=␈↓ ε;␈εαgcd␈↓ εq␈εα(68,␈αε34)␈α
=␈↓ λ→␈εαgcd␈↓ λO␈εα(34,␈αε0)␈α
=␈α
34.
␈βs␈↓ α␈εαA␈απproof␈απthat␈απAlgorithm␈απA␈απis␈απvalid␈απfollo␈α␈ws␈απreadily␈απfrom␈απEq.␈απ(4)␈απand␈απthe␈απfact␈απthat
␈β=␈↓ ∧g␈εαgcd␈↓ ¬≥␈εα(␈↓ ¬)␈ελu␈↓ ¬?␈εα,␈↓ ¬O␈ελv␈↓ ¬b␈εα)␈α
=␈↓ ε&␈εαgcd␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελv␈↓ εz␈εα,␈↓ π
␈ελu␈↓ π(␈ε⊗␈␈↓ πT␈ελq␈↓ πd␈ελv␈↓ πw␈εα),␈↓ 
p␈εα(13)
␈β
π␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈ελq␈↓ απ␈εαis␈αan␈α␈y␈α
in␈α␈teger.␈α∞Equation␈α(13)␈α
holds␈αbecause␈α
an␈α␈y␈αcommon␈α
divisor␈αof␈↓ 
1␈ελu␈↓ 
S␈εαand␈↓ ~␈ελv
␈β
2␈↓ ↓H␈εαis␈αa␈αdivisor␈αof␈αboth␈↓ βy␈ελv␈↓ ∧↔␈εαand␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧y␈ε⊗␈␈↓ ¬$␈ελq␈↓ ¬4␈ελv␈↓ ¬G␈εα,␈αand,␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y␈αcommon␈αdivisor␈αof␈↓ 
T␈ελv␈↓ 
r␈εαand
␈β
↑␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓e␈ε⊗␈␈↓ α⊃␈ελq␈↓ α!␈ελv␈↓ α@␈εαm␈α␈ust␈αdivide␈αboth␈↓ ∧Y␈ελu␈↓ ∧{␈εαand␈↓ ¬A␈ελv␈↓ ¬T␈εα.
␈β∞	␈↓ α␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈ε∃␈αM␈α␈IX␈εα␈αprogram␈αillustrates␈αthe␈αfact␈αthat␈αAlgorithm␈αA␈αcan␈αeasily
␈β∞4␈↓ ↓H␈εαbe␈αimplemen␈α␈ted␈αon␈αa␈αcomputer:
␈β∞o␈↓ ↓H␈ε∩Program␈αA␈εα␈α(␈ε∂Euclid's␈α
algorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α↔Assume␈αthat␈↓ π%␈ελu␈↓ πF␈εαand␈↓ λ␈ελv␈↓ λ(␈εαare␈αsingle-precision,␈αnon-
␈β∂≠␈↓ ↓H␈εαnegativ␈α␈e␈α∂in␈α␈tegers,␈α⊃stored␈α∂respectiv␈α␈ely␈α⊂in␈α⊂locations␈↓ πm␈ε∃U␈↓ λ∩␈εαand␈↓ λ[␈ε∃V␈↓ λp␈εα;␈α⊃this␈α⊂program␈α∂puts
␈β∂F␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελu␈↓ α∨␈εα,␈↓ α/␈ελv␈↓ αB␈εα)␈αin␈α␈to␈αrA.
␈β∂}␈↓ ¬␈ε∃L␈α␈DX␈↓ ¬|␈ε∃U
␈β⊂↓␈↓ εr␈εβ1␈↓ πH␈εβrX␈↓ πv␈ε↔ ␈↓ λ!␈ε	u␈↓ λ5␈εβ.
␈β⊂%␈↓ ¬␈ε∃J␈α␈MP␈↓ ¬|␈ε∃2F
␈β⊂(␈↓ εr␈εβ1
␈β⊂M␈↓ ∧-␈ε∃1H␈↓ ¬␈ε∃S␈α␈TX␈↓ ¬|␈ε∃V
␈β⊂P␈↓ εo␈ε	T␈↓ πH␈ε	v␈↓ πc␈ε↔ ␈↓ λ
␈εβrX␈↓ λ2␈εβ.
␈β⊂t␈↓ ¬␈ε∃S␈α␈RAX␈↓ ¬|␈ε∃5
␈β⊂w␈↓ εo␈ε	T␈↓ πH␈εβrAX␈↓ λ∞␈ε↔ ␈↓ λ9␈εβrA␈↓ λ↑␈εβ.
␈β⊃≤␈↓ ¬␈ε∃D␈α␈IV␈↓ ¬|␈ε∃V
␈β⊃∨␈↓ εo␈ε	T␈↓ πH␈εβrX␈↓ πv␈ε↔ ␈↓ λ!␈εβrAX␈↓ λc␈εβmod␈↓ 	(␈ε	v␈↓ 	9␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα317
␈βα(␈↓ ∧-␈ε∃2H␈↓ ¬␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ¬|␈ε∃V
␈βα+␈↓ εO␈εβ1␈απ+␈↓ π∂␈ε	T␈↓ πH␈εβrA␈↓ πv␈ε↔ ␈↓ λ!␈ε	v␈↓ λ2␈εβ.
␈βαP␈↓ ¬␈ε∃J␈α␈XNZ␈↓ ¬|␈ε∃1B
␈βαS␈↓ εO␈εβ1␈απ+␈↓ π∂␈ε	T␈↓ πH␈εβDon␈α␈e␈αif␈↓ λ>␈εβrX␈↓ λm␈εβ=␈α	0.
␈βαU␈↓ 	V␈∧αU	V≠∂
␈ββ ␈↓ ↓H␈εαThe␈α∂running␈α∂time␈α∂for␈α∂this␈α∞program␈α∂is␈α∂19␈↓ εT␈ελT␈↓ εx␈εα+␈α
6␈α∂cy␈α␈cles,␈α∂where␈↓ 	&␈ελT␈↓ 	O␈εαis␈α∞the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber
␈ββK␈↓ ↓H␈εαof␈αdivisions␈αperformed.␈α
The␈αdiscussion␈α
in␈αSection␈α4.5.3␈αsho␈α␈ws␈α
that␈αw␈α␈e␈αmay␈αtak␈α␈e
␈ββv␈↓ ↓H␈ελT␈↓ ↓m␈εα=␈α0.842766␈↓ β*␈εαln␈↓ βN␈ελN␈↓ βy␈εα+␈αλ0.06␈α
as␈α
an␈α
appro␈α␈ximate␈α∞av␈α␈erage␈α
value,␈α
when␈↓ 	s␈ελu␈↓ 
⊗␈εαand␈↓ 
]␈ελv␈↓ 
|␈εαare
␈β∧!␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈tly␈αand␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λi␈ελu␈↓ λ}␈εα,␈↓ 	∞␈ελv␈↓ 	+␈ε⊗∀␈↓ 	Y␈ελN␈↓ 	{␈εα.
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε∩A␈αλbinary␈α	method.␈εα␈α⊂Since␈α	Euclid's␈αλpatriarchal␈α	algorithm␈αλhas␈α	been␈αλused␈α	for␈αλso␈αλman␈α␈y
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εαcen␈α␈turies,␈α
it␈α	is␈α
a␈α	rather␈α
surprising␈α	fact␈α
that␈α
it␈α	may␈α
not␈α	always␈α
be␈α	the␈α
best␈α	method
␈β¬H␈↓ ↓H␈εαfor␈α	|nding␈α
the␈α	greatest␈α
common␈α	divisor␈α
after␈α	all.␈αA␈α
quite␈α	di{eren␈α␈t␈α
gcd␈α	algorithm,
␈β¬s␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	is␈α	primarily␈α	suited␈α
to␈α	binary␈α	arithmetic,␈α
was␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α	by␈α
J.␈α	Stein␈α	in␈α	1961
␈βε≡␈↓ ↓H␈εα[see␈ε∂␈αJ.␈αComp.␈αPh␈α␈ys.␈ε∩␈α1␈εα␈α(1967),␈α397↑405.]␈αThis␈αnew␈αalgorithm␈αrequires␈αno␈αdivision
␈βεJ␈↓ ↓H␈εαinstruction;␈α	it␈α	relies␈αλsolely␈αλon␈α	the␈αλoperations␈α	of␈αλ(i)␈α	subtraction,␈α	(ii)␈αλtesting␈αλwhether
␈βεu␈↓ ↓H␈εαa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
is␈α
ev␈α␈en␈αor␈α
odd,␈α
and␈α
(iii)␈αshifting␈α
the␈α
binary␈αrepresen␈α␈tation␈α
of␈α
an␈αev␈α␈en
␈βπ ␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈α(halving).
␈βπM␈↓ α␈εαThe␈αλbinary␈αλgcd␈αλalgorithm␈αλis␈απbased␈αλon␈αλfour␈αλsimple␈αλfacts␈αλabout␈αλpositiv␈α␈e␈απin␈α␈tegers
␈βπy␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓i␈εαand␈↓ α/␈ελv␈↓ αB␈εα:
␈βλ7␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελu␈↓ αR␈εαand␈↓ β_␈ελv␈↓ β6␈εαare␈αboth␈αev␈α␈en,␈αthen␈↓ ¬u␈εαgcd␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελu␈↓ εM␈εα,␈↓ ε]␈ελv␈↓ εp␈εα)␈α
=␈α
2␈↓ πL␈εαgcd␈↓ λα␈εα(␈↓ λ∞␈ελu␈↓ λ$␈εα/2,␈↓ λX␈ελv␈↓ λj␈εα/2).␈α[See␈αEq.␈α(8).]
␈βλe␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελu␈↓ αR␈εαis␈αev␈α␈en␈αand␈↓ ∧∂␈ελv␈↓ ∧-␈εαis␈αodd,␈αthen␈↓ ¬s␈εαgcd␈↓ ε)␈εα(␈↓ ε5␈ελu␈↓ εK␈εα,␈↓ ε[␈ελv␈↓ εn␈εα)␈α
=␈↓ π2␈εαgcd␈↓ πh␈εα(␈↓ πt␈ελu␈↓ λ
␈εα/2,␈↓ λ>␈ελv␈↓ λP␈εα).␈α[See␈αEq.␈α(6).]
␈β	∩␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαAs␈αin␈αEuclid's␈αalgorithm,␈↓ ¬ ␈εαgcd␈↓ ¬V␈εα(␈↓ ¬b␈ελu␈↓ ¬x␈εα,␈↓ ελ␈ελv␈↓ ε~␈εα)␈α
=␈↓ ε↑␈εαgcd␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελu␈↓ π>␈ε⊗␈␈↓ πj␈ελv␈↓ π⎇␈εα,␈↓ λ
␈ελv␈↓ λ ␈εα).␈α[See␈αEqs.␈α(13),␈α(2).]
␈β	@␈↓ ↓`␈εαd)␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελu␈↓ αR␈εαand␈↓ β_␈ελv␈↓ β6␈εαare␈αboth␈αodd,␈αthen␈↓ ¬h␈ελu␈↓ εε␈ε⊗␈␈↓ ε2␈ελv␈↓ εQ␈εαis␈αev␈α␈en,␈αand␈ε⊗␈αj␈↓ λ"␈ελu␈↓ λ@␈ε⊗␈␈↓ λl␈ελv␈↓ λ}␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ 	@␈εαmax␈↓ 
∧␈εα(␈↓ 
⊂␈ελu␈↓ 
&␈εα,␈↓ 
6␈ελv␈↓ 
I␈εα).
␈β	}␈↓ ↓H␈εαThese␈αfacts␈αimmediately␈αsuggest␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm:
␈β
N␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αB␈εα␈α(␈ε∂Binary␈αgcd␈αalgorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α↔Giv␈α␈en␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	.␈εαand␈↓ 	s␈ελv␈↓ 
ε␈εα,␈αthis␈αalgo-
␈β
z␈↓ ↓H␈εαrithm␈α|nds␈αtheir␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor.
␈β8␈↓ ↓L␈ε∩B1.␈↓ α␈εα[Find␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α_Set␈↓ ∧w␈ελk␈↓ ¬∪␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈αand␈αthen␈αrepeatedly␈αset␈↓ λf␈ελk␈↓ 	α␈ε⊗ ␈↓ 	0␈ελk␈↓ 	H␈εα+␈αλ1,␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
;␈ε⊗ ␈↓ 
i␈ελu␈↓ 
}␈εα/2,
␈βd␈↓ α␈ελv␈↓ α)␈ε⊗ ␈↓ αW␈ελv␈↓ αj␈εα/2␈αzero␈αor␈αmore␈αtimes␈αun␈α␈til␈↓ ε!␈ελu␈↓ εB␈εαand␈↓ πλ␈ελv␈↓ π'␈εαare␈αnot␈αboth␈αev␈α␈en.
␈β≥␈↓ ∀␈εk
␈β"␈↓ ↓L␈ε∩B2.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α≥(No␈α␈w␈α∞the␈α∞original␈α∞values␈α∞of␈↓ π⊂␈ελu␈↓ π4␈εαand␈↓ π|␈ελv␈↓ λ≥␈εαhav␈α␈e␈α∞been␈α∞divided␈α∞by␈↓ α␈εα2␈↓ "␈εα,
␈βN␈↓ α␈εαand␈αat␈αleast␈αone␈αof␈αtheir␈αpresen␈α␈t␈αvalues␈αis␈αodd.)␈αIf␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λ@␈εαis␈αodd,␈αset␈↓ 	k␈ελt␈↓ 
α␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ 
T␈ελv␈↓ 
r␈εαand
␈βy␈↓ α␈εαgo␈αto␈αB4.␈αOtherwise␈αset␈↓ ¬
␈ελt␈↓ ¬!␈ε⊗ ␈↓ ¬O␈ελu␈↓ ¬e␈εα.
␈β
8␈↓ ↓L␈ε∩B3.␈↓ α␈εα[Halv␈α␈e␈↓ α{␈ελt␈↓ βλ␈εα.]␈α→(At␈αthis␈αpoin␈α␈t,␈↓ ¬"␈ελt␈↓ ¬;␈εαis␈αev␈α␈en,␈αand␈αnonzero.)␈αSet␈↓ λ\␈ελt␈↓ λs␈ε⊗ ␈↓ 	!␈ελt␈↓ 	.␈εα/2.
␈β
v␈↓ ↓L␈ε∩B4.␈↓ α␈εα[Is␈↓ α<␈ελt␈↓ αU␈εαev␈α␈en?]␈α→If␈↓ βq␈ελt␈↓ ∧
␈εαis␈αev␈α␈en,␈αgo␈αback␈αto␈αB3.
␈β∞5␈↓ ↓L␈ε∩B5.␈↓ α␈εα[Reset␈↓ αx␈εαmax␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελu␈↓ β↑␈εα,␈↓ βn␈ελv␈↓ ∧␈εα).]␈α↔If␈↓ ∧Z␈ελt␈↓ ∧q␈εα>␈α
0,␈αset␈↓ ¬⎇␈ελu␈↓ ε≥␈ε⊗ ␈↓ εK␈ελt␈↓ εX␈εα;␈αotherwise␈αset␈↓ λC␈ελv␈↓ λ`␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ 	2␈ελt␈↓ 	?␈εα.␈α(The␈α
larger␈αof
␈β∞`␈↓ α␈ελu␈↓ α/␈εαand␈↓ αv␈ελv␈↓ β⊗␈εαhas␈α
been␈α
replaced␈α
by␈ε⊗␈α
j␈↓ ¬z␈ελt␈↓ επ␈ε⊗j␈εα,␈α∞ex␈α␈cept␈α
perhaps␈α
during␈α
the␈α
|rst␈α
time␈α
this
␈β∂␈↓ α␈εαstep␈αis␈αperformed.)
␈β∂J␈↓ ↓L␈ε∩B6.␈↓ α␈εα[Subtract.]␈α∃Set␈↓ ∧β␈ελt␈↓ ∧~␈ε⊗ ␈↓ ∧H␈ελu␈↓ ∧d␈ε⊗␈␈↓ ¬
␈ελv␈↓ ¬ ␈εα.␈αIf␈↓ ¬X␈ελt␈↓ ¬o␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αgo␈α
back␈α
to␈α
B3.␈αOtherwise␈α
the␈α
algorithm
␈β∂p␈↓ ∧R␈εk
␈β∂u␈↓ α␈εαterminates␈αwith␈↓ ∧⊂␈ελu␈↓ ∧.␈ε⊗↓␈↓ ∧@␈εα2␈↓ ∧l␈εαas␈αthe␈αoutput.
␈β∂z␈↓ εr␈∧∂zεr≠∂
␈β⊂F␈↓ α␈εαAs␈α
an␈α
example␈α
of␈α
Algorithm␈αB␈↓ ¬r␈εα,␈α
let␈α
us␈α
consider␈↓ πz␈ελu␈↓ λ≠␈εα=␈α40902,␈↓ 	<␈ελv␈↓ 	Z␈εα=␈α24140,␈α
the
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαsame␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αused␈α
to␈α
try␈α
out␈αEuclid's␈α
algorithm.␈α∞Step␈α
B1␈α
sets␈↓ 
D␈ελk␈↓ 
a␈ε⊗ ␈εα␈α1,
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓i␈ε⊗ ␈εα␈α20451,␈↓ β
␈ελv␈↓ β)␈ε⊗ ␈εα␈α12070.␈α∂Then␈↓ ¬+␈ελt␈↓ ¬E␈εαis␈α
set␈α
to␈ε⊗␈α
␈␈εα12070,␈α∞and␈α
replaced␈α
by␈ε⊗␈α
␈␈εα6035;␈↓ 
u␈ελv␈↓ ∀␈εαis
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα318␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βε	␈↓ β∞␈ε∪Fi␈α↓g␈α␈.␈α9␈α␈.␈εβ␈α~Bina␈α␈ry␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αfo␈α␈r␈αthe␈αg␈α␈reate␈α␈st␈αc␈α␈omm␈α␈on␈αd␈α␈ivisor.
␈βε}␈↓ ↓H␈εαreplaced␈αby␈α6035,␈αand␈αthe␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπK␈↓ β∧␈ελu␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ πM␈ελt
␈βλ↓␈↓ αb␈εα20451␈↓ ∧∧␈εα6035␈↓ ¬∀␈εα+14416,␈α+7208,␈α+3604,␈α+1802,␈α+901;
␈βλ-␈↓ βε␈εα901␈↓ ∧∧␈εα6035␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα5134,␈ε⊗␈α␈␈εα2567;
␈βλX␈↓ βε␈εα901␈↓ ∧∧␈εα2567␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα1666,␈ε⊗␈α␈␈εα833;
␈β	β␈↓ βε␈εα901␈↓ ∧⊗␈εα833␈↓ ¬∀␈εα+68,␈α+34,␈α+17;
␈β	.␈↓ β_␈εα17␈↓ ∧⊗␈εα833␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα816,␈ε⊗␈α␈␈εα408,␈ε⊗␈α␈␈εα204,␈ε⊗␈α␈␈εα102,␈ε⊗␈α␈␈εα51;
␈β	Y␈↓ β_␈εα17␈↓ ∧(␈εα51␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα34,␈ε⊗␈α␈␈εα17;
␈β
¬␈↓ β_␈εα17␈↓ ∧(␈εα17␈↓ ¬∀␈εα0.
␈β
W␈↓ ∧
␈ε¬1
␈β
\␈↓ ↓H␈εαThe␈α⊂answ␈α␈er␈α∂is␈α⊂17␈ε⊗␈α↓␈↓ β{␈εα2␈↓ ∧,␈εα=␈α⊃34.␈α↔A␈α⊂few␈α⊂more␈α⊂iterations␈α⊂w␈α␈ere␈α⊂necessary␈α⊂here␈α∂than
␈βπ␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αneeded␈αwith␈αAlgorithm␈αA␈↓ ¬␈εα,␈αbut␈αeach␈αiteration␈αwas␈αsomewhat␈αsimpler␈αsince␈αno
␈β3␈↓ ↓H␈εαdivision␈αsteps␈αw␈α␈ere␈αused.
␈β↑␈↓ α␈εαA␈ε∃␈α∂MIX␈εα␈α∂program␈α∂for␈α∂Algorithm␈α∂B␈α⊂requires␈α∂just␈α∂a␈α∂little␈α⊂more␈α∂code␈α∂than␈α∂for
␈β	␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
A␈↓ β∂␈εα.␈α⊂In␈α
order␈α∞to␈α
mak␈α␈e␈α∞such␈α
a␈α
program␈α∞fairly␈α
typical␈α
of␈α∞a␈α
binary␈α
com-
␈β4␈↓ ↓H␈εαputer's␈α∂represen␈α␈tation␈α∂of␈α⊂Algorithm␈α∂B␈↓ ε&␈εα,␈α⊃let␈α∂us␈α∂assume␈α⊂that␈ε∃␈α∂MIX␈εα␈α∂is␈α∂extended␈α∂to
␈β`␈↓ ↓H␈εαinclude␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αoperators:
␈β
#␈↓ ↓H␈ε⊗∂␈↓ ↓f␈ε∃S␈α␈LB␈↓ α0␈εα(shift␈αleft␈αAX␈αbinary).␈α→C␈↓ ¬I␈εα=␈α
6;␈α→F␈↓ εN␈εα=␈α
6.
␈β
N␈↓ ↓H␈εαThe␈α∂con␈α␈ten␈α␈ts␈α∂of␈α∞registers␈α∂A␈α∂and␈α∂X␈α∂are␈α∂\shifted␈α∂left"␈α∂M␈α∂binary␈α∂places;␈α⊂that␈α∂is,
␈β
t␈↓ ββ␈ε¬M␈↓ ∧Q␈ε¬1␈α↓0
␈β
z␈↓ ↓H␈ε⊗j␈↓ ↓R␈εαrAX␈↓ α∀␈ε⊗j␈α∩ ␈α∪j␈↓ αq␈εα2␈↓ β≥␈εαrAX␈↓ β←␈ε⊗j␈↓ βo␈εαmod␈↓ ∧9␈ελB␈↓ ∧n␈εα,␈α∪where␈↓ ¬x␈ελB␈↓ ε!␈εαis␈α∩the␈α⊃byte␈α⊃size.␈α≤(As␈α⊃with␈α∩all␈ε∃␈α⊃MI␈α␈X␈εα␈α⊃shift
␈β∞%␈↓ ↓H␈εαcommands,␈αthe␈αsigns␈αof␈αrA␈αand␈αrX␈αare␈αnot␈αa{ected.)
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε⊗∂␈↓ ↓f␈ε∃S␈α␈RB␈↓ α0␈εα(shift␈αrigh␈α␈t␈αAX␈αbinary).␈α→C␈↓ ¬`␈εα=␈α
6;␈α→F␈↓ εe␈εα=␈α
7.
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαThe␈α
con␈α␈ten␈α␈ts␈α
of␈α∞registers␈α
A␈α
and␈α∞X␈α
are␈α∞\shifted␈α
righ␈α␈t"␈α
M␈α∞binary␈α
places;␈α∞that␈α
is,
␈β∂:␈↓ β↑␈ε¬M
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε⊗j␈↓ ↓R␈εαrAX␈↓ α∀␈ε⊗j␈α
 ␈α
bj␈↓ αn␈εαrAX␈↓ β0␈ε⊗j␈εα/␈↓ βL␈εα2␈↓ βw␈ε⊗c␈εα.
␈β⊂α␈↓ ↓H␈ε⊗∂␈↓ ↓f␈ε∃J␈α␈AE␈↓ α$␈εα,␈↓ α:␈ε∃J␈α␈AO␈↓ β∧␈εα(jump␈αA␈αev␈α␈en,␈αjump␈αA␈αodd).␈α→C␈↓ π∧␈εα=␈α
40;␈α→F␈↓ λ≠␈εα=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β⊂-␈↓ ↓H␈εαA␈↓ ↓n␈ε∃J␈α␈MP␈↓ α8␈εαoccurs␈αif␈αrA␈αis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε⊗∂␈↓ ↓f␈ε∃J␈α␈XE␈↓ α$␈εα,␈↓ α:␈ε∃J␈α␈XO␈↓ β∧␈εα(jump␈αX␈αev␈α␈en,␈αjump␈αX␈αodd).␈α→C␈↓ π∧␈εα=␈α
47;␈α→F␈↓ λ≠␈εα=␈α
6,␈α7,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαAnalogous␈αto␈↓ β"␈ε∃J␈α␈AE␈↓ β`␈εα,␈↓ βv␈ε∃J␈α␈AO␈↓ ∧4␈εα.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα319
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Program␈α∞B␈εα␈α∂(␈ε∂Binary␈α∂gcd␈α∂algorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≡Assume␈α∂that␈↓ πq␈ελu␈↓ λ∃␈εαand␈↓ λ↑␈ελv␈↓ 	␈εαare␈α∞single-precision
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαpositiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈tegers,␈α∩stored␈α⊃respectiv␈α␈ely␈α⊃in␈α⊃locations␈↓ πk␈ε∃U␈↓ λ⊂␈εαand␈↓ λ[␈ε∃V␈↓ λp␈εα;␈α∪this␈α⊃program␈α⊂uses
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αB␈αto␈αput␈↓ ∧ε␈εαgcd␈↓ ∧<␈εα(␈↓ ∧H␈ελu␈↓ ∧]␈εα,␈↓ ∧m␈ελv␈↓ ¬␈εα)␈αin␈α␈to␈αrA.␈αRegister␈αassignmen␈α␈ts:␈↓ λ⎇␈ελt␈↓ 	∀␈ε⊗⊃␈↓ 	B␈εαrA␈↓ 	j␈εα,␈↓ 
␈ελk␈↓ 
≤␈ε⊗⊃␈↓ 
J␈εαrI␈↓ 
d␈εα1.
␈ββ5␈↓ αd␈ε∃ABS␈↓ βL␈ε∃E␈α␈QU␈↓ ∧H␈ε∃1:␈α␈5
␈ββ8␈↓ α"␈ε	0␈α␈1
␈ββ\␈↓ αd␈ε∃B1␈↓ βL␈ε∃E␈α␈NT1␈↓ ∧H␈ε∃0
␈ββ←␈↓ α"␈ε	0␈α␈2␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈ε⊂B1.␈αFi␈α↓n␈α␈d␈↓ λ:␈ε⊂p␈↓ λL␈ε⊂o␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2␈α␈.
␈ββy␈↓ π/␈∧βyπ/α↓␈↓ λA␈∧βyλAα↓~
␈β∧∧␈↓ βL␈ε∃L␈α␈DX␈↓ ∧H␈ε∃U
␈β∧π␈↓ α"␈ε	0␈α␈3␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈εβrX␈↓ π]␈ε↔ ␈↓ λλ␈ε	u␈↓ λ≤␈εβ.
␈β∧+␈↓ βL␈ε∃L␈α␈DAN␈↓ ∧H␈ε∃V
␈β∧.␈↓ α"␈ε	0␈α␈4␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈εβrA␈↓ π]␈ε↔ ␈α
␈␈↓ λ)␈ε	v␈↓ λ:␈εβ.
␈β∧S␈↓ βL␈ε∃J␈α␈MP␈↓ ∧H␈ε∃1F
␈β∧V␈↓ α"␈ε	0␈α␈5␈↓ ε5␈εβ1
␈β∧{␈↓ αd␈ε∃2H␈↓ βL␈ε∃S␈α␈RB␈↓ ∧H␈ε∃1
␈β∧}␈↓ α"␈ε	0␈α␈6␈↓ ε3␈ε	A␈↓ π/␈εβHalv␈α␈e␈α
rA,␈αrX.
␈β¬"␈↓ βL␈ε∃I␈α␈NC1␈↓ ∧H␈ε∃1
␈β¬%␈↓ α"␈ε	0␈α␈7␈↓ ε3␈ε	A␈↓ π/␈ε	k␈↓ πI␈ε↔ ␈↓ πs␈ε	k␈↓ λ␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈β¬J␈↓ βL␈ε∃S␈α␈TX␈↓ ∧H␈ε∃U
␈β¬M␈↓ α"␈ε	0␈α␈8␈↓ ε3␈ε	A␈↓ π/␈ε	u␈↓ πL␈ε↔ ␈↓ πw␈ε	u␈↓ λ␈εβ/␈α␈2.
␈β¬q␈↓ βL␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧H␈ε∃V(␈α␈ABS␈α␈)
␈β¬t␈↓ α"␈ε	0␈α␈9␈↓ ε3␈ε	A␈↓ π/␈ε	v␈↓ πJ␈ε↔ ␈↓ πt␈ε	v␈↓ λε␈εβ/␈α␈2.
␈βε→␈↓ αd␈ε∃1H␈↓ βL␈ε∃J␈α␈XO␈↓ ∧H␈ε∃B4
␈βε≤␈↓ α"␈ε	1␈α␈0␈↓ ε∩␈εβ1␈απ+␈↓ εS␈ε	A␈↓ π/␈εβTo␈αB4␈αwith␈↓ λa␈ε	t␈↓ λv␈ε↔ ␈α	␈␈↓ 	B␈ε	v␈↓ 	↑␈εβif␈↓ 	}␈ε	u␈↓ 
≥␈εβis␈αod␈α␈d.
␈βεA␈↓ αd␈ε∃B2␈↓ βL␈ε∃J␈α␈AE␈↓ ∧H␈ε∃2B
␈βεD␈↓ α"␈ε	1␈α␈1␈↓ ε∂␈ε	B␈↓ ε-␈εβ+␈↓ εV␈ε	A␈↓ π/␈ε⊂B2.␈αInitialize.
␈βε↑␈↓ π/␈∧ε↑π/α↓C
␈βεh␈↓ βL␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ∧H␈ε∃U
␈βεk␈↓ α"␈ε	1␈α␈2␈↓ ε2␈ε	B␈↓ π/␈ε	t␈↓ πD␈ε↔ ␈↓ πo␈ε	u␈↓ λβ␈εβ.
␈βπ⊂␈↓ αd␈ε∃B3␈↓ βL␈ε∃S␈α␈RB␈↓ ∧H␈ε∃1
␈βπ∪␈↓ α"␈ε	1␈α␈3␈↓ ε1␈ε	D␈↓ π/␈ε⊂B3.␈αHalv␈α␈e␈↓ λH␈ε	t␈↓ λT␈ε⊂.
␈βπ-␈↓ π/␈∧π-π/α↓.
␈βπ7␈↓ αd␈ε∃B4␈↓ βL␈ε∃J␈α␈AE␈↓ ∧H␈ε∃B3
␈βπ:␈↓ α"␈ε	1␈α␈4␈↓ ¬n␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε.␈ε	B␈↓ εL␈εβ+␈↓ εu␈ε	D␈↓ π/␈ε⊂B4.␈αIs␈↓ λ
␈ε	t␈↓ λ$␈ε⊂ev␈α␈en␈α␈?
␈βπT␈↓ π/␈∧πTπ/α↓D
␈βπ←␈↓ αd␈ε∃B5␈↓ βL␈ε∃J␈α␈AN␈↓ ∧H␈ε∃1F
␈βπb␈↓ α"␈ε	1␈α␈5␈↓ ε0␈ε	C␈↓ π/␈ε⊂B5.␈αReset␈↓ λF␈εβma␈α␈x␈↓ 	¬␈εβ(␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	$␈εβ,␈↓ 	3␈ε	v␈↓ 	D␈εβ)␈↓ 	O␈ε⊂.
␈βπ|␈↓ π/␈∧π|π/α↓Z␈↓ 	⊂␈∧π|	⊂α∃␈↓ 	)␈∧π|	)α≠␈↓ 	K␈∧π|	Kα
␈βλπ␈↓ βL␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧H␈ε∃U
␈βλ
␈↓ α"␈ε	1␈α␈6␈↓ ε2␈ε	E␈↓ π/␈εβIf␈↓ πP␈ε	t␈↓ πe␈εβ>␈α
0,␈αset␈↓ λi␈ε	u␈↓ 	ε␈ε↔ ␈↓ 	1␈ε	t␈↓ 	=␈εβ.
␈βλ.␈↓ βL␈ε∃S␈α␈UB␈↓ ∧H␈ε∃V
␈βλ1␈↓ α"␈ε	1␈α␈7␈↓ ε2␈ε	E␈↓ π/␈ε	t␈↓ πD␈ε↔ ␈↓ πo␈ε	u␈↓ λ
␈ε↔␈␈↓ λ3␈ε	v␈↓ λD␈εβ.
␈βλV␈↓ βL␈ε∃J␈α␈MP␈↓ ∧H␈ε∃2F
␈βλY␈↓ α"␈ε	1␈α␈8␈↓ ε2␈ε	E
␈βλ⎇␈↓ αd␈ε∃1H␈↓ βL␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧H␈ε∃V(␈α␈ABS␈α␈)
␈β	␈↓ α"␈ε	1␈α␈9␈↓ ε
␈ε	C␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εX␈ε	E␈↓ π/␈εβIf␈↓ πP␈ε	t␈↓ πe␈εβ<␈α
0,␈αset␈↓ λi␈ε	v␈↓ 	β␈ε↔ ␈α
␈␈↓ 	O␈ε	t␈↓ 	[␈εβ.
␈β	%␈↓ αd␈ε∃B6␈↓ βL␈ε∃A␈α␈DD␈↓ ∧H␈ε∃U
␈β	(␈↓ α"␈ε	2␈α␈0␈↓ ε
␈ε	C␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εX␈ε	E␈↓ π/␈ε⊂B6.␈αSu␈α␈btra␈α␈ct.
␈β	B␈↓ π/␈∧	Bπ/α↓C
␈β	M␈↓ αd␈ε∃2H␈↓ βL␈ε∃J␈α␈ANZ␈↓ ∧H␈ε∃B3
␈β	P␈↓ α"␈ε	2␈α␈1␈↓ ε0␈ε	C␈↓ π/␈εβTo␈αB3␈αif␈↓ λ4␈ε	t␈↓ λI␈ε↔≤␈εβ␈α
0.
␈β	t␈↓ βL␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ∧H␈ε∃U
␈β	w␈↓ α"␈ε	2␈α␈2␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈εβrA␈↓ π]␈ε↔ ␈↓ λλ␈ε	u␈↓ λ≤␈εβ.
␈β
≤␈↓ βL␈ε∃E␈α␈NTX␈↓ ∧H␈ε∃0
␈β
∨␈↓ α"␈ε	2␈α␈3␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈εβrX␈↓ π]␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
B␈↓ λ_␈εk
␈β
C␈↓ βL␈ε∃S␈α␈LB␈↓ ∧H␈ε∃0,␈α␈1
␈β
F␈↓ α"␈ε	2␈α␈4␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π/␈εβrA␈↓ π]␈ε↔ ␈↓ λλ␈εβ2␈↓ λ-␈ε↔↓␈↓ λ>␈εβrA␈↓ λc␈εβ.
␈β
H␈↓ 	⊃␈∧
H	⊃≠∂
␈β
␈␈↓ α␈εαThe␈αrunning␈αtime␈αof␈αthis␈αprogram␈αis
␈βI␈↓ ∧A␈εα9␈↓ ∧S␈ελA␈↓ ∧s␈εα+␈αλ2␈↓ ¬1␈ελB␈↓ ¬Q␈εα+␈αλ6␈↓ ε∂␈ελC␈↓ ε5␈εα+␈αλ3␈↓ εs␈ελD␈↓ π⊗␈εα+␈↓ πB␈ελE␈↓ πc␈εα+␈αλ13
␈β∀␈↓ ↓H␈εαunits,␈α∂where␈↓ β~␈ελA␈↓ βA␈εα=␈↓ βt␈ελk␈↓ ∧ε␈εα,␈↓ ∧∨␈ελB␈↓ ∧F␈εα=␈α∂1␈α∂if␈↓ ¬?␈ελt␈↓ ¬[␈ε⊗ ␈↓ ε∞␈ελu␈↓ ε2␈εαin␈α∂step␈α∂B2␈α∂(otherwise␈↓ 	⊗␈ελB␈↓ 	=␈εα=␈α∂0),␈↓ 
'␈ελC␈↓ 
T␈εαis␈α∞the
␈β?␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞subtraction␈α∞steps,␈↓ ¬≥␈ελD␈↓ ¬F␈εαis␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞halvings␈α
in␈α∞step␈α∞B3,␈α∞and␈↓ 
m␈ελE␈↓ ∀␈εαis
␈βj␈↓ ↓H␈εαthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α
times␈↓ ∧	␈ελt␈↓ ∧ ␈εα>␈α
0␈α
in␈α
step␈α
B5.␈αCalculations␈α
discussed␈α
later␈α
in␈α
this␈α	section
␈β
∩␈↓ ¬2␈ε¬1␈↓ ε7␈ε¬1
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαimply␈α
that␈α∞w␈α␈e␈α∞may␈α∞tak␈α␈e␈↓ ∧Y␈ελA␈↓ ∧}␈εα=␈↓ ¬E␈εα,␈↓ ¬]␈ελB␈↓ εα␈εα=␈↓ εJ␈εα,␈↓ εb␈ελC␈↓ π␈εα=␈α
0.71␈↓ π⎇␈ελn␈↓ λ≤␈ε⊗␈␈εα␈α	0.5,␈↓ 	∂␈ελD␈↓ 	7␈εα=␈α
1.41␈↓ 
(␈ελn␈↓ 
G␈ε⊗␈␈εα␈α	2.7,
␈β
&␈↓ ¬2␈∧
&¬2α∂␈↓ ε7␈∧
&ε7α∂
␈β
(␈↓ ¬2␈ε¬3␈↓ ε7␈ε¬3
␈β
A␈↓ ↓H␈ελE␈↓ ↓k␈εα=␈α
0.35␈↓ αY␈ελn␈↓ αt␈ε⊗␈␈εα␈αε0.4␈αas␈α
av␈α␈erage␈αvalues␈α
for␈α
these␈αquan␈α␈tities,␈αassuming␈α
random␈α
inputs
␈β
g␈↓ ¬o␈εn
␈β
l␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓j␈εαand␈↓ α1␈ελv␈↓ αQ␈εαin␈αthe␈α
range␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ ∧j␈ελu␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬⊂␈ελv␈↓ ¬.␈εα<␈↓ ¬]␈εα2␈↓ ε↓␈εα.␈α∞The␈α
total␈α
running␈α
time␈α
is␈α
therefore␈αabout
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εα8.8␈↓ ↓v␈ελn␈↓ α∃␈εα+␈α	5␈α∞cy␈α␈cles,␈α∂compared␈α∞to␈α∂about␈α∞11.1␈↓ εS␈ελn␈↓ εr␈εα+␈α	7␈α∞for␈α∂Program␈α∞A␈α∞under␈α∞the␈α∞same
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαassumptions.␈α⊂The␈α
w␈α␈orst␈α
possible␈α
running␈α∞time␈α
for␈↓ πj␈ελu␈↓ λ
␈εαand␈↓ λT␈ελv␈↓ λu␈εαin␈α
this␈α
range␈α
occurs
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α(␈ελA␈↓ αN␈εα=␈α
0,␈↓ β*␈ελB␈↓ βP␈εα=␈α∞0,␈↓ ∧-␈ελC␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬∨␈εα,␈↓ ¬8␈ελD␈↓ ¬a␈εα=␈α
2␈↓ ε$␈ελn␈↓ εD␈ε⊗␈␈εα␈α	2,␈↓ π≤␈ελE␈↓ πC␈εα=␈α∞1;␈α∂this␈α∞amoun␈α␈ts␈α∂to␈α∞12␈↓ 
N␈ελn␈↓ 
m␈εα+␈α	8
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαcy␈α␈cles.␈α(The␈αcorresponding␈αvalue␈αfor␈αProgram␈αA␈αis␈α26.8␈↓ λ)␈ελn␈↓ λF␈εα+␈αλ19.)
␈β∂D␈↓ α␈εαTh␈α␈us␈αthe␈αgreater␈αspeed␈αof␈α
the␈αiterations␈αin␈αProgram␈αB,␈αdue␈αto␈αthe␈α
simplicity
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α
operations,␈αcompensates␈α
for␈α
the␈αgreater␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αiterations␈α
required.␈αWe
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α∞found␈α∞that␈α∞the␈α∂binary␈α∞algorithm␈α∞is␈α∞about␈α∂20␈α∞percen␈α␈t␈α∞faster␈α∞than␈α∞Euclid's
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈απon␈αλthe␈ε∃␈απMIX␈εα␈απcomputer.␈α
Of␈αλcourse,␈αλthe␈αλsituation␈απmay␈αλbe␈απdi{eren␈α␈t␈αλon␈απother
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαcomputers,␈α	and␈αλin␈α	an␈α␈y␈αλev␈α␈en␈α␈t␈α	both␈α	programs␈αλare␈α	quite␈αλe}cien␈α␈t;␈α
but␈αλit␈α	appears␈αλthat
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαnot␈αev␈α␈en␈αa␈αprocedure␈αas␈αv␈α␈enerable␈αas␈αEuclid's␈α
algorithm␈αcan␈αwithstand␈αprogress.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα320␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα&␈↓ α␈εαV.␈α
C.␈αHarris␈α
[␈ε∂Fibonacci␈α
Quarterly␈ε∩␈α
8␈εα␈α(1970),␈α
102↑103]␈αhas␈α
suggested␈α
an␈α
in␈α␈ter-
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαesting␈α
cross␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αEuclid's␈αalgorithm␈α
and␈αthe␈αbinary␈α
algorithm.␈αIf␈↓ 	z␈ελu␈↓ 
~␈εαand␈↓ 
←␈ελv␈↓ 
|␈εαare
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαodd,␈αwith␈↓ αj␈ελu␈↓ β␈ε⊗∃␈↓ β9␈ελv␈↓ βW␈εα>␈α
0,␈α
w␈α␈e␈αcan␈αalways␈α
write␈↓ εx␈ελu␈↓ π_␈εα=␈↓ πG␈ελq␈↓ πW␈ελv␈↓ πr␈ε⊗ε␈↓ λ≡␈ελr␈↓ λ;␈εαwhere␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ 	n␈ελr␈↓ 
	␈εα<␈↓ 
7␈ελv␈↓ 
V␈εαand␈↓ ≥␈ελr
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαis␈αev␈α␈en;␈αif␈↓ αh␈ελr␈↓ βα␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αw␈α␈e␈αset␈↓ ∧9␈ελr␈↓ ∧S␈ε⊗ ␈↓ ¬↓␈ελr␈↓ ¬⊂␈εα/2␈αun␈α␈til␈↓ ε∀␈ελr␈↓ ε/␈εαis␈αodd,␈αthen␈αset␈↓ λ*␈ελu␈↓ λI␈ε⊗ ␈↓ λw␈ελv␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	∨␈ελv␈↓ 	<␈ε⊗ ␈↓ 	j␈ελr␈↓ 
¬␈εαand␈αrepeat
␈ββS␈↓ ↓H␈εαthe␈αprocess.␈αIn␈αsubsequen␈α␈t␈αiterations,␈↓ ε→␈ελq␈↓ ε3␈ε⊗∃␈εα␈α
3.
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε∩Extensions.␈εα␈α→We␈α
can␈αextend␈αthe␈αmethods␈α
used␈αto␈αcalculate␈↓ λq␈εαgcd␈↓ 	'␈εα(␈↓ 	3␈ελu␈↓ 	I␈εα,␈↓ 	Y␈ελv␈↓ 	l␈εα)␈αin␈αorder␈αto
␈β∧F␈↓ ↓H␈εαsolv␈α␈e␈αsome␈α
sligh␈α␈tly␈α
more␈αdi}cult␈α
problems.␈α∞For␈α
example,␈αassume␈α
that␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t
␈β∧q␈↓ ↓H␈εαto␈αcompute␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αof␈↓ ε|␈ελn␈↓ π≥␈εαin␈α␈tegers␈↓ λ"␈ελu␈↓ λE␈εα,␈↓ λ[␈ελu␈↓ λ}␈εα,␈↓ 	∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	D␈εα,␈↓ 	Z␈ελu␈↓ 
↓␈εα.
␈β∧␈␈↓ λ7␈ε¬1␈↓ λp␈ε¬2␈↓ 	o␈εn
␈β¬≥␈↓ α␈εαOne␈αway␈αto␈αcalculate␈↓ ∧f␈εαgcd␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελu␈↓ ¬K␈εα,␈↓ ¬[␈ελu␈↓ ¬}␈εα,␈↓ ε∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε>␈εα,␈↓ εN␈ελu␈↓ εu␈εα),␈αassuming␈αthat␈αthe␈↓ 	?␈ελu␈↓ 	T␈εα's␈αare␈αall␈αnon-
␈β¬+␈↓ ¬=␈ε¬1␈↓ ¬p␈ε¬2␈↓ εc␈εn
␈β¬I␈↓ ↓H␈εαnegativ␈α␈e,␈αis␈αto␈αextend␈αEuclid's␈αalgorithm␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αway:␈αIf␈αall␈↓ 	z␈ελu␈↓ 
'␈εαare␈αzero,
␈β¬V␈↓ 
∞␈εj
␈β¬t␈↓ ↓H␈εαthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αis␈αtak␈α␈en␈αto␈αbe␈αzero;␈αotherwise␈αif␈αonly␈αone␈↓ 
⊗␈ελu␈↓ 
C␈εαis␈αnon-
␈βε↓␈↓ 
+␈εj
␈βε∨␈↓ ↓H␈εαzero,␈αit␈αis␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor;␈αotherwise␈αreplace␈↓ λN␈ελu␈↓ λ|␈εαby␈↓ 	/␈ελu␈↓ 	X␈εαmod␈↓ 
"␈ελu␈↓ 
O␈εαfor␈αall
␈βε,␈↓ λc␈εk␈↓ 	D␈εk␈↓ 
7␈εj
␈βεJ␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈ε⊗≤␈↓ α⊃␈ελj␈↓ α"␈εα,␈αwhere␈↓ β ␈ελu␈↓ βN␈εαis␈αthe␈αminim␈α␈um␈αof␈αthe␈αnonzero␈↓ π?␈ελu␈↓ πT␈εα's.
␈βεX␈↓ β4␈εj
␈βεv␈↓ α␈εαThe␈αalgorithm␈αsk␈α␈etched␈αin␈α
the␈αpreceding␈αparagraph␈αis␈αa␈αnatural␈αgeneraliza-
␈βπ"␈↓ ↓H␈εαtion␈αof␈αEuclid's␈αmethod,␈αand␈αit␈αcan␈αbe␈αjusti|ed␈αin␈αa␈αsimilar␈αmanner.␈αBut␈αthere␈αis
␈βπM␈↓ ↓H␈εαa␈αsimpler␈αmethod␈αavailable,␈αbased␈αon␈αthe␈αeasily␈αv␈α␈eri|ed␈αiden␈α␈tity
␈βλε␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ 	ε␈ε↓↓
␈βλ&␈↓ βV␈εαgcd␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧_␈ελu␈↓ ∧;␈εα,␈↓ ∧K␈ελu␈↓ ∧n␈εα,␈↓ ∧}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬.␈εα,␈↓ ¬>␈ελu␈↓ ¬d␈εα)␈α
=␈↓ ε(␈εαgcd␈↓ εl␈ελu␈↓ π∂␈εα,␈↓ π∨␈εαgcd␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελu␈↓ λ∧␈εα,␈↓ λ∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λD␈εα,␈↓ λT␈ελu␈↓ λz␈εα)␈↓ 	∀␈εα.␈↓ 
p␈εα(14)
␈βλ3␈↓ ∧,␈ε¬1␈↓ ∧←␈ε¬2␈↓ ¬R␈εn␈↓ π↓␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬2␈↓ λi␈εn
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εαTo␈αcalculate␈↓ β⊗␈εαgcd␈↓ βL␈εα(␈↓ βX␈ελu␈↓ β{␈εα,␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧.␈εα,␈↓ ∧>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧n␈εα,␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬$␈εα),␈αw␈α␈e␈αmay␈αtherefore␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β	
␈↓ βl␈ε¬1␈↓ ∧∨␈ε¬2␈↓ ¬∩␈εn
␈β	9␈↓ ↓H␈ε∩D1.␈↓ α␈εαSet␈↓ αJ␈ελd␈↓ αh␈ε⊗ ␈↓ β⊗␈ελu␈↓ β=␈εα,␈↓ βS␈ελj␈↓ βm␈ε⊗ ␈↓ ∧≠␈ελn␈↓ ∧9␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.
␈β	G␈↓ β+␈εn
␈β	s␈↓ ↓H␈ε∩D2.␈↓ α␈εαIf␈↓ α0␈ελd␈↓ αN␈ε⊗≤␈εα␈α1␈αand␈↓ βa␈ελj␈↓ β{␈εα>␈α0,␈αset␈↓ ¬
␈ελd␈↓ ¬(␈ε⊗ ␈↓ ¬W␈εαgcd␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈ελd␈↓ ε↑␈εα)␈α
and␈↓ π=␈ελj␈↓ πW␈ε⊗ ␈↓ λ¬␈ελj␈↓ λ≡␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αand␈αrepeat␈αthis␈αstep.
␈β
↓␈↓ ε-␈εj
␈β
∨␈↓ α␈εαOtherwise␈↓ β6␈ελd␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈εαgcd␈↓ ∧8␈εα(␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧g␈εα,␈↓ ∧w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εα,␈↓ ¬7␈ελu␈↓ ¬↑␈εα).
␈β
,␈↓ ∧Y␈ε¬1␈↓ ¬L␈εn
␈β
X␈↓ ↓H␈εαThis␈α
method␈α
reduces␈α
the␈α
calculation␈α
of␈↓ ε@␈εαgcd␈↓ εv␈εα(␈↓ πα␈ελu␈↓ π%␈εα,␈↓ π5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πe␈εα,␈↓ πu␈ελu␈↓ λ≠␈εα)␈α
to␈α
repeated␈α
calculations
␈β
f␈↓ π⊗␈ε¬1␈↓ λ	␈εn
␈β∧␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α∞greatest␈α∞common␈α∞divisor␈α
of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞at␈α
a␈α∞time.␈α⊃It␈α∞mak␈α␈es␈α∞use␈α∞of␈α
the
␈β/␈↓ ↓H␈εαfact␈α∞that␈↓ αb␈εαgcd␈↓ β_␈εα(␈↓ β$␈ελu␈↓ βG␈εα,␈↓ βW␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧π␈εα,␈↓ ∧↔␈ελu␈↓ ∧9␈εα,␈αε1)␈α∞=␈α∞1;␈α∂and␈α∂this␈α∞will␈α∞be␈α∂helpful,␈α∞since␈α∂w␈α␈e␈α∞will␈α∞already
␈β<␈↓ β9␈ε¬1␈↓ ∧,␈εj
␈βZ␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈↓ α≠␈εαgcd␈↓ αQ␈εα(␈↓ α]␈ελu␈↓ β.␈εα,␈↓ β>␈ελu␈↓ βe␈εα)␈α
=␈α
1␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
60␈α
percen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
time␈α
if␈↓ λ⊂␈ελu␈↓ λl␈εαand␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	`␈εαare␈α
chosen␈α
at
␈βg␈↓ αq␈εn␈↓ ββ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βS␈εn␈↓ λ%␈εn␈↓ λ7␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	D␈εn
␈β¬␈↓ ↓H␈εαrandom.␈α
In␈α
most␈αcases,␈α
the␈α
value␈αof␈↓ ε␈ελd␈↓ ε+␈εαwill␈α
decrease␈αrapidly␈α
during␈αthe␈α
|rst␈αfew
␈β0␈↓ ↓H␈εαstages␈α
of␈α
the␈α
calculation,␈α
and␈α∞this␈α
will␈α
mak␈α␈e␈α
the␈α
remainder␈α
of␈α
the␈α
computation
␈β\␈↓ ↓H␈εαquite␈αλfast.␈αHere␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈α	has␈αλan␈α	advan␈α␈tage␈αλo␈α␈v␈α␈er␈α	Algorithm␈αλB␈↓ 
α␈εα,␈α	in␈α	that␈αλits
␈β
π␈↓ ↓H␈εαrunning␈αtime␈αis␈αprimarily␈αgo␈α␈v␈α␈erned␈αby␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ πt␈εαmin␈↓ λ0␈εα(␈↓ λ<␈ελu␈↓ λR␈εα,␈↓ λb␈ελv␈↓ λu␈εα),␈αwhile␈αthe␈αrunning
␈β
2␈↓ ↓H␈εαtime␈α
for␈αAlgorithm␈αB␈αis␈α
primarily␈αgo␈α␈v␈α␈erned␈αby␈↓ π&␈εαmax␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελu␈↓ λ␈εα,␈↓ λ≠␈ελv␈↓ λ.␈εα);␈αit␈αw␈α␈ould␈αbe␈α
reasonable
␈β
]␈↓ ↓H␈εαto␈α∂perform␈α∂one␈α⊂iteration␈α∂of␈α⊂Euclid's␈α∂algorithm,␈α⊂replacing␈↓ λf␈ελu␈↓ 	␈εαby␈↓ 	B␈ελu␈↓ 	↑␈εαmod␈↓ 
(␈ελv␈↓ 
J␈εαif␈↓ 
o␈ελu␈↓ ∀␈εαis
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈αlarger␈αthan␈↓ βc␈ελv␈↓ βu␈εα,␈αand␈αthen␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αwith␈αAlgorithm␈αB.
␈β∞5␈↓ α␈εαThe␈α	assertion␈α
that␈↓ ∧2␈εαgcd␈↓ ∧h␈εα(␈↓ ∧t␈ελu␈↓ ¬F␈εα,␈↓ ¬V␈ελu␈↓ ¬⎇␈εα)␈α	will␈α	be␈α
equal␈α	to␈α
unity␈α	more␈α
than␈α	60␈α	percen␈α␈t
␈β∞B␈↓ ¬	␈εn␈↓ ¬≠␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬k␈εn
␈β∞`␈↓ ↓H␈εαof␈α	the␈α
time␈α	for␈α
random␈α	inputs␈α
is␈α	a␈α
consequence␈α	of␈α
the␈α	follo␈α␈wing␈α
w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α	result
␈β∂␈↓ ↓H␈εαof␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αtheory:
␈β∂S␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αλD␈εα␈απ(G.␈αλLejeune␈αλDirichlet,␈ε∂␈α	Abh.␈αλK␈↓ εJ␈ε∂∪␈↓ εJ␈ε∂o␈↓ ε\␈ε∂niglich␈αλPreuss.␈αλAkad.␈αλWiss.␈εα␈αλ(1849),␈αλ69↑
␈β∂}␈↓ ↓H␈εα83)␈ε∩.␈ε∂␈α∀If␈↓ α8␈ελu␈↓ αW␈ε∂and␈↓ β≠␈ελv␈↓ β8␈ε∂are␈α
in␈α␈tegers␈α	chosen␈α
at␈α
random,␈α
the␈α
probability␈α
that␈↓ 	\␈εαgcd␈↓ 
∩␈εα(␈↓ 
≡␈ελu␈↓ 
4␈εα,␈↓ 
D␈ελv␈↓ 
V␈εα)␈α
=␈α
1
␈β⊂$␈↓ α$␈ε¬2
␈β⊂)␈↓ ↓H␈ε∂is␈εα␈α6/␈↓ α⊂␈ελ→␈↓ α<␈ε⊗→␈εα␈α
.60793␈ε∂.
␈β⊂q␈↓ α␈εαA␈α
precise␈α
form␈α␈ulation␈α
of␈α
this␈α
theorem,␈α
which␈α
carefully␈α
de|nes␈α
what␈α
is␈α
mean␈α␈t
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαby␈αbeing␈α\chosen␈αat␈α
random,"␈αappears␈αin␈αex␈α␈ercise␈α
10␈αwith␈αa␈αrigorous␈α
proof.␈αLet
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα321
␈βα(␈↓ ↓H␈εαus␈α
con␈α␈ten␈α␈t␈α
ourselv␈α␈es␈αhere␈α
with␈αa␈α
heuristic␈α
argumen␈α␈t␈αthat␈α
sho␈α␈ws␈αwh␈α␈y␈α
the␈α
theorem
␈βαS␈↓ ↓H␈εαis␈αplausible.
␈βα}␈↓ α␈εαIf␈αλw␈α␈e␈αλassume,␈α	without␈α	proof,␈α	the␈αλexistence␈αλof␈αλa␈αλw␈α␈ell-de|ned␈α	probability␈↓ 
P␈ελp␈↓ 
j␈εαthat
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελu␈↓ α∨␈εα,␈↓ α/␈ελv␈↓ αB␈εα)␈αequals␈α
unity,␈αthen␈αw␈α␈e␈αcan␈α
determine␈αthe␈αprobability␈α
that␈↓ 	Z␈εαgcd␈↓ 
⊂␈εα(␈↓ 
≤␈ελu␈↓ 
2␈εα,␈↓ 
B␈ελv␈↓ 
T␈εα)␈α
=␈↓ _␈ελd
␈ββU␈↓ ↓H␈εαfor␈αan␈α␈y␈α
positiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈↓ ∧<␈ελd␈↓ ∧P␈εα;␈αfor␈αthe␈αlatter␈α
ev␈α␈en␈α␈t␈αwill␈αhappen␈αonly␈αwhen␈↓ 
¬␈ελu␈↓ 
&␈εαis␈αa␈α
m␈α␈ul-
␈β∧␈↓ ↓H␈εαtiple␈αof␈↓ αB␈ελd␈↓ αV␈εα,␈αand␈↓ β1␈ελv␈↓ βO␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬E␈ελd␈↓ ¬Z␈εα,␈αand␈↓ ε4␈εαgcd␈↓ εj␈εα(␈↓ εv␈ελu␈↓ π␈εα/␈↓ π≡␈ελd␈↓ π2␈εα,␈↓ πB␈ελv␈↓ πU␈εα/␈↓ πg␈ελd␈↓ π{␈εα)␈α
=␈α
1.␈αTh␈α␈us␈αthe␈αprobability
␈β∧&␈↓ 	Y␈ε¬2
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈εαgcd␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελu␈↓ αn␈εα,␈↓ α}␈ελv␈↓ β⊃␈εα)␈α=␈↓ βY␈ελd␈↓ βz␈εαis␈α
equal␈α
to␈α
1/␈↓ ¬O␈ελd␈↓ ¬q␈εαtimes␈α
1/␈↓ εv␈ελd␈↓ π↔␈εαtimes␈↓ πx␈ελp␈↓ λ␈εα,␈α
namely␈↓ 	!␈ελp␈↓ 	3␈εα/␈↓ 	E␈ελd␈↓ 	h␈εα.␈α∂No␈α␈w␈α
let␈α
us
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαsum␈αthese␈αprobabilities␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈αpossible␈αvalues␈αof␈↓ π\␈ελd␈↓ πp␈εα;␈αw␈α␈e␈αshould␈αget
␈β∧{␈↓ ∧/␈ε↓X
␈β¬π␈↓ εT␈εα1␈↓ π"␈εα1␈↓ πy␈εα1
␈β¬_␈↓ ¬&␈ε¬2
␈β¬≡␈↓ βb␈εα1␈α
=␈↓ ∧m␈ελp␈↓ ∧␈␈εα/␈↓ ¬⊃␈ελd␈↓ ¬>␈εα=␈↓ ¬l␈ελp␈↓ ¬}␈εα(1␈αλ+␈↓ εr␈εα+␈↓ π@␈εα+␈↓ λ ␈εα+␈↓ λL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ|␈εα).
␈β¬.␈↓ εT␈∧¬.εTα∩␈↓ π"␈∧¬.π"α∩␈↓ πp␈∧¬.πpα$
␈β¬6␈↓ εT␈εα4␈↓ π"␈εα9␈↓ πp␈εα16
␈β¬O␈↓ ∧,␈εd␈↓ ∧<␈ε→∃␈ε¬1
␈β¬t␈↓ ε≡␈ε¬(␈α␈2␈α↓)␈↓ λ∃␈ε¬2
␈β¬v␈↓ ∧α␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬1
␈β¬y␈↓ ↓H␈εαSince␈α∞the␈α
sum␈α∞1␈α
+␈↓ ∧≡␈εα+␈↓ ∧j␈εα+␈↓ ¬_␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬O␈εα=␈↓ ε␈ελH␈↓ εM␈εαis␈α∞equal␈α∞to␈↓ λ↓␈ελ→␈↓ λ#␈εα/6␈α∞(cf.␈α∞Section␈α∞1.2.7),␈α∞w␈α␈e
␈βε
␈↓ ∧α␈∧ε
∧αα∂␈↓ ∧O␈∧ε
∧Oα∂
␈βε␈↓ ε→␈ε→1
␈βε␈↓ ∧α␈ε¬4␈↓ ∧O␈ε¬9
␈βε ␈↓ β≡␈ε¬2
␈βε%␈↓ ↓H␈εαneed␈↓ α≤␈ελp␈↓ α8␈εα=␈α
6/␈↓ β
␈ελ→␈↓ β8␈εαin␈αorder␈αto␈αmak␈α␈e␈αthis␈αequation␈αcome␈αout␈αrigh␈α␈t.
␈βε*␈↓ 	<␈∧ε*	<≠∂
␈βεX␈↓ α␈εαEuclid's␈αalgorithm␈αcan␈αbe␈α
extended␈αin␈αanother␈αimportan␈α␈t␈αway:␈αWe␈αcan␈αcal-
␈βε}␈↓ βL␈ε→0␈↓ ∧8␈ε→0
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαculate␈αin␈α␈tegers␈↓ β7␈ελu␈↓ β`␈εαand␈↓ ∧&␈ελv␈↓ ∧K␈εαsuch␈αthat
␈βπ5␈↓ ¬<␈ε→0␈↓ ε≥␈ε→0
␈βπ;␈↓ ¬⊃␈ελu␈↓ ¬'␈ελu␈↓ ¬L␈εα+␈↓ ¬x␈ελv␈↓ ε
␈ελv␈↓ ε.␈εα=␈↓ ε\␈εαgcd␈↓ π∩␈εα(␈↓ π≡␈ελu␈↓ π4␈εα,␈↓ πD␈ελv␈↓ πW␈εα)␈↓ 
p␈εα(15)
␈βπs␈↓ ↓H␈εαat␈απthe␈απsame␈απtime␈↓ βJ␈εαgcd␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧"␈εα,␈↓ ∧2␈ελv␈↓ ∧D␈εα)␈αλis␈απbeing␈απcalculated.␈α
This␈απextension␈απof␈απEuclid's␈απalgorithm
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αdescribed␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈tly␈αin␈αv␈α␈ector␈αnotation:
␈βλR␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αX␈εα␈α(␈ε∂Extended␈α
Euclid's␈αalgorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α~Giv␈α␈en␈αnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers␈↓ 
P␈ελu␈↓ 
r␈εαand
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα,␈α∞this␈α∞algorithm␈α∞determines␈α
a␈α∞v␈α␈ector␈α
(␈↓ ε1␈ελu␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελu␈↓ ππ␈εα,␈↓ π↔␈ελu␈↓ π:␈εα)␈α∞such␈α
that␈↓ λw␈ελu␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	9␈εα+␈↓ 	f␈ελv␈↓ 	y␈ελu␈↓ 
(␈εα=␈↓ 
Y␈ελu␈↓ λ␈εα=
␈β	␈↓ εF␈ε¬1␈↓ εy␈ε¬2␈↓ π,␈ε¬3␈↓ 	!␈ε¬1␈↓ 

␈ε¬2␈↓ 
m␈ε¬3
␈β	(␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελu␈↓ α∨␈εα,␈↓ α/␈ελv␈↓ αB␈εα).␈α⊂The␈α
computation␈α
mak␈α␈es␈α∞use␈α
of␈α
auxiliary␈α
v␈α␈ectors␈α∞(␈↓ 	↓␈ελv␈↓ 	∨␈εα,␈↓ 	/␈ελv␈↓ 	M␈εα,␈↓ 	]␈ελv␈↓ 	{␈εα),␈α∞(␈↓ 
+␈ελt␈↓ 
D␈εα,␈↓ 
T␈ελt␈↓ 
m␈εα,␈↓ 
⎇␈ελt␈↓ ⊗␈εα);
␈β	6␈↓ 	⊃␈ε¬1␈↓ 	?␈ε¬2␈↓ 	m␈ε¬3␈↓ 
6␈ε¬1␈↓ 
←␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬3
␈β	T␈↓ ↓H␈εαall␈αv␈α␈ectors␈αare␈αmanipulated␈αin␈αsuch␈αa␈αway␈αthat␈αthe␈αrelations
␈β
␈↓ α|␈ελu␈↓ β∩␈ελt␈↓ β3␈εα+␈↓ β←␈ελv␈↓ βq␈ελt␈↓ ∧∃␈εα=␈↓ ∧C␈ελt␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ¬4␈ελu␈↓ ¬J␈ελu␈↓ ¬t␈εα+␈↓ ε ␈ελv␈↓ ε3␈ελu␈↓ ε`␈εα=␈↓ π∞␈ελu␈↓ π1␈εα,␈↓ λ	␈ελu␈↓ λ∨␈ελv␈↓ λE␈εα+␈↓ λq␈ελv␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	,␈εα=␈↓ 	Z␈ελv␈↓ 
p␈εα(16)
␈β
→␈↓ β≤␈ε¬1␈↓ β|␈ε¬2␈↓ ∧M␈ε¬3␈↓ ¬↑␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬3␈↓ λ/␈ε¬1␈↓ 	∀␈ε¬2␈↓ 	j␈ε¬3
␈β
D␈↓ ↓H␈εαhold␈αthroughout␈αthe␈αcalculation.
␈β
s␈↓ ↓J␈ε∩X1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α→Set␈α(␈↓ ∧∃␈ελu␈↓ ∧8␈εα,␈↓ ∧H␈ελu␈↓ ∧k␈εα,␈↓ ∧{␈ελu␈↓ ¬≡␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(1,␈αε0,␈↓ ε2␈ελu␈↓ εH␈εα),␈α(␈↓ εv␈ελv␈↓ π∀␈εα,␈↓ π$␈ελv␈↓ πB␈εα,␈↓ πR␈ελv␈↓ πp␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(0,␈αε1,␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	↔␈εα).
␈β␈↓ ∧*␈ε¬1␈↓ ∧]␈ε¬2␈↓ ¬⊂␈ε¬3␈↓ πε␈ε¬1␈↓ π4␈ε¬2␈↓ πb␈ε¬3
␈β"␈↓ ↓J␈ε∩X2.␈↓ α␈εα[Is␈↓ α<␈ελv␈↓ αd␈εα=␈α
0?]␈α→If␈↓ βy␈ελv␈↓ ∧"␈εα=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.
␈β0␈↓ αL␈ε¬3␈↓ ∧	␈ε¬3
␈βR␈↓ ↓J␈ε∩X3.␈↓ α␈εα[Divide,␈αsubtract.]␈α→Set␈↓ ¬↓␈ελq␈↓ ¬≠␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ¬W␈ελu␈↓ ¬z␈εα/␈↓ ε␈ελv␈↓ ε*␈ε⊗c␈εα,␈αand␈αthen␈αset
␈β←␈↓ ¬l␈ε¬3␈↓ ε≤␈ε¬3
␈βε␈↓ ∧>␈εα(␈↓ ∧J␈ελt␈↓ ∧c␈εα,␈↓ ∧s␈ελt␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬≤␈ελt␈↓ ¬5␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ ε¬␈ελu␈↓ ε(␈εα,␈↓ ε8␈ελu␈↓ ε[␈εα,␈↓ εk␈ελu␈↓ π∞␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ πZ␈ελv␈↓ πx␈εα,␈↓ λλ␈ελv␈↓ λ'␈εα,␈↓ λ7␈ελv␈↓ λU␈εα)␈↓ λa␈ελq␈↓ λq␈εα,
␈β∪␈↓ ∧T␈ε¬1␈↓ ∧}␈ε¬2␈↓ ¬'␈ε¬3␈↓ ε~␈ε¬1␈↓ εM␈ε¬2␈↓ π␈ε¬3␈↓ πj␈ε¬1␈↓ λ_␈ε¬2␈↓ λF␈ε¬3
␈β<␈↓ βN␈εα(␈↓ βZ␈ελu␈↓ β⎇␈εα,␈↓ ∧
␈ελu␈↓ ∧0␈εα,␈↓ ∧@␈ελu␈↓ ∧c␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ ¬3␈ελv␈↓ ¬R␈εα,␈↓ ¬b␈ελv␈↓ ε␈εα,␈↓ ε⊂␈ελv␈↓ ε.␈εα),␈↓ π∩(␈↓ π≡␈ελv␈↓ π<␈εα,␈↓ πL␈ελv␈↓ πj␈εα,␈↓ πz␈ελv␈↓ λ_␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ λh␈ελt␈↓ 	α␈εα,␈↓ 	∩␈ελt␈↓ 	+␈εα,␈↓ 	;␈ελt␈↓ 	T␈εα).
␈βI␈↓ βo␈ε¬1␈↓ ∧"␈ε¬2␈↓ ∧U␈ε¬3␈↓ ¬C␈ε¬1␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ ε ␈ε¬3␈↓ π.␈ε¬1␈↓ π\␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬3␈↓ λs␈ε¬1␈↓ 	≤␈ε¬2␈↓ 	F␈ε¬3
␈βo␈↓ α␈εαReturn␈αto␈αstep␈αX2.
␈βt␈↓ ∧]␈∧t∧]≠∂
␈β
"␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈αlet␈↓ βX␈ελu␈↓ βw␈εα=␈α
40902,␈↓ ¬∃␈ελv␈↓ ¬2␈εα=␈α
24140.␈αAt␈αstep␈αX2␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
S␈↓ α←␈ελq␈↓ β\␈ελu␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ε¬␈ελu␈↓ πG␈ελv␈↓ λi␈ελv␈↓ 	m␈ελv
␈β
`␈↓ βq␈ε¬1␈↓ ¬∪␈ε¬2␈↓ ε→␈ε¬3␈↓ πW␈ε¬1␈↓ λy␈ε¬2␈↓ 	⎇␈ε¬3
␈β∞	␈↓ αK␈εα←␈↓ βm␈εα1␈↓ ¬∂␈εα0␈↓ ¬i␈εα40902␈↓ πS␈εα0␈↓ λu␈εα1␈↓ 	O␈εα24140
␈β∞4␈↓ α]␈εα1␈↓ βm␈εα0␈↓ ¬∂␈εα1␈↓ ¬i␈εα24140␈↓ πS␈εα1␈↓ λQ␈ε⊗␈␈εα1␈↓ 	O␈εα16762
␈β∞←␈↓ α]␈εα1␈↓ βm␈εα1␈↓ ∧k␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬i␈εα16762␈↓ π/␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λu␈εα2␈↓ 	a␈εα7378
␈β∂
␈↓ α]␈εα2␈↓ βI␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬∂␈εα2␈↓ ¬{␈εα7378␈↓ πS␈εα3␈↓ λQ␈ε⊗␈␈εα5␈↓ 	a␈εα2006
␈β∂5␈↓ α]␈εα3␈↓ βm␈εα3␈↓ ∧k␈ε⊗␈␈εα5␈↓ ¬{␈εα2006␈↓ π≥␈ε⊗␈␈εα10␈↓ λc␈εα17␈↓ 	a␈εα1360
␈β∂a␈↓ α]␈εα1␈↓ β7␈ε⊗␈␈εα10␈↓ ∧⎇␈εα17␈↓ ¬{␈εα1360␈↓ πA␈εα13␈↓ λ?␈ε⊗␈␈εα22␈↓ 	s␈εα646
␈β⊂␈↓ α]␈εα2␈↓ β[␈εα13␈↓ ∧Y␈ε⊗␈␈εα22␈↓ ε
␈εα646␈↓ π≥␈ε⊗␈␈εα36␈↓ λc␈εα61␈↓ 
¬␈εα68
␈β⊂7␈↓ α]␈εα9␈↓ β7␈ε⊗␈␈εα36␈↓ ∧⎇␈εα61␈↓ ε∨␈εα68␈↓ π/␈εα337␈↓ λ-␈ε⊗␈␈εα571␈↓ 
¬␈εα34
␈β⊂b␈↓ α]␈εα2␈↓ βI␈εα337␈↓ ∧G␈ε⊗␈␈εα571␈↓ ε∨␈εα34␈↓ π␈ε⊗␈␈εα710␈↓ λ?␈εα1203␈↓ 
↔␈εα0
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαTherefore␈αthe␈αsolution␈αis␈α337␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ40902␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ571␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ24140␈α
=␈α
34␈α
=␈↓ λr␈εαgcd␈↓ 	(␈εα(40902,␈αε24140).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα322␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα&␈↓ α␈εαThe␈αλvalidity␈α	of␈αλAlgorithm␈αλX␈αλfollo␈α␈ws␈α	from␈αλ(16)␈αλand␈αλthe␈α	fact␈αλthat␈αλthe␈αλalgorithm
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂iden␈α␈tical␈α∂to␈α⊂Algorithm␈α⊂A␈α⊂with␈α⊂respect␈α⊂to␈α⊂its␈α⊂manipulation␈α⊂of␈↓ 	V␈ελu␈↓ 
	␈εαand␈↓ 
S␈ελv␈↓ 
q␈εα.␈α↔A
␈βα←␈↓ 	j␈ε¬3␈↓ 
b␈ε¬3
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαdetailed␈α
proof␈α
of␈α
Algorithm␈α
X␈α
is␈α
discussed␈α
in␈α
Section␈α
1.2.1.␈α∂Gordon␈α
H.␈α
Bradley
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαhas␈α
observ␈α␈ed␈α
that␈αw␈α␈e␈α
can␈αav␈α␈oid␈α
a␈α
good␈αdeal␈α
of␈αthe␈α
calculation␈α
in␈αAlgorithm␈α
X␈α
by
␈ββS␈↓ ↓H␈εαsuppressing␈↓ β∧␈ελu␈↓ β&␈εα,␈↓ β9␈ελv␈↓ βW␈εα,␈α	and␈↓ ∧,␈ελt␈↓ ∧E␈εα;␈α	then␈↓ ¬&␈ελu␈↓ ¬Q␈εαcan␈αλbe␈αλdetermined␈αλafterwards␈αλusing␈αλthe␈απrelation
␈ββ`␈↓ β_␈ε¬2␈↓ βI␈ε¬2␈↓ ∧7␈ε¬2␈↓ ¬;␈ε¬2
␈ββ}␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈ελu␈↓ απ␈εα+␈↓ α3␈ελv␈↓ αE␈ελu␈↓ αr␈εα=␈↓ β ␈ελu␈↓ βC␈εα.␈α(It␈αis␈αin␈α␈teresting␈αto␈αnote␈αthat␈αthis␈αmodi|ed␈αalgorithm␈αw␈α␈ould␈αbe
␈β∧␈↓ ↓r␈ε¬1␈↓ αZ␈ε¬2␈↓ β5␈ε¬3
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαharder␈α∞to␈α∞v␈α␈erify;␈α∂w␈α␈e␈α∞often␈α∞|nd␈α∞that␈α∞the␈α∞simplest␈α∞way␈α
to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞an␈α∞\optimized"
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞correct␈α∞is␈α∞to␈α∞sho␈α␈w␈α∞that␈α∞it␈α∞is␈α∞equivalen␈α␈t␈α∞to␈α∞an␈α∞unoptimized␈α∞algorithm
␈β¬␈↓ ↓H␈εαwhose␈αcorrectness␈αis␈αeasier␈αto␈αestablish.)
␈β¬,␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α14␈α
sho␈α␈ws␈αthat␈α
the␈αvalues␈α
of␈ε⊗␈αj␈↓ εa␈ελu␈↓ π∧␈ε⊗j␈εα,␈ε⊗␈α
j␈↓ π/␈ελu␈↓ πR␈ε⊗j␈εα,␈ε⊗␈αj␈↓ π|␈ελv␈↓ λ~␈ε⊗j␈εα,␈ε⊗␈α
j␈↓ λE␈ελv␈↓ λc␈ε⊗j␈εα␈α
remain␈αbounded␈αby
␈β¬9␈↓ εv␈ε¬1␈↓ πC␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λU␈ε¬2
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαthe␈αsize␈αof␈αthe␈αinputs␈↓ ∧ ␈ελu␈↓ ∧A␈εαand␈↓ ¬π␈ελv␈↓ ¬~␈εα.
␈βεβ␈↓ α␈εαAlgorithm␈αB␈↓ βO␈εα,␈αwhich␈αcomputes␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αusing␈αproperties
␈βε.␈↓ ↓H␈εαof␈αbinary␈αnotation,␈αcan␈α
be␈αextended␈αin␈αa␈α
similar␈αway;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α
35.␈αFor␈αsome
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαinstructiv␈α␈e␈αextensions␈αto␈αAlgorithm␈αX␈↓ ε≠␈εα,␈αsee␈αex␈α␈ercises␈α18␈αand␈α19␈αin␈αSection␈α4.6.1.
␈βπ∪␈↓ α␈εαThe␈α
ideas␈α	underlying␈α
Euclid's␈α	algorithm␈α
can␈α	also␈α
be␈α	applied␈α
to␈α	|nd␈α
a␈ε∂␈α	general
␈βπ>␈↓ ↓H␈ε∂solution␈α
in␈α∞in␈α␈tegers␈εα␈α∞of␈α∞an␈α␈y␈α
set␈α∞of␈α∞linear␈α∞equations␈α∞with␈α
in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts.␈α⊃For
␈βπi␈↓ ↓H␈εαexample,␈αsuppose␈α
that␈αw␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈αto␈α|nd␈α
all␈αin␈α␈tegers␈↓ πa␈ελw␈↓ π{␈εα,␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ#␈εα,␈↓ λ8␈ελy␈↓ λL␈εα,␈↓ λa␈ελz␈↓ λ{␈εαthat␈α
satisfy␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈βλ∃␈↓ ↓H␈εαequations
␈βλG␈↓ ∧O␈εα10␈↓ ∧s␈ελw␈↓ ¬∃␈εα+␈αλ3␈↓ ¬S␈ελx␈↓ ¬n␈εα+␈αλ3␈↓ ε,␈ελy␈↓ εH␈εα+␈αλ8␈↓ πε␈ελz␈↓ π∨␈εα=␈α
1,␈↓ 
p␈εα(17)
␈β	↓␈↓ ∧a␈εα6␈↓ ∧s␈ελw␈↓ ¬∃␈ε⊗␈␈εα␈αλ7␈↓ ¬S␈ελx␈↓ εH␈ε⊗␈␈εα␈αλ5␈↓ πε␈ελz␈↓ π∨␈εα=␈α
2.␈↓ 
p␈εα(18)
␈β	Z␈↓ ↓H␈εαWe␈αcan␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αvariable
␈β
3␈↓ αE␈ε⊗b␈εα10/3␈ε⊗c␈↓ β)␈ελw␈↓ βL␈εα+␈ε⊗␈αλb␈εα3/3␈ε⊗c␈↓ ∧J␈ελx␈↓ ∧d␈εα+␈ε⊗␈αλb␈εα3/3␈ε⊗c␈↓ ¬b␈ελy␈↓ ¬}␈εα+␈ε⊗␈αλb␈εα8/3␈ε⊗c␈↓ ε|␈ελz␈↓ π∃␈εα=␈α
3␈↓ πU␈ελw␈↓ πx␈εα+␈↓ λ$␈ελx␈↓ λ?␈εα+␈↓ λk␈ελy␈↓ 	π␈εα+␈αλ2␈↓ 	E␈ελz␈↓ 	↑␈εα=␈↓ 
␈ελt␈↓ 
%␈εα,
␈β
@␈↓ 
↔␈ε¬1
␈β␈↓ ↓H␈εαand␈αuse␈αit␈αto␈αeliminate␈↓ ∧8␈ελy␈↓ ∧L␈εα;␈αEq.␈α(17)␈αbecomes
␈βe␈↓ ↓l␈εα(10␈↓ α"␈εαmod␈↓ αl␈εα3)␈↓ β
␈ελw␈↓ β,␈εα+␈αλ(3␈↓ β|␈εαmod␈↓ ∧F␈εα3)␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧␈␈εα+␈αλ3␈↓ ¬=␈ελt␈↓ ¬↑␈εα+␈αλ(8␈↓ ε.␈εαmod␈↓ εx␈εα3)␈↓ π⊗␈ελz␈↓ π/␈εα=␈↓ π]␈ελw␈↓ λ␈εα+␈αλ3␈↓ λ>␈ελt␈↓ λ←␈εα+␈αλ2␈↓ 	≥␈ελz␈↓ 	6␈εα=␈α
1,␈↓ 
p␈εα(19)
␈βr␈↓ ¬H␈ε¬1␈↓ λI␈ε¬1
␈β>␈↓ ↓H␈εαand␈αλEq.␈α	(18)␈α	remains␈αλunchanged.␈αThe␈α	new␈αλequation␈α	(19)␈α	may␈αλbe␈α	used␈α	to␈αλeliminate
␈βi␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓b␈εα,␈αand␈α(18)␈αbecomes
␈β
B␈↓ ∧A␈εα6(1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ3␈↓ ¬7␈ελt␈↓ ¬X␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ε⊗␈ελz␈↓ ε%␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ7␈↓ εw␈ελx␈↓ π∩␈ε⊗␈␈εα␈αλ5␈↓ πP␈ελz␈↓ πi␈εα=␈α
2;
␈β
O␈↓ ¬B␈ε¬1
␈β∞≠␈↓ ↓H␈εαthat␈αis,
␈β∞I␈↓ ¬∩␈εα7␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬>␈εα+␈αλ18␈↓ ε∞␈ελt␈↓ ε0␈εα+␈αλ17␈↓ π␈ελz␈↓ π→␈εα=␈α
4.␈↓ 
p␈εα(20)
␈β∞V␈↓ ε→␈ε¬1
␈β∂∂␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αas␈αbefore␈αw␈α␈e␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αvariable
␈β∂h␈↓ ¬.␈ελx␈↓ ¬I␈εα+␈αλ2␈↓ επ␈ελt␈↓ ε(␈εα+␈αλ2␈↓ εf␈ελz␈↓ ε␈␈εα=␈↓ π-␈ελt
␈β∂v␈↓ ε∩␈ε¬1␈↓ π8␈ε¬2
␈β⊂A␈↓ ↓H␈εαand␈αeliminate␈↓ β*␈ελx␈↓ βH␈εαfrom␈α(20):
␈β⊃~␈↓ ¬ ␈εα7␈↓ ¬2␈ελt␈↓ ¬T␈εα+␈αλ4␈↓ ε∩␈ελt␈↓ ε3␈εα+␈αλ3␈↓ εq␈ελz␈↓ π
␈εα=␈α
4.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β⊃(␈↓ ¬=␈ε¬2␈↓ ε≤␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα323
␈βα(␈↓ ↓H␈εαAnother␈αλnew␈α	variable␈αλcan␈α	be␈αλin␈α␈troduced␈α	in␈αλthe␈α	same␈α	fashion,␈α	in␈αλorder␈α	to␈αλeliminate
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈αvariable␈↓ β⊂␈ελz␈↓ β∨␈εα,␈αwhich␈αhas␈αthe␈αsmallest␈αcoe}cien␈α␈t:
␈ββ_␈↓ ¬/␈εα2␈↓ ¬A␈ελt␈↓ ¬b␈εα+␈↓ ε∞␈ελt␈↓ ε/␈εα+␈↓ ε[␈ελz␈↓ εt␈εα=␈↓ π"␈ελt␈↓ π;␈εα.
␈ββ%␈↓ ¬L␈ε¬2␈↓ ε→␈ε¬1␈↓ π-␈ε¬3
␈ββ\␈↓ ↓H␈εαEliminating␈↓ β␈ελz␈↓ β'␈εαfrom␈α(21)␈αyields
␈β∧ ␈↓ ¬-␈ελt␈↓ ¬N␈εα+␈↓ ¬z␈ελt␈↓ ε≤␈εα+␈αλ3␈↓ εZ␈ελt␈↓ ε⎇␈εα=␈α
4,␈↓ 
p␈εα(22)
␈β∧.␈↓ ¬8␈ε¬2␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ εd␈ε¬3
␈β∧d␈↓ ↓H␈εαand␈α⊂this␈α⊂equation,␈α⊃|nally,␈α⊃can␈α⊂be␈α⊂used␈α⊂to␈α⊂eliminate␈↓ λ≠␈ελt␈↓ λ4␈εα.␈α_We␈α⊂are␈α⊂left␈α⊂with␈α⊂t␈α␈w␈α␈o
␈β∧r␈↓ λ%␈ε¬2
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈αvariables,␈↓ ∧4␈ελt␈↓ ∧Y␈εαand␈↓ ¬∨␈ελt␈↓ ¬8␈εα;␈αsubstituting␈αback␈αfor␈αthe␈αoriginal␈αvariables,␈αw␈α␈e
␈β¬≥␈↓ ∧?␈ε¬1␈↓ ¬)␈ε¬3
␈β¬;␈↓ ↓H␈εαobtain␈αthe␈αgeneral␈αsolution
␈β¬x␈↓ ∧v␈ελw␈↓ ¬≠␈εα=␈α.17␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈α~5␈↓ εi␈ελt␈↓ π
␈ε⊗␈␈εα␈αλ14␈↓ πZ␈ελt␈↓ πt␈εα,
␈βε¬␈↓ εt␈ε¬1␈↓ πe␈ε¬3
␈βε*␈↓ ∧}␈ελx␈↓ ¬≠␈εα=␈α.20␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈α~5␈↓ εi␈ελt␈↓ π
␈ε⊗␈␈εα␈αλ17␈↓ πZ␈ελt␈↓ πt␈εα,
␈βε7␈↓ εt␈ε¬1␈↓ πe␈ε¬3
␈βεC␈↓ 
p␈εα(23)
␈βε\␈↓ ∧⎇␈ελy␈↓ ¬≠␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα55␈αλ+␈αλ19␈↓ εi␈ελt␈↓ π
␈εα+␈αλ45␈↓ πZ␈ελt␈↓ πt␈εα,
␈βεj␈↓ εt␈ε¬1␈↓ πe␈ε¬3
␈βπ∂␈↓ ¬α␈ελz␈↓ ¬≠␈εα=␈ε⊗␈α≤␈␈εα8␈αλ+␈↓ εi␈ελt␈↓ π
␈εα+␈α~7␈↓ πZ␈ελt␈↓ πt␈εα.
␈βπ≤␈↓ εt␈ε¬1␈↓ πe␈ε¬3
␈βπM␈↓ ↓H␈εαIn␈α
other␈α
w␈α␈ords,␈αall␈α
in␈α␈teger␈α
solutions␈α(␈↓ ε∧␈ελw␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε.␈ελx␈↓ εA␈εα,␈↓ εQ␈ελy␈↓ εe␈εα,␈↓ εu␈ελz␈↓ π∧␈εα)␈αto␈α
the␈α
original␈αequations␈α
(17),␈α
(18)
␈βπy␈↓ ↓H␈εαare␈α	obtained␈α	from␈α	(23)␈αλby␈α	letting␈↓ ¬I␈ελt␈↓ ¬l␈εαand␈↓ ε.␈ελt␈↓ εQ␈εαindependen␈α␈tly␈α	run␈α	through␈αλall␈α	in␈α␈tegers.
␈βλε␈↓ ¬T␈ε¬1␈↓ ε9␈ε¬3
␈βλ$␈↓ α␈εαThe␈αgeneral␈αmethod␈αthat␈αhas␈αjust␈αbeen␈αillustrated␈αis␈αbased␈αon␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈βλO␈↓ ↓H␈εαprocedure:␈αFind␈αa␈α
nonzero␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ ε~␈ελc␈↓ ε5␈εαof␈αsmallest␈αabsolute␈α
value␈αin␈αthe␈αsystem
␈βλz␈↓ ↓H␈εαof␈αλequations.␈αSuppose␈α	that␈αλthis␈α	coe}cien␈α␈t␈α	appears␈αλin␈α	an␈α	equation␈αλhaving␈α	the␈αλform
␈β	?␈↓ ∧[␈ελc␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ¬⊂␈εα+␈↓ ¬<␈ελc␈↓ ¬W␈ελx␈↓ ¬}␈εα+␈↓ ε*␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε\␈εα+␈↓ πλ␈ελc␈↓ π$␈ελx␈↓ πM␈εα=␈↓ π{␈ελd␈↓ λ∂␈εα;␈↓ 
p␈εα(24)
␈β	L␈↓ ∧z␈ε¬0␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ ¬h␈ε¬1␈↓ π∃␈εk␈↓ π4␈εk
␈β
β␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α	may␈α
assume␈α
for␈α
simplicity␈α
that␈↓ ¬h␈ελc␈↓ ε␈εα>␈α
0.␈αIf␈↓ εw␈ελc␈↓ π∂␈εα=␈α
1,␈α
use␈α
this␈α
equation␈α
to␈α	eliminate
␈β
.␈↓ ↓H␈εαthe␈α	variable␈↓ β
␈ελx␈↓ β2␈εαfrom␈α	the␈α	other␈α	equations␈α
remaining␈α	in␈α	the␈α	system;␈α
then␈α	repeat␈α	the
␈β
;␈↓ β~␈ε¬0
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαprocedure␈α
on␈α∞the␈α
remaining␈α∞equations.␈α⊃(If␈α
no␈α∞more␈α
equations␈α∞remain,␈α∞the␈α
com-
␈β∧␈↓ ↓H␈εαputation␈αλstops,␈α
and␈αλa␈α	general␈α	solution␈α	in␈αλterms␈α	of␈α	the␈αλvariables␈α	not␈α	y␈α␈et␈αλeliminated
␈β0␈↓ ↓H␈εαhas␈α
essen␈α␈tially␈α
been␈α
obtained.)␈α⊂If␈↓ ¬←␈ελc␈↓ ¬y␈εα>␈α1,␈α∞then␈α
if␈↓ πI␈ελc␈↓ πk␈εαmod␈↓ λ5␈ελc␈↓ λO␈εα=␈↓ λ␈␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	5␈εα=␈↓ 	e␈ελc␈↓ 
ε␈εαmod␈↓ 
P␈ελc␈↓ 
j␈εα=␈α0
␈β=␈↓ πV␈ε¬1␈↓ 	r␈εk
␈β[␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α∞m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈↓ β1␈ελd␈↓ βK␈εαmod␈↓ ∧∃␈ελc␈↓ ∧1␈εα=␈α∞0,␈α∞otherwise␈α∞there␈α∂is␈α∞no␈α∞in␈α␈teger␈α∞solution;␈α∂divide␈α∞both
␈βε␈↓ ↓H␈εαsides␈α
of␈α(24)␈αby␈↓ β?␈ελc␈↓ βX␈εαand␈αeliminate␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬b␈εαas␈α
in␈αthe␈αcase␈↓ π=␈ελc␈↓ πU␈εα=␈α
1.␈αFinally,␈αif␈↓ 	Q␈ελc␈↓ 	i␈εα>␈α
1␈αand␈α
not
␈β∪␈↓ ¬H␈ε¬0
␈β1␈↓ ↓H␈εαall␈αof␈↓ α$␈ελc␈↓ αE␈εαmod␈↓ β∂␈ελc␈↓ β≥␈εα,␈↓ β3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βc␈εα,␈↓ βy␈ελc␈↓ ∧≠␈εαmod␈↓ ∧e␈ελc␈↓ ∧␈␈εαare␈αzero,␈αthen␈αin␈α␈troduce␈αa␈αnew␈αvariable
␈β?␈↓ α1␈ε¬1␈↓ ∧ε␈εk
␈βv␈↓ ∧∧␈ε⊗b␈↓ ∧∩␈ελc␈↓ ∧ ␈εα/␈↓ ∧2␈ελc␈↓ ∧A␈ε⊗c␈↓ ∧O␈ελx␈↓ ∧v␈εα+␈ε⊗␈αλb␈↓ ¬0␈ελc␈↓ ¬K␈εα/␈↓ ¬]␈ελc␈↓ ¬k␈ε⊗c␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈↓ εL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε}␈εα+␈ε⊗␈αλb␈↓ π8␈ελc␈↓ πT␈εα/␈↓ πf␈ελc␈↓ πt␈ε⊗c␈↓ λα␈ελx␈↓ λ+␈εα=␈↓ λY␈ελt␈↓ λf␈εα;␈↓ 
p␈εα(25)
␈β
β␈↓ ∧←␈ε¬0␈↓ ¬=␈ε¬1␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ πE␈εk␈↓ λ∩␈εk
␈β
:␈↓ ↓H␈εαeliminate␈αthe␈αvariable␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧S␈εαfrom␈αthe␈αother␈αequations,␈αin␈αfav␈α␈or␈αof␈↓ 	~␈ελt␈↓ 	'␈εα,␈αand␈αreplace␈αthe
␈β
G␈↓ ∧:␈ε¬0
␈β
e␈↓ ↓H␈εαoriginal␈αequation␈α(24)␈αby
␈β∞)␈↓ βn␈ελc␈↓ β|␈ελt␈↓ ∧⊃␈εα+␈αλ(␈↓ ∧I␈ελc␈↓ ∧j␈εαmod␈↓ ¬4␈ελc␈↓ ¬B␈εα)␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬u␈εα+␈↓ ε!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εS␈εα+␈αλ(␈↓ π␈ελc␈↓ π-␈εαmod␈↓ πw␈ελc␈↓ λ¬␈εα)␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ:␈εα=␈↓ λh␈ελd␈↓ λ|␈εα.␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞7␈↓ ∧V␈ε¬1␈↓ ¬←␈ε¬1␈↓ π_␈εk␈↓ λ"␈εk
␈β∞N␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ εD␈ε↓↓
␈β∞n␈↓ ↓V␈εαCf.␈α(19)␈αand␈α(21)␈αin␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈β∂→␈↓ α␈εαThis␈α∞process␈α
m␈α␈ust␈α∞terminate,␈α∞since␈α
each␈α∞step␈α
either␈α∞reduces␈α
the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαequations␈α
or␈α
the␈α
size␈α
of␈α
the␈α
smallest␈α
nonzero␈α
coe}cien␈α␈t␈α
in␈α
the␈α
system.␈αA␈α
study␈α
of
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αprocedure␈αwill␈αrev␈α␈eal␈αits␈αin␈α␈timate␈αconnection␈αwith␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαThe␈α
method␈α∞is␈α∞a␈α∞comparativ␈α␈ely␈α∞simple␈α
means␈α∞of␈α∞solving␈α∞linear␈α∞equations␈α
when
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαthe␈αvariables␈αare␈αrequired␈αto␈α
tak␈α␈e␈αon␈αin␈α␈teger␈αvalues␈αonly.␈α
It␈αisn't␈αthe␈αbest␈αavail-
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαable␈αmethod␈α
for␈αthis␈αproblem,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er;␈αsubstan␈α␈tial␈αre|nemen␈α␈ts␈α
are␈αpossible,␈αbut
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαbey␈α␈ond␈αthe␈αscope␈αof␈αthis␈αbook.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα324␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩High-precision␈αλcalculation.␈εα␈α∂If␈↓ ¬∪␈ελu␈↓ ¬0␈εαand␈↓ ¬r␈ελv␈↓ ε
␈εαare␈αλv␈α␈ery␈αλlarge␈αλin␈α␈tegers,␈α	requiring␈αλa␈απm␈α␈ultiple-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαprecision␈αrepresen␈α␈tation,␈αthe␈α
binary␈αmethod␈α(Algorithm␈αB)␈αis␈αa␈αsimple␈αand␈α
fairly
␈βα}␈↓ ↓H␈εαe}cien␈α␈t␈αλmeans␈α	of␈αλcalculating␈α	their␈αλgreatest␈α	common␈α	divisor,␈α	since␈αλit␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αλonly
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαsubtractions␈αand␈αshifting.
␈ββU␈↓ α␈εαBy␈α∂con␈α␈trast,␈α⊂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂seems␈α∂m␈α␈uch␈α∂less␈α∂attractiv␈α␈e,␈α∂since␈α∂step␈α∂A2
␈β∧␈↓ ↓H␈εαrequires␈α
a␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
division␈α
of␈↓ εD␈ελu␈↓ εf␈εαby␈↓ π≠␈ελv␈↓ π.␈εα.␈α∂But␈α
this␈α
di}culty␈α
is␈α
not␈α
really
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαas␈α
bad␈α
as␈α
it␈α
seems,␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α
will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
in␈α
Section␈α
4.5.3␈α
that␈α∞the␈α
quotien␈α␈t␈ε⊗␈α
b␈↓ 
d␈ελu␈↓ 
z␈εα/␈↓ ␈ελv␈↓ ≡␈ε⊗c
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαis␈αalmost␈αalways␈αv␈α␈ery␈αsmall;␈αfor␈αexample,␈αassuming␈αrandom␈αinputs,␈αthe␈αquotien␈α␈t
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε⊗b␈↓ ↓V␈ελu␈↓ ↓k␈εα/␈↓ ↓⎇␈ελv␈↓ α⊂␈ε⊗c␈εα␈α
will␈α
be␈α
less␈α
than␈α1000␈α
appro␈α␈ximately␈α
99.856␈α
percen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
time.␈αTherefore
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαit␈α	is␈α
almost␈α
always␈α	possible␈α
to␈α
|nd␈ε⊗␈α	b␈↓ ¬q␈ελu␈↓ επ␈εα/␈↓ ε→␈ελv␈↓ ε,␈ε⊗c␈εα␈α	and␈α
(␈↓ π∪␈ελu␈↓ π/␈εαmod␈↓ πy␈ελv␈↓ λ␈εα)␈α
using␈α
single-precision␈α	cal-
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαculations,␈α	together␈α	with␈α	the␈α	comparativ␈α␈ely␈α	simple␈α	operation␈α	of␈α	calculating␈↓ 
H␈ελu␈↓ 
b␈ε⊗␈␈↓ 
␈ελq␈↓ ~␈ελv
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελq␈↓ αM␈εαis␈α
a␈α
single-precision␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈α∞Furthermore,␈α
if␈α
it␈α
does␈α
turn␈αout␈α
that␈↓ 
r␈ελu␈↓ ∀␈εαis
␈βε.␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈αlarger␈αthan␈↓ βd␈ελv␈↓ ∧β␈εα(e.g.,␈α
the␈αinitial␈αinput␈α
data␈αmigh␈α␈t␈α
hav␈α␈e␈αthis␈α
form),␈αw␈α␈e␈αdon't
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαreally␈α	mind␈α	having␈α	a␈α	large␈α	quotien␈α␈t␈↓ ¬o␈ελq␈↓ ¬␈␈εα,␈α
since␈α	Euclid's␈α	algorithm␈α	mak␈α␈es␈α	a␈α	great␈α	deal
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαof␈αprogress␈αwhen␈αit␈αreplaces␈↓ ¬λ␈ελu␈↓ ¬)␈εαby␈↓ ¬]␈ελu␈↓ ¬y␈εαmod␈↓ εC␈ελv␈↓ εb␈εαin␈αsuch␈αa␈αcase.
␈βπ0␈↓ α␈εαA␈α⊂signi|can␈α␈t␈α⊂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂speed␈α⊂of␈α⊂Euclid's␈α⊂algorithm␈α⊂when␈α⊂high-
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαprecision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αcan␈αbe␈αachiev␈α␈ed␈αby␈αusing␈αa␈αmethod␈αdue␈αto␈αD.␈αH.
␈βλε␈↓ ↓H␈εαLehmer␈α	[␈ε∂AMM␈ε∩␈α
45␈εα␈α	(1938),␈α
227↑233].␈αWorking␈α	only␈α
with␈α	the␈α
leading␈α	digits␈α
of␈α	large
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αdo␈αmost␈αof␈αthe␈αcalculations␈αwith␈αsingle-precision␈αarith-
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαmetic,␈α
and␈αto␈α
mak␈α␈e␈α
a␈αsubstan␈α␈tial␈α
reduction␈α
in␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αm␈α␈ultiple-precision
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαoperations␈απin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed.␈αWe␈αλsav␈α␈e␈απa␈αλlot␈αλof␈απtime␈αλby␈αλdoing␈απa␈αλ\virtual"␈αλcalculation␈απinstead
␈β	3␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αactual␈αone.
␈β	↑␈↓ α␈εαLehmer's␈απmethod␈αεcan␈απbe␈απillustrated␈αεon␈απthe␈απeigh␈α␈t-digit␈αεn␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	E␈ελu␈↓ 	d␈εα=␈α
27182818,
␈β

␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓d␈εα=␈α
10000000,␈αassuming␈α	that␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
using␈α
a␈α	machine␈α
with␈α
only␈α
four-digit␈α	w␈α␈ords.
␈β
0␈↓ α#␈ε→0␈↓ βb␈ε→0␈↓ ¬$␈ε→00␈↓ εk␈ε→00␈↓ 	
␈ε→0␈↓ 	6␈ε→0␈↓ 
,␈ε→00␈↓ 
←␈ε→00
␈β
5␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α
␈ελu␈↓ α9␈εα=␈α⊂2718,␈↓ βO␈ελv␈↓ βy␈εα=␈α∂1001,␈↓ ¬∞␈ελu␈↓ ¬B␈εα=␈α⊂2719,␈↓ εX␈ελv␈↓ πλ␈εα=␈α⊂1000;␈α⊃then␈↓ λt␈ελu␈↓ 	⊃␈εα/␈↓ 	#␈ελv␈↓ 	M␈εαand␈↓ 
⊗␈ελu␈↓ 
:␈εα/␈↓ 
L␈ελv␈↓ 
|␈εαare
␈β
`␈↓ ↓H␈εαappro␈α␈ximations␈αto␈↓ βs␈ελu␈↓ ∧λ␈εα/␈↓ ∧~␈ελv␈↓ ∧-␈εα,␈αwith
␈β%␈↓ ¬%␈ε→0␈↓ ¬Q␈ε→0␈↓ π→␈ε→00␈↓ πL␈ε→00
␈β+␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬-␈εα/␈↓ ¬?␈ελv␈↓ ¬c␈εα<␈↓ ε⊃␈ελu␈↓ ε&␈εα/␈↓ ε8␈ελv␈↓ εU␈εα<␈↓ πβ␈ελu␈↓ π'␈εα/␈↓ π9␈ελv␈↓ πZ␈εα.␈↓ 
p␈εα(27)
␈βv␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞ratio␈↓ αm␈ελu␈↓ ββ␈εα/␈↓ β∃␈ελv␈↓ β7␈εαdetermines␈α∞the␈α∂sequence␈α∂of␈α∂quotien␈α␈ts␈α∂obtained␈α∂in␈α∂Euclid's␈α∞algo-
␈β!␈↓ ↓H␈εαrithm.␈αIf␈αw␈α␈e␈αcarry␈αout␈αEuclid's␈αalgorithm␈αsim␈α␈ultaneously␈αon␈αthe␈αsingle-precision
␈βH␈↓ αU␈ε→0␈↓ α␈␈ε→0␈↓ ∧↓␈ε→00␈↓ ∧2␈ε→00
␈βM␈↓ ↓H␈εαvalues␈α	(␈↓ α?␈ελu␈↓ α\␈εα,␈↓ αl␈ελv␈↓ βε␈εα)␈α
and␈α	(␈↓ βk␈ελu␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧A␈εα)␈α	un␈α␈til␈α
w␈α␈e␈α	get␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈α	quotien␈α␈t,␈α
it␈α
is␈α
not␈α	di}cult␈α
to␈α	see
␈βx␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈αsame␈αsequence␈α
of␈αquotien␈α␈ts␈αw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈α
appeared␈αto␈αthis␈α
poin␈α␈t␈αif␈αw␈α␈e␈α
had
␈β
#␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ork␈α␈ed␈α
with␈αthe␈α
m␈α␈ultiple-precision␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
(␈↓ π␈ελu␈↓ π!␈εα,␈↓ π1␈ελv␈↓ πD␈εα).␈αTh␈α␈us,␈αconsider␈αwhat␈α
happens
␈β
I␈↓ εA␈ε→0␈↓ εk␈ε→0␈↓ λ≡␈ε→00␈↓ λO␈ε→0␈α↓0
␈β
N␈↓ ↓H␈εαwhen␈αEuclid's␈αalgorithm␈αis␈αapplied␈αto␈α(␈↓ ε,␈ελu␈↓ εI␈εα,␈↓ εY␈ελv␈↓ εr␈εα)␈αand␈αto␈α(␈↓ λλ␈ελu␈↓ λ-␈εα,␈↓ λ=␈ελv␈↓ λ↑␈εα):
␈β∞⊃␈↓ β␈ε→0␈↓ ∧~␈ε→0␈↓ ¬⊗␈ε→0␈↓ πt␈ε→0␈α↓0␈↓ 	␈ε→00␈↓ 
ε␈ε→00
␈β∞⊗␈↓ αu␈ελu␈↓ ∧π␈ελv␈↓ ¬ε␈ελq␈↓ π←␈ελu␈↓ λy␈ελv␈↓ 	v␈ελq
␈β∞L␈↓ α`␈εα2718␈↓ βp␈εα1001␈↓ ¬∩␈εα2␈↓ πV␈εα2719␈↓ λf␈εα1000␈↓ 
α␈εα2
␈β∞w␈↓ α`␈εα1001␈↓ ∧α␈εα716␈↓ ¬∩␈εα1␈↓ πD␈εα10000␈↓ λx␈εα719␈↓ 
α␈εα1
␈β∂"␈↓ αr␈εα716␈↓ ∧α␈εα285␈↓ ¬∩␈εα2␈↓ πh␈εα719␈↓ λx␈εα281␈↓ 
α␈εα2
␈β∂N␈↓ αr␈εα285␈↓ ∧α␈εα146␈↓ ¬∩␈εα1␈↓ πh␈εα281␈↓ λx␈εα157␈↓ 
α␈εα1
␈β∂y␈↓ αr␈εα146␈↓ ∧α␈εα139␈↓ ¬∩␈εα1␈↓ πh␈εα157␈↓ λx␈εα124␈↓ 
α␈εα1
␈β⊂$␈↓ αr␈εα139␈↓ ∧&␈εα7␈↓ ¬␈εα19␈↓ πh␈εα124␈↓ 	
␈εα33␈↓ 
α␈εα3
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαThe␈α	|rst␈α
|v␈α␈e␈α
quotien␈α␈ts␈α
are␈α
the␈α
same␈α	in␈α
both␈α
cases,␈α
so␈α
they␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
the␈α
true␈α	ones.
␈β⊃∃␈↓ ε∞␈ε→0␈↓ εd␈ε→00
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαBut␈α∞on␈α
the␈α∞sixth␈α∞step␈α∞w␈α␈e␈α∞|nd␈α∞that␈↓ ¬}␈ελq␈↓ ε#␈ε⊗≤␈↓ εT␈ελq␈↓ εr␈εα,␈α∂so␈α∞the␈α∞single-precision␈α
calculations
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα325
␈βα(␈↓ ↓H␈εαare␈αsuspended.␈α∂We␈α
hav␈α␈e␈α
gained␈αthe␈α
kno␈α␈wledge␈α
that␈α
the␈α
calculation␈α
w␈α␈ould␈αhav␈α␈e
␈βαS␈↓ ↓H␈εαproceeded␈αas␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αhad␈αbeen␈αw␈α␈orking␈αwith␈αthe␈αoriginal␈αm␈α␈ultiple-precision
␈βα}␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers:
␈ββ-␈↓ ∧w␈ελu␈↓ π∂␈ελv␈↓ λI␈ελq
␈ββc␈↓ ∧p␈ελu␈↓ π
␈ελv␈↓ λH␈εα2
␈ββq␈↓ ¬¬␈ε¬0␈↓ π→␈ε¬0
␈β∧∞␈↓ ∧r␈ελv␈↓ εU␈ελu␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ π>␈ελv␈↓ λH␈εα1
␈β∧≤␈↓ ¬α␈ε¬0␈↓ εj␈ε¬0␈↓ πN␈ε¬0
␈β∧+␈↓ 
p␈εα(28)
␈β∧:␈↓ ∧>␈ελu␈↓ ∧i␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬'␈ελv␈↓ εC␈ε⊗␈␈↓ εg␈ελu␈↓ π∩␈εα+␈αλ3␈↓ πP␈ελv␈↓ λH␈εα2
␈β∧G␈↓ ∧R␈ε¬0␈↓ ¬7␈ε¬0␈↓ ε|␈ε¬0␈↓ π`␈ε¬0
␈β∧e␈↓ ∧,␈ε⊗␈␈↓ ∧P␈ελu␈↓ ∧{␈εα+␈αλ3␈↓ ¬9␈ελv␈↓ εL␈εα3␈↓ ε↑␈ελu␈↓ π	␈ε⊗␈␈εα␈αλ8␈↓ πG␈ελv␈↓ λH␈εα1
␈β∧r␈↓ ∧d␈ε¬0␈↓ ¬I␈ε¬0␈↓ εs␈ε¬0␈↓ πW␈ε¬0
␈β¬⊂␈↓ ∧5␈εα3␈↓ ∧G␈ελu␈↓ ∧r␈ε⊗␈␈εα␈αλ8␈↓ ¬0␈ελv␈↓ ε1␈ε⊗␈␈εα4␈↓ εg␈ελu␈↓ π∩␈εα+␈αλ11␈↓ πb␈ελv␈↓ λH␈εα1
␈β¬≥␈↓ ∧[␈ε¬0␈↓ ¬@␈ε¬0␈↓ ε|␈ε¬0␈↓ πr␈ε¬0
␈β¬;␈↓ ∧~␈ε⊗␈␈εα4␈↓ ∧P␈ελu␈↓ ∧{␈εα+␈αλ11␈↓ ¬K␈ελv␈↓ εC␈εα7␈↓ εU␈ελu␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈αλ19␈↓ πP␈ελv␈↓ λJ␈εα?
␈β¬I␈↓ ∧d␈ε¬0␈↓ ¬[␈ε¬0␈↓ εj␈ε¬0␈↓ π`␈ε¬0
␈β¬u␈↓ ↓H␈εα(The␈αλnext␈αλquotien␈α␈t␈α	lies␈αλsomewhere␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈αλ3␈α	and␈αλ19.)␈αNo␈αλmatter␈α	ho␈α␈w␈αλman␈α␈y␈αλdigits
␈βε ␈↓ ↓H␈εαare␈α	in␈↓ α(␈ελu␈↓ αG␈εαand␈↓ β
␈ελv␈↓ β≥␈εα,␈α	the␈α
|rst␈α	|v␈α␈e␈α	steps␈α	of␈α	Euclid's␈α	algorithm␈α
w␈α␈ould␈α	be␈α	the␈α	same␈α	as␈α	(28),
␈βεK␈↓ ↓H␈εαso␈α
long␈α
as␈α∞(27)␈α
holds.␈α⊂We␈α
can␈α
therefore␈α∞av␈α␈oid␈α
the␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α
operations
␈βεv␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈α|rst␈α|v␈α␈e␈αsteps,␈αand␈αreplace␈αthem␈αall␈αby␈αa␈αm␈α␈ultiple-precision␈αcalculation␈αof
␈βπ"␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈εα4␈↓ ↓}␈ελu␈↓ α(␈εα+␈αλ11␈↓ αx␈ελv␈↓ β"␈εαand␈α7␈↓ βz␈ελu␈↓ ∧$␈ε⊗␈␈εα␈αλ19␈↓ ∧t␈ελv␈↓ ¬∩␈εα.␈αIn␈αthis␈αcase␈αw␈α␈e␈αobtain␈↓ λ
␈ελu␈↓ λ*␈εα=␈α
1268728,␈↓ 	l␈ελv␈↓ 
λ␈εα=␈α
279726;
␈βπ/␈↓ α∩␈ε¬0␈↓ βλ␈ε¬0␈↓ ∧∞␈ε¬0␈↓ ¬∧␈ε¬0
␈βπH␈↓ ε$␈ε→0␈↓ πR␈ε→0␈↓ λq␈ε→00␈↓ 
&␈ε→00
␈βπM␈↓ ↓H␈εαthe␈α	calculation␈α	can␈α
no␈α␈w␈α	proceed␈α	with␈↓ ε∂␈ελu␈↓ ε6␈εα=␈α
1268,␈↓ π?␈ελv␈↓ πc␈εα=␈α
280,␈↓ λ[␈ελu␈↓ 		␈εα=␈α
1269,␈↓ 
∪␈ελv␈↓ 
>␈εα=␈α
279,
␈βπx␈↓ ↓H␈εαetc.␈α⊗With␈α∂a␈α⊂larger␈α∂accum␈α␈ulator,␈α⊃more␈α∂steps␈α⊂could␈α∂be␈α⊂done␈α∂by␈α∂single-precision
␈βλ#␈↓ ↓H␈εαcalculations;␈α
our␈α
example␈α
sho␈α␈w␈α␈ed␈α	that␈α
only␈α
|v␈α␈e␈α
cy␈α␈cles␈α	of␈α
Euclid's␈α
algorithm␈α	w␈α␈ere
␈βλN␈↓ ↓H␈εαcom␈α␈bined␈α
in␈α␈to␈αone␈α
m␈α␈ultiple␈αstep,␈α
but␈αwith␈α
(say)␈αa␈α
w␈α␈ord␈αsize␈α
of␈α10␈α
digits␈αw␈α␈e␈α
could
␈βλz␈↓ ↓H␈εαdo␈α∞about␈α∂t␈α␈w␈α␈elv␈α␈e␈α∂cy␈α␈cles␈α∂at␈α∂a␈α∞time.␈α∃(Results␈α∂pro␈α␈v␈α␈ed␈α∞in␈α∂Section␈α∂4.5.3␈α∂imply␈α∞that
␈β	%␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∂m␈α␈ultiple-precision␈α∂cy␈α␈cles␈α∂that␈α∞can␈α∂be␈α∂replaced␈α∂at␈α∂each␈α∞iteration
␈β	P␈↓ ↓H␈εαis␈α∂essen␈α␈tially␈α⊂proportional␈α∂to␈α∂the␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α⊂digits␈α∂used␈α⊂in␈α∂the␈α∂single-precision
␈β	{␈↓ ↓H␈εαcalculations.)
␈β
&␈↓ α␈εαLehmer's␈αmethod␈αcan␈αbe␈αform␈α␈ulated␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β
b␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α∂L␈εα␈α⊂(␈ε∂Euclid's␈α∂algorithm␈α⊂for␈α∂large␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈↓ πy␈εα)␈ε∩.␈εα␈α Let␈↓ λt␈ελu␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	~␈ελv␈↓ 	<␈εαbe␈α∂nonnegativ␈α␈e
␈β
␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiprecision␈αin␈α␈tegers,␈αwith␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬0␈ε⊗∃␈↓ ¬↑␈ελv␈↓ ¬q␈εα.␈αThis␈αalgorithm␈αcomputes␈αthe␈αgreatest␈αcom-
␈β8␈↓ ↓H␈εαmon␈α
divisor␈α
of␈↓ β3␈ελu␈↓ βS␈εαand␈↓ ∧↔␈ελv␈↓ ∧*␈εα,␈α
making␈αuse␈α
of␈α
auxiliary␈α
single-precision␈↓ 	0␈ελp␈↓ 	B␈εα-digit␈α
variables
␈βc␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα,␈↓ ↓s␈ελv␈↓ αε␈εα,␈↓ α≤␈ελA␈↓ α4␈εα,␈↓ αJ␈ελB␈↓ αb␈εα,␈↓ αx␈ελC␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β,␈ελD␈↓ βG␈εα,␈↓ β]␈ελT␈↓ βv␈εα,␈↓ ∧␈ελq␈↓ ∧≤␈εα,␈αand␈αauxiliary␈αm␈α␈ultiple-precision␈αvariables␈↓ 	K␈ελt␈↓ 	d␈εαand␈↓ 
*␈ελw␈↓ 
E␈εα.
␈β↔␈↓ ↓L␈ε∩L1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α%If␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧'␈εαis␈α∪small␈α∩enough␈α∪to␈α∩be␈α∪represen␈α␈ted␈α∩as␈α∪a␈α∩single-precision
␈βB␈↓ α␈εαvalue,␈α∞calculate␈↓ ∧⊂␈εαgcd␈↓ ∧F␈εα(␈↓ ∧R␈ελu␈↓ ∧h␈εα,␈↓ ∧x␈ελv␈↓ ¬
␈εα)␈α∞by␈α∞Algorithm␈α∞A␈α
and␈α∞terminate␈α∞the␈α
computation.
␈βm␈↓ α␈εαOtherwise,␈αlet␈↓ βs␈ελu␈↓ βu␈εα∂␈↓ ∧∀␈εαbe␈αthe␈↓ ¬␈ελp␈↓ ¬≡␈εαleading␈αdigits␈αof␈↓ π$␈ελu␈↓ π:␈εα,␈αand␈αlet␈↓ λH␈εα∂␈↓ λH␈ελv␈↓ λf␈εαbe␈αthe␈αcorresponding
␈β
∪␈↓ 
K␈εk
␈β
_␈↓ α␈εαdigits␈αof␈↓ β⊗␈ελv␈↓ β)␈εα;␈αin␈αother␈αw␈α␈ords,␈αif␈αradix-␈↓ ε4␈ελb␈↓ εM␈εαnotation␈αis␈αbeing␈αused,␈↓ 	9␈ελu␈↓ 	;␈εα∂␈↓ 	Y␈ε⊗ ␈α
b␈↓ 
∃␈ελu␈↓ 
+␈εα/␈↓ 
=␈ελb␈↓ 
Y␈ε⊗c␈εα␈αand
␈β
>␈↓ β$␈εk
␈β
D␈↓ α␈εα∂␈↓ α␈ελv␈↓ α/␈ε⊗ ␈α⊂b␈↓ αq␈ελv␈↓ ββ␈εα/␈↓ β∃␈ελb␈↓ β2␈ε⊗c␈εα,␈α⊃where␈↓ ∧F␈ελk␈↓ ∧g␈εαis␈α⊂as␈α∂small␈α⊂as␈α∂possible␈α⊂consisten␈α␈t␈α∂with␈α⊂the␈α∂condition
␈β
j␈↓ αh␈εp
␈β
o␈↓ α␈ελu␈↓ α∞␈εα∂␈↓ α,␈εα<␈↓ αZ␈ελb␈↓ αw␈εα.
␈β∞~␈↓ αP␈εαSet␈↓ β∩␈ελA␈↓ β;␈ε⊗ ␈εα␈α⊂1,␈↓ ∧≤␈ελB␈↓ ∧D␈ε⊗ ␈εα␈α⊃0,␈↓ ¬&␈ελC␈↓ ¬S␈ε⊗ ␈εα␈α⊃0,␈↓ ε5␈ελD␈↓ ε`␈ε⊗ ␈εα␈α⊂1.␈α_(These␈α⊂variables␈α⊂represen␈α␈t␈α∂the
␈β∞E␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αin␈α(28),␈αwhere
␈β∂⊂␈↓ ∧6␈ελu␈↓ ∧U␈εα=␈↓ ¬β␈ελA␈↓ ¬≠␈ελu␈↓ ¬F␈εα+␈↓ ¬r␈ελB␈↓ ε
␈ελv␈↓ ε)␈εα,␈↓ π↓␈ελv␈↓ π≥␈εα=␈↓ πK␈ελC␈↓ πi␈ελu␈↓ λ∀␈εα+␈↓ λ@␈ελD␈↓ λ[␈ελv␈↓ λy␈εα,␈↓ 
p␈εα(29)
␈β∂≥␈↓ ¬0␈ε¬0␈↓ ε~␈ε¬0␈↓ π⎇␈ε¬0␈↓ λk␈ε¬0
␈β∂Z␈↓ α␈εαin␈α	the␈α
equivalen␈α␈t␈α	actions␈α	of␈α
Algorithm␈α	A␈α	on␈α
m␈α␈ultiprecision␈α	n␈α␈um␈α␈bers.␈αWe␈α	also
␈β⊂¬␈↓ α␈εαhav␈α␈e
␈β⊂J␈↓ α"␈ε→0␈↓ ∧.␈ε→0␈↓ ε<␈ε→0␈α↓0␈↓ λO␈ε→00
␈β⊂P␈↓ α␈ελu␈↓ α3␈εα=␈↓ αa␈ελu␈↓ αc␈εα∂␈↓ α␈␈εα+␈↓ β+␈ελB␈↓ βC␈εα,␈↓ ∧≠␈ελv␈↓ ∧?␈εα=␈↓ ∧m␈εα∂␈↓ ∧m␈ελv␈↓ ¬λ␈εα+␈↓ ¬4␈ελD␈↓ ¬O␈εα,␈↓ ε'␈ελu␈↓ εU␈εα=␈↓ πβ␈ελu␈↓ π¬␈εα∂␈↓ π ␈εα+␈↓ πL␈ελA␈↓ πd␈εα,␈↓ λ<␈ελv␈↓ λh␈εα=␈↓ 	⊗␈εα∂␈↓ 	⊗␈ελv␈↓ 	0␈εα+␈↓ 	\␈ελC␈↓ 
p␈εα(30)
␈β⊃~␈↓ α␈εαin␈αterms␈αof␈αthe␈αnotation␈αin␈αthe␈αexample␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα326␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα&␈↓ ↓L␈ε∩L2.␈↓ α␈εα[Test␈α
quotien␈α␈t.]␈α~Set␈↓ ∧W␈ελq␈↓ ∧r␈ε⊗ ␈αb␈εα(␈↓ ¬;␈ελu␈↓ ¬=␈εα∂␈↓ ¬Y␈εα+␈↓ εε␈ελA␈↓ ε≡␈εα)/(␈↓ εH␈εα∂␈↓ εH␈ελv␈↓ εc␈εα+␈↓ π⊂␈ελC␈↓ π-␈εα)␈ε⊗c␈εα.␈α∞If␈↓ λ∧␈ελq␈↓ λ∨␈ε⊗≤␈αb␈εα(␈↓ λh␈ελu␈↓ λj␈εα∂␈↓ 	ε␈εα+␈↓ 	3␈ελB␈↓ 	K␈εα)/(␈↓ 	u␈εα∂␈↓ 	u␈ελv␈↓ 
⊂␈εα+␈↓ 
<␈ελD␈↓ 
X␈εα)␈ε⊗c␈εα,␈αgo
␈βαL␈↓ ¬n␈ε→0␈↓ ε=␈ε→00
␈βαQ␈↓ α␈εαto␈αstep␈αL4.␈α(This␈αstep␈αtests␈αif␈↓ ¬↑␈ελq␈↓ ¬␈␈ε⊗≤␈↓ ε-␈ελq␈↓ εK␈εα,␈αin␈αthe␈αnotation␈αof␈α
the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample.
␈βα⎇␈↓ α␈εαNote␈α	that␈α
single-precision␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α	can␈α	occur␈α
in␈α	special␈α	circumstances␈α	during
␈ββ#␈↓ λ#␈εp
␈ββ(␈↓ α␈εαthe␈αcomputation␈α
in␈αthis␈α
step,␈αbut␈αonly␈α
when␈↓ πG␈ελu␈↓ πI␈εα∂␈↓ πf␈εα=␈↓ λ∀␈ελb␈↓ λ8␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αand␈↓ 	C␈ελA␈↓ 	e␈εα=␈α
1␈αor␈α
when
␈ββN␈↓ αe␈εp
␈ββS␈↓ α␈εα∂␈↓ α␈ελv␈↓ α)␈εα=␈↓ αW␈ελb␈↓ α|␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αand␈↓ ∧␈ελD␈↓ ∧1␈εα=␈α
1;␈αthe␈αconditions
␈β∧~␈↓ ε≡␈εp␈↓ λt␈εp
␈β∧ ␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧H␈ε⊗∀␈↓ ∧v␈ελu␈↓ ∧x␈εα∂␈↓ ¬∪␈εα+␈↓ ¬?␈ελA␈↓ ¬a␈ε⊗∀␈↓ ε∂␈ελb␈↓ ε-␈εα,␈↓ ε␈␈εα0␈↓ π≠␈ε⊗∀␈↓ πI␈ελv␈↓ πJ␈εα∂␈↓ πd␈εα+␈↓ λ⊂␈ελC␈↓ λ7␈εα<␈↓ λe␈ελb␈↓ 	β␈εα,
␈β∧;␈↓ 
p␈εα(31)
␈β∧P␈↓ ε≡␈εp␈↓ λq␈εp
␈β∧V␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧H␈ε⊗∀␈↓ ∧v␈ελu␈↓ ∧x␈εα∂␈↓ ¬∪␈εα+␈↓ ¬?␈ελB␈↓ ¬b␈εα<␈↓ ε⊂␈ελb␈↓ ε-␈εα,␈↓ ε␈␈εα0␈↓ π≠␈ε⊗∀␈↓ πI␈ελv␈↓ πJ␈εα∂␈↓ πd␈εα+␈↓ λ⊂␈ελD␈↓ λ5␈ε⊗∀␈↓ λc␈ελb
␈β¬$␈↓ α␈εαwill␈α⊃always␈α⊃hold,␈α∪because␈α⊃of␈α⊃(30).␈α≤It␈α⊃is␈α⊃possible␈α⊃to␈α⊃hav␈α␈e␈↓ 	5␈ελv␈↓ 	6␈εα∂␈↓ 	S␈εα+␈↓ 
β␈ελC␈↓ 
3␈εα=␈α∩0␈α⊃or
␈β¬P␈↓ α␈εα∂␈↓ α␈ελv␈↓ α'␈εα+␈↓ αS␈ελD␈↓ αy␈εα=␈α0,␈α
but␈αnot␈α
both␈αsim␈α␈ultaneously;␈α
therefore␈αdivision␈α
by␈αzero␈α
in␈αthis
␈β¬{␈↓ α␈εαstep␈αis␈αtak␈α␈en␈αto␈αmean␈α\Go␈αdirectly␈αto␈αL4.")
␈βε0␈↓ ↓L␈ε∩L3.␈↓ α␈εα[Em␈α␈ulate␈αEuclid.]␈α_Set␈↓ ∧s␈ελT␈↓ ¬⊗␈ε⊗ ␈↓ ¬D␈ελA␈↓ ¬d␈ε⊗␈␈↓ ε∂␈ελq␈↓ ε∨␈ελC␈↓ ε=␈εα,␈↓ εR␈ελA␈↓ εt␈ε⊗ ␈↓ π"␈ελC␈↓ π@␈εα,␈↓ πU␈ελC␈↓ π|␈ε⊗ ␈↓ λ*␈ελT␈↓ λD␈εα,␈↓ λY␈ελT␈↓ λ⎇␈ε⊗ ␈↓ 	+␈ελB␈↓ 	K␈ε⊗␈␈↓ 	v␈ελq␈↓ 
ε␈ελD␈↓ 
!␈εα,␈↓ 
7␈ελB␈↓ 
Y␈ε⊗ ␈↓ π␈ελD␈↓ "␈εα,
␈βε<␈↓ 	S␈ε↓␈
␈βε[␈↓ α␈ελD␈↓ α1␈ε⊗ ␈↓ α←␈ελT␈↓ αx␈εα,␈↓ β∞␈ελT␈↓ β1␈ε⊗ ␈↓ β←␈ελu␈↓ βa␈εα∂␈↓ β⎇␈ε⊗␈␈↓ ∧(␈ελq␈↓ ∧8␈ελv␈↓ ∧9␈εα∂␈↓ ∧K␈εα,␈↓ ∧a␈ελu␈↓ ∧c␈εα∂␈↓ ¬␈ε⊗ ␈↓ ¬.␈ελv␈↓ ¬/␈εα∂␈↓ ¬A␈εα,␈↓ ¬W␈εα∂␈↓ ¬W␈ελv␈↓ ¬t␈ε⊗ ␈↓ ε"␈ελT␈↓ ε;␈εα,␈αand␈αgo␈αback␈αto␈αstep␈αL2.␈↓ 	a␈εαThese␈αsingle-
␈βππ␈↓ α␈εαprecision␈αcalculations␈αare␈αthe␈αequivalen␈α␈t␈αof␈αm␈α␈ultiple-precision␈αoperations,␈αas
␈βπ∩␈↓ ε←␈ε↓↓
␈βπ2␈↓ α␈εαin␈α(28),␈αunder␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αof␈α(29).
␈βπg␈↓ ↓L␈ε∩L4.␈↓ α␈εα[Multiprecision␈α⊂step.]␈α!If␈↓ ¬#␈ελB␈↓ ¬L␈εα=␈α⊃0,␈α⊃set␈↓ εj␈ελt␈↓ πλ␈ε⊗ ␈↓ π=␈ελu␈↓ πY␈εαmod␈↓ λ#␈ελv␈↓ λ5␈εα,␈↓ λP␈ελu␈↓ λw␈ε⊗ ␈↓ 	,␈ελv␈↓ 	?␈εα,␈↓ 	Z␈ελv␈↓ 	⎇␈ε⊗ ␈↓ 
2␈ελt␈↓ 
?␈εα,␈α⊃using
␈βλ∪␈↓ α␈εαm␈α␈ultiple-precision␈αdivision.␈α(This␈αhappens␈αonly␈αif␈αthe␈αsingle-precision␈α
opera-
␈βλ>␈↓ α␈εαtions␈α
cannot␈α
sim␈α␈ulate␈α	an␈α␈y␈α
of␈α
the␈α
m␈α␈ultiprecision␈α
ones.␈αIt␈α
implies␈α
that␈α	Euclid's
␈βλi␈↓ α␈εαalgorithm␈α∞requires␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α
large␈α∞quotien␈α␈t,␈α∞and␈α∞this␈α∞is␈α∞an␈α∞extremely␈α∞rare␈α
oc-
␈β	∀␈↓ α␈εαcurrence.)␈α∃Otherwise,␈α⊂set␈↓ ¬-␈ελt␈↓ ¬I␈ε⊗ ␈↓ ¬|␈ελA␈↓ ε∀␈ελu␈↓ ε*␈εα,␈↓ εD␈ελt␈↓ ε`␈ε⊗ ␈↓ π∩␈ελt␈↓ π)␈εα+␈↓ πW␈ελB␈↓ πp␈ελv␈↓ λα␈εα,␈↓ λ≤␈ελw␈↓ λF␈ε⊗ ␈↓ λy␈ελC␈↓ 	⊗␈ελu␈↓ 	,␈εα,␈↓ 	E␈ελw␈↓ 	o␈ε⊗ ␈↓ 
"␈ελw␈↓ 
G␈εα+␈↓ 
u␈ελD␈↓ ⊂␈ελv␈↓ "␈εα,
␈β	?␈↓ α␈ελu␈↓ α,␈ε⊗ ␈↓ αZ␈ελt␈↓ αg␈εα,␈↓ α|␈ελv␈↓ β→␈ε⊗ ␈↓ βG␈ελw␈↓ βl␈εα(using␈αstraigh␈α␈tforward␈αm␈α␈ultiprecision␈αoperations).␈αGo␈αback␈α
to
␈β	k␈↓ α␈εαstep␈αL1.
␈β	p␈↓ β4␈∧	pβ4≠∂
␈β
*␈↓ α␈εαThe␈α
values␈α	of␈↓ βg␈ελA␈↓ β␈␈εα,␈↓ ∧∪␈ελB␈↓ ∧+␈εα,␈↓ ∧?␈ελC␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ∧p␈ελD␈↓ ¬∃␈εαremain␈α	as␈α
single-precision␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
throughout␈α	this
␈β
U␈↓ ↓H␈εαcalculation,␈αbecause␈αof␈α(31).
␈β↓␈↓ α␈εαAlgorithm␈αλL␈α	requires␈αλa␈αλsomewhat␈αλmore␈α	complicated␈αλprogram␈αλthan␈αλAlgorithm
␈β,␈↓ ↓H␈εαB␈↓ ↓`␈εα,␈α
but␈α
with␈α	large␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
it␈α	will␈α
be␈α
faster␈α	on␈α
man␈α␈y␈α
computers.␈αAlgorithm␈α
B␈α	can,
␈βW␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂be␈α∂speeded␈α∂up␈α∞in␈α∂a␈α∂similar␈α∂way␈α∞(see␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂34),␈α∂to␈α∂the␈α∂poin␈α␈t␈α∞where
␈βα␈↓ ↓H␈εαit␈α∂con␈α␈tin␈α␈ues␈α∂to␈α⊂win.␈α⊗Algorithm␈α∂L␈α∂has␈α⊂the␈α∂advan␈α␈tage␈α∂that␈α∂it␈α⊂can␈α∂be␈α∂extended,
␈β-␈↓ ↓H␈εαas␈α
in␈α
Algorithm␈α
X␈α∞(see␈α
ex␈α␈ercise␈α
17);␈α∞furthermore,␈α
it␈α∞determines␈α
the␈α
sequence␈α
of
␈βY␈↓ ↓H␈εαquotien␈α␈ts␈α∞obtained␈α∞in␈α
Euclid's␈α∞algorithm,␈α∂and␈α∞this␈α∞yields␈α∞the␈α∞regular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued
␈β
∧␈↓ ↓H␈εαfraction␈αexpansion␈αof␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α4.5.3↑18).
␈β
D␈↓ ↓H␈ε∩Analysis␈αof␈αthe␈αbinary␈α
algorithm.␈εα␈α→Let␈α
us␈αconclude␈αthis␈α
section␈αby␈αstudying␈αthe
␈β
o␈↓ ↓H␈εαrunning␈αtime␈αof␈αAlgorithm␈αB␈↓ ¬∞␈εα,␈αin␈αorder␈αto␈αjustify␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αstated␈αearlier.
␈β∞~␈↓ α␈εαAn␈αλexact␈α	determination␈αλof␈α	the␈αλbehavior␈α	of␈αλAlgorithm␈α	B␈αλappears␈α	to␈αλbe␈αλex␈α␈ceed-
␈β∞E␈↓ ↓H␈εαingly␈α	di}cult␈α	to␈α	deriv␈α␈e,␈α
but␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	begin␈α	to␈α
study␈α	it␈α	by␈α	means␈α	of␈α	an␈α	appro␈α␈ximate
␈β∞p␈↓ ↓H␈εαmodel␈αof␈αits␈αbehavior.␈αSuppose␈αthat␈↓ εε␈ελu␈↓ ε'␈εαand␈↓ εm␈ελv␈↓ π␈εαare␈αodd␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αwith␈↓ 	z␈ελu␈↓ 
~␈εα>␈↓ 
H␈ελv␈↓ 
g␈εαand
␈β∂E␈↓ ∧d␈ε⊗b␈↓ ∧r␈εαlg␈↓ ¬∀␈ελu␈↓ ¬*␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ ¬p␈ελm␈↓ ε∂␈εα,␈ε⊗␈↓ εgb␈↓ εu␈εαlg␈↓ π↔␈ελv␈↓ π*␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ πp␈ελn␈↓ λε␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈β∂y␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ 	R␈ε↓↓
␈β⊂→␈↓ ↓V␈εαTh␈α␈us,␈↓ α9␈ελu␈↓ αY␈εαis␈α
an␈α
(␈↓ β7␈ελm␈↓ β\␈εα+␈α¬1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber,␈α
and␈↓ ε3␈ελv␈↓ εP␈εαis␈α
an␈α
(␈↓ π.␈ελn␈↓ πI␈εα+␈α¬1)-bit␈α
n␈α␈um␈α␈ber.␈↓ 	j␈εαAlgorithm␈α
B
␈β⊂?␈↓ 
Y␈ε→0
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαforms␈↓ α*␈ελu␈↓ αF␈ε⊗␈␈↓ αp␈ελv␈↓ β∞␈εαand␈α
shifts␈αthis␈αquan␈α␈tity␈α
righ␈α␈t␈αun␈α␈til␈α
obtaining␈αan␈αodd␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
C␈ελu␈↓ 
j␈εαthat
␈β⊂j␈↓ 	Q␈ε→0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαreplaces␈↓ αP␈ελu␈↓ αf␈εα.␈α∞Under␈α
random␈α
conditions,␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈αexpect␈α
to␈α
hav␈α␈e␈↓ 	<␈ελu␈↓ 	d␈εα=␈α(␈↓ 
∨␈ελu␈↓ 
=␈ε⊗␈␈↓ 
j␈ελv␈↓ 
|␈εα)/2
␈β⊃∃␈↓ ¬↔␈ε→0␈↓ 
v␈ε→0
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαabout␈α
one-half␈α
of␈α
the␈α
time,␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬*␈εα=␈α(␈↓ ¬e␈ελu␈↓ ε∧␈ε⊗␈␈↓ ε1␈ελv␈↓ εC␈εα)/4␈α
about␈α
one-fourth␈α
of␈α
the␈α∞time,␈↓ 
`␈ελu␈↓ λ␈εα=
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα327
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελu␈↓ ↓q␈ε⊗␈␈↓ α≥␈ελv␈↓ α0␈εα)/8␈αabout␈αone-eigh␈α␈th␈αof␈αthe␈αtime,␈αand␈αso␈αon.␈αWe␈αhav␈α␈e
␈βαq␈↓ ¬]␈ε→0
␈βαw␈↓ ¬↔␈ε⊗b␈↓ ¬%␈εαlg␈↓ ¬G␈ελu␈↓ ¬d␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ ε*␈ελm␈↓ εR␈ε⊗␈␈↓ ε}␈ελk␈↓ π↔␈ε⊗␈␈↓ πC␈ελr␈↓ πS␈εα,␈↓ 
p␈εα(33)
␈ββG␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α5␈ελk␈↓ αX␈εαis␈α⊃the␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃places␈α⊃that␈↓ ε<␈ελu␈↓ ε]␈ε⊗␈␈↓ π␈ελv␈↓ π0␈εαis␈α⊃shifted␈α⊃righ␈α␈t,␈α∪and␈α⊃where␈↓ 
t␈ελr␈↓ ∀␈εαis
␈ββs␈↓ ↓H␈ε⊗b␈↓ ↓V␈εαlg␈↓ ↓x␈ελu␈↓ α
␈ε⊗c␈α
␈␈α	b␈↓ α`␈εαlg␈↓ α|␈εα(␈↓ βλ␈ελu␈↓ β'␈ε⊗␈␈↓ βT␈ελv␈↓ βg␈εα)␈ε⊗c␈εα,␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞bits␈α∞lost␈α∞at␈α∞the␈α∞left␈α∞during␈α∞the␈α
subtraction
␈β∧≡␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓s␈ελv␈↓ α∪␈εαfrom␈↓ αj␈ελu␈↓ α␈␈εα.␈α⊂Note␈α
that␈↓ ∧A␈ελr␈↓ ∧\␈ε⊗∀␈εα␈α1␈α
when␈↓ ε
␈ελm␈↓ ε6␈ε⊗∃␈↓ εe␈ελn␈↓ π∧␈εα+␈αλ2,␈α∞and␈↓ λ!␈ελr␈↓ λ<␈ε⊗∃␈εα␈α1␈α
when␈↓ 	j␈ελm␈↓ 
⊗␈εα=␈↓ 
F␈ελn␈↓ 
[␈εα.␈α∂For
␈β∧I␈↓ ↓H␈εαsimplicity,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α	assume␈α
that␈↓ ¬0␈ελr␈↓ ¬J␈εα=␈α
0␈α	when␈↓ εo␈ελm␈↓ π→␈ε⊗≤␈↓ πG␈ελn␈↓ πf␈εαand␈α
that␈↓ λv␈ελr␈↓ 	⊂␈εα=␈α
1␈α	when␈↓ 
5␈ελm␈↓ 
←␈εα=␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα,
␈β∧o␈↓ εp␈ε→0
␈β∧t␈↓ ↓H␈εαalthough␈αthis␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αbound␈αtends␈αto␈αmak␈α␈e␈↓ ε[␈ελu␈↓ π∧␈εαseem␈αlarger␈αthan␈αit␈αusually␈αis.
␈β¬∨␈↓ α␈εαThe␈α∞appro␈α␈ximate␈α
model␈α∞w␈α␈e␈α∞shall␈α∞use␈α
to␈α∞study␈α∞Algorithm␈α
B␈α∞is␈α∞based␈α
solely
␈β¬K␈↓ ↓H␈εαon␈α
the␈α
values␈↓ β ␈ελm␈↓ βJ␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ∧ε␈εαlg␈↓ ∧(␈ελu␈↓ ∧>␈ε⊗c␈εα␈α
and␈↓ ¬~␈ελn␈↓ ¬:␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ¬v␈εαlg␈↓ ε_␈ελv␈↓ ε+␈ε⊗c␈εα␈α
throughout␈α
the␈αcourse␈α
of␈α
the␈α
algorithm,
␈β¬v␈↓ ↓H␈εαnot␈α∞on␈α∂the␈α∞actual␈α∂values␈α∞of␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬/␈εαand␈↓ ¬x␈ελv␈↓ ε
␈εα.␈α∀Let␈α∂us␈α∞call␈α∂this␈α∞appro␈α␈ximation␈α∂a␈ε∂␈α∞lattice-
␈βε!␈↓ ↓H␈ε∂poin␈α␈t␈α
model␈εα,␈α
since␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
say␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
\at␈α
the␈α
poin␈α␈t␈α(␈↓ λ8␈ελm␈↓ λW␈εα,␈↓ λg␈ελn␈↓ λ⎇␈εα)"␈α
when␈ε⊗␈α
b␈↓ 
∂␈εαlg␈↓ 
1␈ελu␈↓ 
G␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ 
␈ελm
␈βεG␈↓ 	P␈ε→0
␈βεL␈↓ ↓H␈εαand␈ε⊗␈α∞b␈↓ α≡␈εαlg␈↓ α@␈ελv␈↓ αS␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ β ␈ελn␈↓ β5␈εα.␈α∪From␈α∞poin␈α␈t␈α∞(␈↓ ¬!␈ελm␈↓ ¬A␈εα,␈↓ ¬Q␈ελn␈↓ ¬f␈εα)␈α∞the␈α∂algorithm␈α∞tak␈α␈es␈α∞us␈α∞to␈α∞(␈↓ 	0␈ελm␈↓ 	W␈εα,␈↓ 	g␈ελn␈↓ 	⎇␈εα)␈α∞if␈↓ 
;␈ελu␈↓ 
↑␈εα>␈↓ ⊂␈ελv␈↓ "␈εα,
␈βεr␈↓ αx␈ε→0
␈βεw␈↓ ↓H␈εαor␈α∂to␈α⊂(␈↓ α3␈ελm␈↓ αR␈εα,␈↓ αb␈ελn␈↓ α␈␈εα)␈α⊂if␈↓ β@␈ελu␈↓ βe␈εα<␈↓ ∧→␈ελv␈↓ ∧,␈εα,␈α⊂or␈α⊂terminates␈α∂if␈↓ εQ␈ελu␈↓ εv␈εα=␈↓ π*␈ελv␈↓ π=␈εα.␈α⊗For␈α⊂example,␈α⊂the␈α∂calculation
␈βπ#␈↓ ↓H␈εαstarting␈α
with␈↓ β"␈ελu␈↓ βD␈εα=␈α20451,␈↓ ∧e␈ελv␈↓ ¬∧␈εα=␈α6035␈α
that␈α
is␈α∞tabulated␈α
after␈α
Algorithm␈α
B␈α
begins
␈βπN␈↓ ↓H␈εαat␈α∂the␈α∂poin␈α␈t␈α∂(14,␈αε12),␈α⊂then␈α∂goes␈α∂to␈α∂(9,␈αε12),␈α⊂(9,␈αε11),␈α⊂(9,␈αε9),␈α⊂4,␈αε9),␈α⊂(4,␈αε5),␈α⊂(4,␈αε4),␈α∂and
␈βπy␈↓ ↓H␈εαterminates.␈αIn␈αline␈αwith␈αthe␈αcommen␈α␈ts␈αof␈αthe␈αpreceding␈αparagraph,␈αw␈α␈e␈αwill␈α
mak␈α␈e
␈βλ$␈↓ ↓H␈εαthe␈α
follo␈α␈wing␈α
assumptions␈α
about␈αthe␈α
probability␈α
that␈α
w␈α␈e␈αreach␈α
a␈α
giv␈α␈en␈α
poin␈α␈t␈α
just
␈βλO␈↓ ↓H␈εαafter␈αpoin␈α␈t␈α(␈↓ βπ␈ελm␈↓ β&␈εα,␈↓ β6␈ελn␈↓ βL␈εα):
␈β	λ␈↓ β¬␈εαCase␈α1,␈↓ ∧¬␈ελm␈↓ ∧/␈εα>␈↓ ∧]␈ελn␈↓ ∧s␈εα.␈↓ πx␈εαCase␈α2,␈↓ λx␈ελm␈↓ 	!␈εα<␈↓ 	O␈ελn␈↓ 	e␈εα.
␈β	>␈↓ α%␈εαNext␈αpoin␈α␈t␈↓ ∧-␈εαProbability␈↓ π↔␈εαNext␈αpoin␈α␈t␈↓ 	∨␈εαProbability
␈β	q␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ 	p␈ε¬1
␈β	t␈↓ α)␈εα(␈↓ α5␈ελm␈↓ α\␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈↓ β*␈ελn␈↓ β@␈εα)␈↓ π≠␈εα(␈↓ π'␈ελm␈↓ πG␈εα,␈↓ πW␈ελn␈↓ πt␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β
∧␈↓ ∧}␈∧
∧∧}α∂␈↓ 	p␈∧
∧	pα∂
␈β
π␈↓ ∧}␈ε¬2␈↓ 	p␈ε¬2
␈β
 ␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ 	p␈ε¬1
␈β
#␈↓ α)␈εα(␈↓ α5␈ελm␈↓ α\␈ε⊗␈␈εα␈αλ2,␈↓ β*␈ελn␈↓ β@␈εα)␈↓ π≠␈εα(␈↓ π'␈ελm␈↓ πG␈εα,␈↓ πW␈ελn␈↓ πt␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)
␈β
3␈↓ ∧}␈∧
3∧}α∂␈↓ 	p␈∧
3	pα∂
␈β
6␈↓ ∧}␈ε¬4␈↓ 	p␈ε¬4
␈β
N␈↓ αe␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	b␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β
t␈↓ ∧z␈εm␈↓ ¬∪␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	p␈εn␈↓ 
α␈ε→␈␈ε¬1
␈β
v␈↓ ∧[␈ε¬1␈↓ 	R␈ε¬1
␈β
y␈↓ αR␈εα(1,␈↓ β␈ελn␈↓ β⊗␈εα)␈↓ ∧K␈εα(␈↓ ∧n␈εα)␈↓ π@␈εα(␈↓ πL␈ελm␈↓ πl␈εα,␈αε1)␈↓ 	B␈εα(␈↓ 	d␈εα)
␈β	␈↓ ∧[␈∧	∧[α∂␈↓ 	R␈∧		Rα∂
␈β␈↓ ∧[␈ε¬2␈↓ 	R␈ε¬2
␈β#␈↓ ∧z␈εm␈↓ ¬∪␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	p␈εn␈↓ 
α␈ε→␈␈ε¬1
␈β%␈↓ ∧[␈ε¬1␈↓ 	R␈ε¬1
␈β(␈↓ αR␈εα(0,␈↓ β␈ελn␈↓ β⊗␈εα)␈↓ ∧K␈εα(␈↓ ∧n␈εα)␈↓ π@␈εα(␈↓ πL␈ελm␈↓ πl␈εα,␈αε0)␈↓ 	B␈εα(␈↓ 	d␈εα)
␈β8␈↓ ∧[␈∧8∧[α∂␈↓ 	R␈∧8	Rα∂
␈β;␈↓ ∧[␈ε¬2␈↓ 	R␈ε¬2
␈βb␈↓ ¬→␈εαCase␈α3,␈↓ ε→␈ελm␈↓ εC␈εα=␈↓ εq␈ελn␈↓ π⊃␈εα>␈α
0.
␈β_␈↓ ∧∪␈εαNext␈αpoin␈α␈t␈↓ λ
␈εαProbability
␈βK␈↓ λD␈ε¬1␈↓ λq␈ε¬1
␈βN␈↓ β:␈εα(␈↓ βF␈ελm␈↓ βn␈ε⊗␈␈εα␈αλ2,␈↓ ∧<␈ελn␈↓ ∧R␈εα),␈α(␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬∨␈εα,␈↓ ¬/␈ελn␈↓ ¬M␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈↓ λW␈εα,
␈β←␈↓ λD␈∧←λDα∂␈↓ λq␈∧←λqα∂
␈βa␈↓ λD␈ε¬4␈↓ λq␈ε¬4
␈βz␈↓ λD␈ε¬1␈↓ λq␈ε¬1
␈β⎇␈↓ β:␈εα(␈↓ βF␈ελm␈↓ βn␈ε⊗␈␈εα␈αλ3,␈↓ ∧<␈ελn␈↓ ∧R␈εα),␈α(␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬∨␈εα,␈↓ ¬/␈ελn␈↓ ¬M␈ε⊗␈␈εα␈αλ3)␈↓ λW␈εα,
␈β

␈↓ λD␈∧

λDα∂␈↓ λq␈∧

λqα∂
␈β
⊂␈↓ λD␈ε¬8␈↓ λq␈ε¬8
␈β
(␈↓ ∧T␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λM␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β
O␈↓ λ=␈εm␈↓ 	≠␈εm
␈β
P␈↓ λ≡␈ε¬1␈↓ λ⎇␈ε¬1
␈β
T␈↓ ∧	␈εα(0,␈↓ ∧7␈ελn␈↓ ∧M␈εα),␈α(␈↓ ∧{␈ελm␈↓ ¬~␈εα,␈αε0)␈↓ λ∞␈εα(␈↓ λ1␈εα)␈↓ λW␈εα,␈α(␈↓ 	∂␈εα)
␈β
d␈↓ λ≡␈∧
dλ≡α∂␈↓ λ⎇␈∧
dλ⎇α∂
␈β
f␈↓ λ≡␈ε¬2␈↓ λ⎇␈ε¬2
␈β
⎇␈↓ λh␈εm␈↓ 	α␈ε→␈␈ε¬1
␈β
␈␈↓ λJ␈ε¬1
␈β∞α␈↓ ∧≥␈εαterminate␈↓ λ:␈εα(␈↓ λ\␈εα)
␈β∞∪␈↓ λJ␈∧∞∪λJα∂
␈β∞∃␈↓ λJ␈ε¬2
␈β∞A␈↓ α␈εαFor␈α∞example,␈α∞from␈α∞poin␈α␈ts␈α∞(5,␈αε3)␈α∞the␈α
lattice-poin␈α␈t␈α∞model␈α∞w␈α␈ould␈α∞go␈α∞to␈α
poin␈α␈ts
␈β∞i␈↓ 	<␈ε¬1␈↓ 	j␈ε¬1␈↓ 
_␈ε¬1␈↓ 
M␈ε¬1␈↓ 	␈ε¬1
␈β∞l␈↓ ↓H␈εα(4,␈αε3),␈α
(3,␈αε3),␈α
(2,␈αε3),␈α∞(1,␈αε3),␈α
(0,␈αε3)␈α
with␈α∞the␈α
respectiv␈α␈e␈α
probabilities␈↓ 	N␈εα,␈↓ 	|␈εα,␈↓ 
*␈εα,␈↓ 
f␈εα,␈↓ "␈εα;
␈β∞|␈↓ 	<␈∧∞|	<α∂␈↓ 	j␈∧∞|	jα∂␈↓ 
_␈∧∞|
_α∂␈↓ 
E␈∧∞|
Eα≥␈↓ α␈∧∞|αα≥
␈β∞␈␈↓ 	<␈ε¬2␈↓ 	j␈ε¬4␈↓ 
_␈ε¬8␈↓ 
E␈ε¬1␈α↓6␈↓ α␈ε¬16
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαfrom␈απ(4,␈αε4)␈αλit␈αλw␈α␈ould␈αλgo␈αλto␈αλ(2,␈αε4),␈αλ(1,␈αε4),␈α	(0,␈αε4),␈α	(4,␈αε2),␈αλ(4,␈αε1),␈α	(4,␈αε0),␈α	or␈αλw␈α␈ould␈απterminate,
␈β∂?␈↓ ¬W␈ε¬1␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ ε;␈ε¬1␈↓ εp␈ε¬1␈↓ π∨␈ε¬1␈↓ πT␈ε¬1␈↓ λ
␈ε¬1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαwith␈α
the␈α∞respectiv␈α␈e␈α
probabilities␈↓ ¬i␈εα,␈↓ ε_␈εα,␈↓ εT␈εα,␈↓ πβ␈εα,␈↓ π1␈εα,␈↓ πn␈εα,␈↓ λ≤␈εα.␈α⊃When␈↓ 	!␈ελm␈↓ 	M␈εα=␈↓ 	}␈ελn␈↓ 
 ␈εα=␈α0,␈α∞the
␈β∂S␈↓ ¬W␈∧∂S¬Wα∂␈↓ ε¬␈∧∂Sε¬α∂␈↓ ε4␈∧∂Sε4α≥␈↓ εp␈∧∂Sεpα∂␈↓ π∨␈∧∂Sπ∨α∂␈↓ πM␈∧∂SπMα≥␈↓ λ
␈∧∂Sλ
α∂
␈β∂U␈↓ ¬W␈ε¬4␈↓ ε¬␈ε¬8␈↓ ε4␈ε¬16␈↓ εp␈ε¬4␈↓ π∨␈ε¬8␈↓ πM␈ε¬1␈α↓6␈↓ λ
␈ε¬8
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ulas␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞do␈α∂not␈α∞apply;␈α⊂the␈α∞algorithm␈α∂always␈α∞terminates␈α∞in␈α∂such␈α∞a␈α∞case,
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α ␈ελm␈↓ αI␈εα=␈↓ αw␈ελn␈↓ β↔␈εα=␈α
0␈αimplies␈αthat␈↓ ¬+␈ελu␈↓ ¬K␈εα=␈↓ ¬y␈ελv␈↓ ε∃␈εα=␈α
1.
␈β⊂D␈↓ α␈εαThe␈α∞detailed␈α∞calculations␈α∞of␈α∂ex␈α␈ercise␈α∞18␈α∞sho␈α␈w␈α∞that␈α∞this␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α∞model
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαis␈α∩somewhat␈α∩pessimistic.␈α∨In␈α∪fact,␈α∀when␈↓ εb␈ελm␈↓ π⊗␈εα>␈α∃3␈α∩the␈α∪actual␈α∩probability␈α∩that
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
B␈αgoes␈α
from␈α(␈↓ ∧B␈ελm␈↓ ∧b␈εα,␈↓ ∧r␈ελm␈↓ ¬⊃␈εα)␈αto␈α
one␈αof␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αpoin␈α␈ts␈α
(␈↓ λ0␈ελm␈↓ λV␈ε⊗␈␈εα␈αε2,␈↓ 	"␈ελm␈↓ 	B␈εα)␈α
or␈α(␈↓ 
∂␈ελm␈↓ 
/␈εα,␈↓ 
?␈ελm␈↓ 
d␈ε⊗␈␈εα␈αε2)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα328␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα!␈↓ αs␈ε¬1␈↓ π↑␈ε¬1
␈βα$␈↓ ↓H␈εαis␈α	equal␈α
to␈↓ β¬␈εα,␈αalthough␈α	w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
assumed␈α
the␈α	value␈↓ πq␈εα;␈α
the␈α
algorithm␈α
actually␈α	goes
␈βα5␈↓ αs␈∧α5αsα∂␈↓ π↑␈∧α5π↑α∂
␈βα7␈↓ αs␈ε¬8␈↓ π↑␈ε¬2
␈βαL␈↓ λo␈ε¬7␈↓ 	b␈ε¬1
␈βαP␈↓ ↓H␈εαfrom␈α(␈↓ α)␈ελm␈↓ αI␈εα,␈↓ αY␈ελm␈↓ αy␈εα)␈αto␈α(␈↓ βH␈ελm␈↓ βp␈ε⊗␈␈εα␈απ3,␈↓ ∧=␈ελm␈↓ ∧]␈εα)␈αor␈α(␈↓ ¬,␈ελm␈↓ ¬L␈εα,␈↓ ¬\␈ελm␈↓ εβ␈ε⊗␈␈εα␈αλ3)␈αwith␈αprobability␈↓ 		␈εα,␈αnot␈↓ 	u␈εα;␈αit␈αactually
␈βα`␈↓ λh␈∧α`λhα≥␈↓ 	b␈∧α`	bα∂
␈βαb␈↓ λh␈ε¬3␈α↓2␈↓ 	b␈ε¬4
␈βαx␈↓ π[␈ε¬1␈↓ λJ␈ε¬1
␈βα{␈↓ ↓H␈εαgoes␈αfrom␈α
(␈↓ αy␈ελm␈↓ β"␈εα+␈αλ1,␈↓ βp␈ελm␈↓ ∧⊂␈εα)␈α
to␈α
(␈↓ ∧b␈ελm␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬⊃␈ελm␈↓ ¬1␈εα)␈α
with␈α
probability␈↓ πn␈εα,␈α
not␈↓ λ\␈εα.␈α∂The␈α
probabilities␈αin
␈ββ␈↓ π[␈∧βπ[α∂␈↓ λJ␈∧βλJα∂
␈ββ∞␈↓ π[␈ε¬8␈↓ λJ␈ε¬2
␈ββ&␈↓ ↓H␈εαthe␈α
model␈αare␈α
nearly␈α
correct␈α
when␈ε⊗␈α
j␈↓ ¬␈␈ελm␈↓ ε'␈ε⊗␈␈↓ εT␈ελn␈↓ εi␈ε⊗j␈εα␈α
is␈α
large,␈α
but␈α
when␈ε⊗␈α
j␈↓ 	4␈ελm␈↓ 	\␈ε⊗␈␈↓ 
	␈ελn␈↓ 
∨␈ε⊗j␈εα␈α
is␈αsmall
␈ββQ␈↓ ↓H␈εαthe␈αmodel␈αpredicts␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αcon␈α␈v␈α␈ergence␈α
than␈αis␈αactually␈αobtained.␈α
In␈αspite␈αof␈αthe
␈ββ|␈↓ ↓H␈εαfact␈α
that␈α
our␈α
model␈α	is␈α
not␈α
a␈α
completely␈α
faithful␈α
represen␈α␈tation␈α
of␈α
Algorithm␈α
B␈↓ ␈εα,␈α
it
␈β∧(␈↓ ↓H␈εαhas␈αone␈α
great␈α
virtue,␈αnamely␈α
that␈α
it␈αcan␈α
be␈α
completely␈αanalyzed!␈α∞Furthermore,
␈β∧S␈↓ ↓H␈εαempirical␈α	experimen␈α␈ts␈α	with␈α	Algorithm␈α	B␈α	sho␈α␈w␈α
that␈α	the␈α	behavior␈α	predicted␈α	by␈α	the
␈β∧}␈↓ ↓H␈εαlattice-poin␈α␈t␈αmodel␈αis␈αanalogous␈αto␈αthe␈αtrue␈αbehavior.
␈β¬)␈↓ α␈εαAn␈α⊃analysis␈α⊂of␈α⊃the␈α⊃lattice-poin␈α␈t␈α⊂model␈α⊃can␈α⊂be␈α⊃carried␈α⊃out␈α⊂by␈α⊃solving␈α⊂the
␈β¬T␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αrather␈αcomplicated␈αset␈αof␈αdouble␈αrecurrence␈αrelations:
␈βε⊂␈↓ βC␈εα1␈↓ ε~␈εα1␈↓ πo␈ελb
␈βε&␈↓ ↓v␈ελA␈↓ αK␈εα=␈↓ αy␈ελa␈↓ β∪␈εα+␈↓ βY␈ελA␈↓ ∧j␈εα+␈↓ ¬⊗␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬H␈εα+␈↓ εS␈ελA␈↓ π~␈εα+␈↓ λ%␈εα,␈↓ 	≠␈εαif␈↓ 	=␈ελm␈↓ 	g␈ε⊗∃␈εα␈α
1;
␈βε4␈↓ α
␈εm␈↓ α'␈εm␈↓ βp␈εm␈↓ ∧	␈ε¬(␈↓ ∧∪␈εm␈↓ ∧-␈ε→␈␈ε¬2)␈↓ εj␈εm␈↓ π∧␈ε¬0
␈βε7␈↓ βC␈∧ε7βCα∩␈↓ ¬x␈∧ε7¬xαX␈↓ πJ␈∧ε7πJαX
␈βε<␈↓ ε
␈εm␈↓ ε$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π\␈εm␈↓ πv␈ε→␈␈ε¬1
␈βε?␈↓ βC␈εα2␈↓ ¬x␈εα2␈↓ πJ␈εα2
␈βεj␈↓ β?␈εα1␈↓ ε∂␈εα1␈↓ πY␈εα1
␈βπ␈↓ ↓}␈ελA␈↓ αK␈εα=␈↓ αy␈ελc␈↓ β∂␈εα+␈↓ βU␈ελA␈↓ ∧↑␈εα+␈↓ ¬
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬<␈εα+␈↓ εG␈ελA␈↓ πε␈εα+␈↓ λ∩␈ελA␈↓ λI␈εα,␈↓ 	≠␈εαif␈↓ 	=␈ελm␈↓ 	g␈εα>␈↓ 
∃␈ελn␈↓ 
4␈ε⊗∃␈εα␈α
0;
␈βπ∞␈↓ α∃␈εm␈↓ α/␈εn␈↓ βl␈ε¬(␈↓ βu␈εm␈↓ ∧∂␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈↓ ∧D␈εn␈↓ ε↑␈ε¬1␈↓ εm␈εn␈↓ λ)␈ε¬0␈↓ λ7␈εn
␈βπ⊃␈↓ β?␈∧π⊃β?α∩␈↓ ¬l␈∧π⊃¬lαX␈↓ π6␈∧π⊃π6αX
␈βπ⊗␈↓ ¬}␈εm␈↓ ε_␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πH␈εm␈↓ πb␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ→␈↓ β?␈εα2␈↓ ¬l␈εα2␈↓ π6␈εα2
␈βπP␈↓ ↓}␈ελA␈↓ αK␈εα=␈↓ αy␈ελA␈↓ β<␈εα,␈↓ 	≠␈εαif␈↓ 	=␈ελn␈↓ 	]␈εα>␈↓ 
␈ελm␈↓ 
4␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈βπ]␈↓ α∃␈εm␈↓ α/␈εn␈↓ β⊂␈εn␈↓ β"␈εm
␈βπu␈↓ 
p␈εα(34)
␈βλ ␈↓ ↓H␈εαThe␈α
problem␈αis␈α
to␈αsolv␈α␈e␈α
for␈↓ ∧v␈ελA␈↓ ¬C␈εαin␈αterms␈αof␈↓ εw␈ελm␈↓ π↔␈εα,␈↓ π,␈ελn␈↓ πA␈εα,␈αand␈αthe␈α
parameters␈↓ 
⊂␈ελa␈↓ 
"␈εα,␈↓ 
7␈ελb␈↓ 
E␈εα,␈↓ 
Z␈ελc␈↓ 
r␈εαand
␈βλ.␈↓ ¬
␈εm␈↓ ¬'␈εn
␈βλL␈↓ ↓H␈ελA␈↓ ↓{␈εα.␈αThis␈αis␈αan␈αin␈α␈teresting␈αset␈αof␈αrecurrence␈αequations,␈αwhich␈αhav␈α␈e␈αan␈α
in␈α␈teresting
␈βλY␈↓ ↓←␈ε¬00
␈βλw␈↓ ↓H␈εαsolution.
␈β	"␈↓ α␈εαFirst␈αw␈α␈e␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αif␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬T␈ελn␈↓ ¬t␈εα<␈↓ ε"␈ελm␈↓ εA␈εα,
␈β	C␈↓ ¬¬␈ε↓X
␈β	`␈↓ ¬o␈ε→␈␈↓ ε␈εk␈↓ λ
␈ε→␈␈↓ λ*␈εm
␈β	f␈↓ αl␈ελA␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧%␈ελc␈↓ ∧;␈εα+␈↓ ¬]␈εα2␈↓ ε≠␈ελA␈↓ πO␈εα+␈↓ π{␈εα2␈↓ λD␈ελA
␈β	t␈↓ ββ␈ε¬(␈↓ β␈εm␈↓ β&␈ε¬+1)␈↓ β[␈εn␈↓ ε2␈ε¬(␈↓ ε;␈εm␈↓ εU␈ε¬+1␈ε→␈␈↓ π≥␈εk␈↓ π,␈ε¬)␈↓ π5␈εn␈↓ λ[␈ε¬0␈↓ λi␈εn
␈β
_␈↓ ∧g␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬∩␈εk␈↓ ¬!␈ε→∀␈↓ ¬=␈εm
␈β
-␈↓ ε∩␈ε↓X
␈β
J␈↓ ε⎇␈ε→␈␈↓ π→␈εk␈↓ π(␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	~␈ε→␈␈↓ 	7␈εm
␈β
M␈↓ ∧k␈ε¬1
␈β
P␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧%␈ελc␈↓ ∧;␈εα+␈↓ ∧⎇␈ελA␈↓ ¬H␈εα+␈↓ εk␈εα2␈↓ πS␈ελA␈↓ λ\␈εα+␈↓ 	λ␈εα2␈↓ 	Q␈ελA
␈β
]␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬.␈εn␈↓ 	h␈ε¬0␈↓ 	w␈εn
␈β
↑␈↓ πj␈ε¬(␈↓ πt␈εm␈↓ λ∞␈ε→␈␈↓ λ*␈εk␈↓ λ9␈ε¬)␈↓ λC␈εn
␈β
`␈↓ ∧k␈∧
`∧kα∂
␈β
c␈↓ ∧k␈ε¬2
␈β↓␈↓ ¬t␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ε∨␈εk␈↓ ε.␈ε¬<␈↓ εK␈εm
␈β1␈↓ ∧k␈ε¬1␈↓ ¬x␈ε¬1
␈β4␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧%␈ελc␈↓ ∧;␈εα+␈↓ ∧⎇␈ελA␈↓ ¬H␈εα+␈↓ ε␈εα(␈↓ ε↔␈ελA␈↓ εa␈ε⊗␈␈↓ π
␈ελc␈↓ π≤␈εα)
␈βB␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬.␈εn␈↓ ε.␈εm␈↓ εG␈εn
␈βE␈↓ ∧k␈∧E∧kα∂␈↓ ¬x␈∧E¬xα∂
␈βG␈↓ ∧k␈ε¬2␈↓ ¬x␈ε¬2
␈βk␈↓ ∧)␈ε¬1
␈βn␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧;␈ελc␈↓ ∧Q␈εα+␈↓ ∧⎇␈ελA␈↓ ¬@␈εα.
␈β{␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬.␈εn
␈β}␈↓ ∧)␈∧}∧)α∂
␈β↓␈↓ ∧)␈ε¬2
␈β-␈↓ β⎇␈ε¬1
␈β1␈↓ ↓H␈εαHence␈↓ α5␈ελA␈↓ βF␈εα=␈↓ ∧⊂␈ελc␈↓ ∧≡␈ελk␈↓ ∧:␈εα+␈↓ ∧h␈ελA␈↓ ¬+␈εα,␈α⊂by␈α∂induction␈α⊂on␈↓ πU␈ελk␈↓ πg␈εα.␈α∃In␈α⊂particular,␈α⊂since␈↓ 
E␈ελA␈↓ λ␈εα=
␈β>␈↓ ∧␈␈εm␈↓ ¬→␈εn␈↓ 
\␈ε¬1␈α↓0
␈β?␈↓ αL␈ε¬(␈↓ αV␈εm␈↓ αo␈ε¬+␈↓ β␈εk␈↓ β≠␈ε¬)␈↓ β$␈εn
␈βA␈↓ β⎇␈∧Aβ⎇α∂
␈βC␈↓ β⎇␈ε¬2
␈β\␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓↑␈εα+␈↓ α
␈ελA␈↓ α>␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βi␈↓ α!␈ε¬00
␈β
≠␈↓ ¬∂␈ε¬1
␈β
∨␈↓ ∧∀␈ελA␈↓ ∧]␈εα=␈↓ ¬!␈ελc␈↓ ¬/␈εα(␈↓ ¬;␈ελm␈↓ ¬c␈εα+␈αλ1)␈αλ+␈↓ εa␈ελA␈↓ π∃␈εα,␈↓ πm␈ελm␈↓ λ↔␈εα>␈α
0.␈↓ 
p␈εα(35)
␈β
,␈↓ ∧+␈εm␈↓ ∧D␈ε¬0␈↓ εx␈ε¬00
␈β
/␈↓ ¬∂␈∧
/¬∂α∂
␈β
1␈↓ ¬∂␈ε¬2
␈β
a␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αlet␈↓ β∪␈ελA␈↓ βN␈εα=␈↓ β|␈ελA␈↓ ∧G␈εα.␈αIf␈↓ ¬↓␈ελm␈↓ ¬*␈εα>␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
o␈↓ β*␈εm␈↓ ∧∪␈εm␈↓ ∧-␈εm
␈β∞α␈↓ ∧∩␈ε↓X
␈β∞ ␈↓ ¬∩␈ε→␈␈↓ ¬/␈εk␈↓ π8␈ε→␈␈↓ πU␈εm␈↓ πo␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞&␈↓ ↓[␈ελA␈↓ αn␈εα=␈↓ β≤␈ελc␈↓ β2␈εα+␈↓ ¬␈εα2␈↓ ¬=␈ελA␈↓ εz␈εα+␈↓ π&␈εα2␈↓ λ~␈ελA
␈β∞3␈↓ λ1␈ε¬0␈↓ λ?␈εm
␈β∞4␈↓ ↓r␈ε¬(␈↓ ↓{␈εm␈↓ α∃␈ε¬+1␈α↓)␈↓ αJ␈εm␈↓ ¬T␈ε¬(␈↓ ¬↑␈εm␈↓ ¬x␈ε¬+1␈ε→␈␈↓ ε@␈εk␈↓ εN␈ε¬)␈↓ εX␈εm
␈β∞W␈↓ β↑␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ∧	␈εk␈↓ ∧_␈ε→∀␈↓ ∧5␈εm␈↓ ∧O␈ε¬+␈α␈1
␈β∞z␈↓ ¬∃␈ε↓X
␈β∞⎇␈↓ ¬h␈ε↓␈␈↓ 	$␈ε↓↓
␈β∂ε␈↓ βb␈εα1
␈β∂↔␈↓ ελ␈ε→␈␈↓ ε$␈εk␈↓ ε3␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	x␈ε→␈␈↓ 
∃␈εm␈↓ 
/␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂≥␈↓ αn␈εα=␈↓ β≤␈ελc␈↓ β2␈εα+␈↓ βx␈ελA␈↓ ∧K␈εα+␈↓ ¬v␈εα2␈↓ ε↑␈εα(␈↓ εj␈ελA␈↓ λ:␈ε⊗␈␈↓ λf␈ελc␈↓ λt␈εα/2)␈↓ 	:␈εα+␈↓ 	f␈εα2␈↓ 
Z␈ελA
␈β∂*␈↓ ∧∂␈εm␈↓ ∧)␈εm␈↓ 
q␈ε¬0␈↓ 
␈␈εm
␈β∂+␈↓ π↓␈ε¬(␈↓ π␈εm␈↓ π%␈ε→␈␈↓ πA␈εk␈↓ πP␈ε¬)(␈↓ πc␈εm␈↓ π⎇␈ε¬+1)
␈β∂-␈↓ βb␈∧∂-βbα∩
␈β∂5␈↓ βb␈εα2
␈β∂N␈↓ ∧w␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬"␈εk␈↓ ¬1␈ε→∀␈↓ ¬N␈εm
␈β∂|␈↓ πO␈ε→␈␈↓ πl␈εm␈↓ 	]␈ε→␈␈↓ 	z␈εm
␈β∂}␈↓ βb␈ε¬1␈↓ ∧↑␈ε¬1␈↓ λY␈ε¬1
␈β⊂↓␈↓ αn␈εα=␈↓ β≤␈ελc␈↓ β2␈εα+␈↓ βu␈ελA␈↓ ∧.␈εα+␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελA␈↓ εL␈ε⊗␈␈↓ εx␈ελa␈↓ π⊃␈ε⊗␈␈↓ π=␈εα2␈↓ λε␈ελb␈↓ λ∃␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λk␈ελc␈↓ λy␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	K␈εα2␈↓ 
∀␈εα)
␈β⊂∂␈↓ ∧␈εm␈↓ ¬∪␈ε¬(␈↓ ¬≥␈εm␈↓ ¬6␈ε¬+1␈α↓)␈α␈(␈↓ ¬u␈εm␈↓ ε∂␈ε¬+1)
␈β⊂∩␈↓ βb␈∧⊂∩βbα∂␈↓ ∧↑␈∧⊂∩∧↑α∂␈↓ λY␈∧⊂∩λYα∂
␈β⊂∀␈↓ βb␈ε¬2␈↓ ∧↑␈ε¬2␈↓ λY␈ε¬4␈↓ λs␈ε↓␈␈↓ ␈ε↓↓
␈β⊂/␈↓ λ⊃␈ε→␈␈↓ λ.␈εm␈↓ λG␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂0␈↓ 	¬␈ε¬1
␈β⊂4␈↓ πS␈εα+␈↓ π␈␈εα2␈↓ 	↔␈ελc␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελm␈↓ 	Y␈εα+␈αλ1)␈αλ+␈↓ 
W␈ελA
␈β⊂A␈↓ 
n␈ε¬00
␈β⊂D␈↓ 	¬␈∧⊂D	¬α∂
␈β⊂F␈↓ 	¬␈ε¬2
␈β⊂l␈↓ πε␈ε→␈␈↓ π#␈εm␈↓ π=␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
≡␈ε→␈␈↓ 
;␈εm␈↓ 
U␈ε→␈␈ε¬2
␈β⊂n␈↓ β ␈ε¬1␈↓ ¬D␈ε¬3␈↓ ε≤␈ε¬1
␈β⊂q␈↓ αn␈εα=␈↓ β3␈εα(␈↓ β?␈ελA␈↓ βw␈εα+␈↓ ∧#␈ελA␈↓ ¬␈εα)␈αλ+␈↓ ¬V␈ελc␈↓ ¬l␈ε⊗␈␈↓ ε.␈ελa␈↓ εH␈εα+␈↓ εt␈εα2␈↓ πh␈εα(␈↓ πt␈ελc␈↓ λ
␈ε⊗␈␈↓ λ6␈ελb␈↓ λM␈εα+␈↓ λy␈ελA␈↓ 	-␈εα)␈αλ+␈↓ 	m␈ελm␈↓ 
␈εα2␈↓ ␈ελc␈↓ ∞␈εα.
␈β⊂}␈↓ βV␈εm␈↓ ∧:␈εm␈↓ ∧T␈ε¬+1␈↓ 	⊂␈ε¬00
␈β⊃↓␈↓ β ␈∧⊃↓β α∂␈↓ ¬D␈∧⊃↓¬Dα∂␈↓ ε≤␈∧⊃↓ε≤α∂
␈β⊃∧␈↓ β ␈ε¬2␈↓ ¬D␈ε¬4␈↓ ε≤␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ 
p␈εα(36)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα329
␈βα(␈↓ ↓H␈εαSimilar␈αmaneuv␈α␈ering,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α19,␈αestablishes␈αthe␈αrelation
␈βαx␈↓ ¬?␈ε→␈␈↓ ¬\␈εn␈↓ ¬n␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πi␈ε→␈␈↓ λε␈εn␈↓ λ_␈ε→␈␈ε¬1
␈βαz␈↓ αX␈ε¬3␈↓ βK␈ε¬1
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ελA␈↓ α&␈εα=␈↓ αj␈ελA␈↓ β≠␈εα+␈↓ β]␈ελA␈↓ ∧:␈εα+␈↓ ∧f␈ελ␈↓ ¬↓␈εα+␈↓ ¬-␈εα2␈↓ ε→␈ελ␈␈↓ ε8␈εα+␈αλ(␈↓ εp␈ελn␈↓ π
␈εα+␈αλ2)␈↓ πW␈εα2␈↓ λC␈ελ␈
␈↓ λW␈εα,␈↓ 	␈ελn␈↓ 	+␈ε⊗∃␈εα␈α
2,␈↓ 
p␈εα(37)
␈ββ␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓q␈ε¬+␈α␈1␈↓ β↓␈εn␈↓ βt␈εn␈↓ ∧ε␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ∞␈↓ αX␈∧β∞αXα∂␈↓ βK␈∧β∞βKα∂
␈ββ⊂␈↓ αX␈ε¬4␈↓ βK␈ε¬4
␈ββS␈↓ ↓H␈εαwhere
␈ββ{␈↓ β?␈ε¬1␈↓ ∧≠␈ε¬7␈↓ π⊂␈ε¬3␈↓ 	[␈ε¬1
␈ββ}␈↓ αo␈ελ␈↓ β
␈εα=␈↓ βQ␈ελa␈↓ βk␈εα+␈↓ ∧.␈ελc␈↓ ∧<␈εα,␈↓ ¬∀␈ελ␈␈↓ ¬4␈εα=␈↓ ¬b␈ελA␈↓ ε≡␈ε⊗␈␈↓ εJ␈ελb␈↓ ε`␈ε⊗␈␈↓ π"␈ελc␈↓ π1␈εα,␈↓ λ	␈εαand␈↓ 	␈ελ␈
␈↓ 	)␈εα=␈↓ 	m␈ελc␈↓ 	{␈εα.
␈β∧␈↓ ¬y␈ε¬00
␈β∧∞␈↓ β?␈∧∧∞β?α∂␈↓ ∧≠␈∧∧∞∧≠α∂␈↓ π⊂␈∧∧∞π⊂α∂␈↓ 	[␈∧∧∞	[α∂
␈β∧⊃␈↓ β?␈ε¬4␈↓ ∧≠␈ε¬8␈↓ π⊂␈ε¬2␈↓ 	[␈ε¬2
␈β∧B␈↓ α␈εαTh␈α␈us␈αλthe␈αλdouble␈αλrecurrence␈αλ(34)␈αλcan␈αλbe␈αλtransformed␈αλin␈α␈to␈αλthe␈αλsingle␈αλrecurrence
␈β∧h␈↓ 
>␈ε¬2
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαrelation␈α
in␈α∞(37).␈α⊃Use␈α∞of␈α∞the␈α
generating␈α∞function␈↓ πC␈ελG␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελz␈↓ πy␈εα)␈α
=␈↓ λC␈ελA␈↓ λq␈εα+␈↓ 	∨␈ελA␈↓ 	D␈ελz␈↓ 	\␈εα+␈↓ 
	␈ελA␈↓ 
/␈ελz␈↓ 
U␈εα+␈↓ α␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β∧{␈↓ λZ␈ε¬0␈↓ 	6␈ε¬1␈↓ 
 ␈ε¬2
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαno␈α␈w␈αtransforms␈α(37)␈αin␈α␈to␈αthe␈αequation
␈β¬h␈↓ εx␈ελ␈↓ λ→␈ελ␈␈↓ 	c␈ελ␈
␈β¬y␈↓ ε⊃␈ε¬2
␈β¬z␈↓ β_␈ε¬2
␈β¬|␈↓ α≡␈ε¬3␈↓ αw␈ε¬1
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ α0␈ελz␈↓ αG␈ε⊗␈␈↓ β	␈ελz␈↓ β'␈εα)␈↓ β3␈ελG␈↓ βN␈εα(␈↓ βZ␈ελz␈↓ βi␈εα)␈α
=␈↓ ∧-␈ελa␈↓ ∧T␈εα+␈↓ ¬␈ελa␈↓ ¬∨␈ελz␈↓ ¬6␈εα+␈↓ ¬b␈ελa␈↓ εα␈ελz␈↓ ε'␈εα+␈↓ π8␈εα+␈↓ λm␈εα+␈↓ 
@␈εα,␈↓ 
p␈εα(38)
␈βε␈↓ ∧>␈ε¬0␈↓ ¬⊃␈ε¬1␈↓ ¬s␈ε¬2
␈βε∂␈↓ α≡␈∧ε∂α≡α∂␈↓ αw␈∧ε∂αwα∂␈↓ εW␈∧ε∂εWαV␈↓ πh␈∧ε∂πhαz␈↓ 	≥␈∧ε∂	≥α↓ 
␈βε∩␈↓ α≡␈ε¬4␈↓ αw␈ε¬4
␈βε∃␈↓ 
.␈ε¬2
␈βε↔␈↓ εW␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π≥␈ελz␈↓ πh␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ.␈ελz␈↓ λ=␈εα/2␈↓ 	≥␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	o␈ελz␈↓ 	}␈εα/2␈↓ 
"␈εα)
␈βεg␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελa␈↓ αP␈εα,␈↓ αg␈ελa␈↓ βε␈εα,␈α∞and␈↓ βe␈ελa␈↓ ∧⊃␈εαare␈α
constan␈α␈ts␈α
that␈α
can␈α∞be␈α
determined␈α
by␈α
the␈α
values␈α
of␈↓ 
⎇␈ελA␈↓ "␈εα,
␈βεu␈↓ αB␈ε¬0␈↓ αx␈ε¬1␈↓ βv␈ε¬2␈↓ ∀␈ε¬0
␈βπ
␈↓ ¬.␈ε¬2
␈βπ∂␈↓ ∧2␈ε¬3␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ εM␈ε¬1
␈βπ∩␈↓ ↓H␈ελA␈↓ ↓m␈εα,␈α
and␈↓ αK␈ελA␈↓ αp␈εα.␈α∞Since␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧D␈ελz␈↓ ∧\␈εα+␈↓ ¬∨␈ελz␈↓ ¬G␈εα=␈α(1␈α	+␈↓ ε`␈ελz␈↓ εo␈εα)(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πN␈ελz␈↓ π]␈εα),␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
express␈↓ 	w␈ελG␈↓ 
∩␈εα(␈↓ 
≡␈ελz␈↓ 
-␈εα)␈α
by␈αthe
␈βπ ␈↓ ↓←␈ε¬1␈↓ αb␈ε¬2
␈βπ#␈↓ ∧2␈∧π#∧2α∂␈↓ ¬␈∧π#¬α∂␈↓ εM␈∧π#εMα∂
␈βπ%␈↓ ∧2␈ε¬4␈↓ ¬␈ε¬4␈↓ εM␈ε¬4
␈βπ>␈↓ ↓H␈εαmethod␈αof␈αpartial␈αfractions␈αin␈αthe␈αform
␈βλ␈↓ ∧P␈ελb␈↓ ¬t␈ελb␈↓ π+␈ελb␈↓ λs␈ελb␈↓ 
(␈ελb
␈βλ→␈↓ ∧]␈ε¬2␈↓ ε↓␈ε¬3␈↓ π8␈ε¬4␈↓ 	␈ε¬5␈↓ 
5␈ε¬6
␈βλ"␈↓ ↓t␈ελG␈↓ α∂␈εα(␈↓ α≠␈ελz␈↓ α*␈εα)␈α
=␈↓ αn␈ελb␈↓ β∩␈εα+␈↓ β>␈ελb␈↓ βY␈ελz␈↓ βp␈εα+␈↓ ¬(␈εα+␈↓ ε9␈εα+␈↓ λ∀␈εα+␈↓ 	I␈εα+␈↓ 
v␈εα.
␈βλ0␈↓ α{␈ε¬0␈↓ βK␈ε¬1
␈βλ2␈↓ ∧ ␈∧λ2∧ α|␈↓ ¬X␈∧λ2¬XαV␈↓ εi␈∧λ2εiα↓ ␈↓ λD␈∧λ2λDαz␈↓ 	y␈∧λ2	yαz
␈βλ8␈↓ ¬
␈ε¬2␈↓ πz␈ε¬2
␈βλ;␈↓ ∧ ␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧r␈ελz␈↓ ¬↓␈εα)␈↓ ¬X␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε≡␈ελz␈↓ εi␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π;␈ελz␈↓ πJ␈εα/2␈↓ πn␈εα)␈↓ λD␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	
␈ελz␈↓ 	→␈εα/2␈↓ 	y␈εα1␈αλ+␈↓ 
?␈ελz␈↓ 
N␈εα/4
␈β	
␈↓ ↓H␈εαTedious␈α⊂manipulations␈α⊃produce␈α⊃the␈α⊂values␈α⊃of␈α⊃these␈α⊂constan␈α␈ts␈↓ 	8␈ελb␈↓ 	S␈εα,␈↓ 	o␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∨␈εα,␈↓ 
;␈ελb␈↓ 
W␈εα,␈α⊃and
␈β	_␈↓ 	E␈ε¬0␈↓ 
H␈ε¬6
␈β	6␈↓ ↓H␈εαtherefore␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧⎇␈ελG␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελz␈↓ ¬3␈εα)␈αare␈αdetermined.␈αWe␈α|nally␈αobtain␈αthe␈αsolution
␈β
ε␈↓ β3␈ε¬1␈↓ ∧⊗␈ε¬7␈↓ ¬∞␈ε¬16␈↓ ¬y␈ε¬2␈↓ εR␈ε¬23␈↓ π8␈ε¬3
␈β
	␈↓ α~␈ελA␈↓ α←␈εα=␈↓ β
␈ελn␈↓ β#␈εα(␈↓ βE␈ελa␈↓ β←␈εα+␈↓ ∧0␈ελc␈↓ ∧>␈εα)␈αλ+␈αλ(␈↓ ¬/␈ελa␈↓ ¬I␈εα+␈↓ ε␈ελb␈↓ ε"␈ε⊗␈␈↓ εr␈ελc␈↓ πλ␈εα+␈↓ πK␈ελA␈↓ π␈␈εα)
␈β
⊗␈↓ α1␈εn␈↓ αC␈εn␈↓ πb␈ε¬00
␈β
→␈↓ β3␈∧
→β3α∂␈↓ ∧∂␈∧
→∧∂α≥␈↓ ¬∞␈∧
→¬∞α≥␈↓ ¬y␈∧
→¬yα∂␈↓ εR␈∧
→εRα≥␈↓ π8␈∧
→π8α∂
␈β
≤␈↓ β3␈ε¬5␈↓ ∧∂␈ε¬1␈α↓0␈↓ ¬∞␈ε¬25␈↓ ¬y␈ε¬5␈↓ εR␈ε¬50␈↓ π8␈ε¬5
␈β
:␈↓ β?␈ε→␈␈↓ β\␈εn
␈β
<␈↓ ∧"␈ε¬1␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ ¬i␈ε¬1␈↓ εA␈ε¬2
␈β
?␈↓ β↓␈εα+␈↓ β-␈εα2␈↓ βn␈εα(␈ε⊗␈␈↓ ∧4␈ελc␈↓ ∧B␈ελn␈↓ ∧`␈εα+␈↓ ¬#␈ελb␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈↓ ¬{␈ελc␈↓ ε⊃␈ε⊗␈␈↓ εT␈ελA␈↓ πλ␈εα)
␈β
L␈↓ εk␈ε¬00
␈β
O␈↓ ∧"␈∧
O∧"α∂␈↓ ¬⊂␈∧
O¬⊂α∂␈↓ ¬i␈∧
O¬iα∂␈↓ εA␈∧
OεAα∂
␈β
R␈↓ ∧"␈ε¬3␈↓ ¬⊂␈ε¬3␈↓ ¬i␈ε¬9␈↓ εA␈ε¬3
␈β
p␈↓ ∧␈εn
␈β
r␈↓ βa␈ε¬1␈↓ ∧F␈ε¬16␈↓ ¬0␈ε¬1␈α↓6␈↓ ε∨␈ε¬16␈↓ π
␈ε¬16␈↓ λ%␈ε¬1
␈β
u␈↓ β↓␈εα+␈αλ(␈ε⊗␈␈↓ βt␈εα)␈↓ ∧∩␈εα(␈ε⊗␈␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬Q␈ελb␈↓ ¬g␈εα+␈↓ εG␈ελc␈↓ ε]␈εα+␈↓ π-␈ελA␈↓ πa␈εα)␈αλ+␈↓ λ8␈ελc␈↓ λF␈ελ∞␈↓ λs␈εα;
␈βα␈↓ πD␈ε¬0␈α↓0␈↓ λS␈εn␈↓ λe␈ε¬0
␈β¬␈↓ βa␈∧¬βaα∂␈↓ ∧F␈∧¬∧Fα≥␈↓ ¬0␈∧¬¬0α≥␈↓ ε↔␈∧¬ε↔α,␈↓ π
␈∧¬π
α≥␈↓ λ%␈∧¬λ%α∂
␈βλ␈↓ βa␈ε¬4␈↓ ∧F␈ε¬25␈↓ ¬0␈ε¬1␈α↓5␈↓ ε↔␈ε¬2␈α↓25␈↓ π
␈ε¬15␈↓ λ%␈ε¬2
␈β1␈↓ 	:␈ε→␈␈↓ 	W␈εn
␈β3␈↓ β⊃␈ε¬1␈↓ ∧+␈ε¬1␈↓ ¬π␈ε¬1␈↓ ¬␈␈ε¬6␈↓ εc␈ε¬2␈↓ πC␈ε¬7␈↓ λ"␈ε¬3␈↓ 	y␈ε¬1
␈β6␈↓ α∩␈ελA␈↓ α←␈εα=␈↓ β$␈ελm␈↓ βC␈ελc␈↓ βY␈εα+␈↓ ∧¬␈ελn␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧=␈ελa␈↓ ∧W␈εα+␈↓ ¬~␈ελc␈↓ ¬(␈εα)␈αλ+␈αλ(␈↓ ε→␈ελa␈↓ ε3␈εα+␈↓ εu␈ελb␈↓ π␈εα+␈↓ π\␈ελc␈↓ πr␈εα+␈↓ λ5␈ελA␈↓ λh␈εα)␈αλ+␈↓ 	(␈εα2␈↓ 	i␈εα(␈↓ 
␈ελc␈↓ 
~␈εα)
␈βC␈↓ α)␈εm␈↓ αC␈εn␈↓ λL␈ε¬00
␈βF␈↓ β⊃␈∧Fβ⊃α∂␈↓ ∧+␈∧F∧+α∂␈↓ ¬π␈∧F¬πα∂␈↓ ¬x␈∧F¬xα≥␈↓ εc␈∧Fεcα∂␈↓ π;␈∧Fπ;α≥␈↓ λ"␈∧Fλ"α∂␈↓ 	y␈∧F	yα∂
␈βI␈↓ β⊃␈ε¬2␈↓ ∧+␈ε¬5␈↓ ¬π␈ε¬5␈↓ ¬x␈ε¬25␈↓ εc␈ε¬5␈↓ π;␈ε¬5␈α↓0␈↓ λ"␈ε¬5␈↓ 	y␈ε¬3
␈βg␈↓ ∧␈εn
␈βi␈↓ βa␈ε¬1␈↓ ∧M␈ε¬6␈↓ ¬0␈ε¬2␈↓ ε⊂␈ε¬2␈↓ εp␈ε¬2
␈βl␈↓ β↓␈εα+␈αλ(␈ε⊗␈␈↓ βt␈εα)␈↓ ∧∩␈εα(␈ε⊗␈␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬C␈ελb␈↓ ¬Y␈εα+␈↓ ε*␈ελc␈↓ ε@␈εα+␈↓ πα␈ελA␈↓ π6␈εα),␈↓ λ~␈ελm␈↓ λD␈εα>␈↓ λr␈ελn␈↓ 	π␈εα.␈↓ 
p␈εα(39)
␈βy␈↓ π→␈ε¬0␈α↓0
␈β|␈↓ βa␈∧|βaα∂␈↓ ∧F␈∧|∧Fα≥␈↓ ¬0␈∧|¬0α∂␈↓ ε	␈∧|ε	α≥␈↓ εp␈∧|εpα∂
␈β␈␈↓ βa␈ε¬4␈↓ ∧F␈ε¬25␈↓ ¬0␈ε¬5␈↓ ε	␈ε¬75␈↓ εp␈ε¬5
␈βA␈↓ α␈εαWith␈απthese␈αεelaborate␈απcalculations␈απdone,␈απw␈α␈e␈απcan␈απreadily␈αεdetermine␈απthe␈αεbehavior
␈βl␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αmodel.␈αAssume␈αthat␈αthe␈αinputs␈↓ πj␈ελu␈↓ λ␈εαand␈↓ λQ␈ελv␈↓ λo␈εαto␈αthe␈αalgorithm␈αare
␈β
_␈↓ ↓H␈εαodd,␈αand␈α
let␈↓ β∪␈ελm␈↓ β>␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ βz␈εαlg␈↓ ∧≤␈ελu␈↓ ∧2␈ε⊗c␈εα,␈↓ ∧W␈ελn␈↓ ∧w␈εα=␈ε⊗␈αb␈↓ ¬4␈εαlg␈↓ ¬V␈ελv␈↓ ¬i␈ε⊗c␈εα.␈α
The␈α
av␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈αsubtraction␈αcy␈α␈cles,
␈β
C␈↓ ↓H␈εαnamely␈αλthe␈αλquan␈α␈tity␈↓ ∧	␈ελC␈↓ ∧/␈εαin␈αλthe␈α	analysis␈αλof␈αλProgram␈αλB␈↓ π`␈εα,␈α	is␈α	obtained␈αλby␈αλsetting␈↓ 
G␈ελa␈↓ 
b␈εα=␈α
1,
␈β
n␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓b␈εα=␈α0,␈↓ α:␈ελc␈↓ αT␈εα=␈α1,␈↓ β-␈ελA␈↓ βm␈εα=␈α1␈α
in␈α
the␈α
recurrence␈α
(34).␈α∂By␈α
(39)␈α
w␈α␈e␈α
see␈α
that␈α
(for␈↓ 
0␈ελm␈↓ 
[␈ε⊗∃␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα)
␈β
{␈↓ βD␈ε¬00
␈β∞→␈↓ ↓H␈εαthe␈αlattice␈αmodel␈αpredicts
␈β∞k␈↓ ¬0␈ε¬1␈↓ ε~␈ε¬2␈↓ εz␈ε¬49␈↓ πS␈ε¬1
␈β∞o␈↓ ∧V␈ελC␈↓ ∧}␈εα=␈↓ ¬B␈ελm␈↓ ¬j␈εα+␈↓ ε,␈ελn␈↓ εJ␈εα+␈↓ π#␈ε⊗␈␈↓ πe␈ελ∞␈↓ 
p␈εα(40)
␈β∞|␈↓ πr␈εm␈↓ λ␈εn
␈β∞␈␈↓ ¬0␈∧∞␈¬0α∂␈↓ ε~␈∧∞␈ε~α∂␈↓ εz␈∧∞␈εzα≥␈↓ πS␈∧∞␈πSα∂
␈β∂↓␈↓ ¬0␈ε¬2␈↓ ε~␈ε¬5␈↓ εz␈ε¬50␈↓ πS␈ε¬5
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαsubtraction␈αcy␈α␈cles,␈αplus␈αterms␈αthat␈αrapidly␈αgo␈αto␈αzero␈αas␈↓ λE␈ελn␈↓ λf␈εαapproaches␈αin|nity.
␈β∂o␈↓ α␈εαThe␈αav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αthat␈↓ ε0␈εαgcd␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελu␈↓ πλ␈εα,␈↓ π_␈ελv␈↓ π+␈εα)␈α
=␈α
1␈αis␈αobtained␈αby␈αsetting␈↓ 
m␈ελa␈↓ λ␈εα=
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓`␈εα=␈↓ α∞␈ελc␈↓ α&␈εα=␈α
0,␈↓ α{␈ελA␈↓ β9␈εα=␈α
1;␈αthis␈αgiv␈α␈es␈αthe␈α
probability␈αthat␈↓ πm␈ελu␈↓ λ∞␈εαand␈↓ λR␈ελv␈↓ λp␈εαare␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime,
␈β⊂(␈↓ β∩␈ε¬0␈α↓0
␈β⊂B␈↓ β9␈ε¬3
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαappro␈α␈ximately␈↓ βL␈εα.␈αActually,␈αsince␈↓ ¬S␈ελu␈↓ ¬s␈εαand␈↓ ε8␈ελv␈↓ εU␈εαare␈αassumed␈αto␈α
be␈αodd,␈αthey␈αshould␈α
be
␈β⊂V␈↓ β9␈∧⊂Vβ9α∂
␈β⊂X␈↓ β9␈ε¬5
␈β⊂l␈↓ επ␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈α	prime␈α
with␈α	probability␈α
8/␈↓ ¬s␈ελ→␈↓ ε∨␈εα(see␈α	ex␈α␈ercise␈α
13),␈α
so␈α	this␈α	re⎇ects␈α
the␈α	degree
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαof␈αinaccuracy␈αof␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αmodel.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα330␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαO␈↓ β/␈εβN␈α␈U␈α↓M␈α␈BE␈α↓R␈αOF␈αS␈α␈UB␈α↓TRA␈α␈CTIONS␈α
IN␈αALGO␈α␈RIT␈α↓HM␈α
B
␈βαo␈↓ ∧↓␈ε	n␈↓ λ←␈ε	n
␈ββ∪␈↓ αε␈∧β∪αεα∧
␈↓ εd␈∧β∪εdα∧

␈ββ,␈↓ α≠␈εβ0␈↓ αx1␈↓ βT2␈↓ ∧13␈↓ ¬
4␈↓ ¬j5␈↓ εy␈εβ0␈↓ πV1␈↓ λ22␈↓ 	∂3␈↓ 	k4␈↓ 
H5
␈ββY␈↓ ↓H␈εβ0␈↓ αε␈εβ1.00␈α!2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.50␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.50␈α!4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈↓ εd␈εβ1.00␈α!2␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.50␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.50␈α!4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈↓ ≤␈εβ0
␈β∧∧␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ αε␈εβ2.00␈α!1␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.50␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.50␈α!4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈↓ εd␈εβ2.00␈α!1␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.00␈α!2␈α␈.␈α↓7␈α␈5␈α!3.63␈α!3␈α␈.␈α↓9␈α␈4␈↓ ≤␈εβ1
␈β∧/␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ αε␈εβ2.50␈α!2␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!2.25␈α!3␈α␈.␈α↓3␈α␈8␈α!3.88␈α!4␈α␈.␈α↓3␈α␈8␈↓ εd␈εβ2.50␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!2.00␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.88␈α!4␈α␈.␈α↓2␈α␈5␈↓ ≤␈εβ2
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εβ3␈↓ αε␈εβ3.00␈α!3␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!3.38␈α!3␈α␈.␈α↓2␈α␈5␈α!4.22␈α!4␈α␈.␈α↓7␈α␈2␈↓ εd␈εβ3.00␈α!2␈α␈.␈α↓7␈α␈5␈α!3.50␈α!2␈α␈.␈α↓8␈α␈8␈α!4.13␈α!4␈α␈.␈α↓3␈α␈4␈↓ ≤␈εβ3
␈β¬ε␈↓ ↓H␈εβ4␈↓ αε␈εβ3.50␈α!3␈α␈.␈α↓5␈α␈0␈α!3.88␈α!4␈α␈.␈α↓2␈α␈2␈α!4.25␈α!5␈α␈.␈α↓1␈α␈0␈↓ εd␈εβ3.50␈α!3␈α␈.␈α↓6␈α␈3␈α!3.88␈α!4␈α␈.␈α↓1␈α␈3␈α!3.94␈α!4␈α␈.␈α↓8␈α␈0␈↓ ≤␈εβ4
␈β¬1␈↓ ↓H␈εβ5␈↓ αε␈εβ4.00␈α!4␈α␈.␈α↓0␈α␈0␈α!4.38␈α!4␈α␈.␈α↓7␈α␈2␈α!5.10␈α!5␈α␈.␈α↓1␈α␈9␈↓ εd␈εβ4.00␈α!3␈α␈.␈α↓9␈α␈4␈α!4.25␈α!4␈α␈.␈α↓3␈α␈4␈α!4.80␈α!4␈α␈.␈α↓6␈α␈0␈↓ ≤␈εβ5
␈β¬Z␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ α}␈εβPred␈α␈icted␈αb␈α␈y␈αm␈α␈ode␈α␈l␈↓ πI␈εβA␈α↓c␈α␈tua␈α␈l␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αv␈α␈alues␈↓ ∂␈ε	m
␈βε
␈↓ αε␈∧ε
αεα∧
␈↓ εd␈∧ε
εdα∧

␈βεY␈↓ α␈εαThe␈α
av␈α␈erage␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞times␈α
that␈α
a␈α∞path␈α
from␈α∞(␈↓ λ∀␈ελm␈↓ λ3␈εα,␈↓ λC␈ελn␈↓ λY␈εα)␈α
goes␈α∞through␈α
one␈α
of
␈βε␈␈↓ ∧X␈ε→0␈↓ ¬∂␈ε→0␈↓ εh␈ε→0
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞\diagonal"␈α∂poin␈α␈ts␈α∂(␈↓ ∧9␈ελm␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ∧p␈ελm␈↓ ¬⊗␈εα)␈α∂for␈α∂some␈↓ εH␈ελm␈↓ ε}␈ε⊗∃␈εα␈α∞1␈α∂is␈α∂obtained␈α∞by␈α∂setting␈↓ 
>␈ελa␈↓ 
↑␈εα=␈α∞1,
␈βπ0␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓`␈εα=␈↓ α∞␈ελc␈↓ α&␈εα=␈↓ αT␈ελA␈↓ β∩␈εα=␈α
0␈αin␈α(34);␈αso␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈αthis␈αquan␈α␈tity␈αis␈αappro␈α␈ximately
␈βπ=␈↓ αk␈ε¬0␈α↓0
␈βπr␈↓ ∧#␈ε¬1␈↓ ¬␈ε¬6␈↓ ¬\␈ε¬2
␈βπu␈↓ ∧6␈ελn␈↓ ∧S␈εα+␈↓ ¬,␈εα+␈↓ ¬o␈ελ∞␈↓ ε'␈εα,␈↓ ε␈␈εαwhen␈↓ π]␈ελm␈↓ λπ␈ε⊗∃␈↓ λ5␈ελn␈↓ λK␈εα.
␈βλα␈↓ ¬|␈εm␈↓ ε⊗␈εn
␈βλ¬␈↓ ∧#␈∧λ¬∧#α∂␈↓ ¬β␈∧λ¬¬βα≥␈↓ ¬\␈∧λ¬¬\α∂
␈βλλ␈↓ ∧#␈ε¬5␈↓ ¬β␈ε¬2␈α↓5␈↓ ¬\␈ε¬5
␈βλ:␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
can␈α∞determine␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
shifts,␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
times␈α
step
␈βλe␈↓ ↓H␈εαB3␈α∂is␈α∂performed.␈α∃(This␈α∂is␈α∂the␈α∂quan␈α␈tity␈↓ εD␈ελD␈↓ εn␈εαin␈α∂Program␈α∂B␈↓ λH␈εα.)␈α∃In␈α∂an␈α␈y␈α∂ex␈α␈ecution␈α∂of
␈β	⊃␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α	B␈↓ β	␈εα,␈αwith␈↓ βn␈ελu␈↓ ∧
␈εαand␈↓ ∧Q␈ελv␈↓ ∧m␈εαboth␈α
odd,␈αthe␈α	corresponding␈α
path␈α
in␈α
the␈α
lattice␈α	model
␈β	<␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ust␈αsatisfy␈αthe␈αrelation
␈β
↓␈↓ ↓x␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshifts␈↓ ∧␈εα+␈↓ ∧,␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αdiagonal␈αpoin␈α␈ts␈↓ πO␈εα+␈αλ2␈ε⊗b␈↓ λ≠␈εαlg␈↓ λ=␈εαgcd␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελu␈↓ 	∀␈εα,␈↓ 	$␈ελv␈↓ 	7␈εα)␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ 
	␈ελm␈↓ 
1␈εα+␈↓ 
]␈ελn␈↓ 
r␈εα,
␈β
F␈↓ ↓H␈εαsince␈α
w␈α␈e␈αare␈α
assuming␈αthat␈↓ ∧s␈ελr␈↓ ¬
␈εαin␈α(33)␈α
is␈αalways␈α
either␈α0␈α
or␈α1.␈αThe␈αav␈α␈erage␈α
value␈α
of
␈β
n␈↓ 	V␈ε¬4
␈β
q␈↓ ↓H␈ε⊗b␈↓ ↓V␈εαlg␈↓ ↓x␈εαgcd␈↓ α.␈εα(␈↓ α:␈ελu␈↓ αO␈εα,␈↓ α←␈ελv␈↓ αr␈εα)␈ε⊗c␈εα␈αλpredicted␈α	by␈αλthe␈αλlattice-poin␈α␈t␈α	model␈αλis␈αλappro␈α␈ximately␈↓ 	q␈εα(see␈αλex␈α␈ercise
␈β↓␈↓ 	V␈∧↓	Vα∂
␈β∧␈↓ 	V␈ε¬5
␈β≤␈↓ ↓H␈εα20).␈αTherefore␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e,␈αfor␈αthe␈αtotal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshifts,
␈β\␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ εt␈ε¬6␈↓ πF␈ε¬2␈↓ λU␈ε¬4
␈β`␈↓ ∧
␈ελD␈↓ ∧2␈εα=␈↓ ∧`␈ελm␈↓ ¬π␈εα+␈↓ ¬3␈ελn␈↓ ¬Q␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ε∨␈ελn␈↓ ε=␈εα+␈↓ π⊗␈εα+␈↓ πX␈ελ∞␈↓ λ⊃␈εα)␈ε⊗␈αλ␈
␈βm␈↓ πe␈εm␈↓ π␈␈εn
␈βp␈↓ ε
␈∧pε
α∂␈↓ εm␈∧pεmα≥␈↓ πF␈∧pπFα∂␈↓ λU␈∧pλUα∂
␈βs␈↓ ε
␈ε¬5␈↓ εm␈ε¬25␈↓ πF␈ε¬5␈↓ λU␈ε¬5
␈β⎇␈↓ 
p␈εα(41)
␈β⊗␈↓ ¬7␈ε¬4␈↓ ε↔␈ε¬4␈α↓6␈↓ εp␈ε¬2
␈β→␈↓ ∧2␈εα=␈↓ ∧`␈ελm␈↓ ¬π␈εα+␈↓ ¬J␈ελn␈↓ ¬g␈ε⊗␈␈↓ ε@␈ε⊗␈␈↓ πβ␈ελ∞␈↓ π;␈εα,
␈β'␈↓ π⊂␈εm␈↓ π*␈εn
␈β*␈↓ ¬7␈∧*¬7α∂␈↓ ε↔␈∧*ε↔α≥␈↓ εp␈∧*εpα∂
␈β,␈↓ ¬7␈ε¬5␈↓ ε↔␈ε¬2␈α↓5␈↓ εp␈ε¬5
␈β[␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελm␈↓ αO␈ε⊗∃␈↓ α⎇␈ελn␈↓ β∪␈εα,␈αplus␈αterms␈αthat␈αdecrease␈αrapidly␈αto␈αzero␈αfor␈αlarge␈↓ 	9␈ελn␈↓ 	O␈εα.
␈β
ε␈↓ α␈εαTo␈α∞summarize␈α∞the␈α∞most␈α
importan␈α␈t␈α∞facts␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞deriv␈α␈ed␈α∞from␈α∞the␈α
lattice-
␈β
1␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈t␈α	model,␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α	sho␈α␈wn␈α	that␈α	if␈↓ ¬j␈ελu␈↓ ε	␈εαand␈↓ εL␈ελv␈↓ εh␈εαare␈αλodd␈α	and␈α	if␈ε⊗␈α	b␈↓ λS␈εαlg␈↓ λu␈ελu␈↓ 	␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ 	Q␈ελm␈↓ 	p␈εα,␈ε⊗␈α
b␈↓ 
∩␈εαlg␈↓ 
4␈ελv␈↓ 
G␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα,
␈β
\␈↓ ↓H␈εαthen␈αthe␈αquan␈α␈tities␈↓ β}␈ελC␈↓ ∧'␈εαand␈↓ ∧n␈ελD␈↓ ¬∃␈εαthat␈α
are␈αthe␈αcritical␈α
factors␈αin␈αthe␈α
running␈αtime␈αof
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εαProgram␈αB␈αwill␈αhav␈α␈e␈αav␈α␈erage␈αvalues␈αgiv␈α␈en␈αby
␈β∞I␈↓ β(␈ε¬1␈↓ ∧∩␈ε¬2␈↓ π5␈ε¬4
␈β∞M␈↓ αO␈ελC␈↓ αv␈εα=␈↓ β;␈ελm␈↓ βb␈εα+␈↓ ∧%␈ελn␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧o␈ελO␈↓ ¬	␈εα(1),␈↓ ε␈ελD␈↓ ε0␈εα=␈↓ ε↑␈ελm␈↓ π¬␈εα+␈↓ πH␈ελn␈↓ πe␈εα+␈↓ λ⊃␈ελO␈↓ λ,␈εα(1),␈↓ 	.␈ελm␈↓ 	W␈ε⊗∃␈↓ 
¬␈ελn␈↓ 
≠␈εα.␈↓ 
p␈εα(42)
␈β∞]␈↓ β(␈∧∞]β(α∂␈↓ ∧∩␈∧∞]∧∩α∂␈↓ π5␈∧∞]π5α∂
␈β∞←␈↓ β(␈ε¬2␈↓ ∧∩␈ε¬5␈↓ π5␈ε¬5
␈β∂∩␈↓ ↓H␈εαBut␈απthe␈αλmodel␈αλthat␈απw␈α␈e␈αλhav␈α␈e␈απused␈αλto␈αλderiv␈α␈e␈απ(42)␈αλis␈αλonly␈απa␈αλpessimistic␈απappro␈α␈ximation
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαto␈αthe␈αtrue␈αbehavior;␈αTable␈α1␈αcompares␈αthe␈αtrue␈αav␈α␈erage␈αvalues␈αof␈↓ 	←␈ελC␈↓ 	⎇␈εα,␈αcomputed
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαby␈α	actually␈α
running␈α
Algorithm␈α	B␈α
with␈α
all␈α
possible␈α	inputs,␈α
to␈α
the␈α
values␈α	predicted
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈εαby␈α
the␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
model,␈α
for␈α
small␈↓ ε∃␈ελm␈↓ εB␈εαand␈↓ π	␈ελn␈↓ π∨␈εα.␈α∂The␈α
lattice␈α
model␈α
is␈α
completely
␈β⊂?␈↓ ↓H␈εαaccurate␈α
when␈↓ β7␈ελm␈↓ βd␈εαor␈↓ ∧⊃␈ελn␈↓ ∧4␈εαis␈αzero,␈α∞but␈α
it␈αtends␈α
to␈α
be␈α
less␈α
accurate␈α
when␈ε⊗␈α
j␈↓ 
∪␈ελm␈↓ 
;␈ε⊗␈␈↓ 
h␈ελn␈↓ 
}␈ε⊗j␈εα␈αis
␈β⊂j␈↓ ↓H␈εαsmall␈α
and␈↓ αo␈εαmin␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελm␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελn␈↓ β|␈εα)␈α∞is␈α∞large.␈α⊃When␈↓ ε
␈ελm␈↓ ε9␈εα=␈↓ εj␈ελn␈↓ π␈εα=␈α
9,␈α∞the␈α∞lattice-poin␈α␈t␈α∞model␈α
giv␈α␈es
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ελC␈↓ ↓o␈εα=␈α
8.78,␈αcompared␈αto␈αthe␈αtrue␈αvalue␈↓ ε-␈ελC␈↓ εT␈εα=␈α
7.58.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα331
␈βα(␈↓ α␈εαEmpirical␈αtests␈α
of␈αAlgorithm␈α
B␈α
with␈αsev␈α␈eral␈α
million␈αrandom␈α
inputs␈αand␈α
with
␈βαS␈↓ ↓H␈εαvarious␈α∂values␈α∂of␈↓ βg␈ελm␈↓ ∧π␈εα,␈↓ ∧↔␈ελn␈↓ ∧;␈εαin␈α∂the␈α∂range␈α∂29␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ εu␈ελm␈↓ π∀␈εα,␈↓ π$␈ελn␈↓ πI␈ε⊗∀␈εα␈α∂37␈α∂indicate␈α∂that␈α∂the␈α∂actual
␈βα}␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈αbehavior␈αof␈αthe␈αalgorithm␈αis␈αgiv␈α␈en␈αby
␈ββJ␈↓ πJ␈εm␈↓ πc␈ε→␈␈↓ λ␈εn
␈ββO␈↓ ∧,␈εα+␈αλ0.203␈↓ ¬*␈ελn␈↓ ¬H␈εα+␈αλ1.9␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.4(0.6␈↓ π>␈εα)␈↓ λ∩␈εα,
␈ββQ␈↓ βr␈ε¬1
␈ββR␈↓ β→␈ελC␈↓ β@␈ε⊗→
␈ββT␈↓ ∧∧␈ελm
␈ββd␈↓ βr␈∧βdβrα∂
␈ββg␈↓ βr␈ε¬2
␈ββj␈↓ λd␈ελm␈↓ 	∞␈ε⊗∃␈↓ 	<␈ελn␈↓ 	R␈εα.␈↓ 
p␈εα(43)
␈β∧␈↓ πJ␈εm␈↓ πc␈ε→␈␈↓ λ␈εn
␈β∧¬␈↓ ∧,␈εα+␈αλ0.41␈↓ ¬_␈ελn␈↓ ¬H␈ε⊗␈␈εα␈αλ0.5␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.7(0.6␈↓ π>␈εα)␈↓ λ∩␈εα,
␈β∧λ␈↓ β≠␈ελD␈↓ β@␈ε⊗→
␈β∧
␈↓ ∧∧␈ελm
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαThese␈αexperimen␈α␈ts␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈αa␈αrather␈αsmall␈αstandard␈αdeviation␈αfrom␈αthe␈αobserv␈α␈ed
␈β∧⎇␈↓ ¬T␈ε¬1
␈β¬␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈α∞values.␈α∪The␈α∂coe}cien␈α␈ts␈↓ ¬u␈εαand␈α∂1␈α∞of␈↓ π␈ελm␈↓ π9␈εαin␈α∞(42)␈α∂and␈α∞(43)␈α∂can␈α∞be␈α∞v␈α␈eri|ed
␈β¬⊂␈↓ ¬T␈∧¬⊂¬Tα∂
␈β¬∪␈↓ ¬T␈ε¬2
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαrigorously␈α
without␈α
using␈αthe␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
appro␈α␈ximation␈α(see␈α
ex␈α␈ercise␈α
21);␈αso␈α
the
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαerror␈αin␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈αmodel␈αis␈αapparen␈α␈tly␈αin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈↓ 	E␈ελn␈↓ 	[␈εα,␈αwhich␈αis␈αtoo
␈βεα␈↓ ↓H␈εαhigh.
␈βε-␈↓ α␈εαThe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcalculations␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αmade␈αunder␈αthe␈αassumption␈αthat␈↓ 
3␈ελu␈↓ 
T␈εαand␈↓ ~␈ελv
␈βεS␈↓ ∧}␈εm␈↓ ε3␈εm␈↓ εM␈ε¬+1␈↓ π!␈εn␈↓ λL␈εn␈↓ λ↑␈ε¬+1
␈βεX␈↓ ↓H␈εαare␈αodd␈α
and␈α
in␈αthe␈α
ranges␈↓ ∧l␈εα2␈↓ ¬#␈ε⊗∀␈↓ ¬R␈ελu␈↓ ¬r␈εα<␈↓ ε!␈εα2␈↓ εy␈εα,␈↓ π∂␈εα2␈↓ π>␈ε⊗∀␈↓ πm␈ελv␈↓ λ␈εα<␈↓ λ:␈εα2␈↓ 	
␈εα.␈α
If␈α
w␈α␈e␈α
say␈αinstead
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α→␈ελu␈↓ α=␈εαand␈↓ βε␈ελv␈↓ β(␈εαare␈α∂to␈α∞be␈ε∂␈α∂an␈α␈y␈εα␈α∂in␈α␈tegers,␈α⊂independen␈α␈tly␈α∂and␈α∂uniformly␈α∞distributed
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αranges
␈βπS␈↓ ¬p␈εN␈↓ λ	␈εN
␈βπZ␈↓ ∧F␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬0␈εα<␈↓ ¬↑␈εα2␈↓ ε
␈εα,␈↓ εb1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π,␈ελv␈↓ πI␈εα<␈↓ πw␈εα2␈↓ λ$␈εα,
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εαthen␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	calculate␈α	the␈α	av␈α␈erage␈α	values␈α	of␈↓ εh␈ελC␈↓ π∞␈εαand␈↓ πQ␈ελD␈↓ πu␈εαfrom␈α	the␈α	data␈α	already␈α	giv␈α␈en;
␈βλI␈↓ ↓H␈εαin␈α∞fact,␈α⊂if␈↓ αn␈ελC␈↓ βA␈εαdenotes␈α∞the␈α∂av␈α␈erage␈α∞value␈α∂of␈↓ π≠␈ελC␈↓ πG␈εαunder␈α∞our␈α∂earlier␈α∞assumptions,
␈βλV␈↓ βε␈εm␈↓ β ␈εn
␈βλt␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α22␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β	'␈↓ ¬"␈ε↓X
␈β	D␈↓ ↓f␈εN␈↓ αR␈ε¬2␈↓ βX␈ε¬2␈↓ π∧␈εn␈↓ π⊗␈ε→␈␈ε¬1
␈β	J␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈εα2␈↓ αλ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ αF␈εα)␈↓ αa␈ελC␈↓ βλ␈εα=␈↓ β6␈ελN␈↓ βf␈ελC␈↓ ∧#␈εα+␈αλ2␈↓ ∧a␈ελN␈↓ ¬o␈εα(␈↓ ¬{␈ελN␈↓ ε$␈ε⊗␈␈↓ εP␈ελn␈↓ εf␈εα)␈↓ εr␈εα2␈↓ πA␈ελC
␈β	W␈↓ β}␈ε¬00␈↓ πY␈εn␈↓ πk␈ε¬0
␈β	{␈↓ ¬↓␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬,␈εn␈↓ ¬>␈ε→∀␈↓ ¬[␈εN
␈β
⊂␈↓ αb␈ε↓X␈↓ π\␈ε↓X
␈β
-␈↓ ¬←␈εm␈↓ ¬y␈ε¬+␈↓ ε∃␈εn␈↓ ε'␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	-␈ε¬2␈↓ 	M␈ε¬2␈↓ 	[␈εn␈↓ 	m␈ε→␈␈ε¬2
␈β
4␈↓ ↓x␈εα+␈αλ2␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελN␈↓ βr␈ε⊗␈␈↓ ∧≡␈ελm␈↓ ∧=␈εα)(␈↓ ∧U␈ελN␈↓ ∧␈␈ε⊗␈␈↓ ¬+␈ελn␈↓ ¬A␈εα)␈↓ ¬M␈εα2␈↓ εS␈ελC␈↓ π≡␈εα+␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελN␈↓ λ←␈ε⊗␈␈↓ 	␈ελn␈↓ 	!␈εα)␈↓ 	;␈εα2␈↓ 
→␈ελC␈↓ 
T␈εα.␈α∩(44)
␈β
A␈↓ εk␈εm␈↓ π∧␈εn␈↓ 
1␈εn␈↓ 
C␈εn
␈β
e␈↓ α&␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ αR␈εn␈↓ αc␈ε¬<␈↓ β␈εm␈↓ β~␈ε→∀␈↓ β7␈εN␈↓ π<␈ε¬1␈ε→∀␈↓ πg␈εn␈↓ πy␈ε→∀␈↓ λ⊗␈εN
␈β&␈↓ ↓H␈εαThe␈α
same␈αform␈α␈ula␈α
holds␈αfor␈↓ ¬␈ελD␈↓ ¬%␈εαin␈αterms␈αof␈↓ εY␈ελD␈↓ π≡␈εα.␈αIf␈αthe␈αindicated␈α
sums␈αare␈α
carried
␈β3␈↓ εr␈εm␈↓ π␈εn
␈βQ␈↓ ↓H␈εαout␈αusing␈αthe␈αappro␈α␈ximations␈αin␈α(43),␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β'␈↓ β←␈ελC␈↓ ∧ε␈ε⊗→␈εα␈α
0.70␈↓ ∧t␈ελN␈↓ ¬≡␈εα+␈αλ0(1),␈↓ ε↑␈ελD␈↓ πβ␈ε⊗→␈εα␈α
1.41␈↓ πq␈ελN␈↓ λ≠␈εα+␈↓ λG␈ελO␈↓ λa␈εα(1).
␈β⎇␈↓ ↓H␈εα(See␈α	ex␈α␈ercise␈α
23.)␈αThis␈α
agrees␈α
perfectly␈α	with␈α
the␈α
results␈α	of␈α
further␈α
empirical␈α	tests,
␈β
(␈↓ ↓H␈εαmade␈α
on␈α∞sev␈α␈eral␈α
million␈α
random␈α∞inputs␈α
for␈↓ ε⎇␈ελN␈↓ π+␈ε⊗∀␈εα␈α30;␈α∂the␈α
latter␈α∞tests␈α
sho␈α␈w␈α
that
␈β
S␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αmay␈αtak␈α␈e
␈β
}␈↓ βv␈ελC␈↓ ∧≥␈εα=␈α
0.70␈↓ ¬␈ελN␈↓ ¬5␈ε⊗␈␈εα␈αλ0.5,␈↓ εg␈ελD␈↓ π␈εα=␈α
1.41␈↓ πz␈ελN␈↓ λ$␈ε⊗␈␈εα␈αλ2.7␈↓ 
p␈εα(45)
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαas␈αgood␈αestimates␈αof␈αthe␈αvalues,␈αgiv␈α␈en␈αthis␈αdistribution␈αof␈αthe␈αinputs␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
(␈εαand␈↓ 
n␈ελv␈↓ ↓␈εα.
␈β∞n␈↓ α␈εαRichard␈α
Bren␈α␈t␈α
has␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α
a␈α
con␈α␈tin␈α␈uous␈α
model␈α	that␈α
accoun␈α␈ts␈α
for␈α
the␈α	lead-
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαing␈α∞terms␈α
in␈α∞(45).␈α∩Let␈α∞us␈α∞assume␈α∞that␈↓ ε0␈ελu␈↓ εT␈εαand␈↓ π≤␈ελv␈↓ π=␈εαare␈α
large,␈α∂and␈α∞that␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β∂?␈↓ 	n␈εd
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαof␈α⊂shifts␈α⊃per␈α⊂iteration␈α⊃has␈α⊃the␈α⊂value␈↓ ε ␈ελd␈↓ εE␈εαwith␈α⊂probability␈α⊃exactly␈↓ 	\␈εα2␈↓ 	}␈εα.␈α~If␈α⊃w␈α␈e␈α⊂let
␈β∂j␈↓ 	&␈εd
␈β∂o␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓p␈εα=␈↓ α≡␈ελu␈↓ α3␈εα/␈↓ αE␈ελv␈↓ αX␈εα,␈α
the␈α	e{ect␈α
of␈α	steps␈α	B3↑B5␈α
is␈α	to␈α	replace␈↓ π5␈ελX␈↓ π\␈εαby␈α	(␈↓ λ→␈ελX␈↓ λ<␈ε⊗␈␈εα␈α∧1)/␈↓ 	∀␈εα2␈↓ 	@␈εαif␈↓ 	←␈ελX␈↓ 
π␈εα>␈α
1,␈α
or␈α	by
␈β⊂∃␈↓ ↓Z␈εd␈↓ α&␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓j␈εα/(␈↓ αλ␈ελX␈↓ αW␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈αif␈↓ βL␈ελX␈↓ βt␈εα<␈α
1.␈αThe␈αrandom␈αvariable␈↓ π≡␈ελX␈↓ πG␈εαhas␈αa␈αlimiting␈αdistribution␈α
that
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈α
it␈α
possible␈α
to␈α∞analyze␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α
value␈α∞of␈α
the␈α
ratio␈α
by␈α∞which␈↓ 
_␈εαmax␈↓ 
\␈εα(␈↓ 
h␈ελu␈↓ 
}␈εα,␈↓ ∞␈ελv␈↓  ␈εα)
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαdecreases␈α	at␈α	each␈α	iteration;␈α
see␈α	ex␈α␈ercise␈α	25.␈αNumerical␈α	calculations␈α	sho␈α␈w␈α	that␈α	this
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαmaxim␈α␈um␈α∞decreases␈α∂by␈↓ ∧H␈ελ␈␈↓ ∧m␈εα=␈α∞0.705971246102␈α∂bits␈α∞per␈α∂iteration;␈α⊂the␈α∞agreemen␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα332␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwith␈α∞experimen␈α␈t␈α∂is␈α∞so␈α∂good␈α∂that␈α∞Bren␈α␈t's␈α∂constan␈α␈t␈↓ πj␈ελ␈␈↓ λ∞␈εαm␈α␈ust␈α∂be␈α∂the␈α∞true␈α∂value␈α∞of
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂\0.70"␈α∞in␈α∞(45),␈α⊂and␈α∞w␈α␈e␈α∞should␈α∂replace␈α∞0.203␈α∂by␈α∞0.206␈α∂in␈α∞(43).␈α∪[See
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∂Algorithms␈α∞and␈α∂Complexity␈εα,␈α⊂ed.␈α∂by␈α∂J.␈α∞F.␈α∂Traub␈α∂(New␈α∂York:␈α∩Academic␈α∞Press,
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα1976),␈α321↑355.]
␈ββU␈↓ α␈εαThis␈α∞completes␈α∞our␈α∂analysis␈α∞of␈α∞the␈α∞av␈α␈erage␈α∞values␈α∂of␈↓ λc␈ελC␈↓ 	∞␈εαand␈↓ 	W␈ελD␈↓ 	r␈εα.␈α∩The␈α∞other
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthree␈αquan␈α␈tities␈αappearing␈α
in␈αthe␈αrunning␈α
time␈αof␈αAlgorithm␈αB␈α
are␈αrather␈αeasily
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαanalyzed;␈αsee␈αex␈α␈ercises␈α6,␈α7,␈αand␈α8.
␈β∧W␈↓ α␈εαTh␈α␈us␈α
w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈αappro␈α␈ximately␈α
ho␈α␈w␈α
Algorithm␈α
B␈α
behav␈α␈es␈αon␈α
the␈α
av␈α␈erage.␈αLet
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαus␈α∞no␈α␈w␈α∂consider␈α∞a␈α∂\w␈α␈orst␈α∞case"␈α∂analysis:␈α⊃What␈α∞values␈α∂of␈↓ λe␈ελu␈↓ 	
␈εαand␈↓ 	R␈ελv␈↓ 	s␈εαare␈α∂in␈α∞some
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαsense␈αthe␈αhardest␈αto␈αhandle?␈αIf␈αw␈α␈e␈αassume␈αas␈αbefore␈αthat
␈βεβ␈↓ ∧+␈ε⊗b␈↓ ∧9␈εαlg␈↓ ∧[␈ελu␈↓ ∧q␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ ¬7␈ελm␈↓ ε≡␈εαand␈↓ π ␈ε⊗b␈↓ π.␈εαlg␈↓ πP␈ελv␈↓ πc␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ λ)␈ελn␈↓ λ?␈εα,
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαlet␈α∂us␈α∂try␈α⊂to␈α∂|nd␈α∂(␈↓ βv␈ελu␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧≤␈ελv␈↓ ∧/␈εα)␈α∂that␈α∂mak␈α␈e␈α⊂the␈α∂algorithm␈α∂run␈α⊂most␈α∂slo␈α␈wly.␈α⊗In␈α∂view␈α∂of
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞fact␈α∞that␈α
the␈α∞subtractions␈α∞tak␈α␈e␈α∞somewhat␈α∞longer␈α∞than␈α∞the␈α∞shifts,␈α∞when␈α∞the
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαauxiliary␈α
bookk␈α␈eeping␈α∞is␈α
considered,␈α∞this␈α∞question␈α
may␈α∞be␈α
rephrased␈α∞by␈α
asking
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαfor␈αthe␈αinputs␈↓ β-␈ελu␈↓ βO␈εαand␈↓ ∧∃␈ελv␈↓ ∧4␈εαthat␈α
require␈αmost␈αsubtractions.␈α
The␈α
answ␈α␈er␈αis␈αsomewhat
␈βλπ␈↓ ↓H␈εαsurprising;␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αvalue␈αof␈↓ ¬i␈ελC␈↓ ε∩␈εαis␈αexactly
␈βλ]␈↓ ¬A␈εαmax␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελm␈↓ ε1␈εα,␈↓ εA␈ελn␈↓ εW␈εα)␈αλ+␈αλ1,␈↓ 
p␈εα(46)
␈β	4␈↓ ↓H␈εαalthough␈αthe␈α
lattice-poin␈α␈t␈α
model␈αw␈α␈ould␈α
predict␈α
that␈αsubstan␈α␈tially␈α
higher␈αvalues
␈β	←␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓q␈ελC␈↓ α~␈εαare␈αpossible␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α26).␈αThe␈αderivation␈αof␈αthe␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(46)␈αis␈αquite
␈β

␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teresting,␈αso␈αit␈αhas␈αbeen␈αleft␈αas␈αan␈αam␈α␈using␈αproblem␈αfor␈αthe␈αreader␈αto␈αw␈α␈ork␈αout
␈β
5␈↓ ↓H␈εαby␈αhimself␈α(see␈αex␈α␈ercises␈α27,␈α28).
␈β8␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β
␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈αca␈α␈n␈α(8),␈α(9),␈α(10),␈α(11␈α␈)␈α↓,␈αan␈α␈d␈α(1␈α␈2)␈αbe␈αd␈α␈eriv␈α␈ed␈α
easily␈αfro␈α␈m␈α(6)␈αan␈α␈d␈α(7)?
␈β=␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ∧ ␈ε	u␈↓ ∧?␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬0␈ε	v␈↓ ¬K␈ε	v␈↓ ¬l␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε→␈ε	v␈↓ ε8␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ πo␈ε	u␈↓ λ∞␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides
␈βG␈↓ ¬?␈εε1␈↓ ¬Z␈εε2␈↓ ε'␈εn
␈β
␈↓ ∧L␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧}␈εβ(␈↓ ¬	␈ε	u␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬,␈ε	v␈↓ ¬G␈εβ)␈↓ ¬W␈εβgcd␈↓ ε	␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	u␈↓ ε)␈εβ,␈↓ ε7␈ε	v␈↓ εS␈εβ)␈↓ εc␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈εβgcd␈↓ πG␈εβ(␈↓ πR␈ε	u␈↓ πf␈εβ,␈↓ πu␈ε	v␈↓ λ∀␈εβ).
␈β
↔␈↓ ¬:␈εε1␈↓ εF␈εε2␈↓ λ∧␈εn
␈β
f␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈αt␈α␈he␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αord␈α␈ered␈α
p␈α␈airs␈α
of␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α
(␈↓ 	Z␈ε	u␈↓ 	n␈εβ,␈↓ 	⎇␈ε	v␈↓ 
∂␈εβ)␈α
suc␈α␈h␈α
tha␈α␈t
␈β∞
␈↓ εG␈εε2
␈β∞∞␈↓ ↓H␈εβlcm␈↓ ↓{␈εβ(␈↓ απ␈ε	u␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α)␈ε	v␈↓ α;␈εβ)␈α	=␈↓ αz␈ε	n␈↓ β→␈εβis␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ ε3␈ε	n␈↓ εT␈εβ.
␈β∞<␈↓ 
␈ε~0␈↓ &␈ε~0
␈β∞@␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ ¬L␈ε	u␈↓ ¬j␈εβa␈α␈nd␈↓ ε*␈ε	v␈↓ ε;␈εβ,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈ere␈α
are␈α
d␈α␈ivisors␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
⊃␈εβo␈α␈f␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
U␈εβa␈α␈nd␈↓ ∃␈ε	v
␈β∞d␈↓ βp␈ε~0␈↓ ∧↔␈ε~0␈↓ ¬L␈ε~0␈↓ ¬d␈ε~0
␈β∞h␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	v␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ β∨␈εβgc␈α␈d␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β\␈ε	u␈↓ βv␈εβ,␈↓ ∧¬␈ε	v␈↓ ∧≥␈εβ)␈α	=␈α
1␈α
and␈↓ ¬8␈ε	u␈↓ ¬S␈ε	v␈↓ ¬s␈εβ=␈↓ ε≡␈εβlcm␈↓ εR␈εβ(␈↓ ε]␈ε	u␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε	v␈↓ π⊃␈εβ).
␈β∂↔␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂≠␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α}v␈α␈en␈α}t␈α	an␈αλalg␈α␈orithm␈αλ(an␈α␈alogo␈α␈us␈αλto␈α	Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αλB␈α↓)␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α	ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulatin␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α	g␈α␈reates␈α␈t
␈β∂B␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ommo␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αo␈α␈f␈αt␈α␈w␈α␈o␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αba␈α␈sed␈αon␈αth␈α␈eir␈ε⊂␈αb␈α␈alan␈α␈ced␈αte␈α␈rna␈α␈ry␈εβ␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion.␈αDem␈α␈-
␈β∂j␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nstra␈α␈te␈αy␈α␈o␈α␈ur␈αalg␈α␈orithm␈αb␈α␈y␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αit␈αto␈αth␈α␈e␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α
of␈↓ λ9␈εβgcd␈↓ λk␈εβ(409␈α␈02␈α␈,␈αε241␈α␈40).
␈β⊂≤␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α
th␈α␈at␈↓ ∧≥␈ε	u␈↓ ∧;␈εβan␈α␈d␈↓ ∧{␈ε	v␈↓ ¬⊗␈εβa␈α␈re␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α|␈α␈nd␈α	th␈α␈e␈α
me␈α␈an␈α	and␈α	sta␈α␈nd␈α␈-
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rd␈αd␈α␈eviatio␈α␈n␈αof␈αthe␈αq␈α␈ua␈α␈n␈α␈tity␈↓ ∧|␈ε	A␈↓ ¬≥␈εβtha␈α␈t␈αen␈α␈te␈α␈rs␈αin␈α}to␈αthe␈αtimin␈α␈g␈αof␈αProgra␈α␈m␈αB.␈α(Th␈α␈i␈α↓s␈αis␈αthe
␈β⊂l␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αrigh␈α}t␈αshifts␈αap␈α␈plied␈αto␈α
bo␈α␈th␈↓ ¬{␈ε	u␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈↓ ε[␈ε	v␈↓ εw␈εβdu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αpre␈α␈par␈α␈atory␈α
ph␈α␈ase.)
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗An␈α␈alyze␈α
the␈αq␈α␈uan␈α}tity␈↓ ¬6␈ε	B␈↓ ¬W␈εβtha␈α␈t␈αen␈α␈ters␈αin␈α}to␈αthe␈α
ti␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αof␈αProg␈α␈ram␈αB.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ εXTH␈α␈E␈α	GREA␈α}T␈α␈EST␈α	COMMON␈α	DIV␈α␈ISOR␈↓ 
v␈εα333
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
in␈α
P␈α↓ro␈α␈gra␈α␈m␈αB␈↓ ¬X␈εβ,␈α
the␈α
av␈α}erag␈α␈e␈α
valu␈α␈e␈α
of␈↓ λ~␈ε	E␈↓ λ<␈εβis␈α
app␈α␈ro␈α␈x␈α␈imately␈α
e␈α␈qua␈α␈l␈αto
␈βαN␈↓ ↓K␈εε1
␈βαR␈↓ ↓\␈ε	C␈↓ α↔␈εβ,␈αwhere␈↓ β␈ε	C␈↓ βR␈εβis␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ ε%␈ε	C␈↓ ε@␈εβ.
␈βα\␈↓ ↓r␈εεa␈α␈ve␈↓ β"␈εεa␈α␈ve
␈βα`␈↓ ↓K␈∧α`↓Kα
␈βαb␈↓ ↓K␈εε2
␈ββ␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	18␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Using␈α∞Al␈α↓g␈α␈orithm␈α∞B␈α∂and␈α∞h␈α␈and␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈,␈α⊂|n␈α␈d␈↓ λ≠␈εβg␈α␈cd␈↓ λM␈εβ(3␈α␈140␈α␈8,␈αε2␈α␈718␈α␈).␈α↔Also␈α∂|␈α␈nd
␈ββ3␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers␈↓ αC␈ε	m␈↓ αk␈εβan␈α␈d␈↓ β,␈ε	n␈↓ βK␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈α31␈α␈408␈↓ ¬2␈ε	m␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ2␈α␈71␈α␈8␈↓ εB␈ε	n␈↓ ε←␈εβ=␈↓ π
␈εβgc␈α␈d␈↓ π<␈εβ(31␈α␈408␈α␈,␈αε27␈α␈18),␈αusin␈α␈g␈αAlgorith␈α␈m␈αX.
␈ββi␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββm␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈24␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βL␈ε	q␈↓ βv␈εβb␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞ord␈α␈ered␈α
pa␈α␈i␈α↓rs␈α
of␈α∞in␈α␈te␈α␈gers␈α
(␈↓ 	ε␈ε	u␈↓ 	≠␈εβ,␈↓ 	)␈ε	v␈↓ 	;␈εβ)␈α∞s␈α␈uch␈α
th␈α␈at␈α∞1␈ε↔␈α
∀
␈ββx␈↓ βX␈εn
␈β∧⊃␈↓ 
u␈εε2
␈β∧∃␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ,␈↓ ↓j␈ε	v␈↓ α¬␈ε↔∀␈↓ α0␈ε	n␈↓ αL␈εβan␈α␈d␈↓ β
␈εβgcd␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	u␈↓ β[␈εβ,␈↓ βj␈ε	v␈↓ β{␈εβ)␈α
=␈α	1.␈α
The␈αλob␈α␈ject␈αλof␈αλthis␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλis␈αλto␈αλpro␈α␈v␈α}e␈αλtha␈α␈t␈↓ 	>␈εβlim␈↓ 
4␈ε	q␈↓ 
Q␈εβ/␈↓ 
a␈ε	n␈↓ ␈εβ=
␈β∧∨␈↓ 	l␈εn␈↓ 	|␈ε~!␈α↓1␈↓ 
@␈εn
␈β∧8␈↓ ↓{␈εε2
␈β∧<␈↓ ↓H␈εβ6␈α␈/␈↓ ↓i␈ε	→␈↓ αλ␈εβ,␈αthere␈α␈by␈α
estab␈α␈l␈α↓ish␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αTh␈α␈eorem␈α
D␈↓ ¬r␈εβ.
␈β∧v␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβUse␈αth␈α␈e␈αprin␈α␈ci␈α↓p␈α␈le␈αof␈αinclu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈x␈α␈clu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α(Se␈α␈ction␈α1␈α␈.3.3)␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈β¬+␈↓ ¬-␈ε↓X␈↓ π∧␈ε↓X
␈β¬J␈↓ ∧p␈εε2␈↓ ε<␈εε2␈↓ λ:␈εε2
␈β¬P␈↓ ∧␈ε	q␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧\␈ε	n␈↓ ¬∧␈ε↔␈␈↓ ¬a␈ε↔b␈↓ ¬n␈ε	n␈↓ εα␈εβ/␈↓ ε∪␈ε	p␈↓ ε/␈ε↔c␈↓ εP␈εβ+␈↓ πC␈ε↔b␈↓ πP␈ε	n␈↓ πd␈εβ/␈↓ πt␈ε	p␈↓ λ⊃␈ε	p␈↓ λ-␈ε↔c␈↓ λN␈ε↔␈␈↓ λw␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	#␈εβ,
␈β¬[␈↓ ∧_␈εn␈↓ ε"␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λ ␈εε2
␈βεα␈↓ ¬;␈εp␈↓ εy␈εp␈↓ π⊃␈εε<␈↓ π*␈εp
␈βε	␈↓ ¬H␈επ1␈↓ πε␈επ1␈↓ π7␈επ2
␈βε\␈↓ α␈εβwhe␈α␈re␈αthe␈αsu␈α␈ms␈αa␈α␈re␈αtak␈α␈e␈α␈n␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈ε⊂␈αprime␈εβ␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ πf␈ε	p␈↓ λ␈εβ.
␈βεg␈↓ πv␈εi
␈βπα␈↓  ␈εr
␈βπε␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβThe␈ε⊂␈αM␈↓ αn␈ε⊂∪␈↓ αn␈ε⊂o␈↓ α␈␈ε⊂biu␈α␈s␈αfu␈α␈nction␈↓ ∧J␈ε	⊗␈↓ ∧\␈εβ(␈↓ ∧g␈ε	n␈↓ ∧{␈εβ)␈αi␈α↓s␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αby␈αth␈α␈e␈αrules␈↓ π`␈ε	⊗␈↓ πs␈εβ(1␈α␈)␈α
=␈α1␈α␈,␈↓ λt␈ε	⊗␈↓ 	ε␈εβ(␈↓ 	⊃␈ε	p␈↓ 	.␈ε	p␈↓ 	P␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	|␈ε	p␈↓ 
_␈εβ)␈α
=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∃␈εβ)
␈βπ⊂␈↓ 	!␈εε1␈↓ 	=␈εε2␈↓ 
␈εr
␈βπ-␈↓ α␈εβif␈↓ α+␈ε	p␈↓ αG␈εβ,␈↓ α[␈ε	p␈↓ αw␈εβ,␈↓ β␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β8␈εβ,␈↓ βL␈ε	p␈↓ βr␈εβare␈α
distin␈α␈ct␈αp␈α␈rimes,␈αa␈α␈nd␈↓ εU␈ε	⊗␈↓ εg␈εβ(␈↓ εr␈ε	n␈↓ πε␈εβ)␈α
=␈α	0␈α
i␈α↓f␈↓ π␈␈ε	n␈↓ λ≡␈εβis␈αd␈α␈ivisible␈α
by␈α
th␈α␈e␈αsq␈α␈ua␈α␈re␈αo␈α␈f
␈βπ7␈↓ ¬␈ε↓P
␈βπ8␈↓ α;␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ β[␈εr
␈βπQ␈↓ εf␈εε2
␈βπU␈↓ α␈εβa␈αp␈α␈rime.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈↓ ∧/␈ε	q␈↓ ∧U␈εβ=␈↓ ¬↑␈ε	⊗␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	k␈↓ ε␈εβ)␈ε↔b␈↓ ε$␈ε	n␈↓ ε8␈εβ/␈↓ εI␈ε	k␈↓ εY␈ε↔c␈↓ εr␈εβ.
␈βπ`␈↓ ∧;␈εn
␈βπf␈↓ λ⊃␈ε↓P
␈βπh␈↓ ¬&␈εk␈↓ ¬3␈ε~∃␈εε1
␈βλ␈↓ πQ␈εε2␈↓ 	J␈εε2
␈βλ∧␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβAs␈αa␈αco␈α␈nseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈α(b␈α␈),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ε→␈εβl␈α↓im␈↓ π⊂␈ε	q␈↓ π,␈εβ/␈↓ π=␈ε	n␈↓ πg␈εβ=␈↓ λp␈ε	⊗␈↓ 	α␈εβ(␈↓ 	
␈ε	k␈↓ 	≡␈εβ)/␈↓ 	9␈ε	k␈↓ 	V␈εβ.
␈βλ∂␈↓ εH␈εn␈↓ εX␈ε~!1␈↓ π≤␈εn
␈βλ↔␈↓ β4␈ε↓P␈↓ ¬⊃␈ε↓P␈↓ λ7␈εk␈↓ λE␈ε~∃␈εε1
␈βλ1␈↓ ∧m␈εε2␈↓ ε9␈εε2
␈βλ2␈↓ β(␈εα(␈↓ ∧y␈εα)(␈↓ εE␈εα)
␈βλ5␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈αεtha␈α␈t␈↓ ∧∪␈ε	⊗␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	k␈↓ ∧A␈εβ)/␈↓ ∧\␈ε	k␈↓ ¬z␈εβ1/␈↓ ε≠␈ε	m␈↓ εZ␈εβ=␈α
1.␈ε⊂␈α∞Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α	W␈α↓h␈α␈en␈αεthe␈αεseries␈απare␈αεabso␈α␈lutely
␈βλG␈↓ βZ␈εk␈↓ βh␈ε~∃␈εε1␈↓ ¬7␈εm␈↓ ¬O␈ε~∃␈εε1
␈βλ\␈↓ α␈εβco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rgen␈α}t␈αwe␈α
hav␈α}e
␈β	!␈↓ βx␈ε↓X␈↓ ¬,␈ε↓X␈↓ π∪␈ε↓X␈↓ π↑␈ε↓X
␈β	*␈↓ βb␈ε↓∩␈↓ ∧|␈ε↓∪␈↓ ¬∩␈ε↓∩␈↓ εH␈ε↓∪␈↓ πH␈ε↓∩␈↓ λq␈ε↓∪␈↓ 	π␈ε↓≡
␈β	A␈↓ ∧o␈εε2␈↓ ε<␈εε2␈↓ 	A␈εε2
␈β	G␈↓ ∧1␈ε	a␈↓ ∧N␈εβ/␈↓ ∧←␈ε	k␈↓ ¬j␈ε	b␈↓ ε∞␈εβ/␈↓ ε≡␈ε	m␈↓ εg␈εβ=␈↓ λ_␈ε	a␈↓ λ6␈ε	b␈↓ 	-␈ε	n␈↓ 	M␈εβ.
␈β	Q␈↓ ∧A␈εk␈↓ ¬v␈εm␈↓ λ'␈εd
␈β	R␈↓ λB␈εn␈↓ λR␈εε/␈↓ λ←␈εd
␈β	x␈↓ βx␈εk␈↓ ∧ε␈ε~∃␈εε1␈↓ ¬(␈εm␈↓ ¬?␈ε~∃␈εε1␈↓ π∩␈εn␈↓ π"␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ πb␈εd␈↓ πq␈ε~∧␈↓ π}␈εn
␈β
g␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αis␈α
the␈α
p␈α␈rob␈α␈ability␈α
tha␈α␈t␈↓ ε∨␈εβg␈α␈cd␈↓ εQ␈εβ(␈↓ ε\␈ε	u␈↓ εp␈εβ,␈↓ ε}␈ε	v␈↓ π⊂␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈εβ␈α
3␈α␈?␈α(See␈α
Th␈α␈eorem␈α
C␈↓ 	c␈εβ.)␈αWha␈α␈t␈αis␈α
the
␈β∂␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈εβ␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ β@␈εβgcd␈↓ βr␈εβ(␈↓ β}␈ε	u␈↓ ∧∩␈εβ,␈↓ ∧ ␈ε	v␈↓ ∧2␈εβ)?
␈βI␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(E.␈αCe␈α␈s␈↓ βb␈εβ␈
␈↓ βb␈εβa␈↓ βs␈εβro.)␈α~If␈↓ ∧`␈ε	u␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬A␈ε	v␈↓ ¬↑␈εβa␈α␈re␈αran␈α␈dom␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αwh␈α␈at␈αis␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage
␈βp␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
(po␈α␈siti␈α↓v␈α}e)␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈α
they␈α	hav␈α}e␈α
in␈α
co␈α␈mmon␈α␈?␈α↔[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αS␈α␈ee␈α
the␈α
id␈α␈en␈α␈tity␈α
in␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈β_␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈0(d),␈αwith␈↓ αr␈ε	a␈↓ β_␈εβ=␈↓ βB␈ε	b␈↓ βo␈εβ=␈α	1.]
␈β#␈↓ β↓␈εk␈↓ βN␈εm
␈βR␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈en␈α	that␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧R␈εβan␈α␈d␈↓ ¬∩␈ε	v␈↓ ¬.␈εβare␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈ε⊂␈α
od␈α␈d␈εβ␈α
po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
th␈α␈ey␈α
are
␈βu␈↓ ¬e␈εε2
␈βy␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αwith␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈α8/␈↓ ¬R␈ε	→␈↓ ¬q␈εβ.
␈β
3␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αare␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ¬Q␈ε	v␈↓ ¬w␈εβan␈α␈d␈↓ ε8␈ε	v␈↓ ε↑␈εβwhen␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X␈αt␈α␈ermina␈α␈tes?
␈β
>␈↓ ¬←␈εε1␈↓ εG␈εε2
␈β
i␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
m␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
to␈ε⊂␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ ε3␈ε	u␈↓ εQ␈ε⊂by␈↓ π↓␈ε	v␈↓ π≥␈ε⊂m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ λ∩␈ε	m␈↓ λ0␈εβ,␈α
giv␈α␈en␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈β∞∃␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ α.␈ε	m␈↓ αK␈εβ,␈αwi␈α↓th␈↓ β+␈ε	v␈↓ βG␈εβrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αto␈↓ ¬a␈ε	m␈↓ ¬}␈εβ.␈αIn␈α
oth␈α␈er␈αw␈α␈ord␈α␈s,␈αy␈α␈ou␈α␈r␈αalgo␈α␈rithm␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
|␈α␈nd␈↓ 
␈ε	w␈↓ #␈εβ,
␈β∞<␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αra␈α␈nge␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ βG␈ε	w␈↓ βi␈εβ<␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧1␈εβ,␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ ¬Y␈ε	u␈↓ ¬v␈ε↔⊃␈↓ ε!␈ε	v␈↓ ε2␈ε	w␈↓ εT␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ πV␈ε	m␈↓ πs␈εβ).
␈β∞v␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Use␈αth␈α␈e␈αt␈α␈ext's␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αto␈α|␈α␈nd␈αa␈αgen␈α␈eral␈αsolution␈αin␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβse␈α␈ts␈αof␈αequ␈α␈ation␈α␈s:
␈β∂m␈↓ αC␈εβa␈α␈)␈↓ β␈εβ3␈↓ β⊂␈ε	x␈↓ β)␈εβ+␈αλ7␈↓ βb␈ε	y␈↓ β|␈εβ+␈αλ11␈↓ ∧F␈ε	z␈↓ ∧]␈εβ=␈α
1␈↓ π8␈εβb)␈↓ πw␈εβ3␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ!␈εβ+␈απ7␈↓ λZ␈ε	y␈↓ λt␈εβ+␈αλ1␈α␈1␈↓ 	>␈ε	z␈↓ 	U␈εβ=␈α+1
␈β⊂∃␈↓ β␈εβ5␈↓ β⊂␈ε	x␈↓ β)␈εβ+␈αλ7␈↓ βb␈ε	y␈↓ β|␈ε↔␈␈εβ␈α→5␈↓ ∧F␈ε	z␈↓ ∧]␈εβ=␈α
3␈↓ πw␈εβ5␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ!␈εβ+␈απ7␈↓ λZ␈ε	y␈↓ λt␈ε↔␈␈εβ␈α_5␈↓ 	>␈ε	z␈↓ 	U␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ3
␈β⊂s␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
ho␈α␈w␈αAlgo␈α␈rithm␈α
L␈αc␈α␈an␈α
be␈αe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α(a␈α␈s␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
A␈αwas␈αe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αto
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αX)␈αto␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
solutio␈α␈ns␈αof␈α(15␈α␈)␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ εp␈ε	u␈↓ π⊂␈εβa␈α␈nd␈↓ πP␈ε	v␈↓ πm␈εβa␈α␈re␈αl␈α↓a␈α␈rge.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα334␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M37␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β1␈ε	u␈↓ βL␈εβand␈↓ ∧
␈ε	v␈↓ ∧#␈εβbe␈απodd␈απin␈α␈te␈α␈gers,␈α	in␈α␈der␈α␈en␈α␈den␈α}tly␈αλa␈α␈nd␈απun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈αλd␈α␈istribu␈α␈ted␈αλin␈απthe
␈βαN␈↓ αA␈εm␈↓ βi␈εm␈↓ ∧␈εε+1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬j␈εn␈↓ ¬z␈εε+1
␈βαR␈↓ ↓H␈εβra␈α␈ng␈α␈es␈↓ α0␈εβ2␈↓ αb␈ε↔∀␈↓ β∞␈ε	u␈↓ β,␈εβ<␈↓ βX␈εβ2␈↓ ∧&␈εβ,␈↓ ∧;␈εβ2␈↓ ∧f␈ε↔∀␈↓ ¬∩␈ε	v␈↓ ¬.␈εβ<␈↓ ¬Y␈εβ2␈↓ ε ␈εβ.␈α
W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αth␈α␈e␈ε⊂␈αe␈α␈xac␈α␈t␈εβ␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αth␈α␈at␈αa␈αsing␈α␈l␈α↓e
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈sub␈α␈tract␈αa␈α␈nd␈α
shift"␈αcy␈α}cle␈αin␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB␈↓ ε'␈εβ,␈αnam␈α␈ely␈αan␈α
op␈α␈eration␈α
tha␈α␈t␈αstarts␈αa␈α␈t␈αstep␈αB6
␈ββ→␈↓ 	O␈ε≠0␈↓ 
x␈ε≠0
␈ββ≥␈↓ 	7␈εm␈↓ 
`␈εm␈↓ 
⎇␈εε+␈α↓1
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απthen␈απstop␈α␈s␈α	a␈α␈fter␈αλstep␈απB␈α↓5␈απi␈α↓s␈αλ|␈α␈nishe␈α␈d,␈α	red␈α␈uc␈α␈es␈↓ εr␈ε	u␈↓ π∞␈εβand␈↓ πL␈ε	v␈↓ πf␈εβto␈αλth␈α␈e␈αλran␈α␈ges␈↓ 	'␈εβ2␈↓ 	]␈ε↔∀␈↓ 
λ␈ε	u␈↓ 
%␈εβ<␈↓ 
P␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈ββ@␈↓ ↓i␈ε≠0␈↓ βλ␈ε≠0
␈ββD␈↓ ↓X␈εn␈↓ αx␈εn␈↓ β∞␈εε+1␈↓ ε-␈ε~0␈↓ π≥␈ε~0
␈ββI␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓w␈ε↔∀␈↓ α"␈ε	v␈↓ α=␈εβ<␈↓ αg␈εβ2␈↓ β4␈εβ,␈αas␈α
a␈αfun␈α␈ction␈α
of␈↓ ¬6␈ε	m␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬h␈ε	n␈↓ ¬|␈εβ,␈↓ ε⊂␈ε	m␈↓ ε4␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ π	␈ε	n␈↓ π#␈εβ?␈α(This␈αex␈α}ercise␈αgiv␈α}es␈αmore␈α
accu␈α␈rate
␈ββp␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αfor␈αthe␈αt␈α␈ransition␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αth␈α␈an␈α
the␈αtex␈α␈t's␈αmod␈α␈el␈αdoe␈α␈s.␈α↓)
␈β∧0␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈mplete␈αt␈α␈he␈αtex␈α␈t's␈αderiv␈α␈ation␈α
of␈α(38),␈αby␈α
estab␈α␈li␈α↓sh␈α␈ing␈α(3␈α␈7).
␈β∧p␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β3␈ε	∃␈↓ βP␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ ∧π␈εβl␈α↓g␈↓ ∧'␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	u␈↓ ∧x␈εβ,␈↓ ¬π␈ε	v␈↓ ¬_␈εβ)␈ε↔c␈εβ.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
mod␈α␈el␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}es␈↓ 
	␈ε	∃␈↓ 
&␈εβ=␈α
1␈α
with
␈β¬∀␈↓ αs␈εε1␈↓ ¬m␈εε1␈↓ λm␈εε1
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ β∧␈εβ,␈↓ β∃␈ε	∃␈↓ β1␈εβ=␈α
2␈απwith␈αεpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ε∧␈εβ,␈↓ ε∃␈ε	∃␈↓ ε2␈εβ=␈α	3␈απwith␈αεprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ 	∧␈εβ,␈αλetc.,␈αλp␈α␈l␈α↓u␈α␈s␈απcorr␈α␈ection
␈β¬&␈↓ αs␈∧¬&αsα
␈↓ ¬g␈∧¬&¬gα~␈↓ λg␈∧¬&λgα~
␈β¬(␈↓ αs␈εε5␈↓ ¬g␈εε10␈↓ λg␈εε20
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rms␈αth␈α␈at␈αg␈α␈o␈αra␈α␈pidly␈α
to␈αz␈α␈ero␈αa␈α␈s␈↓ ¬!␈ε	u␈↓ ¬@␈εβa␈α␈nd␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε≤␈εβapp␈α␈roa␈α␈ch␈α
i␈α↓n␈α␈|n␈α␈ity;␈αhe␈α␈nce␈α
the␈α
av␈α␈e␈α␈rage␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f
␈β¬d␈↓ βj␈εε4
␈β¬g␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓g␈εβis␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ βz␈εβ.␈α≠[␈ε⊂H␈α↓in␈α}t:␈εβ␈α
Co␈α␈nside␈α␈r␈αthe␈αrelation␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αthe␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αof␈αa␈αp␈α␈ath
␈β¬u␈↓ βj␈∧¬uβjα
␈β¬w␈↓ βj␈εε5
␈βε∂␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈α(␈↓ α"␈ε	m␈↓ α@␈εβ,␈↓ αN␈ε	n␈↓ αb␈εβ)␈αto␈α
(␈↓ β,␈ε	k␈↓ βD␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧␈ε	k␈↓ ∧$␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αa␈α␈nd␈α
a␈αcor␈α␈respo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈ath␈αfro␈α␈m␈α(␈↓ λM␈ε	m␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	+␈εβ,␈↓ 	:␈ε	n␈↓ 	U␈ε↔␈␈↓ 	}␈ε	k␈↓ 
∞␈εβ)␈αto␈α(1,␈αε1␈α␈).␈α↓]
␈βεO␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈26␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βH␈ε	C␈↓ ∧⊃␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧Q␈ε	D␈↓ ¬~␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
av␈α␈e␈α␈rage␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈α
a␈α␈nd␈α
sh␈α␈i␈α↓ft␈α
cy␈α}cles,
␈βεY␈↓ β←␈εm␈↓ βv␈εn␈↓ ∧h␈εm␈↓ ∧␈␈εn
␈βεv␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α
in␈α
Algo␈α␈rithm␈α
B␈↓ ∧`␈εβ,␈α
whe␈α␈n␈↓ ¬I␈ε	u␈↓ ¬g␈εβa␈α␈nd␈↓ ε&␈ε	v␈↓ εA␈εβare␈α
o␈α␈dd␈α␈,␈ε↔␈αb␈↓ πM␈εβl␈α↓g␈↓ πm␈ε	u␈↓ λ↓␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ λB␈ε	m␈↓ λ←␈εβ,␈ε↔␈α
b␈↓ λ␈␈εβl␈α↓g␈↓ 	∨␈ε	v␈↓ 	0␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
¬␈εβ.␈αS␈α␈ho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈βπ~␈↓ βj␈εε1
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α|x␈α␈e␈α␈d␈↓ αL␈ε	n␈↓ α`␈εβ,␈↓ αt␈ε	C␈↓ β;␈εβ=␈↓ βz␈ε	m␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧G␈ε	O␈↓ ∧←␈εβ(1)␈αan␈α␈d␈↓ ¬R␈ε	D␈↓ ε~␈εβ=␈↓ εE␈ε	m␈↓ εi␈εβ+␈↓ π∩␈ε	O␈↓ π*␈εβ(1)␈αas␈↓ λ¬␈ε	m␈↓ λ+␈ε↔!␈α
1␈εβ.
␈βπ(␈↓ β
␈εm␈↓ β"␈εn␈↓ ¬i␈εm␈↓ ε␈εn
␈βπ,␈↓ βj␈∧π,βjα
␈βπ.␈↓ βj␈εε2
␈βπ↑␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αEq␈α␈.␈α(44␈α␈).
␈βλ≡␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ∧6␈ε	C␈↓ ∧⎇␈εβ=␈↓ ¬(␈ε	␈↓ ¬:␈ε	m␈↓ ¬←␈εβ+␈↓ ελ␈ε	␈␈↓ ε≤␈ε	n␈↓ ε7␈εβ+␈↓ ε`␈ε	␈
␈↓ ε}␈εβfo␈α␈r␈αsome␈αc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈↓ 	_␈ε	␈↓ 	*␈εβ,␈↓ 	>␈ε	␈␈↓ 	S␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ 
(␈ε	␈
␈↓ 
:␈εβ,␈αth␈α␈en
␈βλ)␈↓ ∧L␈εm␈↓ ∧d␈εn
␈βλW␈↓ αu␈ε↓X
␈βλw␈↓ ¬g␈εm␈↓ ¬}␈εε+␈↓ ε↔␈εn␈↓ ε(␈ε~␈␈εε2␈↓ πP␈εε2␈↓ π\␈εN
␈βλy␈↓ λ∧␈εε1␈α␈1
␈βλz␈↓ πt␈εα(␈↓ 
≤␈εα)
␈βλ⎇␈↓ β[␈εβ(␈↓ βf␈ε	N␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧5␈ε	m␈↓ ∧R␈εβ)(␈↓ ∧h␈ε	N␈↓ ¬∂␈ε↔␈␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬V␈εβ2␈↓ εN␈ε	C␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π?␈εβ2␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	␈↓ λF␈εβ+␈↓ λn␈ε	␈␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	∞␈ε	N␈↓ 	4␈εβ+␈↓ 	]␈ε	O␈↓ 	u␈εβ(1)␈↓ 
(␈εβ,
␈β	π␈↓ εd␈εm␈↓ ε{␈εn
␈β	␈↓ λ∧␈∧	λ∧α~
␈β	
␈↓ λ∧␈εε2␈α␈7
␈β	.␈↓ αC␈εε1␈ε~∀␈↓ αi␈εn␈↓ αy␈ε~∀␈↓ β∩␈εm␈↓ β*␈ε~∀␈↓ βC␈εN
␈β	@␈↓ ∧.␈ε↓X
␈β	`␈↓ ¬u␈εε2␈↓ ε∩␈εε2␈↓ ε≡␈εn␈↓ ε/␈ε~␈␈εε2␈↓ πP␈εε2␈↓ π\␈εN
␈β	b␈↓ λ
␈εε5
␈β	c␈↓ πt␈εα(␈↓ 
≤␈εα)
␈β	f␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬π␈ε	N␈↓ ¬-␈ε↔␈␈↓ ¬V␈ε	n␈↓ ¬j␈εβ)␈↓ ε↓␈εβ2␈↓ εU␈ε	C␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π?␈εβ2␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	␈↓ λF␈εβ+␈↓ λn␈ε	␈␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	∞␈ε	N␈↓ 	4␈εβ+␈↓ 	]␈ε	O␈↓ 	u␈εβ(1)␈↓ 
(␈εβ.
␈β	p␈↓ εk␈εn␈↓ ε{␈εn
␈β	t␈↓ λ∧␈∧	tλ∧α~
␈β	v␈↓ λ∧␈εε2␈α␈7
␈β
↔␈↓ ∧∀␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧:␈εn␈↓ ∧J␈ε~∀␈↓ ∧d␈εN
␈β
p␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
t␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β↔␈ε	v␈↓ β2␈εβ=␈α	1␈α
b␈α␈ut␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧Q␈εβis␈α
l␈α↓a␈α␈rge,␈α
du␈α␈ring␈α
Alg␈α␈orithm␈α
B␈↓ πh␈εβ,␈α
i␈α↓t␈α
m␈α␈ay␈α
t␈α␈ak␈α␈e␈α
fa␈α␈i␈α↓rly␈α	l␈α↓o␈α␈ng␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
the
␈β≠␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αto␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧o␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬!␈εβ(␈↓ ¬,␈ε	u␈↓ ¬@␈εβ,␈↓ ¬O␈ε	v␈↓ ¬`␈εβ)␈α=␈α1␈α␈.␈α∞Perha␈α␈ps␈αit␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αw␈α␈orth␈αwhile␈αto␈αad␈α␈d␈αa
␈β?␈↓ 
9␈εk
␈βC␈↓ ↓H␈εβte␈α␈st␈α∞a␈α␈t␈α
the␈α
b␈α␈eginn␈α␈ing␈α
o␈α␈f␈α∞ste␈α␈p␈α
B5:␈α⊂\␈α␈If␈↓ ¬p␈ε	t␈↓ ελ␈εβ=␈α
1,␈α∞the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αtermina␈α␈tes␈α
wi␈α↓th␈↓ 
(␈εβ2␈↓ 
S␈εβas␈α
the
␈βj␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er."␈αE␈α↓x␈α␈plo␈α␈re␈αth␈α␈e␈αq␈α␈uestion␈αo␈α␈f␈αwhet␈α␈her␈αor␈αn␈α␈ot␈αthis␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈αan␈αi␈α↓m␈α␈pro␈α}v␈α␈eme␈α␈n␈α␈t␈αwh␈α␈en
␈β∩␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αdea␈α␈ls␈αwith␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αinp␈α␈uts,␈αby␈αd␈α␈etermin␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αtime␈α␈s
␈β:␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αste␈α␈p␈αB6␈αis␈αex␈α␈ec␈α␈uted␈α
with␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬≤␈εβ=␈α
1␈αo␈α␈r␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε&␈εβ=␈α	1,␈αusing␈α
the␈αlattice␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α}t␈αm␈α␈od␈α␈el.
␈βv␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βz␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈α
P.␈α
Bren␈α␈t␈α␈.␈α↓)␈α≤Let␈↓ ¬≠␈ε	u␈↓ ¬K␈εβa␈α␈nd␈↓ ε
␈ε	v␈↓ ε8␈εβbe␈αthe␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈α
o␈α␈f␈↓ λ1␈ε	u␈↓ λR␈εβa␈α␈nd␈↓ 	∀␈ε	v␈↓ 	2␈εβa␈α␈f␈α↓te␈α␈r␈↓ 
β␈ε	n␈↓ 
$␈εβiter␈α␈ation␈α␈s
␈β
∧␈↓ ¬.␈εn␈↓ ε≤␈εn
␈β
!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
s␈α␈teps␈αB3↑␈α␈B␈α↓5␈α␈;␈α
let␈↓ βi␈ε	X␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧H␈ε	u␈↓ ∧k␈εβ/␈↓ ∧|␈ε	v␈↓ ¬≠␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αassu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈↓ π/␈ε	F␈↓ πR␈εβ(␈↓ π]␈ε	x␈↓ πo␈εβ)␈αis␈αthe␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈αth␈α␈at␈↓ 
Y␈ε	X␈↓ ␈ε↔∀
␈β
,␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧[␈εn␈↓ ¬␈εn␈↓ πB␈εn␈↓ 
p␈εn
␈β
I␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓Y␈εβ,␈α∪for␈α⊃0␈ε↔␈α∀∀␈↓ β	␈ε	x␈↓ β.␈εβ<␈ε↔␈α∀1␈εβ.␈α%(␈α↓a␈α␈)␈α∩Ex␈α␈press␈↓ ¬m␈ε	F␈↓ ε5␈εβ(␈↓ εA␈ε	x␈↓ εR␈εβ)␈α⊃i␈α↓n␈α⊂terms␈α⊃of␈↓ λ+␈ε	F␈↓ λN␈εβ(␈↓ λY␈ε	x␈↓ λk␈εβ),␈α∪u␈α␈nd␈α␈er␈α⊃the␈α⊃assu␈α␈mp␈α␈-
␈β
S␈↓ ¬␈␈εn␈↓ ε⊂␈εε+1␈↓ λ>␈εn
␈β
m␈↓ 
π␈εε1
␈β
p␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈α⊂t␈α␈hat␈α∂step␈α∂B4␈α∂alway␈α␈s␈α⊂b␈α␈ran␈α␈che␈α␈s␈α⊂to␈α∂B3␈α∂wi␈α↓th␈α∂in␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈α⊂p␈α␈rob␈α␈ability␈↓ 
↔␈εβ.␈α"(b)␈α∂L␈α↓e␈α␈t
␈β
␈␈↓ 
π␈∧
␈
πα
␈β∞↓␈↓ 
π␈εε2
␈β∞∀␈↓ ∧K␈ε~␈␈εε1
␈β∞_␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈α=␈↓ αN␈ε	F␈↓ αp␈εβ(␈↓ α{␈ε	x␈↓ β
␈εβ)␈αλ+␈α	1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧␈ε	F␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	x␈↓ ∧q␈εβ)␈α
b␈α␈e␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ πg␈ε	Y␈↓ λ⊗␈ε↔∀␈↓ λC␈ε	x␈↓ λT␈εβ,␈α
for␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ 	h␈ε	x␈↓ 
∧␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈,␈α
where
␈β∞#␈↓ ↓↑␈εn␈↓ α`␈εn␈↓ ∧∨␈εn␈↓ π{␈εn
␈β∞@␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓z␈εβ=␈↓ α*␈εβmin␈↓ αb␈εβ(␈↓ αm␈ε	u␈↓ β⊂␈εβ,␈↓ β∨␈ε	v␈↓ β>␈εβ)/␈↓ βZ␈εβma␈α␈x␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	u␈↓ ∧G␈εβ,␈↓ ∧V␈ε	v␈↓ ∧u␈εβ).␈α⊗Ex␈α␈press␈↓ ε≡␈ε	G␈↓ εy␈εβin␈α∞term␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈↓ λ-␈ε	G␈↓ λS␈εβ.␈α (␈α↓c␈α␈)␈α∂Exp␈α␈ress␈↓ 
/␈ε	H␈↓ 
U␈εβ(␈↓ 
`␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈β∞J␈↓ ↓[␈εn␈↓ β␈εn␈↓ β.␈εn␈↓ ∧7␈εn␈↓ ∧e␈εn␈↓ ε4␈εn␈↓ εD␈εε+␈α↓1␈↓ λC␈εn␈↓ 
D␈εn
␈β∞d␈↓ β1␈εα(␈↓ π+␈εα)
␈β∞g␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ β=␈εβm␈α␈ax␈↓ β|␈εβ(␈↓ ∧π␈ε	u␈↓ ∧P␈εβ,␈↓ ∧←␈ε	v␈↓ ¬$␈εβ)/␈↓ ¬?␈εβmax␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	u␈↓ ε-␈εβ,␈↓ ε<␈ε	v␈↓ ε[␈εβ)␈α	<␈↓ π→␈ε	x␈↓ πB␈εβin␈αter␈α␈ms␈αof␈↓ λl␈ε	G␈↓ 	∪␈εβ.
␈β∞r␈↓ ∧~␈εn␈↓ ∧*␈εε+1␈↓ ∧m␈εn␈↓ ∧}␈εε+1␈↓ ε≤␈εn␈↓ εJ␈εn␈↓ 	α␈εn
␈β∂'␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αis␈αth␈α␈e␈αlen␈α␈gth␈αof␈αth␈α␈e␈αlon␈α␈gest␈αpa␈α␈th␈αfro␈α␈m␈α(␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ0␈εβ,␈↓ λ?␈ε	n␈↓ λS␈εβ)␈αto␈α(0,␈αε0␈α␈)␈αin␈αth␈α␈e␈αlatt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈t␈αm␈α␈ode␈α␈l␈α↓?
␈β⊂␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂∂␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈↓ βY␈ε	m␈↓ ∧β␈ε↔∃␈↓ ∧0␈ε	n␈↓ ∧P␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈,␈α∞|␈α␈nd␈αv␈α␈alues␈αof␈↓ εx␈ε	u␈↓ π␈εβ,␈↓ π"␈ε	v␈↓ π@␈εβwith␈ε↔␈αb␈↓ λ~␈εβl␈α↓g␈↓ λ:␈ε	u␈↓ λN␈ε↔c␈εβ␈α=␈↓ 	∀␈ε	m␈↓ 	1␈εβ,␈ε↔␈α
b␈↓ 	T␈εβlg␈↓ 	t␈ε	v␈↓ 
¬␈ε↔c␈εβ␈α=␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈β⊂6␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB␈αrequ␈α␈ires␈↓ ∧L␈ε	m␈↓ ∧q␈εβ+␈αλ1␈α
sub␈α␈tractio␈α␈n␈αstep␈α␈s.
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M37␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈α
step␈α
B6␈αo␈α␈f␈αAlgorith␈α␈m␈αB␈αis␈αn␈α␈ev␈α}er␈αex␈α}ecu␈α␈ted␈α
more
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈α
1␈απ+␈ε↔␈αλb␈↓ αc␈εβlg␈↓ βα␈εβmax␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	u␈↓ βa␈εβ,␈↓ βo␈ε	v␈↓ ∧↓␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈αtimes.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα335
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Eva␈α␈luate␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α}t
␈βαW␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈βαl␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈βαu␈↓ ∧7␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧i␈εβ(1␈α␈,␈αε1)␈↓ ¬T␈εβg␈α␈cd␈↓ ε¬␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈αε2)␈↓ εo␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈εβg␈α␈cd␈↓ πk␈εβ(1␈α␈,␈↓ λ∃␈ε	n␈↓ λ)␈εβ)
␈ββα␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββ_␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββ≤␈↓ ∧7␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧i␈εβ(2␈α␈,␈αε1)␈↓ ¬T␈εβg␈α␈cd␈↓ ε¬␈εβ(␈α↓2␈α␈,␈αε2)␈↓ εo␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π9␈εβg␈α␈cd␈↓ πk␈εβ(2␈α␈,␈↓ λ∃␈ε	n␈↓ λ)␈εβ)
␈ββ-␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββ9␈↓ λG␈εβ.
␈ββ:␈↓ ∧n␈εβ.␈↓ ε␈εβ.␈↓ πr␈εβ.
␈ββC␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββH␈↓ ∧n␈εβ.␈↓ ε␈εβ.␈↓ πr␈εβ.
␈ββV␈↓ ∧n␈εβ.␈↓ ε␈εβ.␈↓ πr␈εβ.
␈ββX␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββn␈↓ ∧#␈ε↓␈␈↓ λ;␈ε↓␈
␈ββ}␈↓ ∧5␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε	n␈↓ ¬ε␈εβ,␈αε1␈α␈)␈↓ ¬R␈εβg␈α␈cd␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε#␈εβ,␈αε2␈α␈)␈↓ εo␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π7␈εβgc␈α␈d␈↓ πi␈εβ(␈↓ πt␈ε	n␈↓ λλ␈εβ,␈↓ λ↔␈ε	n␈↓ λ+␈εβ)
␈β∧S␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞Euclid's␈α∞a␈α␈lgorith␈α␈m␈α∞(Algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞A)␈α∞a␈α␈pp␈α␈li␈α↓e␈α␈d␈α∞to␈α
t␈α␈w␈α␈o␈↓ 	y␈ε	n␈↓ 

␈εβ-b␈α␈it␈α∞bin␈α␈ary
␈β∧v␈↓ ∧¬␈εε2
␈β∧{␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
requ␈α␈i␈α↓r␈α␈es␈↓ βN␈ε	O␈↓ βf␈εβ(␈↓ βq␈ε	n␈↓ ∧∩␈εβ)␈α
un␈α␈t␈α␈s␈α∞of␈α
ti␈α↓m␈α␈e,␈α∂a␈α␈s␈↓ ε#␈ε	n␈↓ εE␈ε↔!␈α
1␈εβ␈α↓.␈α∪(Th␈α␈e␈α∞sa␈α␈me␈α
up␈α␈per␈α
bou␈α␈nd␈α
o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β¬"␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈αfo␈α␈r␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
B␈α↓.)
␈β¬P␈↓ 	Q␈εm␈↓ 
L␈εn
␈β¬T␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Use␈α∞Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∞algorith␈α␈m␈α∞to␈α∞|␈α␈nd␈α
a␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α∞fo␈α␈rm␈α␈ula␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ 	β␈εβgcd␈↓ 	5␈εβ(␈↓ 	@␈εβ2␈↓ 	r␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ 
<␈εβ2␈↓ 
f␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)
␈β¬|␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	m␈↓ αG␈εβan␈α␈d␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β'␈εβa␈α␈re␈αno␈α␈nn␈α␈egativ␈α}e␈αi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers.
␈βε*␈↓ ¬e␈εε2
␈βε.␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M43␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ca␈α␈n␈απthe␈απup␈α␈per␈απbo␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬.␈ε	O␈↓ ¬F␈εβ(␈↓ ¬Q␈ε	n␈↓ ¬r␈εβ)␈αλin␈απex␈α}ercise␈απ30␈απbe␈απde␈α␈crease␈α␈d,␈αλi␈α↓f␈απan␈α␈othe␈α␈r␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βεV␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αgrea␈α␈test␈αco␈α␈mmon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αi␈α↓s␈αu␈α␈sed␈α␈?
␈βπλ␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗An␈α␈alyze␈α
V␈α↓.␈αC.␈αHarris's␈α\b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
E␈α↓u␈α␈clidea␈α␈n␈αalg␈α␈orithm␈α␈.␈α↓"
␈βπ6␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπ:␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈απW.␈απGo␈α␈sper␈α␈.␈α↓)␈α
Demo␈α␈nstra␈α␈te␈απh␈α␈o␈α␈w␈αεto␈αεmod␈α␈i␈α↓fy␈αεAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αεB␈απfor␈αεl␈α↓a␈α␈rge␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈βπa␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αid␈α␈eas␈αa␈α␈nalog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αtho␈α␈se␈αin␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αL.
␈βλ∂␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ∪␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈α
R.␈αP␈α↓ra␈α␈tt.)␈α≤E␈α↓x␈α␈ten␈α␈d␈αAl␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
B␈αto␈αan␈αAlgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αY␈α
th␈α␈at␈αi␈α↓s␈αan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβto␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
X.
␈βλm␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈49␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αεa␈αεri␈α↓g␈α␈oro␈α␈us␈αεproo␈α␈f␈απth␈α␈at␈αεB␈α↓re␈α␈n␈α␈t's␈απm␈α␈ode␈α␈l␈απdes␈α␈cribes␈αεthe␈αεasy␈α␈mp␈α␈totic␈απb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r
␈β	∃␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αB.
␈β
∞␈↓ ↓4␈ε≥*␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.5.3.␈α
Anal␈α↓ysis␈α∞of␈α
Euclid's␈α∞Algor␈α␈it␈α↓hm
␈β
N␈↓ α␈εαThe␈α
ex␈α␈ecution␈α	time␈α
of␈α
Euclid's␈α	algorithm␈α
depends␈α
on␈↓ λH␈ελT␈↓ λa␈εα,␈αthe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	times
␈β
z␈↓ ↓H␈εαthe␈αdivision␈α
step␈α
A2␈αis␈α
performed.␈α∞(See␈α
Algorithm␈α4.5.2A␈α
and␈α
Program␈α4.5.2A␈↓ ⊗␈εα.)
␈β%␈↓ ↓H␈εαThe␈απquan␈α␈tity␈↓ β→␈ελT␈↓ β:␈εαis␈απalso␈απan␈απimportan␈α␈t␈αλfactor␈απin␈απthe␈απrunning␈αλtime␈απof␈απother␈απalgorithms,
␈βP␈↓ ↓H␈εαsuch␈αas␈αthe␈αevaluation␈αof␈αfunctions␈α
satisfying␈αa␈αreciprocity␈αform␈α␈ula␈α(see␈αSection
␈β{␈↓ ↓H␈εα3.3.3).␈αWe␈αλshall␈α	see␈α	in␈α	this␈αλsection␈α	that␈α	the␈αλmathematical␈α	analysis␈α	of␈α	this␈αλquan␈α␈tity
␈β&␈↓ ↓H␈ελT␈↓ ↓m␈εαis␈αin␈α␈teresting␈αand␈αinstructiv␈α␈e.
␈βf␈↓ ↓H␈ε∩Relation␈α
to␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fractions.␈εα␈α∃Euclid's␈αalgorithm␈α
is␈α
in␈α␈timately␈α
connected␈α
with
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε∂con␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈εα,␈αwhich␈αare␈αexpressions␈αof␈αthe␈αform
␈β
T␈↓ ¬K␈ε↓␈␈↓ 
p␈ε↓↓
␈β
]␈↓ ↓G␈ελb
␈β
j␈↓ ↓T␈ε¬1
␈β
t␈↓ ∧o␈εα=␈↓ ¬≥␈ελb␈↓ ¬9␈εα/␈↓ ¬Y␈ελa␈↓ ε␈εα+␈↓ ε,␈ελb␈↓ εG␈εα/(␈↓ εe␈ελa␈↓ π
␈εα+␈↓ π9␈ελb␈↓ πT␈εα/(␈↓ πr␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ"␈εα/(␈↓ λ@␈ελa␈↓ 	⊗␈εα+␈↓ 	B␈ελb␈↓ 	a␈εα/␈↓ 	s␈ελa␈↓ 
⊗␈εα)␈↓ 
(␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
X␈εα))␈↓ 
}␈εα.
␈β∞↓␈↓ ¬*␈ε¬1␈↓ ¬j␈ε¬1␈↓ ε9␈ε¬2␈↓ εv␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬3␈↓ λQ␈εn␈↓ λc␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	O␈εn␈↓ 
∧␈εn
␈β∞∧␈↓ ↓G␈∧∞∧↓Gαβ≠
␈β∞␈↓ α≡␈ελb
␈β∞~␈↓ α+␈ε¬2
␈β∞#␈↓ ↓G␈ελa␈↓ ↓n␈εα+
␈β∞0␈↓ ↓W␈ε¬1
␈β∞3␈↓ α≡␈∧∞3α≡αα@
␈β∞;␈↓ αu␈ελb
␈β∞I␈↓ βα␈ε¬3
␈β∞R␈↓ α≡␈ελa␈↓ αE␈εα+
␈β∞`␈↓ α.␈ε¬2␈↓ α␈εα(1)
␈β∞b␈↓ αu␈∧∞bαuα↓e
␈β∂↓␈↓ αu␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β∂∩␈↓ β)␈∧∂∩β)α↓-
␈β∂∨␈↓ ∧1␈ελb
␈β∂-␈↓ ∧>␈εn
␈β∂6␈↓ β)␈ελa␈↓ β␈␈εα+
␈β∂C␈↓ β:␈εn␈↓ βL␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂F␈↓ ∧/␈∧∂F∧/α#
␈β∂N␈↓ ∧/␈ελa
␈β∂\␈↓ ∧@␈εn
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈α
hav␈α␈e␈αa␈αbeautiful␈αtheory␈αthat␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αsev␈α␈eral␈α
books.
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εα[See,␈απfor␈αεexample,␈αλO.␈αεPerron,␈ε∂␈απDie␈αεLehre␈αεv␈α␈on␈απden␈αεKetten␈α␈br␈↓ λ)␈ε∂u␈↓ λ*␈ε∂∪␈↓ λ=␈ε∂chen␈εα,␈απ3rd␈αεed.␈αε(Stuttgart:
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαTeubner,␈α
1954),␈α∞2␈α∞v␈α␈ols.;␈α∞A.␈α
Khinchin,␈ε∂␈α∞Con␈α␈tin␈α␈ued␈α
Fractions␈εα,␈α∞tr.␈α∞by␈α
Peter␈α
Wynn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα(Groningen:␈α⊗P.␈α⊃Noordho{,␈α∩1963);␈α∀H.␈α⊃S.␈α⊃Wall,␈ε∂␈α∩Analytic␈α⊃Theory␈α⊃of␈α⊃Con␈α␈tin␈α␈ued
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα336␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂Fractions␈εα␈α(New␈αYork:␈αVan␈αNostrand,␈α1948);␈αand␈αsee␈αalso␈αJ.␈αTropfk␈α␈e,␈ε∂␈αGeschich␈α␈te
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂der␈αλElemen␈α␈tar-Mathematik␈ε∩␈α	6␈εα␈α	(Berlin:␈αGruyter,␈α	1924),␈α	74↑84,␈α
for␈α	the␈α	early␈αλhistory
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈α
subject.]␈α
It␈αis␈α
necessary␈αto␈α
limit␈αourselv␈α␈es␈α
to␈αa␈α
comparativ␈α␈ely␈αbrief␈αtreat-
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαmen␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
theory␈α
here,␈α∞studying␈α
only␈α
those␈α
aspects␈α∞that␈α
giv␈α␈e␈α
us␈α
more␈α
insigh␈α␈t
␈ββS␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈αthe␈αbehavior␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈ββ}␈↓ α␈εαThe␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αof␈αprimary␈αin␈α␈terest␈αto␈αus␈αare␈αthose␈αin␈αwhich␈αall␈αthe
␈β∧)␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓V␈εα's␈αin␈α(1)␈αare␈αequal␈αto␈αunity.␈αFor␈αcon␈α␈v␈α␈enience␈αin␈αnotation,␈αlet␈αus␈αde|ne
␈β∧U␈↓ ¬?␈ε↓␈␈↓ 	]␈ε↓↓
␈β∧t␈↓ α␈␈ε⊗?␈↓ β⊃␈ελx␈↓ β0␈εα,␈↓ β@␈ελx␈↓ β←␈εα,␈↓ βo␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∨␈εα,␈↓ ∧/␈ελx␈↓ ∧Q␈ε⊗?␈εα␈α
=␈α
1/␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ¬t␈εα+␈αλ1/(␈↓ εP␈ελx␈↓ εw␈εα+␈αλ1/(␈↓ πS␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ¬␈εα+␈αλ1/(␈↓ λa␈ελx␈↓ 	β␈εα)␈↓ 	∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	E␈εα))␈↓ 	k␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈β¬α␈↓ β!␈ε¬1␈↓ βP␈ε¬2␈↓ ∧?␈εn␈↓ ¬↑␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬2␈↓ λr␈εn
␈β¬?␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αfor␈αexample,
␈βεα␈↓ ∧,␈εα1␈↓ π≤␈εα1␈↓ λn␈ελx
␈βε⊂␈↓ λ␈␈ε¬2
␈βε→␈↓ β&␈ε⊗?␈↓ β8␈ελx␈↓ βW␈ε⊗?␈εα␈α
=␈↓ ∧H␈εα,␈ε⊗␈↓ ¬ ?␈↓ ¬2␈ελx␈↓ ¬Q␈εα,␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ε␈ε⊗?␈εα␈α
=␈↓ λ
␈εα=␈↓ 	D␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈βε'␈↓ βI␈ε¬1␈↓ ¬C␈ε¬1␈↓ ¬r␈ε¬2
␈βε*␈↓ ∧%␈∧ε*∧%α∨␈↓ εN␈∧ε*εNα↓.␈↓ λ<␈∧ε*λ<α↓∧
␈βε2␈↓ ∧%␈ελx␈↓ εN␈ελx␈↓ εu␈εα+␈αλ1/(␈↓ πQ␈ελx␈↓ πp␈εα)␈↓ λ<␈ελx␈↓ λ[␈ελx␈↓ 	α␈εα+␈αλ1
␈βε?␈↓ ∧6␈ε¬1␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ πb␈ε¬2␈↓ λM␈ε¬1␈↓ λl␈ε¬2
␈βεy␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓o␈ελn␈↓ α∃␈εα=␈α∂0,␈α⊃the␈α∂sym␈α␈bol␈ε⊗␈α⊂?␈↓ ∧G␈ελx␈↓ ∧e␈εα,␈↓ ∧u␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬X␈ε⊗?␈εα␈α∂is␈α⊂tak␈α␈en␈α∂to␈α⊂mean␈α∂0.␈α↔Let␈α∂us␈α⊂also␈α∂de|ne␈α∂the
␈βπε␈↓ ∧W␈ε¬1␈↓ ¬F␈εn
␈βπ$␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈↓ β⊂␈ελQ␈↓ β:␈εα(␈↓ βF␈ελx␈↓ βe␈εα,␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∪␈εα,␈↓ ∧#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εα,␈↓ ∧c␈ελx␈↓ ¬ε␈εα)␈αof␈↓ ¬H␈ελn␈↓ ¬j␈εαvariables,␈αfor␈↓ πD␈ελn␈↓ πc␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αby␈αthe␈αrule
␈βπ2␈↓ β(␈εn␈↓ βV␈ε¬1␈↓ ∧¬␈ε¬2␈↓ ∧t␈εn
␈βπO␈↓ ∧α␈ε↓8
␈βπp␈↓ ∧α␈ε↓>
␈βπu␈↓ ∧~␈εα1,␈↓ 	_␈εαif␈↓ 	:␈ελn␈↓ 	Z␈εα=␈α
0;
␈βλ¬␈↓ ∧α␈ε↓<
␈βλ/␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧9␈εα,␈↓ 	_␈εαif␈↓ 	:␈ελn␈↓ 	Z␈εα=␈α
1;
␈βλ0␈↓ ↓H␈ελQ␈↓ ↓r␈εα(␈↓ ↓}␈ελx␈↓ α≥␈εα,␈↓ α-␈ελx␈↓ αK␈εα,␈↓ α[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β␈εα,␈↓ β≠␈ελx␈↓ β>␈εα)␈α
=␈↓ α␈εα(4)
␈βλ<␈↓ ∧+␈ε¬1
␈βλ=␈↓ ↓`␈εn␈↓ α∞␈ε¬1␈↓ α=␈ε¬2␈↓ β,␈εn
␈βλF␈↓ ∧α␈ε↓>
␈βλ\␈↓ ∧α␈ε↓:
␈βλh␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧9␈ελQ␈↓ ¬∞␈εα(␈↓ ¬~␈ελx␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε,␈εα)␈αλ+␈↓ εl␈ελQ␈↓ πA␈εα(␈↓ πM␈ελx␈↓ πl␈εα,␈↓ π|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈εα,␈↓ λ<␈ελx␈↓ λ↑␈εα),␈↓ 	_␈εαif␈↓ 	:␈ελn␈↓ 	Z␈εα>␈α
1.
␈βλv␈↓ ∧+␈ε¬1␈↓ ∧Q␈εn␈↓ ∧c␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬+␈ε¬2␈↓ ε~␈εn␈↓ π∧␈εn␈↓ π∃␈ε→␈␈ε¬2␈↓ π]␈ε¬3␈↓ λL␈εn
␈β	<␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈↓ α&␈ελQ␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελx␈↓ αx␈εα,␈↓ βλ␈ελx␈↓ β&␈εα)␈α⊂=␈↓ βv␈ελx␈↓ ∧∃␈ελx␈↓ ∧>␈εα+␈α1,␈↓ ¬∂␈ελQ␈↓ ¬5␈εα(␈↓ ¬A␈ελx␈↓ ¬`␈εα,␈↓ ¬p␈ελx␈↓ ε∂␈εα,␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε>␈εα)␈α⊂=␈↓ π∞␈ελx␈↓ π-␈ελx␈↓ πL␈ελx␈↓ πu␈εα+␈↓ λ#␈ελx␈↓ λM␈εα+␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	~␈εα,␈α⊂etc.␈α↔In␈α∂general,
␈β	I␈↓ α>␈ε¬2␈↓ αi␈ε¬1␈↓ β_␈ε¬2␈↓ ∧π␈ε¬1␈↓ ∧&␈ε¬2␈↓ ¬'␈ε¬3␈↓ ¬R␈ε¬1␈↓ ε↓␈ε¬2␈↓ ε0␈ε¬3␈↓ π≡␈ε¬1␈↓ π=␈ε¬2␈↓ π\␈ε¬3␈↓ λ4␈ε¬1␈↓ 	␈ε¬3
␈β	g␈↓ ↓H␈εαas␈α
noted␈α∞by␈α∞L.␈α
Euler␈α∞in␈α
the␈α∞eigh␈α␈teen␈α␈th␈α∞cen␈α␈tury,␈↓ πL␈ελQ␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελx␈↓ λ!␈εα,␈↓ λ1␈ελx␈↓ λO␈εα,␈↓ λ←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∂␈εα,␈↓ 	∨␈ελx␈↓ 	B␈εα)␈α∞is␈α
the␈α∞sum␈α
of
␈β	t␈↓ πd␈εn␈↓ λ∩␈ε¬1␈↓ λA␈ε¬2␈↓ 	0␈εn
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαall␈α
terms␈αobtainable␈α
by␈α
starting␈α
with␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε>␈ελx␈↓ εc␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∪␈ελx␈↓ πB␈εαand␈α
deleting␈α
zero␈α
or␈α
more␈αnon-
␈β
∨␈↓ ε/␈ε¬1␈↓ εN␈ε¬2␈↓ π#␈εn
␈β
=␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈erlapping␈α∂pairs␈α∂of␈α⊂consecutiv␈α␈e␈α∂variables␈↓ εt␈ελx␈↓ π∩␈ελx␈↓ π[␈εα;␈α⊃there␈α∂are␈↓ 	∀␈ελF␈↓ 	u␈εαsuch␈α∂terms.
␈β
K␈↓ π∧␈εj␈↓ π"␈εj␈↓ π/␈ε¬+1␈↓ 	(␈εn␈↓ 	:␈ε¬+1
␈β
h␈↓ ↓H␈εαThe␈αpolynomials␈αde|ned␈αin␈α(4)␈αare␈αcalled␈α\con␈α␈tin␈α␈uan␈α␈ts."
␈β∀␈↓ α␈εαThe␈αbasic␈αproperty␈αof␈αthe␈↓ ¬,␈ελQ␈↓ ¬F␈εα-polynomials␈αis␈αthat
␈β↑␈↓ αB␈ε⊗?␈↓ αT␈ελx␈↓ αs␈εα,␈↓ ββ␈ελx␈↓ β!␈εα,␈↓ β1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈εα,␈↓ βq␈ελx␈↓ ∧∀␈ε⊗?␈εα␈α
=␈↓ ∧↑␈ελQ␈↓ ¬3␈εα(␈↓ ¬?␈ελx␈↓ ¬↑␈εα,␈↓ ¬n␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε.␈ελx␈↓ εQ␈εα)/␈↓ εo␈ελQ␈↓ π_␈εα(␈↓ π$␈ελx␈↓ πC␈εα,␈↓ πS␈ελx␈↓ πr␈εα,␈↓ λα␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ2␈εα,␈↓ λB␈ελx␈↓ λe␈εα),␈↓ 	I␈ελn␈↓ 	i␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ α␈εα(5)
␈βl␈↓ αd␈ε¬1␈↓ β∪␈ε¬2␈↓ ∧α␈εn␈↓ ∧v␈εn␈↓ ¬λ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬P␈ε¬2␈↓ ε?␈εn␈↓ ππ␈εn␈↓ π5␈ε¬1␈↓ πd␈ε¬2␈↓ λS␈εn
␈β)␈↓ ↓H␈εαThis␈αcan␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction,␈αsince␈αit␈αimplies␈αthat
␈βt␈↓ β␈ελx␈↓ β2␈εα+␈ε⊗␈αλ?␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧∨␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧O␈εα,␈↓ ∧←␈ελx␈↓ ¬α␈ε⊗?␈εα␈α
=␈↓ ¬L␈ελQ␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελx␈↓ εL␈εα,␈↓ ε\␈ελx␈↓ ε{␈εα,␈↓ π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π;␈εα,␈↓ πK␈ελx␈↓ πm␈εα)/␈↓ λ␈ελQ␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈ελx␈↓ λ`␈εα,␈↓ λp␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	 ␈εα,␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	S␈εα);
␈β
α␈↓ β≤␈ε¬0␈↓ ∧↓␈ε¬1␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬d␈εn␈↓ ¬v␈ε¬+1␈↓ ε=␈ε¬0␈↓ εl␈ε¬1␈↓ π[␈εn␈↓ λ#␈εn␈↓ λR␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈β
?␈↓ ↓H␈εαhence␈ε⊗␈α?␈↓ α>␈ελx␈↓ α]␈εα,␈↓ αm␈ελx␈↓ β␈εα,␈↓ β≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βL␈εα,␈↓ β\␈ελx␈↓ β}␈ε⊗?␈εα␈αis␈αthe␈αreciprocal␈αof␈αthe␈αlatter␈αquan␈α␈tity.
␈β
L␈↓ αN␈ε¬0␈↓ α⎇␈ε¬1␈↓ βl␈εn
␈β
j␈↓ α␈εαThe␈↓ αV␈ελQ␈↓ αp␈εα-polynomials␈αare␈αsymmetrical␈αin␈αthe␈αsense␈αthat
␈β∞5␈↓ ∧↔␈ελQ␈↓ ∧A␈εα(␈↓ ∧M␈ελx␈↓ ∧l␈εα,␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬≠␈εα,␈↓ ¬+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈εα,␈↓ ¬k␈ελx␈↓ ε
␈εα)␈α
=␈↓ εQ␈ελQ␈↓ ε{␈εα(␈↓ ππ␈ελx␈↓ π)␈εα,␈↓ π9␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈εα,␈↓ πy␈ελx␈↓ λ_␈εα,␈↓ λ(␈ελx␈↓ λG␈εα).␈↓ α␈εα(6)
␈β∞C␈↓ ∧/␈εn␈↓ ∧]␈ε¬1␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ¬{␈εn␈↓ εi␈εn␈↓ π_␈εn␈↓ λ
␈ε¬2␈↓ λ9␈ε¬1
␈β∂␈↓ ↓H␈εαThis␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈αEuler's␈αobservation␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αand␈αas␈αa␈αconsequence␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∂K␈↓ α←␈ελQ␈↓ β	␈εα(␈↓ β∃␈ελx␈↓ β4␈εα,␈↓ βD␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βt␈εα,␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧'␈εα)␈α
=␈↓ ∧k␈ελx␈↓ ¬
␈ελQ␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελx␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εM␈εα,␈↓ ε]␈ελx␈↓ π+␈εα)␈αλ+␈↓ πk␈ελQ␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελx␈↓ λk␈εα,␈↓ λ{␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	+␈εα,␈↓ 	;␈ελx␈↓ 
	␈εα)␈↓ α␈εα(7)
␈β∂X␈↓ αw␈εn␈↓ β&␈ε¬1␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧{␈εn␈↓ ¬%␈εn␈↓ ¬7␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬␈␈ε¬1␈↓ εn␈εn␈↓ π␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λβ␈εn␈↓ λ∃␈ε→␈␈ε¬2␈↓ λ]␈ε¬1␈↓ 	L␈εn␈↓ 	↑␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α␈ελn␈↓ α∨␈εα>␈α
1.␈αThe␈↓ β?␈ελQ␈↓ βY␈εα-polynomials␈αalso␈αsatisfy␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αiden␈α␈tity
␈β⊂a␈↓ ↓l␈ελQ␈↓ α⊗␈εα(␈↓ α"␈ελx␈↓ αA␈εα,␈↓ αQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β↓␈εα,␈↓ β⊃␈ελx␈↓ β3␈εα)␈↓ β?␈ελQ␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∀␈εα,␈↓ ∧$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈εα,␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ¬2␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬r␈ελQ␈↓ εG␈εα(␈↓ εS␈ελx␈↓ εr␈εα,␈↓ πα␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π2␈εα,␈↓ πB␈ελx␈↓ λ∂␈εα)␈↓ λ≠␈ελQ␈↓ λp␈εα(␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	≠␈εα,␈↓ 	+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	[␈εα,␈↓ 	k␈ελx␈↓ 
∞␈εα)
␈β⊂n␈↓ α∧␈εn␈↓ α2␈ε¬1␈↓ β!␈εn␈↓ βW␈εn␈↓ ∧¬␈ε¬2␈↓ ∧t␈εn␈↓ ¬ε␈ε¬+1␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≠␈ε¬+1␈↓ εc␈ε¬1␈↓ πR␈εn␈↓ πd␈ε¬+1␈↓ λ3␈εn␈↓ λE␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	
␈ε¬2␈↓ 	|␈εn
␈β⊃∀␈↓ λg␈εn
␈β⊃~␈↓ πk␈εα=␈α
(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λ[␈εα)␈↓ λy␈εα,␈↓ 	Q␈ελn␈↓ 	p␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ α(8)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα337
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(See␈αex␈α␈ercise␈α4.)␈αThe␈αlatter␈αequation␈αin␈αconnection␈αwith␈α(5)␈αimplies␈αthat
␈βαt␈↓ πa␈εn␈↓ πs␈ε→␈␈ε¬1
␈βαy␈↓ π∪␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ πU␈εα)
␈ββ¬␈↓ βo␈εα1␈↓ ∧b␈εα1␈↓ ¬U␈εα1
␈ββ≤␈↓ ↓l␈ε⊗?␈↓ ↓}␈ελx␈↓ α≥␈εα,␈↓ α-␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α]␈εα,␈↓ αm␈ελx␈↓ β∂␈ε⊗?␈εα␈α
=␈↓ ∧ ␈ε⊗␈␈↓ ¬∪␈εα+␈↓ ε¬␈ε⊗␈␈↓ ε1␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εc␈εα+␈↓ λ#␈εα,
␈ββ)␈↓ α∞␈ε¬1␈↓ α⎇␈εn
␈ββ,␈↓ β]␈∧β,β]α7␈↓ ∧P␈∧β,∧Pα7␈↓ ¬C␈∧β,¬Cα7␈↓ π∪␈∧β,π∪α↓
␈ββ4␈↓ β]␈ελq␈↓ βx␈ελq␈↓ ∧P␈ελq␈↓ ∧k␈ελq␈↓ ¬C␈ελq␈↓ ¬↑␈ελq␈↓ π%␈ελq␈↓ πo␈ελq
␈ββB␈↓ βj␈ε¬0␈↓ ∧¬␈ε¬1␈↓ ∧]␈ε¬1␈↓ ∧x␈ε¬2␈↓ ¬P␈ε¬2␈↓ ¬k␈ε¬3␈↓ π2␈εn␈↓ πC␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π|␈εn
␈ββh␈↓ π(␈εαwhere␈↓ λ⊂␈ελq␈↓ λ6␈εα=␈↓ λd␈ελQ␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	⊗␈ελx␈↓ 	5␈εα,␈↓ 	E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	u␈εα,␈↓ 
¬␈ελx␈↓ 
$␈εα).␈↓ α(9)
␈ββv␈↓ λ≥␈εk␈↓ λ|␈εk␈↓ 	'␈ε¬1␈↓ 
⊗␈εk
␈β∧;␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈αthe␈↓ αa␈ελQ␈↓ α{␈εα-polynomials␈αare␈αin␈α␈timately␈αrelated␈αto␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈β∧f␈↓ α␈εαEv␈α␈ery␈α⊂real␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧J␈ελX␈↓ ∧y␈εαin␈α⊂the␈α⊂range␈α⊃0␈ε⊗␈α⊃∀␈↓ π(␈ελX␈↓ πX␈εα<␈α⊃1␈α⊂has␈α⊃a␈ε∂␈α⊂regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈ε∂fraction␈εα␈αde|ned␈αas␈αfollo␈α␈ws:␈αLet␈↓ ¬7␈ελX␈↓ ¬i␈εα=␈↓ ε↔␈ελX␈↓ ε4␈εα,␈αand␈αfor␈αall␈↓ πy␈ελn␈↓ λ→␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈αsuch␈αthat␈↓ 
∧␈ελX␈↓ 
9␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αlet
␈β¬∨␈↓ ¬P␈ε¬0␈↓ 
≥␈εn
␈β¬d␈↓ β[␈ελA␈↓ ∧9␈εα=␈ε⊗␈α
b␈εα1/␈↓ ¬→␈ελX␈↓ ¬D␈ε⊗c␈εα,␈↓ ε*␈ελX␈↓ π
␈εα=␈α
1/␈↓ π\␈ελX␈↓ λ∂␈ε⊗␈␈↓ λ;␈ελA␈↓ 	∂␈εα.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β¬q␈↓ βr␈εn␈↓ ∧∧␈ε¬+1␈↓ ¬2␈εn␈↓ εC␈εn␈↓ εU␈ε¬+1␈↓ πu␈εn␈↓ λR␈εn␈↓ λd␈ε¬+1
␈βε6␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓l␈ελX␈↓ α"␈εα=␈α0,␈αthe␈α
quan␈α␈tities␈↓ ∧]␈ελA␈↓ ¬>␈εαand␈↓ ε¬␈ελX␈↓ εg␈εαare␈α
not␈αde|ned,␈α
and␈αthe␈α
regular␈αcon-
␈βεC␈↓ α¬␈εn␈↓ ∧t␈εn␈↓ ¬ε␈ε¬+1␈↓ ε≡␈εn␈↓ ε0␈ε¬+␈α␈1
␈βεa␈↓ ↓H␈εαtin␈α␈ued␈αfraction␈α
for␈↓ βv␈ελX␈↓ ∧ ␈εαis␈ε⊗␈α
?␈↓ ∧W␈ελA␈↓ ∧|␈εα,␈↓ ¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬<␈εα,␈↓ ¬L␈ελA␈↓ ¬u␈ε⊗?␈εα.␈α∞If␈↓ εC␈ελX␈↓ εy␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α
this␈α
de|nition␈αguaran␈α␈tees␈αthat
␈βεo␈↓ ∧n␈ε¬1␈↓ ¬c␈εn␈↓ ε\␈εn
␈βπ␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελX␈↓ αr␈εα<␈α
1,␈α
so␈α	each␈α
of␈α	the␈↓ ¬!␈ελA␈↓ ¬9␈εα's␈α
is␈α	a␈α
positiv␈α␈e␈α	in␈α␈teger.␈αThe␈α
de|nition␈α	(10)␈α	clearly
␈βπ~␈↓ α+␈εn␈↓ α=␈ε¬+␈α␈1
␈βπ8␈↓ ↓H␈εαimplies␈αthat
␈βλα␈↓ ¬(␈εα1␈↓ π3␈εα1
␈βλ→␈↓ β7␈ελX␈↓ β←␈εα=␈↓ ∧
␈ελX␈↓ ∧>␈εα=␈↓ ¬␈␈εα=␈↓ λU␈εα=␈↓ 	β␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	3␈εα;
␈βλ'␈↓ ∧&␈ε¬0
␈βλ)␈↓ ∧p␈∧λ)∧pα↓↓␈↓ ε1␈∧λ)ε1αα↔
␈βλ2␈↓ ∧p␈ελA␈↓ ¬≡␈εα+␈↓ ¬J␈ελX␈↓ ε1␈ελA␈↓ ε↑␈εα+␈αλ1/(␈↓ π:␈ελA␈↓ πh␈εα+␈↓ λ∀␈ελX␈↓ λ;␈εα)
␈βλ?␈↓ ¬π␈ε¬1␈↓ ¬c␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬1␈↓ πQ␈ε¬2␈↓ λ-␈ε¬2
␈βλ}␈↓ ↓H␈εαhence
␈β	)␈↓ ∧L␈ελX␈↓ ∧t␈εα=␈ε⊗␈α
?␈↓ ¬4␈ελA␈↓ ¬Z␈εα,␈↓ ¬j␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε~␈εα,␈↓ ε*␈ελA␈↓ ε}␈εα,␈↓ π∞␈ελA␈↓ π?␈εα+␈↓ πk␈ελX␈↓ λ⊗␈ε⊗?␈↓ 
p␈εα(11)
␈β	7␈↓ ¬K␈ε¬1␈↓ εA␈εn␈↓ εS␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ π%␈εn␈↓ λ∧␈εn
␈β	l␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈↓ α2␈ελn␈↓ αS␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈α
whenev␈α␈er␈↓ ∧I␈ελX␈↓ ¬␈εαis␈α
de|ned.␈α
In␈αparticular,␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ 	∪␈ελX␈↓ 	<␈εα=␈ε⊗␈α
?␈↓ 	|␈ελA␈↓ 
"␈εα,␈↓ 
2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
b␈εα,␈↓ 
r␈ελA␈↓ ~␈ε⊗?
␈β	y␈↓ ∧b␈εn␈↓ 
∪␈ε¬1␈↓ 	␈εn
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α$␈ελX␈↓ αX␈εα=␈α
0.␈αIf␈↓ βP␈ελX␈↓ ∧¬␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε∃␈ελX␈↓ ε=␈εαlies␈ε∂␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈εα␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
values␈ε⊗␈α
?␈↓ 	|␈ελA␈↓ 
"␈εα,␈↓ 
2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
b␈εα,␈↓ 
r␈ελA␈↓ ~␈ε⊗?
␈β
%␈↓ α=␈εn␈↓ βi␈εn␈↓ 
∪␈ε¬1␈↓ 	␈εn
␈β
B␈↓ ↓H␈εαand␈ε⊗␈απ?␈↓ α≠␈ελA␈↓ α@␈εα,␈↓ αP␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β␈εα,␈↓ β⊂␈ελA␈↓ β;␈εα+␈αα1␈ε⊗?␈εα,␈αλsince␈αλby␈απ(7)␈αλthe␈απquan␈α␈tity␈↓ π⊃␈ελq␈↓ π:␈εα=␈↓ πh␈ελQ␈↓ λ∩␈εα(␈↓ λ≡␈ελA␈↓ λD␈εα,␈↓ λT␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∧␈εα,␈↓ 	∀␈ελA␈↓ 	>␈εα+␈↓ 	d␈ελX␈↓ 
∂␈εα)␈απincreases
␈β
P␈↓ α2␈ε¬1␈↓ β'␈εn␈↓ π≡␈εn␈↓ λ␈εn␈↓ λ5␈ε¬1␈↓ 	+␈εn␈↓ 	⎇␈εn
␈β
n␈↓ ↓H␈εαmonotonically␈α	from␈↓ ∧β␈ελQ␈↓ ∧-␈εα(␈↓ ∧9␈ελA␈↓ ∧↑␈εα,␈↓ ∧n␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬≡␈εα,␈↓ ¬.␈ελA␈↓ ¬W␈εα)␈α
up␈α	to␈↓ εH␈ελQ␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελA␈↓ π#␈εα,␈↓ π3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πc␈εα,␈↓ πs␈ελA␈↓ λ!␈εα+␈α∧1)␈α
as␈↓ 	~␈ελX␈↓ 	O␈εαincreases␈α	from
␈β
{␈↓ ∧≠␈εn␈↓ ∧P␈ε¬1␈↓ ¬E␈εn␈↓ ε`␈εn␈↓ π∃␈ε¬1␈↓ λ
␈εn␈↓ 	3␈εn
␈β→␈↓ ↓H␈εα0␈α	to␈α
1,␈α
and␈α
by␈α	(9)␈α
the␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α	fraction␈α
increases␈α
or␈α
decreases␈α	when␈↓ 	p␈ελq␈↓ 
_␈εαincreases,
␈β&␈↓ 	⎇␈εn
␈βD␈↓ ↓H␈εαaccording␈αas␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β7␈εαis␈αev␈α␈en␈αor␈αodd.␈αIn␈αfact,
␈β⊃␈↓ αβ␈ε⊗j␈↓ α
␈ελX␈↓ α3␈ε⊗␈␈αλ?␈↓ αq␈ελA␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βV␈εα,␈↓ βf␈ελA␈↓ ∧∂␈ε⊗?j␈↓ ∧5␈εα=␈ε⊗␈α
j?␈↓ ∧␈␈ελA␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬e␈εα,␈↓ ¬u␈ελA␈↓ ε&␈εα+␈↓ εR␈ελX␈↓ ε⎇␈ε⊗?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πU␈ελA␈↓ πz␈εα,␈↓ λ
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈εα,␈↓ λJ␈ελA␈↓ λs␈ε⊗?j
␈β≡␈↓ βλ␈ε¬1␈↓ β⎇␈εn␈↓ ¬⊗␈ε¬1␈↓ ε␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ πl␈ε¬1␈↓ λa␈εn
␈βC␈↓ ∧5␈εα=␈ε⊗␈α
j?␈↓ ∧␈␈ελA␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬e␈εα,␈↓ ¬u␈ελA␈↓ ε≡␈εα,␈αε1/␈↓ εR␈ελX␈↓ ε⎇␈ε⊗?␈αλ␈␈αλ?␈↓ πU␈ελA␈↓ πz␈εα,␈↓ λ
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈εα,␈↓ λJ␈ελA␈↓ λs␈ε⊗?j
␈βQ␈↓ ¬⊗␈ε¬1␈↓ ε␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ πl␈ε¬1␈↓ λa␈εn
␈βZ␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ 
)␈ε↓␈
␈βo␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ 
)␈ε↓␈
␈β
↓␈↓ ¬	␈ελQ␈↓ ¬3␈εα(␈↓ ¬?␈ελA␈↓ ¬d␈εα,␈↓ ¬t␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε$␈εα,␈↓ ε4␈ελA␈↓ ε]␈εα,␈αε1/␈↓ π⊃␈ελX␈↓ π<␈εα)␈↓ λ~␈ελQ␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελA␈↓ 	 ␈εα,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈↓ 	p␈ελA␈↓ 
→␈εα)
␈β
¬␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ 
)␈ε↓␈
␈β
∂␈↓ ¬!␈εn␈↓ ¬V␈ε¬2␈↓ εK␈εn␈↓ π*␈εn␈↓ λ2␈εn␈↓ λD␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	∩␈ε¬2␈↓ 
π␈εn
␈β
~␈↓ ∧5␈εα=␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ πj␈ε⊗␈␈↓ 
)␈ε↓␈
␈β
*␈↓ ∧s␈∧
*∧sααk␈↓ λ~␈∧
*λ~αα
␈β
0␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ 
)␈ε↓␈
␈β
2␈↓ ∧s␈ελQ␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελA␈↓ ¬z␈εα,␈↓ ε
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈ελA␈↓ εs␈εα,␈αε1/␈↓ π'␈ελX␈↓ πR␈εα)␈↓ λ/␈ελQ␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελA␈↓ 	␈εα,␈↓ 	≠␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	K␈εα,␈↓ 	[␈ελA␈↓ 
β␈εα)
␈β
?␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬≥␈ε¬+1␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ εa␈εn␈↓ π@␈εn␈↓ λG␈εn␈↓ λ|␈ε¬1␈↓ 	r␈εn
␈β
p␈↓ ∧5␈εα=␈α
1/␈↓ ¬π␈ελQ␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελA␈↓ ¬c␈εα,␈↓ ¬s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε#␈εα,␈↓ ε3␈ελA␈↓ ε\␈εα)␈↓ εh␈ελQ␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελA␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ.␈εα,␈↓ λ>␈ελA␈↓ λg␈εα,␈αε1/␈↓ 	≠␈ελX␈↓ 	F␈εα)
␈β
⎇␈↓ ¬∨␈εn␈↓ ¬T␈ε¬1␈↓ εJ␈εn␈↓ π␈εn␈↓ π⊃␈ε¬+1␈↓ π`␈ε¬1␈↓ λU␈εn␈↓ 	4␈εn
␈β∞"␈↓ ∧5␈ε⊗∀␈εα␈α
1/␈↓ ¬π␈ελQ␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελA␈↓ ¬c␈εα,␈↓ ¬s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε#␈εα,␈↓ ε3␈ελA␈↓ ε\␈εα)␈↓ εh␈ελQ␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελA␈↓ πn␈εα,␈↓ π}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ.␈εα,␈↓ λ>␈ελA␈↓ λg␈εα,␈↓ λw␈ελA␈↓ 	K␈εα)␈↓ 
p␈εα(12)
␈β∞0␈↓ ¬∨␈εn␈↓ ¬T␈ε¬1␈↓ εJ␈εn␈↓ π␈εn␈↓ π⊃␈ε¬+1␈↓ π`␈ε¬1␈↓ λU␈εn␈↓ 	∞␈εn␈↓ 	 ␈ε¬+1
␈β∞u␈↓ ↓H␈εαby␈α∞(5),␈α∂(8),␈α∂and␈α∞(10).␈α∪Therefore␈ε⊗␈α∞?␈↓ ¬]␈ελA␈↓ εβ␈εα,␈↓ ε∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εα,␈↓ εS␈ελA␈↓ ε|␈ε⊗?␈εα␈α∞is␈α∞an␈α∂extremely␈α∞close␈α∞appro␈α␈xima-
␈β∂α␈↓ ¬t␈ε¬1␈↓ εj␈εn
␈β∂ ␈↓ ↓H␈εαtion␈α
to␈↓ αA␈ελX␈↓ α←␈εα.␈α⊂If␈↓ β∨␈ελX␈↓ βJ␈εαis␈α∞irrational,␈α
it␈α∞is␈α
impossible␈α∞to␈α
hav␈α␈e␈↓ λ_␈ελX␈↓ λO␈εα=␈α
0␈α
for␈α∞an␈α␈y␈↓ 
∨␈ελn␈↓ 
5␈εα,␈α∞so␈α
the
␈β∂-␈↓ λ1␈εn
␈β∂K␈↓ ↓H␈εαregular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈α
expansion␈α
in␈αthis␈α
case␈αis␈α
an␈ε∂␈αin|nite␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction
␈β∂v␈↓ ↓H␈ε⊗?␈↓ ↓Z␈ελA␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈ελA␈↓ α4␈εα,␈↓ αD␈ελA␈↓ αj␈εα,␈↓ αz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β*␈ε⊗?␈εα.␈α≠The␈α⊃value␈α⊃of␈α⊃an␈α⊃in|nite␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊃fraction␈α⊃is␈α⊃de|ned␈α⊂to␈α⊃be
␈β⊂∧␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α&␈ε¬2␈↓ α[␈ε¬3
␈β⊂"␈↓ ↓H␈εαlim␈↓ αK␈ε⊗?␈↓ α]␈ελA␈↓ ββ␈εα,␈↓ β∪␈ελA␈↓ β8␈εα,␈↓ βH␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βx␈εα,␈↓ ∧λ␈ελA␈↓ ∧1␈ε⊗?␈εα,␈α
and␈α∞from␈α
the␈α
inequality␈α
(12)␈α
it␈α∞is␈α
clear␈α
that␈α
this␈α
limit
␈β⊂/␈↓ ↓z␈εn␈↓ α␈ε→!␈α␈1␈↓ αt␈ε¬1␈↓ β*␈ε¬2␈↓ ∧∨␈εn
␈β⊂M␈↓ ↓H␈εαequals␈↓ α4␈ελX␈↓ αR␈εα.
␈β⊂t␈↓ α␈εαThe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansion␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αhas␈αsev␈α␈eral␈αprop-
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαerties␈α
analogous␈α∞to␈α
the␈α∞represen␈α␈tation␈α
of␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α∞the␈α
decimal␈α
system.␈α⊃If␈α
w␈α␈e
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα338␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαuse␈αthe␈αform␈α␈ulas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αto␈αcompute␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αof
␈βαP␈↓ ↓H␈εαsome␈αfamiliar␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αw␈α␈e␈α|nd,␈αfor␈αexample,␈αthat
␈ββ≠␈↓ ↓x␈εε8
␈ββ≡␈↓ α_␈εβ=␈ε↔␈α
?␈εβ␈α␈3,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2␈ε↔?␈εβ␈α␈;
␈ββ*␈↓ ↓J␈ε↓p
␈ββ-␈↓ ↓r␈∧β-↓rα~
␈ββ/␈↓ ↓r␈εε2␈α␈9
␈ββE␈↓ ↓n␈∧βE↓nα!
␈ββJ␈↓ ↓x␈εε8
␈ββN␈↓ α_␈εβ=␈ε↔␈α
?␈εβ␈α␈1,␈αε1␈α␈,␈αε9,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬3,␈αε2,␈α¬2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε9␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε3,␈α¬2,␈αε2␈α␈,␈αε9,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε9,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬3,␈αε2,␈α¬2,␈αε9␈α␈,␈αε1,␈↓ 
β␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
/␈ε↔?␈εβ;
␈ββ\␈↓ ↓r␈∧β\↓rα~
␈ββ↑␈↓ ↓r␈εε2␈α␈9
␈ββw␈↓ ↓}␈∧βw↓}α⊃
␈ββx␈↓ ↓]␈ε↔p␈↓ ↓e␈επ3
␈ββ␈␈↓ ↓}␈εβ2␈↓ α_␈εβ=␈α
1␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ3,␈α¬1,␈αε5␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε8␈α␈,␈αε1,␈α¬14,␈αε1␈α␈,␈αε10␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈α¬12,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈α¬2,␈αε1,␈α¬3,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈4,␈αε3␈α␈,␈↓ 
G␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
t␈ε↔?␈εβ␈α␈;
␈β∧*␈↓ ↓|␈ε	→␈↓ α_␈εβ=␈α
3␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ7,␈α¬15,␈α¬1,␈αε29␈α␈2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε3,␈α¬1,␈αε1␈α␈4,␈αε2,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε8␈α␈4,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬15,␈αε3␈α␈,␈↓ 
I␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
u␈ε↔?␈εβ;
␈β∧U␈↓ αα␈ε	e␈↓ α_␈εβ=␈α
2␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ1,␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε6,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬8,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈0,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈2,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈4,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈6,␈αε1,␈α¬1,␈αε1␈α␈8,␈αε1,␈↓ 
8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
e␈ε↔?␈εβ␈α␈;
␈β¬␈↓ ↓|␈ε	␈
␈↓ α_␈εβ=␈ε↔␈α
?␈εβ␈α␈1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε4,␈α¬3,␈αε1␈α␈3,␈αε5,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε8,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε40␈α␈,␈αε1,␈α¬11,␈αε3␈α␈,␈αε7,␈α¬1,␈αε7,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε5,␈↓ 	v␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
"␈ε↔?␈εβ;
␈β¬(␈↓ 
p␈εα(13)
␈β¬+␈↓ ↓|␈ε	≡␈↓ α_␈εβ=␈α
1␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ1,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈↓ ¬/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬[␈ε↔?␈εβ.
␈β¬{␈↓ ↓H␈εαThe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ β#␈ελA␈↓ βI␈εα,␈↓ β`␈ελA␈↓ ∧¬␈εα,␈↓ ∧≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εαare␈α
called␈αthe␈ε∂␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈εα␈α
of␈↓ λq␈ελX␈↓ 	∞␈εα.␈α∂Note␈α
the␈αregular
␈βε¬␈↓ π9␈ε↓p
␈βε	␈↓ β:␈ε¬1␈↓ βw␈ε¬2
␈βε ␈↓ π]␈∧ε π]αH
␈βε'␈↓ ↓H␈εαpattern␈α
that␈α
appears␈α
in␈α
the␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts␈α
for␈↓ π]␈εα8/29␈↓ λ%␈εα,␈↓ λ9␈ελ≡␈↓ λM␈εα,␈αand␈↓ 	&␈ελe␈↓ 	4␈εα;␈α
the␈α
reasons␈α
for
␈βεR␈↓ ↓H␈εαthis␈αbehavior␈αare␈αdiscussed␈αin␈αex␈α␈ercises␈α12␈αand␈α16.␈αThere␈αis␈αno␈αapparen␈α␈t␈αpattern
␈βεw␈↓ ¬≠␈∧εw¬≠α∩
␈βεx␈↓ ∧w␈ε⊗p␈↓ ¬␈επ3
␈βε⎇␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αpartial␈αquotien␈α␈ts␈αfor␈↓ ¬≠␈εα2␈↓ ¬-␈εα,␈↓ ¬C␈ελ→␈↓ ¬W␈εα,␈αor␈↓ ε→␈ελ␈
␈↓ ε-␈εα.
␈βπ(␈↓ α␈εαIt␈αis␈αin␈α␈teresting␈αto␈αnote␈αthat␈αthe␈αancien␈α␈t␈αGreeks'␈α|rst␈αde|nition␈αof␈αreal␈αn␈α␈um-
␈βπT␈↓ ↓H␈εαbers,␈α
once␈α
they␈α
had␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
the␈αexistence␈α
of␈α
irrationals,␈α
was␈α
essen␈α␈tially␈α
stated
␈βπ␈␈↓ ↓H␈εαin␈α∞terms␈α∞of␈α∞in|nite␈α∂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∞fractions.␈α∩(Later␈α∂they␈α∞adopted␈α∞the␈α∞suggestion␈α∞of
␈βλ*␈↓ ↓H␈εαEudo␈α␈xus␈α
that␈↓ β+␈ελx␈↓ βJ␈εα=␈↓ βz␈ελy␈↓ ∧≠␈εαshould␈α
be␈α
de|ned␈α
instead␈α
as␈α∞\␈↓ πy␈ελx␈↓ λ↔␈εα<␈↓ λG␈ελr␈↓ λd␈εαif␈α
and␈α
only␈α∞if␈↓ 
C␈ελy␈↓ 
c␈εα<␈↓ ∪␈ελr␈↓ "␈εα,
␈βλU␈↓ ↓H␈εαfor␈α
all␈α∞rational␈↓ β<␈ελr␈↓ βL␈εα.")␈α⊂See␈α∞O.␈α
Beck␈α␈er,␈ε∂␈α∞Quellen␈α∞und␈α
Studien␈α
zur␈α∞Geschich␈α␈te␈α
Math.,
␈β	␈↓ ↓H␈ε∂Astron.,␈αPh␈α␈ysik␈εα␈α(B)␈ε∩␈α2␈εα␈α(1933),␈α311↑333.
␈β	7␈↓ α␈εαWhen␈↓ αw␈ελX␈↓ β$␈εαis␈α∂a␈α⊂rational␈α∂n␈α␈um␈α␈ber,␈α⊂the␈α∂regular␈α∂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∂corresponds
␈β	b␈↓ ↓H␈εαin␈α∂a␈α∂natural␈α∂way␈α∂to␈α∂Euclid's␈α∂algorithm.␈α∀Let␈α∂us␈α∂assume␈α∂that␈↓ 	≤␈ελX␈↓ 	I␈εα=␈↓ 	|␈ελv␈↓ 
∂␈εα/␈↓ 
!␈ελu␈↓ 
7␈εα,␈α∂where
␈β

␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓i␈εα>␈↓ α→␈ελv␈↓ α8␈ε⊗∃␈εα␈α0.␈α⊂The␈α
regular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction␈α
process␈α∞starts␈α
with␈↓ 	<␈ελX␈↓ 	o␈εα=␈↓ 
∨␈ελX␈↓ 
=␈εα;␈α∞let␈α
us
␈β
~␈↓ 	U␈ε¬0
␈β
8␈↓ ↓H␈εαde|ne␈↓ α0␈ελU␈↓ α←␈εα=␈↓ β
␈ελu␈↓ β#␈εα,␈↓ β9␈ελV␈↓ βe␈εα=␈↓ ∧∪␈ελv␈↓ ∧&␈εα.␈αAssuming␈αthat␈↓ ε.␈ελX␈↓ εc␈εα=␈↓ π⊃␈ελV␈↓ π7␈εα/␈↓ πI␈ελU␈↓ π|␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α(10)␈αbecomes
␈β
F␈↓ αG␈ε¬0␈↓ βM␈ε¬0␈↓ εG␈εn␈↓ π%␈εn␈↓ π`␈εn
␈β␈↓ ¬1␈ελA␈↓ ε∂␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ εK␈ελU␈↓ εt␈εα/␈↓ πε␈ελV␈↓ π,␈ε⊗c␈εα,
␈β→␈↓ ¬H␈εn␈↓ ¬Y␈ε¬+1␈↓ εb␈εn␈↓ π~␈εn
␈β'␈↓ 
p␈εα(14)
␈βA␈↓ βf␈ελX␈↓ ∧F␈εα=␈↓ ∧t␈ελU␈↓ ¬≥␈εα/␈↓ ¬/␈ελV␈↓ ¬]␈ε⊗␈␈↓ ε	␈ελA␈↓ εg␈εα=␈α
(␈↓ π!␈ελU␈↓ πP␈εαmod␈↓ λ~␈ελV␈↓ λ@␈εα)/␈↓ λ↑␈ελV␈↓ 	∧␈εα.
␈βO␈↓ β␈␈εn␈↓ ∧⊃␈ε¬+1␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬C␈εn␈↓ ε ␈εn␈↓ ε2␈ε¬+1␈↓ π8␈εn␈↓ λ.␈εn␈↓ λr␈εn
␈β∀␈↓ ↓H␈εαTherefore,␈αif␈αw␈α␈e␈αde|ne
␈βj␈↓ ∧≤␈ελU␈↓ ∧z␈εα=␈↓ ¬(␈ελV␈↓ ¬N␈εα,␈↓ ε&␈ελV␈↓ π↓␈εα=␈↓ π/␈ελU␈↓ π↑␈εαmod␈↓ λ(␈ελV␈↓ λN␈εα,␈↓ 
p␈εα(15)
␈βx␈↓ ∧3␈εn␈↓ ∧E␈ε¬+1␈↓ ¬<␈εn␈↓ ε:␈εn␈↓ εL␈ε¬+1␈↓ πF␈εn␈↓ λ<␈εn
␈β
A␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞condition␈↓ β(␈ελX␈↓ β`␈εα=␈↓ ∧⊃␈ελV␈↓ ∧7␈εα/␈↓ ∧I␈ελU␈↓ ¬␈εαholds␈α∞throughout␈α∞the␈α∞process.␈α∩Furthermore,␈α∞(15)␈α∞is
␈β
N␈↓ βA␈εn␈↓ ∧%␈εn␈↓ ∧`␈εn
␈β
l␈↓ ↓H␈εαprecisely␈α	the␈α
transformation␈α
made␈α	on␈α
the␈α
variables␈↓ πh␈ελu␈↓ λπ␈εαand␈↓ λK␈ελv␈↓ λg␈εαin␈α
Euclid's␈α	algorithm
␈β∞∀␈↓ λα␈ε¬8
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εα(see␈α
Algorithm␈α
4.5.2A␈↓ ∧~␈εα,␈αstep␈αA2).␈αFor␈α
example,␈αsince␈↓ λ%␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε⊗?␈εα,␈αw␈α␈e␈α
kno␈α␈w
␈β∞'␈↓ π{␈∧∞'π{α≥
␈β∞*␈↓ π{␈ε¬29
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞Euclid's␈α∞algorithm␈α∞applied␈α∞to␈↓ ¬v␈ελu␈↓ ε→␈εα=␈α
29␈α∞and␈↓ πD␈ελv␈↓ πd␈εα=␈α
8␈α∞will␈α∞require␈α∞exactly␈α∞|v␈α␈e
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαdivision␈αsteps,␈αand␈αthe␈αquotien␈α␈ts␈ε⊗␈αb␈↓ ¬↑␈ελu␈↓ ¬t␈εα/␈↓ εε␈ελv␈↓ ε→␈ε⊗c␈εα␈αin␈αstep␈αA2␈αwill␈αbe␈αsuccessiv␈α␈ely␈α3,␈α1,␈α1,␈α1,
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαand␈α2.␈α∂Note␈αthat␈α
the␈α
last␈α
partial␈αquotien␈α␈t␈↓ εf␈ελA␈↓ π≤␈εαm␈α␈ust␈αbe␈α
2␈α
or␈α
more␈αwhen␈↓ 
+␈ελX␈↓ 
a␈εα=␈α0,
␈β∂&␈↓ ε⎇␈εn␈↓ 
D␈εn
␈β∂D␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈αsince␈↓ β∃␈ελX␈↓ βw␈εαis␈αless␈αthan␈αunity.
␈β∂Q␈↓ β.␈εn␈↓ β@␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂o␈↓ α␈εαFrom␈αλthis␈αλcorrespondence␈αλwith␈α	Euclid's␈αλalgorithm␈αλw␈α␈e␈αλcan␈αλsee␈αλthat␈αλthe␈αλregular
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∂for␈↓ ∧3␈ελX␈↓ ∧`␈εαterminates␈α∂at␈α⊂some␈α∂step␈α∂with␈↓ λF␈ελX␈↓ 	␈εα=␈α⊂0␈α∂if␈α∂and␈α∂only␈α∂if
␈β⊂(␈↓ λ←␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓t␈εαis␈α∂rational;␈α⊃for␈α∞it␈α∂is␈α∂obvious␈α∂that␈↓ ε⊂␈ελX␈↓ εJ␈εαcannot␈α∂be␈α∞zero␈α∂if␈↓ λi␈ελX␈↓ 	⊗␈εαis␈α∂irrational,␈α∂and,
␈β⊂S␈↓ ε)␈εn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈ersely,␈α∂w␈α␈e␈α∂kno␈α␈w␈α∂that␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∞always␈α∂terminates.␈α∃If␈α∂the␈α∞partial
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαquotien␈α␈ts␈αobtained␈α
during␈αEuclid's␈α
algorithm␈αare␈↓ πS␈ελA␈↓ πy␈εα,␈↓ λ∂␈ελA␈↓ λ5␈εα,␈↓ λK␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ{␈εα,␈↓ 	∩␈ελA␈↓ 	;␈εα,␈α
then␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e,
␈β⊃)␈↓ πj␈ε¬1␈↓ λ&␈ε¬2␈↓ 	)␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα339
␈βα&␈↓ ↓H␈εαby␈α(5),
␈βαV␈↓ ¬Z␈ελQ␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελA␈↓ εa␈εα,␈↓ εq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π!␈εα,␈↓ π1␈ελA␈↓ πZ␈εα)
␈βαX␈↓ ¬↓␈ελv
␈βαd␈↓ ¬r␈εn␈↓ ε∧␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εR␈ε¬2␈↓ πH␈εn
␈βαo␈↓ ¬#␈εα=␈↓ πo␈εα.␈↓ 
p␈εα(16)
␈βα␈␈↓ ∧␈␈∧α␈∧␈α⊗␈↓ ¬U␈∧α␈¬Uαα⊗
␈ββπ␈↓ ∧␈␈ελu␈↓ ¬U␈ελQ␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελA␈↓ ε0␈εα,␈↓ ε@␈ελA␈↓ εf␈εα,␈↓ εv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π&␈εα,␈↓ π6␈ελA␈↓ π←␈εα)
␈ββ∃␈↓ ¬m␈εn␈↓ ε"␈ε¬1␈↓ εW␈ε¬2␈↓ πM␈εn
␈ββO␈↓ ↓H␈εαThis␈α
form␈α␈ula␈αholds␈αalso␈αif␈αEuclid's␈α
algorithm␈αis␈αapplied␈αfor␈↓ λa␈ελu␈↓ 	␈εα<␈↓ 	.␈ελv␈↓ 	A␈εα,␈αwhen␈↓ 
3␈ελA␈↓ 
b␈εα=␈α
0.
␈ββ\␈↓ 
J␈ε¬1
␈ββz␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α∂because␈α∂of␈α∂(8),␈↓ ¬ ␈ελQ␈↓ ¬u␈εα(␈↓ ε↓␈ελA␈↓ ε'␈εα,␈↓ ε7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εα,␈↓ εw␈ελA␈↓ π ␈εα)␈α∞and␈↓ λβ␈ελQ␈↓ λ-␈εα(␈↓ λ9␈ελA␈↓ λ←␈εα,␈↓ λo␈ελA␈↓ 	∀␈εα,␈↓ 	$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	T␈εα,␈↓ 	d␈ελA␈↓ 

␈εα)␈α∂are␈α∞rela-
␈β∧π␈↓ ¬8␈εn␈↓ ¬J␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε_␈ε¬2␈↓ π∞␈εn␈↓ λ≠␈εn␈↓ λP␈ε¬1␈↓ 	ε␈ε¬2␈↓ 	{␈εn
␈β∧%␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈ely␈α
prime,␈α
and␈α
the␈α
fraction␈α
on␈α
the␈α
righ␈α␈t-hand␈α
side␈α
of␈α
(16)␈α
is␈α
in␈α
lo␈α␈w␈α␈est␈α
terms;
␈β∧P␈↓ ↓H␈εαtherefore
␈β¬/␈↓ β_␈ελu␈↓ β8␈εα=␈↓ βf␈ελQ␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελA␈↓ ∧A␈εα,␈↓ ∧Q␈ελA␈↓ ∧w␈εα,␈↓ ¬π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬7␈εα,␈↓ ¬G␈ελA␈↓ ¬o␈εα)␈↓ ¬{␈ελd␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ εh␈ελv␈↓ π∧␈εα=␈↓ π2␈ελQ␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελA␈↓ λ9␈εα,␈↓ λI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λy␈εα,␈↓ 		␈ελA␈↓ 	2␈εα)␈↓ 	>␈ελd␈↓ 	R␈εα,␈↓ 
p␈εα(17)
␈β¬=␈↓ β}␈εn␈↓ ∧3␈ε¬1␈↓ ∧h␈ε¬2␈↓ ¬↑␈εn␈↓ πJ␈εn␈↓ π\␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ*␈ε¬2␈↓ 	 ␈εn
␈βε∞␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελd␈↓ αN␈εα=␈↓ α|␈εαgcd␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελu␈↓ βS␈εα,␈↓ βc␈ελv␈↓ βv␈εα).
␈βεc␈↓ ↓H␈ε∩The␈α	w␈α␈orst␈α
case.␈εα␈α∪We␈α
can␈α	no␈α␈w␈α
apply␈α
these␈α	observations␈α
to␈α	determine␈α
the␈α	behavior
␈βπ∂␈↓ ↓H␈εαof␈α∂Euclid's␈α∂algorithm␈α∂in␈α∂the␈α⊂\w␈α␈orst␈α∂case,"␈α⊂or␈α∂in␈α∂other␈α⊂w␈α␈ords␈α∂to␈α∂giv␈α␈e␈α∂an␈α∂upper
␈βπ:␈↓ ↓H␈εαbound␈α
on␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
division␈α
steps.␈α∂The␈α
w␈α␈orst␈α
case␈α
occurs␈α
when␈α
the␈αinputs
␈βπe␈↓ ↓H␈εαare␈αconsecutiv␈α␈e␈αFibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers:
␈βλ:␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
F␈εα␈α	(G.␈α
Lam␈↓ ∧α␈εα∞␈↓ ∧β␈εαe␈↓ ∧∪␈εα,␈α1845)␈ε∩.␈ε∂␈α∀For␈↓ ¬[␈ελn␈↓ ¬{␈ε⊗∃␈εα␈α
1␈ε∂,␈α
let␈↓ π↓␈ελu␈↓ π!␈ε∂and␈↓ πe␈ελv␈↓ λ↓␈ε∂be␈α
in␈α␈tegers␈α
with␈↓ 
α␈ελu␈↓ 
"␈εα>␈↓ 
P␈ελv␈↓ 
l␈εα>␈α
0
␈βλe␈↓ ↓H␈ε∂such␈α
that␈α	Euclid's␈α
algorithm␈α
applied␈α
to␈↓ ε1␈ελu␈↓ εQ␈ε∂and␈↓ π∀␈ελv␈↓ π1␈ε∂requires␈α
exactly␈↓ 	1␈ελn␈↓ 	Q␈ε∂division␈α	steps,
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ε∂and␈απsuch␈αλthat␈↓ β!␈ελu␈↓ β?␈ε∂is␈απas␈αλsmall␈αλas␈αλpossible␈αλsatisfying␈απthese␈αλconditions.␈αThen␈↓ 
∞␈ελu␈↓ 
-␈εα=␈↓ 
[␈ελF
␈β	≡␈↓ 
o␈εn␈↓ ↓␈ε¬+2
␈β	;␈↓ ↓H␈ε∂and␈↓ α∞␈ελv␈↓ α*␈εα=␈↓ αX␈ελF␈↓ β*␈ε∂.
␈β	I␈↓ αl␈εn␈↓ α}␈ε¬+1
␈β
"␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≥By␈α∞(17),␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈↓ ¬<␈ελu␈↓ ¬`␈εα=␈↓ ε∩␈ελQ␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελA␈↓ εm␈εα,␈↓ ε⎇␈ελA␈↓ π"␈εα,␈↓ π2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πb␈εα,␈↓ πr␈ελA␈↓ λ≠␈εα)␈↓ λ'␈ελd␈↓ λJ␈εαwhere␈↓ 	4␈ελA␈↓ 	Y␈εα,␈↓ 	r␈ελA␈↓ 
_␈εα,␈↓ 
1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
a␈εα,␈↓ 
z␈ελA␈↓ "␈εα,
␈β
/␈↓ ε*␈εn␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ π∀␈ε¬2␈↓ λ	␈εn␈↓ 	K␈ε¬1␈↓ 
	␈ε¬2␈↓ ⊃␈εn
␈β
M␈↓ ↓H␈ελd␈↓ ↓i␈εαare␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers␈α
and␈↓ ∧y␈ελA␈↓ ¬-␈ε⊗∃␈εα␈α2.␈α∂Since␈↓ εg␈ελQ␈↓ π≡␈εαis␈α
a␈αpolynomial␈α
with␈α
nonnegativ␈α␈e
␈β
Z␈↓ ¬⊂␈εn␈↓ ε␈␈εn
␈β
x␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts,␈α∞in␈α␈v␈α␈olving␈α∞all␈α
of␈α∞the␈α∞variables,␈α∞the␈α∞minim␈α␈um␈α
value␈α∞is␈α∞achiev␈α␈ed␈α
only
␈β#␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α$␈ελA␈↓ αT␈εα=␈α
1,␈↓ β(␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βX␈εα,␈↓ βm␈ελA␈↓ ∧K␈εα=␈α
1,␈↓ ¬ ␈ελA␈↓ ¬S␈εα=␈α
2,␈↓ ε(␈ελd␈↓ εF␈εα=␈α
1.␈αPutting␈α
these␈αvalues␈α
in␈α(17)␈α
yields
␈β1␈↓ α;␈ε¬1␈↓ ∧∧␈εn␈↓ ∧⊗␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬7␈εn
␈βN␈↓ ↓H␈εαthe␈αdesired␈αresult.
␈βS␈↓ ∧	␈∧S∧	≠∂
␈β#␈↓ α␈εα(This␈α∞theorem␈α∂has␈α∞the␈α∂historical␈α∞claim␈α∞of␈α∂being␈α∞the␈α∂|rst␈α∞practical␈α∞applica-
␈βO␈↓ ↓H␈εαtion␈αof␈αthe␈αFibonacci␈αsequence;␈αsince␈αthen␈αman␈α␈y␈αother␈αapplications␈αof␈αFibonacci
␈βz␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αto␈αalgorithms␈αand␈αto␈αthe␈αstudy␈αof␈αalgorithms␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered.)
␈β
(␈↓ α␈εαAs␈αa␈αconsequence␈αof␈αTheorem␈αF␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αan␈αimportan␈α␈t␈αcorollary:
␈β
⎇␈↓ ↓H␈ε∩Corollary.␈ε∂␈α$If␈↓ β;␈εα0␈ε⊗␈α∃∀␈↓ ∧~␈ελu␈↓ ∧0␈εα,␈↓ ∧@␈ελv␈↓ ∧g␈εα<␈↓ ¬∨␈ελN␈↓ ¬A␈ε∂,␈α∀the␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈α∩of␈α∪division␈α∩steps␈α∩required␈α∩when
␈β∞"␈↓ λc␈∧∞"λcα∩
␈β∞#␈↓ λ?␈ε⊗p
␈β∞(␈↓ ↓H␈ε∂Algorithm␈α4.5.2A␈αis␈αapplied␈αto␈↓ ¬2␈ελu␈↓ ¬S␈ε∂and␈↓ ε→␈ελv␈↓ ε8␈ε∂is␈αat␈αmost␈ε⊗␈α∩d␈↓ πt␈εαlog␈↓ λ3␈εα(␈↓ λc␈εα5␈↓ λ{␈ελN␈↓ 	≥␈εα)␈ε⊗e␈αλ␈␈εα␈αλ2␈ε∂.
␈β∞9␈↓ λ"␈ε≡
␈β∂∞␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α~By␈α
Theorem␈α
F␈↓ ∧*␈εα,␈α
the␈α
maxim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
steps,␈↓ λ<␈ελn␈↓ λR␈εα,␈α
occurs␈αwhen␈↓ 
6␈ελu␈↓ 
W␈εα=␈↓ π␈ελF
␈β∂≤␈↓ ≠␈εn
␈β∂9␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α␈ελv␈↓ α'␈εα=␈↓ αU␈ελF␈↓ β'␈εα,␈α	where␈↓ ∧∨␈ελn␈↓ ∧>␈εαis␈α	as␈α	large␈α	as␈α	possible␈α	with␈↓ πY␈ελF␈↓ λ4␈εα<␈↓ λb␈ελN␈↓ 	β␈εα.␈α(The␈α	|rst␈α	division
␈β∂G␈↓ αi␈εn␈↓ α{␈ε¬+1␈↓ πm␈εn␈↓ π}␈ε¬+1
␈β∂e␈↓ ↓H␈εαstep␈α
in␈α∞this␈α∞case␈α
merely␈α∞in␈α␈terchanges␈↓ ε∨␈ελu␈↓ εB␈εαand␈↓ π
␈ελv␈↓ π*␈εαwhen␈↓ λ
␈ελn␈↓ λ,␈εα>␈α
1.)␈α
Since␈↓ 	r␈ελF␈↓ 
P␈εα<␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β∂r␈↓ 
ε␈εn␈↓ 
_␈ε¬+1
␈β⊂∞␈↓ βY␈∧⊂∞βYα∩␈↓ 	'␈∧⊂∞	'α∩
␈β⊂∂␈↓ αf␈εn␈↓ αx␈ε¬+1␈↓ β5␈ε⊗p␈↓ 	β␈ε⊗p
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ αR␈ελ≡␈↓ β#␈εα/␈↓ βY␈εα5␈↓ βu␈εα<␈↓ ∧#␈ελN␈↓ ∧Q␈εα(see␈αEq.␈α1.2.8↑15),␈αso␈↓ π%␈ελn␈↓ πB␈εα+␈αλ1␈α
<␈↓ λ8␈εαlog␈↓ λw␈εα(␈↓ 	'␈εα5␈↓ 	?␈ελN␈↓ 	a␈εα).
␈β⊂→␈↓ 
≡␈∧⊂→
≡≠∂
␈β⊂%␈↓ λf␈ε≡
␈β⊂k␈↓ βa␈∧⊂kβaα∩
␈β⊂l␈↓ β=␈ε⊗p
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαNote␈α∞that␈↓ αs␈εαlog␈↓ β1␈εα(␈↓ βa␈εα5␈↓ βy␈ελN␈↓ ∧≠␈εα)␈α∞is␈α∂appro␈α␈ximately␈α∞2.078␈↓ π%␈εαln␈↓ πI␈ελN␈↓ πu␈εα+␈α	1.672␈ε⊗␈α∞→␈εα␈α∞4.785␈↓ 
␈εαlog␈↓ 
]␈ελN␈↓ λ␈εα+
␈β⊃α␈↓ β!␈ε≡␈↓ 
:␈ε¬1␈α↓0
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εα1.672.␈αSee␈αex␈α␈ercises␈α31␈αand␈α36␈αfor␈αextensions␈αof␈αTheorem␈αF.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα340␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩An␈α∞appro␈α␈ximate␈α
model.␈εα␈α≥No␈α␈w␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞kno␈α␈w␈α∞the␈α∞maxim␈α␈um␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
division
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsteps␈αthat␈αcan␈αoccur,␈αlet␈αus␈αattempt␈αto␈α|nd␈αthe␈ε∂␈αav␈α␈erage␈εα␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈αLet␈↓ 
ε␈ελT␈↓ 
∨␈εα(␈↓ 
+␈ελm␈↓ 
K␈εα,␈↓ 
[␈ελn␈↓ 
q␈εα)␈αbe
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞division␈α∞steps␈α∞that␈α∞occur␈α∞when␈↓ π.␈ελu␈↓ πP␈εα=␈↓ λα␈ελm␈↓ λ/␈εαand␈↓ λw␈ελv␈↓ 	_␈εα=␈↓ 	I␈ελn␈↓ 	l␈εαare␈α∞input␈α∞to
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαEuclid's␈αalgorithm.␈αTh␈α␈us
␈ββ␈␈↓ α]␈ελT␈↓ αw␈εα(␈↓ ββ␈ελm␈↓ β"␈εα,␈αε0)␈α
=␈α
0;␈↓ ∧r␈ελT␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελm␈↓ ¬7␈εα,␈↓ ¬G␈ελn␈↓ ¬]␈εα)␈α
=␈α
1␈αλ+␈↓ εg␈ελT␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελn␈↓ π"␈εα,␈↓ π2␈ελm␈↓ πW␈εαmod␈↓ λ!␈ελn␈↓ λ7␈εα)␈↓ 	␈εαif␈↓ 	-␈ελn␈↓ 	M␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(18)
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ απ␈ελT␈↓ α7␈εαbe␈α	the␈α
av␈α␈erage␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	division␈α
steps␈α	when␈↓ π|␈ελv␈↓ λ→␈εα=␈↓ λG␈ελn␈↓ λf␈εαand␈α	when␈↓ 
∧␈ελu␈↓ 
#␈εαis␈α	chosen
␈β∧c␈↓ α≤␈εn
␈β¬␈↓ ↓H␈εαat␈α
random;␈α∞since␈α
only␈α∞the␈α
value␈α
of␈↓ ¬|␈ελu␈↓ ε_␈εαmod␈↓ εb␈ελv␈↓ πα␈εαa{ects␈α
the␈α
algorithm␈α∞after␈α
the␈α
|rst
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαdivision␈αstep,␈αw␈α␈e␈αmay␈αwrite
␈β¬m␈↓ ε%␈ε↓X
␈β¬z␈↓ ¬m␈εα1
␈βε⊂␈↓ ¬λ␈ελT␈↓ ¬9␈εα=␈↓ εy␈ελT␈↓ π∩␈εα(␈↓ π≡␈ελk␈↓ π0␈εα,␈↓ π@␈ελn␈↓ πV␈εα).␈↓ 
p␈εα(19)
␈βε≡␈↓ ¬≥␈εn
␈βε!␈↓ ¬k␈∧ε!¬kα⊗
␈βε)␈↓ ¬k␈ελn
␈βεB␈↓ ε␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε6␈εk␈↓ εD␈ε¬<␈↓ εa␈εn
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈↓ β$␈ελT␈↓ β=␈εα(0,␈αε5)␈α
=␈α
1,␈↓ ∧i␈ελT␈↓ ¬α␈εα(1,␈αε5)␈α
=␈α
2,␈↓ ε.␈ελT␈↓ εG␈εα(2,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈↓ πs␈ελT␈↓ λ
␈εα(3,␈αε5)␈α
=␈α
4,␈↓ 	9␈ελT␈↓ 	R␈εα(4,␈αε5)␈α
=␈α
3,␈αso
␈βπW␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ λ-␈ε¬3
␈βπ[␈↓ ∧+␈ελT␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬≥␈εα(1␈αλ+␈αλ2␈αλ+␈αλ3␈αλ+␈αλ4␈αλ+␈αλ3)␈α
=␈α
2␈↓ λ?␈εα.
␈βπh␈↓ ∧@␈ε¬5
␈βπk␈↓ ¬
␈∧πk¬
α∂␈↓ λ-␈∧πkλ-α∂
␈βπm␈↓ ¬
␈ε¬5␈↓ λ-␈ε¬5
␈βλ0␈↓ α␈εαIn␈αλorder␈αλto␈αλestimate␈↓ ∧C␈ελT␈↓ ∧r␈εαfor␈αλlarge␈↓ ¬z␈ελn␈↓ ε⊂␈εα,␈α	let␈αλus␈αλ|rst␈αλtry␈αλan␈αλappro␈α␈ximation␈αλsuggested
␈βλ>␈↓ ∧X␈εn
␈βλ[␈↓ ↓H␈εαby␈α⊂R.␈α⊂W.␈α⊃Flo␈α␈yd:␈α∀We␈α⊃migh␈α␈t␈α⊂assume␈α⊃that,␈α⊃for␈α⊂0␈ε⊗␈α∩∀␈↓ λ⊂␈ελk␈↓ λ3␈εα<␈↓ λh␈ελn␈↓ λ}␈εα,␈α⊃the␈α⊃value␈α⊂of␈↓ 
n␈ελn␈↓ ∀␈εαis
␈β	π␈↓ ↓H␈εαessen␈α␈tially␈α\random"␈αmodulo␈↓ ¬≥␈ελk␈↓ ¬.␈εα,␈αso␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αset
␈β	U␈↓ ¬@␈εα1
␈β	l␈↓ ∧∃␈ελT␈↓ ∧F␈ε⊗→␈εα␈α
1␈αλ+␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελT␈↓ ε∃␈εα+␈↓ εA␈ελT␈↓ εm␈εα+␈↓ π→␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πK␈εα+␈↓ πw␈ελT␈↓ λI␈εα).
␈β	y␈↓ ∧*␈εn␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ εV␈ε¬1␈↓ λ␈εn␈↓ λ≡␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β	|␈↓ ¬>␈∧	|¬>α⊗
␈β
∧␈↓ ¬>␈ελn
␈β
M␈↓ ↓H␈εαThen␈↓ α$␈ελT␈↓ αU␈ε⊗→␈↓ ββ␈ελS␈↓ β'␈εα,␈αwhere␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬␈␈ελS␈↓ ε#␈ε⊗i␈εα␈αis␈α
the␈αsolution␈αto␈αthe␈αrecurrence␈α
relation
␈β
[␈↓ α9␈εn␈↓ β∃␈εn␈↓ ε⊃␈εn
␈β≥␈↓ ¬H␈εα1
␈β4␈↓ α↑␈ελS␈↓ β	␈εα=␈α
0,␈↓ ∧!␈ελS␈↓ ∧O␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ ¬f␈εα(␈↓ ¬r␈ελS␈↓ ε≠␈εα+␈↓ εG␈ελS␈↓ εo␈εα+␈↓ π≠␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πM␈εα+␈↓ πy␈ελS␈↓ λH␈εα),␈↓ 	,␈ελn␈↓ 	L␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(20)
␈βA␈↓ αp␈ε¬0␈↓ ∧3␈εn␈↓ ε∧␈ε¬0␈↓ εY␈ε¬1␈↓ λ␈εn␈↓ λ≥␈ε→␈␈ε¬1
␈βD␈↓ ¬G␈∧D¬Gα⊗
␈βL␈↓ ¬G␈ελn
␈β⊗␈↓ ↓H␈εα(This␈α	appro␈α␈ximation␈α	is␈α	analogous␈α	to␈α	the␈α	\lattice-poin␈α␈t␈α	model"␈α	used␈α	to␈α	in␈α␈v␈α␈estigate
␈βA␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αB␈αin␈αSection␈α4.5.2.)
␈βl␈↓ α␈εαThe␈α
recurrence␈α
(20)␈α
is␈α
readily␈α
solv␈α␈ed␈α
by␈α
the␈α
use␈α
of␈α
generating␈α
functions.␈α∞A
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαmore␈α
direct␈αway␈αto␈αsolv␈α␈e␈αit,␈αanalogous␈αto␈α
our␈αsolution␈αof␈αthe␈αlattice-poin␈α␈t␈α
model,
␈β
B␈↓ ↓H␈εαis␈αby␈αnoting␈αthat
␈β∞⊃␈↓ ¬⊂␈εα1
␈β∞'␈↓ β∞␈ελS␈↓ βm␈εα=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελS␈↓ ε¬␈εα+␈↓ ε1␈ελS␈↓ εZ␈εα+␈↓ πε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π8␈εα+␈↓ πd␈ελS␈↓ λ;␈εα+␈↓ λg␈ελS␈↓ 	␈εα)
␈β∞5␈↓ β ␈εn␈↓ β2␈ε¬+1␈↓ ¬o␈ε¬0␈↓ εC␈ε¬1␈↓ πv␈εn␈↓ λλ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λy␈εn
␈β∞8␈↓ ∧k␈∧∞8∧kα\
␈β∞@␈↓ ∧k␈ελn␈↓ ¬	␈εα+␈αλ1
␈β∞e␈↓ ¬Q␈ε↓␈␈↓ πN␈ε↓↓
␈β∞n␈↓ ¬⊂␈εα1␈↓ 	!␈εα1
␈β∂¬␈↓ βm␈εα=␈α⊂1␈αλ+␈↓ ¬←␈ελn␈↓ ¬u␈εα(␈↓ ε↓␈ελS␈↓ ε,␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈αλ+␈↓ π*␈ελS␈↓ πl␈εα=␈↓ λ ␈ελS␈↓ λL␈εα+␈↓ 	\␈εα;
␈β∂∩␈↓ ε∪␈εn␈↓ π<␈εn␈↓ λ2␈εn
␈β∂∃␈↓ ∧k␈∧∂∃∧kα\␈↓ λ|␈∧∂∃λ|α\
␈β∂≥␈↓ ∧k␈ελn␈↓ ¬	␈εα+␈αλ1␈↓ λ|␈ελn␈↓ 	~␈εα+␈αλ1
␈β∂l␈↓ βW␈ε¬1␈↓ ¬	␈ε¬1
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α/␈ελS␈↓ αb␈εαis␈α∂1␈α
+␈↓ βs␈εα+␈↓ ∧"␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧V␈εα+␈↓ ¬-␈εα=␈↓ ¬`␈ελH␈↓ ε	␈εα,␈α⊂a␈α∂harmonic␈α∂n␈α␈um␈α␈ber.␈α∃The␈α∂appro␈α␈ximation
␈β∂⎇␈↓ αA␈εn␈↓ ¬w␈εn
␈β⊂␈↓ βW␈∧⊂βWα∂␈↓ ¬λ␈∧⊂¬λα∩
␈β⊂α␈↓ βW␈ε¬2␈↓ ¬λ␈εn
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελT␈↓ ↓y␈ε⊗→␈↓ α'␈ελS␈↓ αV␈εαno␈α␈w␈αsuggests␈αthat␈↓ ∧{␈ελT␈↓ ¬,␈ε⊗→␈↓ ¬Z␈εαln␈↓ ¬}␈ελn␈↓ ε≤␈εα+␈↓ εH␈ελO␈↓ εb␈εα(1).
␈β⊂(␈↓ ↓]␈εn␈↓ α9␈εn␈↓ ¬⊂␈εn
␈β⊂F␈↓ α␈εαComparison␈αof␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈αwith␈αtables␈αof␈αthe␈αtrue␈αvalue␈αof␈↓ 
$␈ελT␈↓ 
U␈εαsho␈α␈w,
␈β⊂S␈↓ 
9␈εn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α	that␈↓ β%␈εαln␈↓ βI␈ελn␈↓ βh␈εαis␈α	too␈α	large;␈↓ ¬$␈ελT␈↓ ¬T␈εαdoes␈α	not␈α	gro␈α␈w␈α	this␈α	fast.␈αOne␈α	way␈αλto␈α	accoun␈α␈t␈α	for
␈β⊂}␈↓ ¬9␈εn
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α
fact␈αthat␈αthis␈αappro␈α␈ximation␈α
is␈αtoo␈αpessimistic␈αis␈α
to␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αthe␈α
av␈α␈erage
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα341
␈βα!␈↓ π↑␈ε¬1
␈βα$␈↓ ↓H␈εαvalue␈αof␈↓ αR␈ελn␈↓ αm␈εαmod␈↓ β7␈ελk␈↓ βU␈εαis␈αless␈αthan␈αthe␈αav␈α␈erage␈αvalue␈αof␈↓ πp␈ελk␈↓ λα␈εα,␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
,␈ελk␈↓ 
H␈ε⊗∀␈↓ 
v␈ελn␈↓ ␈εα:
␈βα5␈↓ π↑␈∧α5π↑α∂
␈βα7␈↓ π↑␈ε¬2
␈βαo␈↓ α∩␈ε↓X␈↓ ¬&␈ε↓X
␈βα{␈↓ ↓Z␈εα1␈↓ ∧.␈εα1
␈ββ∩␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελn␈↓ βλ␈εαmod␈↓ βR␈ελk␈↓ βd␈εα)␈↓ βz␈εα=␈↓ ε.␈εα(␈↓ ε:␈ελn␈↓ εX␈ε⊗␈␈↓ π∧␈ελq␈↓ π∀␈ελk␈↓ π&␈εα)
␈ββ"␈↓ ↓X␈∧β"↓Xα⊗␈↓ ∧,␈∧β"∧,α⊗
␈ββ*␈↓ ↓X␈ελn␈↓ ∧,␈ελn
␈ββB␈↓ ¬
␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ¬8␈εq␈↓ ¬E␈ε→∀␈↓ ¬b␈εn
␈ββC␈↓ ↓x␈ε¬1␈ε→∀␈↓ α#␈εk␈↓ α2␈ε→∀␈↓ αO␈εn
␈ββ↑␈↓ ∧9␈ε→b␈↓ ∧D␈εn␈↓ ∧V␈ε¬/␈α↓(␈↓ ∧n␈εq␈↓ ∧|␈ε¬+␈α␈1␈α↓)␈ε→␈α␈c␈ε¬␈α↓<␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬g␈ε→∀b␈↓ ε∂␈εn␈↓ ε!␈ε¬/␈↓ ε/␈εq␈↓ ε<␈ε→c
␈β∧ε␈↓ ¬/␈ε↓X
␈β∧∂␈↓ ε→␈ε↓∩␈↓ ε/␈ε↓∩␈↓ π↑␈ε↓∪␈↓ λ(␈ε↓∩␈↓ 
6␈ε↓∪␈↓ 
L␈ε↓∪
␈β∧∪␈↓ ∧w␈εα1␈↓ εE␈ε⊗b␈↓ εS␈ελn␈↓ εh␈εα/␈↓ εz␈ελq␈↓ π
␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ1␈↓ λ>␈ε⊗b␈↓ λL␈ελn␈↓ λb␈εα/(␈↓ 	␈ελq␈↓ 	_␈εα+␈αλ1)␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ1
␈β∧)␈↓ βz␈εα=␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧F␈ε⊗␈␈↓ εα␈ελq␈↓ π|␈ε⊗␈
␈β∧:␈↓ ∧v␈∧∧:∧vα⊗
␈β∧B␈↓ ∧v␈ελn␈↓ πλ␈εα2␈↓ 	1␈εα2
␈β∧[␈↓ ¬∃␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬@␈εq␈↓ ¬N␈ε→∀␈↓ ¬k␈εn
␈β¬β␈↓ ¬/␈ε↓X
␈β¬
␈↓ λo␈ε¬2
␈β¬␈↓ ¬|␈ε↓∩␈↓ π,␈ε↓∪␈↓ πz␈ε↓∩␈↓ 	α␈ε↓∪
␈β¬⊂␈↓ ∧w␈εα1␈↓ ε∩␈ε⊗b␈↓ ε ␈ελn␈↓ ε6␈εα/␈↓ εH␈ελq␈↓ εX␈ε⊗c␈εα␈αλ+␈αλ1␈↓ λ[␈ελ→
␈β¬&␈↓ βz␈εα=␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧F␈ε⊗␈␈↓ πL␈εα=␈↓ λ⊂␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	≡␈ελn␈↓ 	<␈εα+␈↓ 	h␈ελO␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈εαlog␈↓ 
B␈ελn␈↓ 
X␈εα)␈↓ 
p␈εα(21)
␈β¬7␈↓ ∧v␈∧¬7∧vα⊗␈↓ λZ␈∧¬7λZα$
␈β¬?␈↓ ∧v␈ελn␈↓ εV␈εα2␈↓ λZ␈εα12
␈β¬X␈↓ ¬∃␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬@␈εq␈↓ ¬N␈ε→∀␈↓ ¬k␈εn
␈βε≤␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ∧:␈ε↓↓
␈βε<␈↓ ↓V␈εαcf.␈α∞ex␈α␈ercise␈α∂4.5.2↑10(c)␈↓ ∧H␈εα.␈α∪This␈α∂is␈α∂only␈α∞about␈α∂.1775␈↓ πn␈ελn␈↓ λβ␈εα,␈α⊂not␈α∞.25␈↓ 	
␈ελn␈↓ 	#␈εα;␈α⊂so␈α∞the␈α∂value␈α∞of
␈βεg␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓c␈εαmod␈↓ α-␈ελk␈↓ αG␈εαtends␈αλto␈αλbe␈αλsmaller␈απthan␈αλthe␈αλabo␈α␈v␈α␈e␈αλmodel␈αλpredicts,␈α	and␈αλEuclid's␈απalgorithm
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orks␈αfaster␈αthan␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αexpect.
␈βπ\␈↓ ↓H␈ε∩A␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈α
model.␈εα␈α≠The␈αbehavior␈α
of␈α
Euclid's␈α
algorithm␈αwith␈↓ 	0␈ελv␈↓ 	N␈εα=␈↓ 	⎇␈ελN␈↓ 
,␈εαis␈αessen-
␈βλπ␈↓ ↓H␈εαtially␈α
determined␈α
by␈α
the␈α
behavior␈α
of␈α
the␈α
regular␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction␈α
process␈α
when
␈βλ3␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓t␈εα=␈α∞0/␈↓ αJ␈ελN␈↓ αl␈εα,␈α∂1/␈↓ β)␈ελN␈↓ βK␈εα,␈↓ βd␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∀␈εα,␈α∂(␈↓ ∧9␈ελN␈↓ ∧d␈ε⊗␈␈εα␈α
1)/␈↓ ¬B␈ελN␈↓ ¬d␈εα.␈α∀Assuming␈α∞that␈↓ πy␈ελN␈↓ λ)␈εαis␈α∂v␈α␈ery␈α∞large,␈α∂w␈α␈e␈α∂are␈α∞led
␈βλ↑␈↓ ↓H␈εαnaturally␈α⊂to␈α⊂a␈α⊂study␈α⊃of␈α⊂regular␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fractions␈α⊂when␈↓ λr␈ελX␈↓ 	 ␈εαis␈α⊂a␈α⊂random␈α⊂real
␈β		␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
uniformly␈α
distributed␈α∞in␈α
[␈αε0,␈αε1).␈α⊂Therefore␈α∞let␈α
us␈α∞de|ne␈α
the␈α
distribution
␈β	4␈↓ ↓H␈εαfunction
␈β	c␈↓ β⊗␈ελF␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελx␈↓ β[␈εα)␈α
=␈↓ ∧∨␈εαprobability␈αthat␈↓ ε'␈ελX␈↓ ε\␈ε⊗∀␈↓ π
␈ελx␈↓ π≥␈εα,␈↓ πu␈εαfor␈↓ λ-␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λw␈ελx␈↓ 	∀␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈↓ 
p␈εα(22)
␈β	q␈↓ β*␈εn␈↓ ε@␈εn
␈β
,␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈αa␈α
uniform␈α
distribution␈α
of␈↓ ¬>␈ελX␈↓ ¬h␈εα=␈↓ ε↔␈ελX␈↓ ε>␈εα.␈α∂By␈αthe␈α
de|nition␈α
of␈α
regular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued
␈β
9␈↓ ε0␈ε¬0
␈β
W␈↓ ↓H␈εαfractions,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ βp␈ελF␈↓ ∧∩␈εα(␈↓ ∧≡␈ελx␈↓ ∧1␈εα)␈α
=␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬λ␈εα,␈αand
␈β
d␈↓ ∧∧␈ε¬0
␈β∩␈↓ ∧~␈ε↓X
␈β5␈↓ αd␈ελF␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελx␈↓ βS␈εα)␈↓ βi␈εα=␈↓ ∧W␈εαprobability␈αthat␈↓ εS␈εα(␈↓ ε←␈ελk␈↓ ε{␈ε⊗∀␈εα␈α
1/␈↓ πM␈ελX␈↓ λα␈ε⊗∀␈↓ λ0␈ελk␈↓ λJ␈εα+␈↓ λv␈ελx␈↓ 	λ␈εα)
␈βB␈↓ αx␈εn␈↓ β
␈ε¬+␈α␈1␈↓ πf␈εn
␈βf␈↓ ∧↔␈εk␈↓ ∧&␈ε→∃␈ε¬1
␈β{␈↓ ∧~␈ε↓X
␈β␈␈↓ εS␈ε↓␈␈↓ 	F␈ε↓↓
␈β∨␈↓ βi␈εα=␈↓ ∧W␈εαprobability␈αthat␈↓ εa␈εα1/(␈↓ π⊃␈ελk␈↓ π+␈εα+␈↓ πW␈ελx␈↓ πj␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ.␈ελX␈↓ λc␈ε⊗∀␈εα␈α
1/␈↓ 	5␈ελk
␈β,␈↓ λG␈εn
␈βP␈↓ ∧↔␈εk␈↓ ∧&␈ε→∃␈ε¬1
␈βe␈↓ ∧~␈ε↓X
␈βi␈↓ ∧Q␈ε↓␈␈↓ ε-␈ε↓␈␈↓ πO␈ε↓↓␈↓ π]␈ε↓↓
␈β
λ␈↓ βi␈εα=␈↓ ∧←␈ελF␈↓ ¬¬␈εα(1/␈↓ ¬5␈ελk␈↓ ¬G␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ επ␈ελF␈↓ ε;␈εα1/(␈↓ εk␈ελk␈↓ π¬␈εα+␈↓ π1␈ελx␈↓ πC␈εα)␈↓ πk␈εα.␈↓ 
p␈εα(23)
␈β
⊗␈↓ ∧s␈εn␈↓ ε≠␈εn
␈β
:␈↓ ∧↔␈εk␈↓ ∧&␈ε→∃␈ε¬1
␈β∞~␈↓ ↓H␈εαIf␈α	the␈α	distributions␈↓ βt␈ελF␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ ∧"␈ελx␈↓ ∧5␈εα),␈↓ ∧U␈ελF␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα),␈↓ ¬6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬i␈εαde|ned␈α
by␈α	these␈α	form␈α␈ulas␈α
approach␈α	a␈α	limiting
␈β∞'␈↓ ∧λ␈ε¬0␈↓ ∧i␈ε¬1
␈β∞E␈↓ ↓H␈εαdistribution␈↓ β␈ελF␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελx␈↓ β[␈εα)␈α
=␈↓ ∧∨␈ελF␈↓ ∧8␈εα(␈↓ ∧D␈ελx␈↓ ∧W␈εα),␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e
␈β∞S␈↓ β ␈ε→1
␈β∞|␈↓ ¬→␈ε↓X
␈β∂␈↓ ¬O␈ε↓␈␈↓ π∩␈ε↓␈␈↓ λ4␈ε↓↓␈↓ λB␈ε↓↓
␈β∂ ␈↓ ∧~␈ελF␈↓ ∧3␈εα(␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ∧R␈εα)␈α
=␈↓ ¬]␈ελF␈↓ ¬w␈εα(1/␈↓ ε'␈ελk␈↓ ε9␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εy␈ελF␈↓ π ␈εα1/(␈↓ πP␈ελk␈↓ πj␈εα+␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ(␈εα)␈↓ λP␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β∂Q␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ ¬$␈ε→∃␈ε¬1
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαOne␈α	function␈α
that␈α	satis|es␈α
this␈α	relation␈α
is␈↓ εP␈ελF␈↓ εj␈εα(␈↓ εv␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈α
=␈↓ πL␈εαlog␈↓ λε␈εα(1␈α¬+␈↓ λR␈ελx␈↓ λe␈εα),␈α
for␈α	an␈α␈y␈α
base␈↓ 
J␈ελb␈↓ 
b␈εα>␈α
1;
␈β⊂)␈↓ πz␈εb
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαsee␈α∂ex␈α␈ercise␈α⊂19.␈α_The␈α⊂further␈α∂condition␈↓ εA␈ελF␈↓ ε[␈εα(1)␈α⊂=␈α⊂1␈α⊂implies␈α⊂that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂should␈α∂tak␈α␈e
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓c␈εα=␈α
2.␈α⊃Th␈α␈us␈α∞it␈α∞is␈α∞reasonable␈α
to␈α∞mak␈α␈e␈α∞a␈α∞guess␈α∞that␈↓ πy␈ελF␈↓ λ∪␈εα(␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ1␈εα)␈α
=␈↓ λ{␈εαlg␈↓ 	↔␈εα(1␈α	+␈↓ 	l␈ελx␈↓ 	}␈εα),␈α∂and␈α
that
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓n␈εα(␈↓ ↓z␈ελx␈↓ α␈εα)␈αapproaches␈αthis␈αbehavior.
␈β⊃(␈↓ ↓\␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα342␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα!␈↓ π4␈ε¬1␈↓ λ8␈ε¬3
␈βα$␈↓ α␈εαWe␈αmigh␈α␈t␈α
conjecture,␈αfor␈αexample,␈α
that␈↓ π␈ελF␈↓ π$␈εα(␈↓ πG␈εα)␈α
=␈↓ λ␈εαlg␈↓ λ(␈εα(␈↓ λJ␈εα)␈ε⊗␈α→␈εα␈α
0.58496;␈α
let␈αus␈αsee
␈βα5␈↓ π4␈∧α5π4α∂␈↓ λ8␈∧α5λ8α∂
␈βα7␈↓ π4␈ε¬2␈↓ λ8␈ε¬2
␈βαL␈↓ β∨␈ε¬1␈↓ 	∞␈ε¬1␈↓ 	h␈ε¬1
␈βαP␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈αclose␈↓ αi␈ελF␈↓ β∂␈εα(␈↓ β1␈εα)␈αcomes␈αto␈αthis␈αvalue␈αfor␈αsmall␈↓ π≠␈ελn␈↓ π1␈εα.␈αWe␈αhav␈α␈e␈↓ λ\␈ελF␈↓ λ}␈εα(␈↓ 	 ␈εα)␈α
=␈↓ 	{␈εα,␈αand
␈βα]␈↓ α⎇␈εn␈↓ λp␈ε¬0
␈βα`␈↓ β∨␈∧α`β∨α∂␈↓ 	∞␈∧α`	∞α∂␈↓ 	h␈∧α`	hα∂
␈βαb␈↓ β∨␈ε¬2␈↓ 	∞␈ε¬2␈↓ 	h␈ε¬2
␈ββ⊗␈↓ β4␈εα1␈↓ ∧%␈εα1␈↓ ¬∃␈εα1␈↓ εε␈εα1
␈ββ*␈↓ αY␈ε¬1
␈ββ-␈↓ α'␈ελF␈↓ αI␈εα(␈↓ αl␈εα)␈↓ βα␈εα=␈↓ βR␈ε⊗␈␈↓ ∧e␈εα+␈↓ ¬3␈ε⊗␈␈↓ εG␈εα+␈↓ εs␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈ββ:␈↓ α;␈ε¬1
␈ββ=␈↓ αY␈∧β=αYα∂␈↓ β4␈∧β=β4α∩␈↓ ∧α␈∧β=∧ααX␈↓ ¬∃␈∧β=¬∃α∩␈↓ ¬c␈∧β=¬cαX
␈ββ@␈↓ αY␈ε¬2
␈ββE␈↓ β4␈εα1␈↓ ∧α␈εα1␈αλ+␈↓ ¬∃␈εα2␈↓ ¬c␈εα2␈αλ+
␈ββG␈↓ ∧K␈επ1␈↓ ε-␈επ1
␈ββV␈↓ ∧K␈∧βV∧Kα␈↓ ε-␈∧βVε-α
␈ββX␈↓ ∧K␈επ2␈↓ ε-␈επ2
␈ββp␈↓ βH␈ε↓∩␈↓ ε@␈ε↓∪
␈ββt␈↓ βb␈εα1␈↓ ∧0␈εα1␈↓ ∧}␈εα1␈↓ ¬L␈εα1
␈β∧␈↓ βα␈εα=␈α
2␈↓ ∧␈ε⊗␈␈↓ ∧N␈εα+␈↓ ¬≤␈ε⊗␈␈↓ ¬j␈εα+␈↓ ε⊗␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε`␈εα=␈α
2(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πr␈εαln␈↓ λ⊗␈εα2)␈ε⊗␈α
→␈εα␈α
0.6137;
␈β∧≠␈↓ βb␈∧∧≠βbα∩␈↓ ∧0␈∧∧≠∧0α∩␈↓ ∧}␈∧∧≠∧}α∩␈↓ ¬L␈∧∧≠¬Lα∩
␈β∧#␈↓ βb␈εα2␈↓ ∧0␈εα3␈↓ ∧}␈εα4␈↓ ¬L␈εα5
␈β∧E␈↓ β8␈ε↓X
␈β∧N␈↓ ∧(␈ε↓∩␈↓ 
7␈ε↓∪
␈β∧Q␈↓ ∧ε␈εα2␈↓ ∧u␈εα1␈↓ ε)␈εα1␈↓ π]␈εα1␈↓ 	⊂␈εα1
␈β∧e␈↓ αY␈ε¬1
␈β∧h␈↓ α'␈ελF␈↓ αI␈εα(␈↓ αl␈εα)␈↓ βα␈εα=␈↓ ¬F␈ε⊗␈␈↓ εz␈εα+␈↓ λ-␈ε⊗␈␈↓ 	a␈εα+␈↓ 

␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β∧v␈↓ α;␈ε¬2
␈β∧x␈↓ αY␈∧∧xαYα∂␈↓ β␈␈∧∧xβ␈α ␈↓ ∧B␈∧∧x∧Bαx␈↓ ¬v␈∧∧x¬vαx␈↓ π*␈∧∧xπ*αx␈↓ λ]␈∧∧xλ]αx
␈β∧{␈↓ αY␈ε¬2
␈β¬↓␈↓ β␈␈ελm␈↓ ∧B␈εα2␈↓ ∧T␈ελm␈↓ ∧|␈εα+␈αλ2␈↓ ¬v␈εα3␈↓ ελ␈ελm␈↓ ε0␈εα+␈αλ2␈↓ π*␈εα4␈↓ π<␈ελm␈↓ πc␈εα+␈αλ2␈↓ λ]␈εα5␈↓ λo␈ελm␈↓ 	↔␈εα+␈αλ2
␈β¬~␈↓ β0␈εm␈↓ βJ␈ε→∃␈ε¬␈α␈1
␈β¬A␈↓ β8␈ε↓X
␈β¬J␈↓ ∧7␈ε↓∩␈↓ εa␈ε↓∪
␈β¬M␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧Q␈εα1␈↓ ¬∨␈εα1␈↓ ¬m␈εα1
␈β¬d␈↓ βα␈εα=␈↓ ∧o␈ε⊗␈␈↓ ¬=␈εα+␈↓ ε␈ε⊗␈␈↓ ε7␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β¬t␈↓ β␈␈∧¬tβ␈α/␈↓ ∧Q␈∧¬t∧Qα∩␈↓ ¬∨␈∧¬t¬∨α∩␈↓ ¬m␈∧¬t¬mα∩
␈β¬z␈↓ ∧≡␈ε¬2
␈β¬|␈↓ β␈␈ελm␈↓ ∧Q␈εα2␈↓ ¬∨␈εα3␈↓ ¬m␈εα4
␈βε∃␈↓ β0␈εm␈↓ βJ␈ε→∃␈ε¬␈α␈1
␈βε<␈↓ βX␈ε↓X
␈βεE␈↓ ∧H␈ε↓∩␈↓ 	β␈ε↓∪
␈βεI␈↓ ∧&␈εα4␈↓ ¬:␈εα1␈↓ π7␈εα1
␈βε`␈↓ β$␈ε⊗␈␈↓ ε0␈ε⊗␈␈↓ λ-␈εα+␈↓ λY␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βεp␈↓ ∧∨␈∧εp∧∨α ␈↓ ∧b␈∧εp∧bα↓B␈↓ ε`␈∧εpε`α↓B
␈βεx␈↓ ∧∨␈ελm␈↓ ∧b␈εα2␈↓ ∧t␈ελm␈↓ ¬∀␈εα(2␈↓ ¬2␈ελm␈↓ ¬Z␈εα+␈αλ2)␈↓ ε`␈εα3␈↓ εr␈ελm␈↓ π⊃␈εα(3␈↓ π/␈ελm␈↓ πW␈εα+␈αλ2)
␈βπ⊃␈↓ βP␈εm␈↓ βj␈ε→∃␈ε¬␈α␈1
␈βπ4␈↓ ¬=␈ε↓X
␈βπ@␈↓ β4␈εα1␈↓ εβ␈εα4␈↓ ε∃␈ελS
␈βπM␈↓ ε'␈εm
␈βπQ␈↓ β↑␈ε¬2
␈βπW␈↓ βα␈εα=␈↓ βJ␈ελ→␈↓ βl␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧>␈εαln␈↓ ∧b␈εα2)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εE␈εα,
␈βπg␈↓ β4␈∧πgβ4α∩␈↓ εβ␈∧πgεβα>
␈βπm␈↓ ε+␈ε¬2
␈βπo␈↓ β4␈εα3␈↓ ε␈ελm
␈βλλ␈↓ ¬4␈εm␈↓ ¬N␈ε→∃␈ε¬1
␈βλX␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελS␈↓ αf␈εα=␈α1/(4␈↓ βW␈ελm␈↓ β␈␈εα+␈αλ4)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈α	1/(9␈↓ ¬@␈ελm␈↓ ¬g␈εα+␈α	6)␈αλ+␈αλ1/(16␈↓ π:␈ελm␈↓ πb␈εα+␈αλ8)␈ε⊗␈α	␈␈↓ λa␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	⊃␈εα.␈α
Using␈αthe␈αvalues
␈βλf␈↓ αB␈εm
␈β	∧␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελH␈↓ α$␈εαfor␈αfraction␈↓ βb␈ελx␈↓ ∧↓␈εαfound␈αin␈αTable␈α3␈αof␈αAppendix␈αB,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β	⊃␈↓ α	␈εx
␈β	H␈↓ 	3␈∧	H	3α∩
␈β	I␈↓ 	∂␈ε⊗p
␈β	K␈↓ βw␈ε¬1␈↓ ¬E␈ε¬3␈↓ πv␈ε¬19
␈β	N␈↓ β∪␈ελS␈↓ β>␈εα=␈↓ ∧⊃␈εα,␈↓ ∧i␈ελS␈↓ ¬∪␈εα=␈↓ ¬←␈ε⊗␈␈↓ ε␈εαln␈↓ ε/␈εα2,␈↓ π→␈ελS␈↓ πD␈εα=␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈↓ λK␈ελ→␈↓ λ←␈εα/(2␈↓ 	3␈εα3␈↓ 	K␈εα),
␈β	[␈↓ β%␈ε¬1␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ π+␈ε¬3
␈β	↑␈↓ βp␈∧	↑βpα≥␈↓ ¬E␈∧	↑¬Eα∂␈↓ πv␈∧	↑πvα≥
␈β	a␈↓ βp␈ε¬12␈↓ ¬E␈ε¬4␈↓ πv␈ε¬20
␈β
∃␈↓ ε*␈ε¬1
␈β
_␈↓ ↓H␈εαetc.;␈α∞a␈α∞n␈α␈umerical␈α∞evaluation␈α
yields␈↓ ¬x␈ελF␈↓ ε~␈εα(␈↓ ε=␈εα)␈ε⊗␈α
→␈εα␈α0.5748.␈α⊃Although␈↓ 	%␈ελF␈↓ 	H␈εα(␈↓ 	T␈ελx␈↓ 	f␈εα)␈α
=␈↓ 
0␈ελH␈↓ 
W␈εα,␈α∞it␈α
is
␈β
&␈↓ ε␈ε¬2␈↓ 	9␈ε¬1␈↓ 
G␈εx
␈β
)␈↓ ε*␈∧
)ε*α∂
␈β
+␈↓ ε*␈ε¬2
␈β
C␈↓ ↓H␈εαclear␈αthat␈↓ αl␈ελF␈↓ β∩␈εα(␈↓ β≡␈ελx␈↓ β0␈εα)␈αis␈αdi}cult␈αto␈αcalculate␈αexactly␈αwhen␈↓ λ∞␈ελn␈↓ λ0␈εαis␈αlarge.
␈β
Q␈↓ β␈εn
␈β
o␈↓ α␈εαThe␈α∞distributions␈↓ ∧+␈ελF␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελx␈↓ ∧p␈εα)␈α∞w␈α␈ere␈α
|rst␈α∞studied␈α
by␈α∞K.␈α∞F.␈α
Gauss,␈α∞who␈α∞though␈α␈t␈α
of
␈β
|␈↓ ∧?␈εn
␈β~␈↓ ↓H␈εαthe␈α
problem␈α	in␈α
1800.␈αHis␈α	notebook␈α
for␈α
that␈α
y␈α␈ear␈α
lists␈α
various␈α
recurrence␈α	relations
␈βB␈↓ 
¬␈ε¬1
␈βE␈↓ ↓H␈εαand␈α	giv␈α␈es␈α
a␈α	brief␈α
table␈α
of␈α	values,␈α
including␈α
the␈α
four-place␈α	value␈α
for␈↓ 	R␈ελF␈↓ 	u␈εα(␈↓ 
↔␈εα)␈α
that␈α	has
␈βR␈↓ 	f␈ε¬2
␈βU␈↓ 
¬␈∧U
¬α∂
␈βX␈↓ 
¬␈ε¬2
␈βp␈↓ ↓H␈εαjust␈α∞been␈α∞men␈α␈tioned.␈α∀After␈α∞performing␈α∂these␈α∞calculations,␈α∂Gauss␈α∞wrote,␈α∂\␈ε∂Tam
␈β≠␈↓ ↓H␈ε∂complicat≤␈αevadun␈α␈t,␈α
ut␈α
n␈α␈ulla␈α
spes␈α
superesse␈αvideatur␈εα,"␈α
i.e.,␈α
\They␈α
come␈α
out␈αso
␈βG␈↓ ↓H␈εαcomplicated␈αthat␈αno␈αhope␈αappears␈αto␈αbe␈αleft."␈αTw␈α␈elv␈α␈e␈αy␈α␈ears␈αlater,␈αGauss␈αwrote␈αa
␈βr␈↓ ↓H␈εαletter␈α
to␈αLaplace␈α
in␈α
which␈α
he␈α
posed␈α
the␈α
problem␈α
as␈α
one␈α
he␈α
could␈α
not␈α
resolv␈α␈e␈αto
␈β
≥␈↓ ↓H␈εαhis␈αsatisfaction.␈α∂He␈α
said,␈α
\I␈αfound␈α
by␈α
v␈α␈ery␈α
simple␈αreasoning␈α
that,␈α
for␈↓ 
∩␈ελn␈↓ 
4␈εαin|nite,
␈β
H␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓n␈εα(␈↓ ↓z␈ελx␈↓ α␈εα)␈α
=␈↓ αP␈εαlog␈↓ α}␈εα(1␈αε+␈↓ βK␈ελx␈↓ β↑␈εα)/␈↓ β|␈εαlog␈↓ ∧0␈εα2.␈αBut␈α
the␈α
e{orts␈α
which␈α
I␈αmade␈α
since␈α
then␈α
in␈α
m␈α␈y␈α
inquiries
␈β
V␈↓ ↓\␈εn
␈β
s␈↓ ↓H␈εαto␈α⊂assign␈↓ αg␈ελF␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελx␈↓ β+␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ βq␈εαlog␈↓ ∧∨␈εα(1␈α+␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬
␈εα)/␈↓ ¬(␈εαlog␈↓ ¬\␈εα2␈α⊂for␈α⊃v␈α␈ery␈α⊂large␈α⊃but␈α⊂not␈α⊂in|nite␈α⊃values␈α⊂of␈↓ ↔␈ελn
␈β∞↓␈↓ α{␈εn
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ere␈α∞fruitless."␈α≥He␈α∂nev␈α␈er␈α∞published␈α∞his␈α∂\v␈α␈ery␈α∞simple␈α∞reasoning,"␈α∂and␈α∂it␈α∞is␈α∞not
␈β∞J␈↓ ↓H␈εαcompletely␈αclear␈αthat␈α
he␈αhad␈α
found␈αa␈αrigorous␈α
proof.␈α
More␈αthan␈α
100␈αy␈α␈ears␈αw␈α␈en␈α␈t
␈β∞u␈↓ ↓H␈εαby␈α
before␈α
a␈α
proof␈α
was␈α∞|nally␈α
published,␈α
by␈α
R.␈α∞O.␈α
Kuz'min␈α
[␈ε∂Atti␈α
del␈α
Congresso
␈β∂ ␈↓ ↓H␈ε∂in␈α␈ternazionale␈αdei␈αmatematici␈ε∩␈α6␈εα␈α(Bologna,␈α1928),␈α83↑89],␈αwho␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈αthat
␈β∂i␈↓ λ∞␈∧∂iλ∞α∩
␈β∂j␈↓ πr␈ε→p
␈β∂k␈↓ πA␈ε→␈␈↓ π↑␈εA␈↓ λ∞␈εn
␈β∂q␈↓ ∧C␈ελF␈↓ ∧i␈εα(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬λ␈εα)␈α
=␈↓ ¬L␈εαlg␈↓ ¬h␈εα(1␈αλ+␈↓ ε:␈ελx␈↓ εL␈εα)␈αλ+␈↓ π␈ελO␈↓ π'␈εα(␈↓ π3␈ελe␈↓ λ%␈εα)
␈β∂}␈↓ ∧W␈εn
␈β⊂6␈↓ 	X␈ε→␈␈↓ 	u␈εA␈↓ 
	␈εn
␈β⊂;␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈αpositiv␈α␈e␈αconstan␈α␈t␈↓ ∧o␈ελA␈↓ ¬π␈εα.␈αThe␈αerror␈αterm␈αwas␈αimpro␈α␈v␈α␈ed␈αto␈↓ 	$␈ελO␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελe␈↓ 
≠␈εα)␈αby␈αPaul
␈β⊂f␈↓ ↓H␈εαL␈↓ ↓←␈εα∞␈↓ ↓`␈εαe␈↓ ↓p␈εαvy␈α∞shortly␈α∂afterward␈α∂[␈ε∂Bull.␈α∂Soc.␈α∂Math.␈α∞de␈α∂France␈ε∩␈α∂57␈εα␈α∂(1929),␈α∂178↑194]*;␈α⊂but
␈β⊃∀␈↓ ↓H␈∧⊃∀↓Hα↓X
␈β⊃!␈↓ ↓H␈ε∧*An␈α
exposit␈α␈ion␈α
o␈α↓f␈α
L␈↓ βR␈ε∧∞␈↓ βS␈ε∧e␈↓ β`␈ε∧vy's␈α
i␈α␈n␈α␈tere␈α␈sting␈α
proo␈α↓f␈α
appeared␈α
i␈α␈n␈αthe␈α	|rst␈α
edi␈α␈tion␈α
o␈α↓f␈α
thi␈α␈s␈α
bo␈α↓ok.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα343
␈βα&␈↓ ↓H␈εαGauss's␈αproblem,␈α
namely␈α
to␈α
|nd␈α
the␈α
asymptotic␈αbehavior␈α
of␈↓ 	∂␈ελF␈↓ 	5␈εα(␈↓ 	A␈ελx␈↓ 	T␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
∃␈εαlg␈↓ 
1␈εα(1␈αλ+␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βα4␈↓ 	#␈εn
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαwas␈α
not␈α
really␈α
resolv␈α␈ed␈α
un␈α␈til␈α
1974,␈α∞when␈α
Eduard␈α
Wirsing␈α
published␈α
a␈α
beautiful
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαanalysis␈αof␈α
the␈αsituation␈α
[␈ε∂Acta␈αArithmetica␈ε∩␈α
24␈εα␈α(1974),␈α
507↑528].␈α
We␈α
shall␈αstudy
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαthe␈αλsimplest␈αλaspects␈αλof␈α	Wirsing's␈αλapproach␈αλhere,␈α	since␈αλhis␈α	method␈αλis␈αλan␈αλinstructiv␈α␈e
␈ββS␈↓ ↓H␈εαuse␈αof␈αlinear␈αoperators.
␈β∧↓␈↓ α␈εαIf␈↓ α3␈ελG␈↓ α↑␈εαis␈α∂an␈α␈y␈α∂function␈α∂of␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬.␈εαde|ned␈α∂for␈α∂0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ π=␈ελx␈↓ π←␈ε⊗∀␈εα␈α∂1,␈α⊂let␈↓ λu␈ελS␈↓ 	␈ελG␈↓ 	6␈εαbe␈α∂the␈α∂function
␈β∧-␈↓ ↓H␈εαde|ned␈αby
␈β∧R␈↓ ¬.␈ε↓X
␈β∧[␈↓ ¬k␈ε↓∩␈↓ ε≤␈ε↓∩␈↓ εL␈ε↓∪␈↓ π1␈ε↓∩␈↓ λ(␈ε↓∪␈↓ λ>␈ε↓∪
␈β∧↑␈↓ ε6␈εα1␈↓ πn␈εα1
␈β∧u␈↓ ∧⊗␈ελS␈↓ ∧-␈ελG␈↓ ∧H␈εα(␈↓ ∧T␈ελx␈↓ ∧g␈εα)␈α
=␈↓ ε↓␈ελG␈↓ εj␈ε⊗␈␈↓ π⊗␈ελG␈↓ λT␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬¬␈↓ ε6␈∧¬¬ε6α∩␈↓ πK␈∧¬¬πKαY
␈β¬
␈↓ ε6␈ελk␈↓ πK␈ελk␈↓ πe␈εα+␈↓ λ⊃␈ελx
␈β¬&␈↓ ¬+␈εk␈↓ ¬9␈ε→∃␈ε¬1
␈β¬`␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈↓ α,␈ελS␈↓ αN␈εαis␈αan␈αoperator␈αthat␈αchanges␈αone␈αfunction␈αin␈α␈to␈αanother.␈αIn␈αparticular,␈αby
␈βε␈↓ ↓H␈εα(23)␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ β~␈ελF␈↓ βk␈εα(␈↓ βw␈ελx␈↓ ∧
␈εα)␈α
=␈↓ ∧N␈ελS␈↓ ∧d␈ελF␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬(␈εα),␈αhence
␈βε_␈↓ β.␈εn␈↓ β@␈ε¬+␈α␈1␈↓ ∧x␈εn
␈βεe␈↓ εU␈εn
␈βεk␈↓ ¬a␈ελF␈↓ ε⊃␈εα=␈↓ ε?␈ελS␈↓ εg␈ελF␈↓ π	␈εα.␈↓ 
p␈εα(26)
␈βεx␈↓ ¬u␈εn␈↓ ε{␈ε¬0
␈βπK␈↓ ↓H␈εα(In␈α⊃this␈α⊃discussion␈↓ β⎇␈ελF␈↓ ∧3␈εαstands␈α⊃for␈α⊃a␈α⊃distribution␈α⊃function,␈ε∂␈α∪not␈εα␈α⊃for␈α⊂a␈α⊃Fibonacci
␈βπX␈↓ ∧⊃␈εn
␈βπv␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber.)␈αNote␈α
that␈↓ ∧↓␈ελS␈↓ ∧"␈εαis␈α
a␈α
\linear␈α
operator";␈αi.e.,␈↓ πB␈ελS␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελc␈↓ πr␈ελG␈↓ λ
␈εα)␈α
=␈↓ λQ␈ελc␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελS␈↓ 	α␈ελG␈↓ 	≥␈εα)␈α
for␈α
all␈α
constan␈α␈ts
␈βλ!␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓V␈εα,␈αand␈↓ α2␈ελS␈↓ αH␈εα(␈↓ αT␈ελG␈↓ βα␈εα+␈↓ β.␈ελG␈↓ βU␈εα)␈α
=␈↓ ∧→␈ελS␈↓ ∧/␈ελG␈↓ ∧]␈εα+␈↓ ¬	␈ελS␈↓ ¬ ␈ελG␈↓ ¬F␈εα.
␈βλ/␈↓ αl␈ε¬1␈↓ βF␈ε¬2␈↓ ∧G␈ε¬1␈↓ ¬8␈ε¬2
␈βλP␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α
if␈↓ β∧␈ελG␈↓ β,␈εαhas␈α
a␈α∞bounded␈α
|rst␈α
derivativ␈α␈e,␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α∞di{eren␈α␈tiate␈α
(25)␈α
term␈α
by
␈βλ{␈↓ ↓H␈εαterm␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat
␈β	D␈↓ ¬W␈ε↓X
␈β	M␈↓ π=␈ε↓∩␈↓ λ4␈ε↓∪
␈β	Q␈↓ εN␈εα1␈↓ πz␈εα1
␈β	a␈↓ ∧j␈ε→0␈↓ π6␈ε→0
␈β	h␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελS␈↓ ∧C␈ελG␈↓ ∧↑␈εα)␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελx␈↓ ¬⊂␈εα)␈α
=␈↓ π≠␈ελG␈↓ λJ␈εα,␈↓ 
p␈εα(27)
␈β	x␈↓ ε_␈∧	xε_α␈␈↓ πW␈∧	xπWαY
␈β	}␈↓ πλ␈ε¬2
␈β
␈↓ ε_␈εα(␈↓ ε$␈ελk␈↓ ε=␈εα+␈↓ εi␈ελx␈↓ ε|␈εα)␈↓ πW␈ελk␈↓ πq␈εα+␈↓ λ≥␈ελx
␈β
→␈↓ ¬T␈εk␈↓ ¬b␈ε→∃␈ε¬1
␈β
J␈↓ π∩␈ε↓␈
␈β
j␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α*␈ελS␈↓ α@␈ελG␈↓ αf␈εαalso␈α
has␈αa␈α
bounded␈α
|rst␈αderivativ␈α␈e.␈↓ π ␈εαTerm-by-term␈αdi{eren␈α␈tiation␈α
of␈α
a
␈β∃␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈ergen␈α␈t␈αseries␈α
is␈α
justi|ed␈α
when␈α
the␈αseries␈α
of␈α
derivativ␈α␈es␈α
is␈α
uniformly␈αcon␈α␈v␈α␈er-
␈β@␈↓ ↓H␈εαgen␈α␈t;␈αcf.␈αK.␈αKnopp,␈ε∂␈αTheory␈αand␈αApplication␈αof␈αIn|nite␈αseries␈εα␈α(Glasgo␈α␈w:␈αBlackie,
␈βL␈↓ αp␈ε↓↓
␈βk␈↓ ↓H␈εα1951),␈ε⊗␈αx␈εα47.
␈β∃␈↓ εO␈ε→0␈↓ 	∞␈ε→0
␈β~␈↓ α␈εαLet␈↓ αK␈ελH␈↓ αr␈εα=␈↓ β ␈ελS␈↓ β6␈ελG␈↓ βR␈εα,␈α	and␈αλlet␈↓ ∧X␈ελg␈↓ ∧i␈εα(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬λ␈εα)␈α
=␈α
(1␈αβ+␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε'␈εα)␈↓ ε3␈ελG␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελx␈↓ εu␈εα),␈↓ π∀␈ελh␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ελx␈↓ πD␈εα)␈α
=␈α
(1␈α∧+␈↓ λQ␈ελx␈↓ λd␈εα)␈↓ λp␈ελH␈↓ 	∃␈εα(␈↓ 	!␈ελx␈↓ 	4␈εα).␈α
It␈α	follo␈α␈ws␈αλthat
␈βt␈↓ ∧<␈ε↓X
␈βu␈↓ πg␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⎇␈↓ ε∀␈ε↓∩␈↓ πQ␈ε↓∪␈↓ λ#␈ε↓∩␈↓ 	→␈ε↓∪
␈β
↓␈↓ ¬~␈εα1␈αλ+␈↓ ¬`␈ελx␈↓ π↔␈εα1␈↓ λ`␈εα1
␈β
_␈↓ βE␈ελh␈↓ βW␈εα(␈↓ βc␈ελx␈↓ βu␈εα)␈↓ ∧␈εα=␈↓ ε*␈εα1␈αλ+␈↓ λ∩␈ελg
␈β
(␈↓ ¬π␈∧
(¬πα␈␈↓ εt␈∧
(εtαY␈↓ λ=␈∧
(λ=αY
␈β
.␈↓ ¬x␈ε¬2
␈β
0␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελk␈↓ ¬-␈εα+␈↓ ¬Y␈ελx␈↓ ¬l␈εα)␈↓ εt␈ελk␈↓ π∞␈εα+␈↓ π:␈ελx␈↓ λ=␈ελk␈↓ λW␈εα+␈↓ 	β␈ελx
␈β
I␈↓ ∧9␈εk␈↓ ∧H␈ε→∃␈ε¬1
␈β
p␈↓ ∧<␈ε↓X
␈β
y␈↓ ∧y␈ε↓∩␈↓ πJ␈ε↓∪␈↓ πw␈ε↓∩␈↓ λn␈ε↓∪
␈β
|␈↓ ¬Y␈ελk␈↓ εn␈ελk␈↓ πλ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ5␈εα1
␈β∞∪␈↓ ∧␈εα=␈↓ ε>␈ε⊗␈␈↓ πf␈ελg␈↓ 	∧␈εα.
␈β∞$␈↓ ¬∪␈∧∞$¬∪α↓∨␈↓ εn␈∧∞$εnαY␈↓ λ⊃␈∧∞$λ⊃αY
␈β∞,␈↓ ¬∪␈ελk␈↓ ¬-␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ε∨␈ελx␈↓ εn␈ελk␈↓ ππ␈εα+␈↓ π3␈ελx␈↓ λ⊃␈ελk␈↓ λ+␈εα+␈↓ λW␈ελx
␈β∞E␈↓ ∧9␈εk␈↓ ∧H␈ε→∃␈ε¬1
␈β∂)␈↓ ↓H␈εαIn␈αother␈αw␈α␈ords,␈↓ βC␈ελh␈↓ β←␈εα=␈↓ ∧
␈ελT␈↓ ∧&␈ελg␈↓ ∧7␈εα,␈αwhere␈↓ ¬5␈ελT␈↓ ¬Z␈εαis␈αthe␈αlinear␈αoperator␈αde|ned␈αby
␈β∂y␈↓ ∧Y␈ε↓X
␈β⊂α␈↓ ¬⊗␈ε↓∩␈↓ πg␈ε↓∪␈↓ λ∀␈ε↓∩␈↓ 	␈ε↓∪
␈β⊂¬␈↓ ¬v␈ελk␈↓ π␈ελk␈↓ π%␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λR␈εα1
␈β⊂≤␈↓ βI␈ελT␈↓ βb␈ελg␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∩␈εα)␈α
=␈↓ ε[␈ε⊗␈␈↓ λβ␈ελg␈↓ 	!␈εα.␈↓ 
p␈εα(28)
␈β⊂,␈↓ ¬0␈∧⊂,¬0α↓∨␈↓ π␈∧⊂,παY␈↓ λ.␈∧⊂,λ.αY
␈β⊂5␈↓ ¬0␈ελk␈↓ ¬J␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ε<␈ελx␈↓ π␈ελk␈↓ π$␈εα+␈↓ πP␈ελx␈↓ λ.␈ελk␈↓ λH␈εα+␈↓ λt␈ελx
␈β⊂N␈↓ ∧V␈εk␈↓ ∧e␈ε→∃␈ε¬1
␈β⊃≤␈↓ α␈εαCon␈α␈tin␈α␈uing,␈αλw␈α␈e␈απsee␈αεthat␈απif␈↓ ¬_␈ελg␈↓ ¬/␈εαhas␈απa␈απbounded␈απ|rst␈αεderivativ␈α␈e,␈αλw␈α␈e␈απcan␈αεdi{eren␈α␈tiate
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα344␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαterm␈αby␈αterm␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈↓ ∧{␈ελT␈↓ ¬∀␈ελg␈↓ ¬1␈εαdoes␈αalso:
␈βαm␈↓ ∧G␈ε↓ 
␈βαn␈↓ ∧⊂␈ε↓X
␈βαw␈↓ ∧↑␈ε↓∩␈↓ π|␈ε↓∪␈↓ λ)␈ε↓∩␈↓ 	 ␈ε↓∪
␈βα{␈↓ ¬R␈ελk␈↓ π
␈ελk␈↓ π&␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λf␈εα1
␈ββ␈↓ αy␈ε→0
␈ββ∩␈↓ α7␈εα(␈↓ αC␈ελT␈↓ α\␈ελg␈↓ αm␈εα)␈↓ β␈εα(␈↓ β␈ελx␈↓ β∨␈εα)␈↓ β5␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ εI␈ε⊗␈␈↓ λ_␈ελg
␈ββ"␈↓ ∧x␈∧β"∧xα↓E␈↓ εy␈∧β"εyα␈␈↓ λC␈∧β"λCαY
␈ββ(␈↓ ε/␈ε¬2␈↓ πi␈ε¬2
␈ββ*␈↓ ∧x␈εα(␈↓ ¬∧␈ελk␈↓ ¬≡␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ε⊂␈ελx␈↓ ε#␈εα)␈↓ εy␈εα(␈↓ π¬␈ελk␈↓ π∨␈εα+␈↓ πK␈ελx␈↓ π]␈εα)␈↓ λC␈ελk␈↓ λ]␈εα+␈↓ 		␈ελx
␈ββC␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧≤␈ε→∃␈ε¬1
␈ββs␈↓ 
&␈ε↓!
␈ββ}␈↓ ¬∪␈ε↓∩␈↓ πd␈ε↓∪␈↓ 	~␈ε↓∩␈↓ 
⊂␈ε↓∪
␈β∧↓␈↓ ¬t␈ελk␈↓ πλ␈ελk␈↓ π"␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ5␈εα1␈↓ 	W␈εα1
␈β∧∩␈↓ 	∩␈ε→0
␈β∧_␈↓ ∧g␈εα+␈↓ εX␈ε⊗␈␈↓ 	↓␈ελg
␈β∧(␈↓ ¬-␈∧∧(¬-α↓∨␈↓ πλ␈∧∧(πλαY␈↓ π}␈∧∧(π}α␈␈↓ 	4␈∧∧(	4αY
␈β∧.␈↓ λo␈ε¬2
␈β∧0␈↓ ¬-␈ελk␈↓ ¬G␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ε9␈ελx␈↓ πλ␈ελk␈↓ π"␈εα+␈↓ πN␈ελx␈↓ π}␈εα(␈↓ λ
␈ελk␈↓ λ$␈εα+␈↓ λP␈ελx␈↓ λc␈εα)␈↓ 	4␈ελk␈↓ 	M␈εα+␈↓ 	y␈ελx
␈β∧q␈↓ ∧G␈ε↓ 
␈β∧s␈↓ ∧⊂␈ε↓X
␈β∧|␈↓ ε+␈ε↓∩␈↓ εR␈ε↓∩␈↓ πI␈ε↓∪␈↓ λ$␈ε↓∩␈↓ 	`␈ε↓∪␈↓ 	v␈ε↓∪
␈β∧␈␈↓ ¬<␈ελk␈↓ π∂␈εα1␈↓ 	∧␈εα1
␈β¬⊗␈↓ β5␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ εA␈ελg␈↓ πg␈ε⊗␈␈↓ λ∪␈ελg
␈β¬&␈↓ ∧b␈∧¬&∧bα↓E␈↓ εl␈∧¬&εlαY␈↓ λ>␈∧¬&λ>α↓∨
␈β¬,␈↓ ε→␈ε¬2
␈β¬.␈↓ ∧b␈εα(␈↓ ∧n␈ελk␈↓ ¬λ␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ¬z␈ελx␈↓ ε
␈εα)␈↓ εl␈ελk␈↓ πε␈εα+␈↓ π2␈ελx␈↓ λ>␈ελk␈↓ λW␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ 	I␈ελx
␈β¬G␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧≤␈ε→∃␈ε¬1
␈β¬x␈↓ λv␈ε↓!
␈βεα␈↓ πi␈ε↓∩␈↓ λ`␈ε↓∪
␈βεε␈↓ εε␈εα1␈αλ+␈↓ εL␈ελx␈↓ λ&␈εα1
␈βε⊗␈↓ πb␈ε→0
␈βε≥␈↓ ∧g␈εα+␈↓ πQ␈ελg␈↓ 	∪␈εα.
␈βε-␈↓ ¬↔␈∧ε-¬↔αα6␈↓ λβ␈∧ε-λβαY
␈βε3␈↓ ελ␈ε¬3
␈βε5␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελk␈↓ ¬=␈εα+␈↓ ¬i␈ελx␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ε⊗␈εα(␈↓ ε"␈ελk␈↓ ε<␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ π.␈ελx␈↓ πA␈εα)␈↓ λβ␈ελk␈↓ λ≥␈εα+␈↓ λI␈ελx
␈βπβ␈↓ 	c␈ε→0␈↓ ∂␈ε→0
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαThere␈α⊂is␈α⊂consequen␈α␈tly␈α⊃a␈α⊂third␈α⊃linear␈α⊂operator,␈↓ π>␈ελU␈↓ π\␈εα,␈α∩such␈α⊂that␈α⊂(␈↓ 	,␈ελT␈↓ 	F␈ελg␈↓ 	W␈εα)␈↓ 	{␈εα=␈ε⊗␈α⊃␈␈↓ 
T␈ελU␈↓ 
r␈εα(␈↓ 
}␈ελg␈↓ ⊗␈εα),
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαnamely
␈βπp␈↓ ¬'␈ε↓Z
␈βπx␈↓ β=␈ε↓ 
␈βπy␈↓ ¬K␈ε¬1/␈α↓(␈↓ ¬q␈εk␈↓ ε␈ε¬+␈↓ ε≥␈εx␈↓ ε,␈ε¬)
␈βπz␈↓ βε␈ε↓X
␈βλπ␈↓ ∧2␈ελk
␈βλ≥␈↓ ↓l␈ελU␈↓ α	␈ελ⎇␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α?␈εα)␈α
=␈↓ εW␈ελ⎇␈↓ εo␈εα(␈↓ ε{␈ελt␈↓ πλ␈εα)␈↓ π~␈ελd␈↓ π.␈ελt
␈βλ.␈↓ βX␈∧λ.βXα↓E
␈βλ3␈↓ ¬∂␈ε¬2
␈βλ6␈↓ βX␈εα(␈↓ βd␈ελk␈↓ β}␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ ∧p␈ελx␈↓ ¬β␈εα)
␈βλA␈↓ ¬;␈ε¬1/␈α↓(␈↓ ¬a␈εk␈↓ ¬p␈ε¬+1+␈↓ ε8␈εx␈↓ εH␈ε¬)
␈βλO␈↓ ββ␈εk␈↓ β∩␈ε→∃␈ε¬1
␈βλ␈␈↓ 
π␈ε↓!
␈β	
␈↓ λ{␈ε↓∩␈↓ 	q␈ε↓∪
␈β	
␈↓ π_␈εα1␈αλ+␈↓ π↑␈ελx␈↓ 	8␈εα1
␈β	$␈↓ ¬z␈εα+␈↓ λd␈ελ⎇␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p(29)
␈β	4␈↓ ε*␈∧	4ε*αα6␈↓ 	∃␈∧	4	∃αY
␈β	:␈↓ π≠␈ε¬3
␈β	<␈↓ ε*␈εα(␈↓ ε6␈ελk␈↓ εP␈εα+␈↓ ε|␈ελx␈↓ π∂␈εα)␈↓ π)␈εα(␈↓ π5␈ελk␈↓ πO␈εα+␈αλ1␈αλ+␈↓ λA␈ελx␈↓ λT␈εα)␈↓ 	∃␈ελk␈↓ 	/␈εα+␈↓ 	[␈ελx
␈β

␈↓ α␈εαWhat␈αis␈αthe␈αrelevance␈αof␈αall␈αthis␈αto␈αour␈αproblem?␈αWell,␈αif␈αw␈α␈e␈αset
␈β
7␈↓ πx␈ε↓␈␈↓ 	∪␈ε↓↓
␈β
V␈↓ ¬∧␈ελF␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬←␈εα=␈↓ ε
␈εαlg␈↓ ε)␈εα(1␈αλ+␈↓ ε{␈ελx␈↓ π
␈εα)␈αλ+␈↓ πM␈ελR␈↓ λε␈εαlg␈↓ λ"␈εα(1␈αλ+␈↓ λt␈ελx␈↓ 	π␈εα)␈↓ 	!␈εα,␈↓ 
p␈εα(30)
␈β
d␈↓ ¬_␈εn␈↓ πf␈εn
␈β¬␈↓ εK␈ε↓␈␈↓ πJ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓↓␈↓ λr␈ε↓↓
␈β∞␈↓ ε#␈εα1
␈β∨␈↓ ¬≥␈ε→0␈↓ π8␈ε→0
␈β%␈↓ β
␈ελf␈↓ β*␈εα(␈↓ β6␈ελx␈↓ βI␈εα)␈α
=␈α
(1␈αλ+␈↓ ∧←␈ελx␈↓ ∧q␈εα)␈↓ ¬β␈ελF␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬←␈εα=␈↓ εY␈εα1␈αλ+␈↓ π∨␈ελR␈↓ πX␈εαlg␈↓ πt␈εα(1␈αλ+␈↓ λF␈ελx␈↓ λX␈εα)␈↓ 	␈εα,␈↓ 
p␈εα(31)
␈β2␈↓ β_␈εn
␈β5␈↓ ε⊃␈∧5ε⊃α6
␈β7␈↓ ¬_␈εn␈↓ π8␈εn
␈β=␈↓ ε⊃␈εαln␈↓ ε5␈εα2
␈βz␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β¬␈↓ ¬9␈ε↓␈␈↓ εT␈ε↓↓␈↓ εt␈ε↓␈␈↓ λO␈ε↓↓
␈β∨␈↓ ∧≡␈ε→0␈↓ ¬'␈ε→00␈↓ πP␈ε¬2
␈β%␈↓ ∧
␈ελf␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελx␈↓ ∧J␈εα)␈α
=␈↓ ¬∞␈ελR␈↓ ¬G␈εαlg␈↓ ¬c␈εα(1␈αλ+␈↓ ε5␈ελx␈↓ εH␈εα)␈↓ εb␈εα/␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈εαln␈↓ π2␈εα2␈↓ πD␈εα)␈↓ π↑␈εα(1␈αλ+␈↓ λ0␈ελx␈↓ λC␈εα)␈↓ λ]␈εα;␈↓ 
p␈εα(32)
␈β7␈↓ ∧→␈εn␈↓ ¬'␈εn
␈βd␈↓ ↓H␈εαthe␈α
e{ect␈αof␈αthe␈↓ βH␈εαlg␈↓ βd␈εα(1␈αε+␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈αterm␈αdisappears,␈αafter␈α
these␈αtransformations.␈αFurther-
␈β
␈↓ βr␈εn␈↓ ε0␈εn␈↓ πA␈ε→0␈↓ λW␈εn␈↓ 	ε␈εn␈↓ 	*␈ε→0
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαmore␈α
since␈↓ α{␈ελF␈↓ β-␈εα=␈↓ β\␈ελS␈↓ ∧∧␈ελF␈↓ ∧4␈εαw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ ¬?␈ελf␈↓ ¬h␈εα=␈↓ ε↔␈ελT␈↓ εB␈ελf␈↓ εi␈εαand␈↓ π0␈ελf␈↓ πY␈εα=␈α(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λK␈εα)␈↓ λi␈ελU␈↓ 	_␈ελf␈↓ 	8␈εα,␈α
and␈↓ 
⊗␈ελF␈↓ 
I␈εαand␈↓ ⊂␈ελf
␈β
≥␈↓ β∂␈εn␈↓ ∧_␈ε¬0␈↓ ¬J␈εn␈↓ εM␈ε¬0␈↓ 
*␈εn␈↓ ≠␈εn
␈β
!␈↓ π<␈εn␈↓ 	*␈ε¬0
␈β
;␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αbounded␈αderivativ␈α␈es,␈αby␈αinduction␈αon␈↓ εv␈ελn␈↓ π␈εα.␈αTh␈α␈us␈α(32)␈αbecomes
␈β
f␈↓ ∧f␈ε↓␈␈↓ ε↓␈ε↓↓
␈β∞␈↓ ∧*␈εn␈↓ ∧U␈ε→00␈↓ λε␈ε¬2␈↓ λ2␈εn␈↓ λU␈ε→0
␈β∞ε␈↓ β\␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ∧≡␈εα)␈↓ ∧<␈ελR␈↓ ∧t␈εαlg␈↓ ¬⊂␈εα(1␈αλ+␈↓ ¬b␈ελx␈↓ ¬u␈εα)␈↓ ε→␈εα=␈α
(1␈αλ+␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)(␈↓ πD␈εαln␈↓ πh␈εα2␈↓ πz␈εα)␈↓ λ∀␈ελU␈↓ λD␈ελf␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	α␈εα).␈↓ 
p␈εα(33)
␈β∞_␈↓ ∧U␈εn␈↓ λU␈ε¬0
␈β∞L␈↓ ε2␈ε→0
␈β∞Q␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈↓ α≡␈ελF␈↓ α@␈εα(␈↓ αL␈ελx␈↓ α←␈εα)␈α∂=␈↓ β-␈ελx␈↓ β@␈εα,␈↓ βZ␈ελf␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∩␈εα)␈α⊂=␈α∂1␈α
+␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα,␈α⊂and␈↓ ε!␈ελf␈↓ ε@␈εα(␈↓ εL␈ελx␈↓ ε←␈εα)␈α∂is␈α∂the␈α⊂constan␈α␈t␈α∂function␈α∂1.␈α∃We␈α∂are
␈β∞↑␈↓ α2␈ε¬0␈↓ βe␈ε¬0
␈β∞c␈↓ ε2␈ε¬0
␈β∞w␈↓ ¬i␈εn
␈β∞|␈↓ ↓H␈εαgoing␈αto␈αsho␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
operator␈↓ ¬K␈ελU␈↓ επ␈εαtak␈α␈es␈αthe␈α
constan␈α␈t␈αfunction␈α
in␈α␈to␈αa␈αfunction
␈β∂"␈↓ ¬C␈ε→00
␈β∂'␈↓ ↓H␈εαwith␈αv␈α␈ery␈αsmall␈αvalues,␈αhence␈ε⊗␈αj␈↓ ¬*␈ελR␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈ε⊗j␈εα␈αm␈α␈ust␈αbe␈αv␈α␈ery␈αsmall␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	g␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈αFinally
␈β∂9␈↓ ¬C␈εn
␈β∂S␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αclinch␈αthe␈αargumen␈α␈t␈αby␈αsho␈α␈wing␈αthat␈↓ π
␈ελR␈↓ π5␈εα(␈↓ πA␈ελx␈↓ πS␈εα)␈αitself␈αis␈αsmall:␈αSince␈↓ 
*␈ελR␈↓ 
T␈εα(0)␈α
=
␈β∂`␈↓ π#␈εn␈↓ 
C␈εn
␈β∂}␈↓ ↓H␈ελR␈↓ ↓s␈εα(1)␈α
=␈α
1,␈α
it␈α
follo␈α␈ws␈α
from␈α
a␈α
w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α
in␈α␈terpolation␈α
form␈α␈ula␈α
(cf.␈α	ex␈α␈ercise␈α
4.6.4↑
␈β⊂␈↓ ↓a␈εn
␈β⊂)␈↓ ↓H␈εα15␈αwith␈↓ αJ␈ελx␈↓ αs␈εα=␈α
0,␈↓ βI␈ελx␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελx␈↓ ∧2␈εα,␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧q␈εα=␈α
1)␈αthat
␈β⊂6␈↓ αZ␈ε¬0␈↓ βY␈ε¬1␈↓ ∧Y␈ε¬2
␈β⊂k␈↓ πH␈ε↓␈␈↓ λ∩␈ε↓↓
␈β⊂p␈↓ ε⊂␈ελx␈↓ ε"␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εt␈ελx␈↓ ππ␈εα)
␈β⊃¬␈↓ π6␈ε→00
␈β⊃␈↓ ∧T␈ελR␈↓ ∧␈␈εα(␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬≡␈εα)␈α
=␈ε⊗␈α
␈␈↓ π≥␈ελR␈↓ πV␈ελ_␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελx␈↓ λε␈εα)␈↓ 
p␈εα(34)
␈β⊃_␈↓ ∧m␈εn
␈β⊃≠␈↓ ε⊂␈∧⊃≠ε⊂α↓∧
␈β⊃≥␈↓ π6␈εn
␈β⊃#␈↓ εH␈εα2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα345
␈βα&␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈αfunction␈↓ βh␈ελ_␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελx␈↓ ∧_␈εα),␈αwhere␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬l␈ελ_␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε≤␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
1␈αwhen␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ&␈ελx␈↓ λB␈ε⊗∀␈εα␈α
1.
␈βαL␈↓ 	%␈εn
␈βαR␈↓ α␈εαTh␈α␈us␈α
ev␈α␈erything␈αhinges␈α
on␈αour␈α
being␈αable␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈↓ 	λ␈ελU␈↓ 	D␈εαproduces␈αsmall
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαfunction␈α
values,␈α∞where␈↓ ∧:␈ελU␈↓ ∧e␈εαis␈α∞the␈α
linear␈α∞operator␈α
de|ned␈α∞in␈α
(29).␈α⊂Note␈α∞that␈↓ 
i␈ελU␈↓ ∀␈εαis
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈α
positiv␈α␈e␈εα␈α
operator,␈α
in␈α
the␈α
sense␈α
that␈↓ ε≡␈ελU␈↓ ε<␈ελ⎇␈↓ εS␈εα(␈↓ ε←␈ελx␈↓ εr␈εα)␈ε⊗␈α∃␈εα␈α0␈α
for␈α
all␈↓ λD␈ελx␈↓ λd␈εαif␈↓ 	π␈ελ⎇␈↓ 	≡␈εα(␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	=␈εα)␈ε⊗␈α∃␈εα␈α0␈α
for␈α
all␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα.
␈ββS␈↓ ↓H␈εαIt␈α
follo␈α␈ws␈α∞that␈↓ β7␈ελU␈↓ βb␈εαis␈α∞order-preserving:␈α∞If␈↓ εF␈ελ⎇␈↓ εj␈εα(␈↓ εv␈ελx␈↓ π	␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ πR␈ελ⎇␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελx␈↓ λ∃␈εα)␈α∞for␈α
all␈↓ 	≠␈ελx␈↓ 	<␈εαthen␈↓ 
∂␈ελU␈↓ 
-␈ελ⎇␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελx␈↓ 
p␈εα)␈ε⊗␈α∀
␈ββa␈↓ ε\␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬2␈↓ 
C␈ε¬1
␈ββ}␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓e␈ελ⎇␈↓ α
␈εα(␈↓ α⊗␈ελx␈↓ α(␈εα)␈αfor␈αall␈↓ β*␈ελx␈↓ β=␈εα.
␈β∧␈↓ ↓{␈ε¬2
␈β∧*␈↓ α␈εαOne␈α∞way␈α
to␈α∞exploit␈α
this␈α∞property␈α∞is␈α
to␈α∞|nd␈α∞a␈α
function␈↓ λx␈ελ⎇␈↓ 	≥␈εαfor␈α
which␈α∞w␈α␈e␈α
can
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαcalculate␈↓ α\␈ελU␈↓ αz␈ελ⎇␈↓ β≠␈εαexactly␈α
and␈αto␈α
use␈α
constan␈α␈t␈αm␈α␈ultiples␈α
of␈α
this␈αfunction␈α
to␈α
bound␈α
the
␈β¬␈↓ ↓H␈εαones␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αreally␈αin␈α␈terested␈αin.␈αFirst␈αlet␈αus␈αlook␈αfor␈αa␈αfunction␈↓ 	|␈ελg␈↓ 
→␈εαsuch␈αthat
␈β¬+␈↓ ↓H␈ελT␈↓ ↓a␈ελg␈↓ ↓}␈εαis␈αeasy␈αto␈αcompute.␈αIf␈αw␈α␈e␈αconsider␈αfunctions␈αde|ned␈αfor␈αall␈↓ 	 ␈ελx␈↓ 	=␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αinstead␈αof
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαonly␈αon␈α[0,␈αε1],␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αremo␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αsummation␈αfrom␈α(25)␈αby␈αobserving␈αthat
␈βε)␈↓ ∧E␈ε↓∩␈↓ ¬<␈ε↓∪␈↓ εk␈ε↓∩␈↓ πa␈ε↓∪␈↓ λK␈ε↓∩␈↓ 	A␈ε↓∪
␈βε,␈↓ ¬α␈εα1␈↓ π(␈εα1␈↓ 	λ␈εα1
␈βεC␈↓ ↓H␈ελS␈↓ ↓↑␈ελG␈↓ ↓y␈εα(␈↓ α¬␈ελx␈↓ α≡␈εα+␈αε1)␈ε⊗␈αε␈␈↓ β∃␈ελS␈↓ β,␈ελG␈↓ βG␈εα(␈↓ βS␈ελx␈↓ βf␈εα)␈α
=␈↓ ∧*␈ελG␈↓ ¬X␈ε⊗␈␈↓ ε
␈εαlim␈↓ εP␈ελG␈↓ λ↓␈εα=␈↓ λ/␈ελG␈↓ 	]␈ε⊗␈␈↓ 
π␈ελG␈↓ 
"␈εα(0)␈↓ 
p␈εα(35)
␈βεS␈↓ ∧←␈∧εS∧←αY␈↓ π¬␈∧εSπ¬αY␈↓ λe␈∧εSλeαY
␈βε[␈↓ ∧←␈εα1␈αλ+␈↓ ¬%␈ελx␈↓ π¬␈ελk␈↓ π∨␈εα+␈↓ πK␈ελx␈↓ λe␈εα1␈αλ+␈↓ 	+␈ελx
␈βεd␈↓ ε↓␈εk␈↓ ε⊂␈ε→!1
␈βπ ␈↓ ¬ ␈ε↓␈␈↓ ε>␈ε↓↓
␈βπ:␈↓ ε7␈ε→0␈↓ λ:␈ε→0
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α$␈ελG␈↓ αJ␈εαis␈αcon␈α␈tin␈α␈uous.␈αSince␈↓ ¬π␈ελT␈↓ ¬.␈εα(1␈αε+␈↓ ¬⎇␈ελx␈↓ ε∂␈εα)␈↓ ε≠␈ελG␈↓ εV␈εα=␈α
(1␈αε+␈↓ πR␈ελx␈↓ πe␈εα)(␈↓ π⎇␈ελS␈↓ λ∪␈ελG␈↓ λ.␈εα)␈↓ λB␈εα,␈αit␈α
follo␈α␈ws␈α(see␈α
ex␈α␈ercise
␈βπk␈↓ ↓H␈εα20)␈αthat
␈βλ∪␈↓ β#␈ελT␈↓ β<␈ελg␈↓ βN␈εα(␈↓ βZ␈ελx␈↓ βl␈εα)␈↓ ∧6␈ελT␈↓ ∧O␈ελg␈↓ ∧`␈εα(␈↓ ∧l␈ελx␈↓ ¬π␈εα+␈αλ1)␈↓ ε
␈ε↓∩␈↓ λ→␈ε↓∪␈↓ λ@␈ε↓∩␈↓ 	7␈ε↓∪
␈βλ⊗␈↓ εK␈εα1␈↓ π←␈εα1␈↓ λ⎇␈εα1
␈βλ-␈↓ ∧ε␈ε⊗␈␈↓ ¬←␈εα=␈↓ π␈ε⊗␈␈↓ λ/␈ελg␈↓ 	M␈εα.␈↓ 
p␈εα(36)
␈βλ=␈↓ β!␈∧λ=β!αY␈↓ ∧6␈∧λ=∧6α↓≤␈↓ ε'␈∧λ=ε'αY␈↓ π<␈∧λ=π<αY␈↓ λZ␈∧λ=λZαY
␈βλE␈↓ β!␈ελx␈↓ β<␈εα+␈αλ1␈↓ ∧W␈ελx␈↓ ∧r␈εα+␈αλ2␈↓ ε'␈ελx␈↓ εB␈εα+␈αλ1␈↓ π<␈ελx␈↓ πW␈εα+␈αλ2␈↓ λZ␈εα1␈αλ+␈↓ 	 ␈ελx
␈β	π␈↓ ↓H␈εαIf␈α⊂w␈α␈e␈α⊂set␈↓ αe␈ελT␈↓ α}␈ελg␈↓ β∂␈εα(␈↓ β≠␈ελx␈↓ β.␈εα)␈α⊂=␈α⊃1/(␈↓ ∧/␈ελx␈↓ ∧L␈εα+␈α1),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|nd␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂corresponding␈α⊂value␈α⊂of␈↓ 
I␈ελg␈↓ 
Z␈εα(␈↓ 
f␈ελx␈↓ 
x␈εα)␈α⊂is
␈β	.␈↓ εα␈ε→0␈↓ λf␈ε¬2
␈β	3␈↓ ↓H␈εα1␈αλ+␈↓ α∞␈ελx␈↓ α,␈ε⊗␈␈εα␈α1/(1␈α+␈↓ βY␈ελx␈↓ βk␈εα).␈α≤Let␈↓ ∧e␈ελ⎇␈↓ ∧|␈εα(␈↓ ¬λ␈ελx␈↓ ¬≠␈εα)␈α∪=␈↓ ¬p␈ελg␈↓ ε	␈εα(␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε(␈εα)␈α∩=␈α∪1␈α+␈α1/(1␈α+␈↓ λG␈ελx␈↓ λZ␈εα)␈↓ λu␈εα,␈α∩so␈α∩that␈↓ 
⊗␈ελU␈↓ 
4␈ελ⎇␈↓ 
K␈εα(␈↓ 
W␈ελx␈↓ 
j␈εα)␈α∩=
␈β	Y␈↓ α.␈ε→0␈↓ ∧-␈ε¬2
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈εα(␈↓ ↓x␈ελT␈↓ α⊃␈ελg␈↓ α"␈εα)␈↓ α5␈εα(␈↓ αA␈ελx␈↓ αT␈εα)␈α
=␈α
1/(1␈αλ+␈↓ ∧∞␈ελx␈↓ ∧!␈εα)␈↓ ∧;␈εα;␈αthis␈αis␈αthe␈αfunction␈↓ ππ␈ελ⎇␈↓ π*␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αlooking␈αfor.
␈β
∧␈↓ 	>␈ε¬2
␈β
	␈↓ α␈εαFor␈α⊂this␈α⊂choice␈α⊃of␈↓ ∧=␈ελ⎇␈↓ ∧d␈εαw␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈α⊃2␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ εN␈ελ⎇␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελx␈↓ π∧␈εα)/␈↓ π"␈ελU␈↓ π@␈ελ⎇␈↓ πW␈εα(␈↓ πc␈ελx␈↓ πv␈εα)␈α⊃=␈α⊃(1␈α+␈↓ 	 ␈ελx␈↓ 	2␈εα)␈↓ 	X␈εα+␈α
1␈ε⊗␈α⊃∀␈εα␈α⊃5␈α⊂for
␈β
4␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελx␈↓ α.␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈αhence
␈β
]␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ π␈ε¬1
␈β
`␈↓ ¬K␈ελ⎇␈↓ ¬m␈ε⊗∀␈↓ ε≠␈ελU␈↓ ε8␈ελ⎇␈↓ εY␈ε⊗∀␈↓ π≡␈ελ⎇␈↓ π5␈εα.
␈β
p␈↓ ¬9␈∧
p¬9α∂␈↓ π␈∧
pπα∂
␈β
s␈↓ ¬9␈ε¬5␈↓ π␈ε¬2
␈β%␈↓ ↓H␈εαBy␈αthe␈αpositivity␈αof␈↓ ∧ε␈ελU␈↓ ∧/␈εαand␈↓ ∧t␈ελ⎇␈↓ ¬↔␈εαw␈α␈e␈αcan␈αapply␈↓ εo␈ελU␈↓ π_␈εαto␈αthis␈αinequality␈αagain,␈αobtaining
␈βK␈↓ β]␈ε¬2
␈βM␈↓ ↓S␈ε¬1␈↓ α@␈ε¬1␈↓ ∧>␈ε¬1␈↓ ¬B␈ε¬1
␈βP␈↓ ↓l␈ελ⎇␈↓ α∞␈ε⊗∀␈↓ αR␈ελU␈↓ αp␈ελ⎇␈↓ β⊃␈ε⊗∀␈↓ β?␈ελU␈↓ βk␈ελ⎇␈↓ ∧␈ε⊗∀␈↓ ∧Q␈ελU␈↓ ∧n␈ελ⎇␈↓ ¬⊂␈ε⊗∀␈↓ ¬T␈ελ⎇␈↓ ¬k␈εα;␈αand␈αafter␈↓ π≥␈ελn␈↓ π;␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αapplications␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β`␈↓ ↓L␈∧`↓Lα≥␈↓ α@␈∧`α@α∂␈↓ ∧>␈∧`∧>α∂␈↓ ¬B␈∧`¬Bα∂
␈βc␈↓ ↓L␈ε¬25␈↓ α@␈ε¬5␈↓ ∧>␈ε¬2␈↓ ¬B␈ε¬4
␈β!␈↓ ¬→␈ε→␈␈↓ ¬5␈εn␈↓ ε4␈εn␈↓ π'␈ε→␈␈↓ πD␈εn
␈β'␈↓ ¬π␈εα5␈↓ ¬G␈ελ⎇␈↓ ¬i␈ε⊗∀␈↓ ε↔␈ελU␈↓ εF␈ελ⎇␈↓ εg␈ε⊗∀␈↓ π∃␈εα2␈↓ πV␈ελ⎇␈↓ 
p␈εα(37)
␈βx␈↓ ¬x␈ε→0
␈β}␈↓ ↓H␈εαfor␈α
this␈α∞particular␈↓ βq␈ελ⎇␈↓ ∧λ␈εα.␈α⊃Let␈↓ ∧g␈ελ∨␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≥␈εα)␈α=␈↓ ¬f␈ελf␈↓ εε␈εα(␈↓ ε∩␈ελx␈↓ ε%␈εα)␈α
=␈α1␈α∞be␈α∞the␈α
constan␈α␈t␈α∞function;␈α∂then␈α
for
␈β
∂␈↓ ¬x␈ε¬0
␈β
%␈↓ ∧λ␈ε¬5
␈β
)␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελx␈↓ α.␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ ∧≠␈ελ∨␈↓ ∧<␈ε⊗∀␈↓ ∧j␈ελ⎇␈↓ ¬␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ ¬K␈ελ∨␈↓ ¬b␈εα,␈αhence
␈β
9␈↓ ∧λ␈∧
9∧λα∂
␈β
<␈↓ ∧λ␈ε¬4
␈β
z␈↓ αX␈ε→␈␈↓ αu␈εn␈↓ β␈␈ε→␈␈↓ ∧≠␈εn␈↓ ¬1␈εn␈↓ ε/␈εn␈↓ πD␈εn␈↓ λN␈ε→␈␈↓ λk␈εn␈↓ 	t␈ε→␈␈↓ 
⊃␈εn
␈β
|␈↓ α4␈ε¬5␈↓ βZ␈ε¬1␈↓ ¬↓␈ε¬1␈↓ π∀␈ε¬4␈↓ λ*␈ε¬4␈↓ 	P␈ε¬8
␈β∞␈↓ αF␈εα5␈↓ βπ␈ελ∨␈↓ β(␈ε⊗∀␈↓ βm␈εα5␈↓ ∧-␈ελ⎇␈↓ ∧O␈ε⊗∀␈↓ ¬∪␈ελU␈↓ ¬C␈ελ⎇␈↓ ¬d␈ε⊗∀␈↓ ε∩␈ελU␈↓ εA␈ελ∨␈↓ εb␈ε⊗∀␈↓ π'␈ελU␈↓ πV␈ελ⎇␈↓ πx␈ε⊗∀␈↓ λ<␈εα2␈↓ λ⎇␈ελ⎇␈↓ 	≡␈ε⊗∀␈↓ 	b␈εα2␈↓ 
#␈ελ∨␈↓ 
:␈εα.
␈β∞⊂␈↓ α4␈∧∞⊂α4α∂␈↓ βZ␈∧∞⊂βZα∂␈↓ ¬↓␈∧∞⊂¬↓α∂␈↓ π∀␈∧∞⊂π∀α∂␈↓ λ*␈∧∞⊂λ*α∂␈↓ 	P␈∧∞⊂	Pα∂
␈β∞∩␈↓ α4␈ε¬8␈↓ βZ␈ε¬2␈↓ ¬↓␈ε¬2␈↓ π∀␈ε¬5␈↓ λ*␈ε¬5␈↓ 	P␈ε¬5
␈β∞V␈↓ ↓H␈εαIt␈αfollo␈α␈ws␈αby␈α(33)␈αthat
␈β∂'␈↓ βM␈ε¬2␈↓ βm␈ε→␈␈↓ ∧
␈εn␈↓ ¬"␈εn␈↓ ¬M␈ε→00␈↓ π4␈ε¬2␈↓ πT␈ε→␈␈↓ πq␈εn
␈β∂*␈↓ αl␈ε¬5␈↓ εE␈ε¬1␈α↓6
␈β∂-␈↓ α␈␈εα(␈↓ β␈εαln␈↓ β/␈εα2␈↓ βA␈εα)␈↓ β[␈εα5␈↓ ∧&␈ε⊗∀␈εα␈α
(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬⊗␈εα)␈↓ ¬4␈ελR␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈εαln␈↓ π⊗␈εα2␈↓ π(␈εα)␈↓ πB␈εα2␈↓ λβ␈εα,␈↓ λ[0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	%␈ελx␈↓ 	B␈ε⊗∀␈εα␈α
1,
␈β∂=␈↓ αl␈∧∂=αlα∂␈↓ εE␈∧∂=εEα≥
␈β∂?␈↓ ¬M␈εn
␈β∂@␈↓ αl␈ε¬8␈↓ εL␈ε¬5
␈β⊂∧␈↓ ↓H␈εαhence␈αby␈α(30)␈αand␈α(34)␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αresult:
␈β⊂A␈↓ ε↔␈ε→␈␈↓ ε4␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
W.␈↓ β ␈ελF␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελx␈↓ βe␈εα)␈α
=␈↓ ∧)␈εαlg␈↓ ∧E␈εα(1␈α¬+␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬$␈εα)␈αε+␈↓ ¬←␈ελO␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈εα2␈↓ εF␈εα).␈ε∂␈αIn␈α
fact,␈↓ πb␈ελF␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ&␈εα)␈ε⊗␈αε␈␈↓ λa␈εαlg␈↓ λ⎇␈εα(1␈α¬+␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	\␈εα)␈ε∂␈α
lies␈α
bet␈α␈w␈α␈een
␈β⊂Q␈↓ β8␈ε↓␈␈↓ ∧F␈ε↓↓␈↓ ∧T␈ε↓␈␈↓ ε␈ε↓↓␈↓ λB␈ε↓␈␈↓ 	O␈ε↓↓␈↓ 	]␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β⊂S␈↓ β4␈εn␈↓ πv␈εn
␈β⊂l␈↓ α:␈εn␈↓ αL␈ε¬+1␈↓ β
␈ε→␈␈↓ β&␈εn␈↓ πD␈εn␈↓ πV␈ε¬+1␈↓ λ∪␈ε→␈␈↓ λ0␈εn
␈β⊂n␈↓ ↓S␈ε¬5␈↓ εd␈ε¬8
␈β⊂q␈↓ ↓l␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ α.␈εα)␈↓ αx␈εα5␈↓ βF␈εαln␈↓ βd␈εα(1␈α↓+␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧:␈εα)␈↓ ∧b␈εαln␈↓ ¬ε␈εα2/(1+␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ¬␈␈εα)␈↓ ε∨␈ε∂and␈↓ εv␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ π8␈εα)␈↓ λ↓␈εα2␈↓ λP␈εαln␈↓ λn␈εα(1+␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈↓ 	k␈εαln␈↓ 
∂␈εα2/(1+␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈ε∂,
␈β⊃↓␈↓ ↓L␈∧⊃↓↓Lα≥␈↓ εd␈∧⊃↓εdα∂
␈β⊃∧␈↓ ↓L␈ε¬16␈↓ εd␈ε¬5
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ε∂for␈εα␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ αJ␈ελx␈↓ αf␈ε⊗∀␈εα␈α
1.
␈β⊃!␈↓ βX␈∧⊃!βX≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα346␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα&␈↓ α␈εαWith␈απa␈απsligh␈α␈tly␈απdi{eren␈α␈t␈αεchoice␈απof␈↓ ε␈ελ⎇␈↓ ε"␈εα,␈αλw␈α␈e␈απcan␈απobtain␈απtigh␈α␈ter␈απbounds␈απ(see␈αεex␈α␈ercise
␈βαQ␈↓ ↓H␈εα21).␈αIn␈αfact,␈αWirsing␈αw␈α␈en␈α␈t␈αm␈α␈uch␈αfurther␈αin␈αhis␈αpaper,␈αpro␈α␈ving␈αthat
␈ββ∩␈↓ π#␈ε↓␈␈↓ 	z␈ε↓↓
␈ββ,␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ 	h␈εn
␈ββ2␈↓ αb␈ελF␈↓ βλ␈εα(␈↓ β∀␈ελx␈↓ β'␈εα)␈α
=␈↓ βk␈εαlg␈↓ ∧π␈εα(1␈αλ+␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ∧l␈εα)␈αλ+␈αλ(␈ε⊗␈␈↓ ¬\␈ελ∃␈↓ ¬q␈εα)␈↓ ε∂␈εα␈	(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εI␈εα)␈αλ+␈↓ π	␈ελO␈↓ π1␈ελx␈↓ πD␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ)␈εα)(␈↓ λA␈ελ∃␈↓ λ↑␈ε⊗␈␈εα␈αλ0.031␈↓ 	\␈εα)␈↓ 
λ␈εα,␈↓ 
p␈εα(38)
␈ββ?␈↓ αv␈εn
␈β∧∩␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∧9␈↓ α{␈ελ∃␈↓ β~␈εα=␈α
0.30366␈αλ30028␈αλ98732␈αλ65860␈↓ εl␈εα.␈αε.␈αε.
␈β∧U␈↓ 
p␈εα(39)
␈β∧o␈↓ β~␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα3,␈αε3,␈αε2,␈αε2,␈αε3,␈αε13,␈αε1,␈αε174,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε1,␈↓ 	8␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	h␈ε⊗?
␈β¬:␈↓ ↓H␈εαis␈α	a␈α	fundamen␈α␈tal␈α	constan␈α␈t␈α
(apparen␈α␈tly␈α	unrelated␈α	to␈α	more␈α	familiar␈α
constan␈α␈ts),␈α	and
␈β¬e␈↓ ↓H␈εαwhere␈α
␈	␈α∞is␈α
an␈α∞in␈α␈teresting␈α∞function␈α
that␈α∞is␈α
analytic␈α∞in␈α∞the␈α
en␈α␈tire␈α∞complex␈α
plane
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈α
for␈α∞the␈α∞negativ␈α␈e␈α∞real␈α
axis␈α∞from␈ε⊗␈α∞␈␈εα1␈α∞to␈ε⊗␈α∞␈1␈εα.␈α⊃Wirsing's␈α∞function␈α
satis|es
␈βε6␈↓ ∧β␈ε→0
␈βε;␈↓ ↓H␈εα␈	(0)␈α
=␈α
␈	(1)␈α
=␈α
0,␈↓ βg␈εα␈	␈↓ ∧
␈εα(0)␈α
<␈α
0,␈αλand␈↓ ¬P␈ελS␈↓ ¬g␈εα␈	␈α
=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ε←␈ελ∃␈↓ εt␈εα␈	;␈αλth␈α␈us␈αεby␈απ(35)␈αεit␈απsatis|es␈αεthe␈αεiden␈α␈tity
␈βπ↔␈↓ π)␈ε↓∩␈↓ λ≤␈ε↓∪
␈βπ~␈↓ εv␈εα1␈↓ πe␈εα1
␈βπ1␈↓ ∧8␈εα␈	(␈↓ ∧`␈ελz␈↓ ∧o␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ␈	(␈↓ ¬W␈ελz␈↓ ¬n␈εα+␈αλ1)␈α
=␈↓ π
␈εα␈	␈↓ λ2␈εα.␈↓ 
p␈εα(40)
␈βπA␈↓ εt␈∧πAεtα∃␈↓ πC␈∧πAπCαV
␈βπJ␈↓ εt␈ελ∃␈↓ πC␈εα1␈αλ+␈↓ λ	␈ελz
␈βλ%␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈αWirsing␈αdemonstrated␈αthat
␈βλ␈␈↓ β6␈ε↓∩␈↓ ∧k␈ε↓∪
␈β	α␈↓ βt␈ελu␈↓ ∧O␈ελi
␈β	∪␈↓ ¬\␈ε→␈␈↓ ¬y␈εn
␈β	→␈↓ β~␈εα␈	␈↓ βL␈ε⊗␈␈↓ ∧∃␈εα+␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬9␈ελc␈↓ ¬G␈ελ∃␈↓ ε⊃␈εαlog␈↓ εE␈ελN␈↓ εo␈εα+␈↓ π≠␈ελO␈↓ π5␈εα(1)␈↓ λ'␈εαas␈↓ λS␈ελN␈↓ λ}␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈↓ 
p␈εα(41)
␈β	)␈↓ βt␈∧	)βtα⊗␈↓ ∧E␈∧	)∧Eα"
␈β	2␈↓ βu␈ελv␈↓ ∧E␈ελN
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελc␈↓ αJ␈εαis␈αa␈αconstan␈α␈t␈αand␈↓ ∧b␈ελn␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ¬0␈ελT␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελu␈↓ ¬k␈εα,␈↓ ¬{␈ελv␈↓ ε
␈εα)␈αis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations␈αwhen␈αEuclid's
␈β
:␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αis␈αapplied␈αto␈αthe␈αin␈α␈tegers␈↓ ¬⎇␈ελu␈↓ ε≤␈εα>␈↓ εJ␈ελv␈↓ εg␈εα>␈α
0.
␈β
i␈↓ α␈εαA␈α
complete␈αsolution␈α
to␈α
Gauss's␈α
problem␈α
was␈αfound␈α
a␈α
few␈α
y␈α␈ears␈αlater␈α
by␈α
K.␈α
I.
␈β∀␈↓ ↓H␈εαBabenk␈α␈o␈α	[␈ε∂Doklady␈α
Akad.␈α	Nauk␈α
SSSR␈ε∩␈α
238␈εα␈α	(1978),␈α
1021↑1024],␈α
who␈α
used␈α	po␈α␈w␈α␈erful
␈β?␈↓ ↓H␈εαtechniques␈αof␈αfunctional␈αanalysis␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat
␈β⎇␈↓ π↓␈ε↓X
␈β~␈↓ πS␈εn
␈β ␈↓ ∧6␈ελF␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ∧h␈ελx␈↓ ∧z␈εα)␈α
=␈↓ ¬>␈εαlg␈↓ ¬Z␈εα(1␈αλ+␈↓ ε,␈ελx␈↓ ε?␈εα)␈αλ+␈↓ π>␈ελ∃␈↓ πj␈εα␈	␈↓ λ∀␈εα(␈↓ λ ␈ελx␈↓ λ2␈εα)␈↓ 
p␈εα(42)
␈β-␈↓ ∧J␈εn␈↓ λε␈εj
␈β2␈↓ πS␈εj
␈βQ␈↓ ε␈␈εj␈↓ π␈ε→∃␈ε¬2
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞all␈α∂0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ β
␈ελx␈↓ β,␈ε⊗∀␈εα␈α∞1,␈↓ ∧
␈ελn␈↓ ∧.␈ε⊗∃␈εα␈α∂1.␈α∀Here␈ε⊗␈α∂j␈↓ ¬r␈ελ∃␈↓ ε∀␈ε⊗j␈εα␈α∂>␈ε⊗␈α∞j␈↓ εi␈ελ∃␈↓ π␈ε⊗j␈α∞∃␈α∂j␈↓ πa␈ελ∃␈↓ λβ␈ε⊗j␈α∂∃␈↓ λN␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ}␈εα,␈α⊂and␈α∂each␈↓ 
5␈εα␈	␈↓ 
←␈εα(␈↓ 
k␈ελz␈↓ 
z␈εα)␈α∞is
␈β
!␈↓ εε␈ε¬2␈↓ ε⎇␈ε¬3␈↓ πu␈ε¬4␈↓ 
Q␈εj
␈β
?␈↓ ↓H␈εαan␈α∞analytic␈α∞function␈α∞in␈α∞the␈α∞complex␈α∞plane␈α∞ex␈α␈cept␈α∞for␈α∞a␈α∞cut␈α
at␈α∞[␈ε⊗␈1␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα1].␈α∩The
␈β
j␈↓ ↓H␈εαfunction␈↓ αY␈εα␈	␈↓ β∀␈εαis␈α∂Wirsing's␈α⊂␈	,␈α⊃and␈↓ ¬]␈ελ∃␈↓ ε⊂␈εα=␈ε⊗␈α⊂␈␈↓ εh␈ελ∃␈↓ ε⎇␈εα,␈α⊃while␈↓ πz␈ελ∃␈↓ λ,␈εα=␈α⊂0.2???.␈α_Babenk␈α␈o␈α∂also
␈β
x␈↓ αu␈ε¬2␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ λ∞␈ε¬3
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈εαestablished␈α
further␈α∞properties␈α∞of␈α
the␈↓ ε∩␈ελ∃␈↓ ε3␈εα,␈α∞pro␈α␈ving␈α∞in␈α∞particular␈α
that␈α∞the␈α∞sum␈α
for
␈β∞#␈↓ ε&␈εj
␈β∞<␈↓ ¬*␈ε¬2␈↓ ε∨␈εn␈↓ ε1␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞A␈↓ ↓H␈ελj␈↓ ↓b␈ε⊗∃␈↓ α⊂␈ελk␈↓ α.␈εαin␈α(42)␈αis␈αbounded␈αby␈α(␈↓ ¬⊗␈ελ→␈↓ ¬8␈εα/6)␈ε⊗j␈↓ ¬r␈ελ∃␈↓ ε∃␈ε⊗j␈↓ εb␈εαmin␈↓ π≡␈εα(␈↓ π*␈ελx␈↓ π=␈εα,␈αε1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ%␈εα).
␈β∞N␈↓ εε␈εk
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε∩From␈α	con␈α␈tin␈α␈uous␈α
to␈α
discrete.␈εα␈α∀We␈α
hav␈α␈e␈α	no␈α␈w␈α
deriv␈α␈ed␈α
results␈α
about␈α
the␈α	probability
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαdistributions␈α⊂for␈α⊃con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊃fractions␈α⊂when␈↓ ε␈␈ελX␈↓ π-␈εαis␈α⊃a␈α⊃real␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃uniformly␈α⊂dis-
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαtributed␈α∂in␈α∂the␈α⊂in␈α␈terval␈α∂[␈αε0,␈αε1).␈α↔But␈α∂a␈α∂real␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂is␈α⊂rational␈α∂with␈α∂probability
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαzero␈α∞(almost␈α∂all␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂are␈α∞irrational),␈α∂so␈α∂these␈α∞results␈α∂do␈α∞not␈α∂apply␈α∞directly
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαto␈α∞Euclid's␈α∞algorithm.␈α∪Before␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞apply␈α∂Theorem␈α∞W␈α∞to␈α∞our␈α∂problem,␈α∞some
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαtechnicalities␈α∂m␈α␈ust␈α∂be␈α∂o␈α␈v␈α␈ercome.␈α∃Consider␈α∂the␈α∞follo␈α␈wing␈α∂observation␈α∂based␈α∂on
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈tary␈αmeasure␈αtheory:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα347
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αM.␈ε∂␈α≠Let␈↓ βQ␈ελI␈↓ βk␈ε∂,␈↓ ∧α␈ελI␈↓ ∧≠␈ε∂,␈↓ ∧2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧b␈ε∂,␈↓ ∧y␈ελJ␈↓ ¬⊗␈ε∂,␈↓ ¬-␈ελJ␈↓ ¬J␈ε∂,␈↓ ¬a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε_␈ε∂be␈α
pairwise␈αdisjoin␈α␈t␈α
in␈α␈tervals␈α
con␈α␈tained␈αin
␈βα5␈↓ β\␈ε¬1␈↓ ∧
␈ε¬2␈↓ ¬λ␈ε¬1␈↓ ¬<␈ε¬2
␈βαS␈↓ ↓H␈ε∂the␈αin␈α␈terval␈εα␈α[␈αε0,␈αε1)␈ε∂,␈αand␈αlet
␈ββ␈↓ β{␈ε↓[␈↓ ¬s␈ε↓[
␈ββ/␈↓ β*␈ε⊗I␈εα␈α
=␈↓ ∧2␈ελI␈↓ ∧L␈εα,␈ε⊗␈↓ ¬$J␈εα␈α
=␈↓ ε*␈ελJ␈↓ εH␈εα,␈ε⊗␈↓ π K␈εα␈α
=␈α
[0,␈αε1]␈ε⊗␈αλ∧␈εα␈αλ(␈ε⊗I␈αλ[␈αλJ␈εα).
␈ββ<␈↓ ∧=␈εk␈↓ ε9␈εk
␈ββ`␈↓ βr␈εk␈↓ ∧↓␈ε→∃␈ε¬1␈↓ ¬k␈εk␈↓ ¬y␈ε→∃␈ε¬1
␈β∧>␈↓ ↓H␈ε∂Assume␈αεthat␈ε⊗␈αεK␈ε∂␈αεhas␈αεmeasure␈αεzero.␈αLet␈↓ εα␈ελP␈↓ ε/␈ε∂be␈αεthe␈αεset␈ε⊗␈αεf␈εα0/␈↓ πy␈ελn␈↓ λ∂␈εα,␈αε1/␈↓ λC␈ελn␈↓ λY␈εα,␈↓ λi␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	→␈εα,␈αε(␈↓ 	5␈ελn␈↓ 	J␈ε⊗␈␈εα␈α↓1)/␈↓ 
∨␈ελn␈↓ 
4␈ε⊗g␈ε∂.␈α
Then
␈β∧K␈↓ ε↔␈εn
␈β¬⊃␈↓ ¬a␈ε⊗kI␈αλ\␈↓ ε-␈ελP␈↓ εT␈ε⊗k
␈β¬≡␈↓ εB␈εn
␈β¬(␈↓ ¬→␈εαlim␈↓ εt␈εα=␈↓ π"␈ελ⊗␈↓ π6␈εα(␈ε⊗I␈εα).␈↓ 
p␈εα(43)
␈β¬8␈↓ ¬a␈∧¬8¬aα↓¬
␈β¬@␈↓ ε→␈ελn
␈β¬I␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬≡␈ε→!1
␈βεε␈↓ πP␈ε↓P
␈βε"␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≥␈ελ⊗␈↓ α1␈εα(␈ε⊗I␈εα)␈α
is␈α
the␈α
Lebesgue␈α
measure␈α
of␈ε⊗␈α
I␈εα,␈α
namely,␈↓ λ5␈εαlength␈↓ 	↔␈εα(␈↓ 	#␈ελI␈↓ 	=␈εα);␈α
and␈↓ 
(␈ε⊗kI␈αλ\␈↓ 
t␈ελP␈↓ ~␈ε⊗k
␈βε/␈↓ 	.␈εk␈↓ 	␈εn
␈βε5␈↓ πv␈εk␈↓ λ∧␈ε→∃␈ε¬1
␈βεM␈↓ ↓H␈εαdenotes␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αelemen␈α␈ts␈αin␈αthe␈αset␈ε⊗␈αI␈αλ\␈↓ π!␈ελP␈↓ πH␈εα.
␈βε[␈↓ π6␈εn
␈βεx␈↓ βe␈ε↓S␈↓ εI␈ε↓S
␈βπ∀␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α→Let␈↓ β↓␈ε⊗I␈↓ β7␈εα=␈↓ ∧z␈ελI␈↓ ¬ ␈εαand␈↓ ¬f␈ε⊗J␈↓ ε~␈εα=␈↓ π↑␈ελJ␈↓ π{␈εα.␈α
Giv␈α␈en␈↓ λ{␈ελ∂␈↓ 	∀␈εα>␈α
0,␈α|nd␈↓ 
3␈ελN␈↓ 
`␈εαlarge
␈βπ"␈↓ β⊃␈εN␈↓ ¬¬␈εk␈↓ ¬u␈εN␈↓ πm␈εk
␈βπ'␈↓ ∧β␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧.␈εk␈↓ ∧=␈ε→∀␈↓ ∧Y␈εN␈↓ εg␈ε¬1␈ε→∀␈↓ π∩␈εk␈↓ π ␈ε→∀␈↓ π=␈εN
␈βπH␈↓ ↓H␈εαenough␈αso␈αthat␈↓ β>␈ελ⊗␈↓ βR␈εα(␈↓ β↑␈ε⊗I␈↓ ∧λ␈εα)␈αλ+␈↓ ∧H␈ελ⊗␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ∧h␈ε⊗J␈↓ ¬∩␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈εα␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε≤␈ελ∂␈↓ ε*␈εα,␈αand␈αlet
␈βπV␈↓ βn␈εN␈↓ ∧w␈εN
␈βλ↓␈↓ ε≡␈ε↓[␈↓ πA␈ε↓[
␈βλ$␈↓ ∧N␈ε⊗K␈↓ ¬⊂␈εα=␈ε⊗␈α
K␈α∩[␈↓ ε[␈ελI␈↓ π⊂␈ε⊗[␈↓ π}␈ελJ␈↓ λ≤␈εα.
␈βλ1␈↓ ∧k␈εN␈↓ εf␈εk␈↓ λ
␈εk
␈βλU␈↓ ε∂␈εk␈↓ ε≥␈ε¬>␈↓ ε:␈εN␈↓ π2␈εk␈↓ πA␈ε¬>␈↓ π↑␈εN
␈β	3␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓n␈ελI␈↓ α␈εαis␈α∞an␈α∞in␈α␈terval,␈α∂having␈α∞an␈α␈y␈α∞of␈α∞the␈α∞forms␈α∞(␈↓ π∃␈ελa␈↓ π'␈εα,␈↓ π7␈ελb␈↓ πE␈εα)␈α∞or␈α∞[␈↓ λ↔␈ελa␈↓ λ)␈εα,␈↓ λ9␈ελb␈↓ λG␈εα)␈α∞or␈α∞(␈↓ 	≠␈ελa␈↓ 	-␈εα,␈↓ 	=␈ελb␈↓ 	L␈εα]␈α∞or␈α∞[␈↓ 
≤␈ελa␈↓ 
.␈εα,␈↓ 
>␈ελb␈↓ 
L␈εα],␈α∞it␈α∞is
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαclear␈αthat␈↓ αl␈ελ⊗␈↓ β␈εα(␈↓ β␈ελI␈↓ β≤␈εα)␈α
=␈↓ β`␈ελb␈↓ βv␈ε⊗␈␈↓ ∧"␈ελa␈↓ ∧@␈εαand
␈β
6␈↓ ∧#␈ελn␈↓ ∧8␈ελ⊗␈↓ ∧L␈εα(␈↓ ∧X␈ελI␈↓ ∧h␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1␈ε⊗␈α
∀␈α
k␈↓ ε∧␈ελI␈↓ ε≥␈ε⊗\␈↓ ε?␈ελP␈↓ εf␈ε⊗k␈α
∀␈↓ π0␈ελn␈↓ πE␈ελ⊗␈↓ πY␈εα(␈↓ πe␈ελI␈↓ πu␈εα)␈αλ+␈αλ1.
␈β
C␈↓ εT␈εn
␈β∞␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αlet␈↓ αO␈ελr␈↓ αw␈εα=␈ε⊗␈α
k␈↓ β7␈ε⊗I␈↓ βj␈ε⊗\␈↓ ∧␈ελP␈↓ ∧3␈ε⊗k␈εα,␈↓ ∧[␈ελs␈↓ ¬β␈εα=␈ε⊗␈α
k␈↓ ¬C␈ε⊗J␈↓ ¬u␈ε⊗\␈↓ ε↔␈ελP␈↓ ε=␈ε⊗k␈εα,␈↓ εe␈ελt␈↓ π␈εα=␈ε⊗␈α
k␈↓ πL␈ε⊗K␈↓ λ␈ε⊗\␈↓ λ.␈ελP␈↓ λU␈ε⊗k␈εα;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β≠␈↓ α[␈εn␈↓ βG␈εN␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧g␈εn␈↓ ¬R␈εN␈↓ ε,␈εn␈↓ εp␈εn␈↓ πi␈εN␈↓ λC␈εn
␈β←␈↓ ¬
␈ελr␈↓ ¬3␈εα+␈↓ ¬←␈ελs␈↓ ε¬␈εα+␈↓ ε1␈ελt␈↓ εX␈εα=␈↓ πε␈ελn␈↓ π≤␈εα;
␈βm␈↓ ¬→␈εn␈↓ ¬k␈εn␈↓ ε<␈εn
␈β→␈↓ ∧,␈ελn␈↓ ∧A␈ελ⊗␈↓ ∧U␈εα(␈↓ ∧a␈ε⊗I␈↓ ¬␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬L␈ελN␈↓ ¬x␈ε⊗∀␈↓ ε&␈ελr␈↓ εN␈ε⊗∀␈↓ ε|␈ελn␈↓ π∩␈ελ⊗␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ε⊗I␈↓ π]␈εα)␈αλ+␈↓ λ≥␈ελN␈↓ λ>␈εα;
␈β&␈↓ ∧q␈εN␈↓ ε2␈εn␈↓ πB␈εN
␈βK␈↓ ∧,␈ελn␈↓ ∧A␈ελ⊗␈↓ ∧U␈εα(␈↓ ∧a␈ε⊗I␈↓ ¬␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬L␈ελN␈↓ ¬x␈ε⊗∀␈↓ ε&␈ελs␈↓ εN␈ε⊗∀␈↓ ε|␈ελn␈↓ π∩␈ελ⊗␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ε⊗J␈↓ π\␈εα)␈αλ+␈↓ λ≤␈ελN␈↓ λ=␈εα.
␈βY␈↓ ∧q␈εN␈↓ ε2␈εn␈↓ πA␈εN
␈β
#␈↓ ↓H␈εαHence
␈β
l␈↓ α`␈ελN␈↓ ¬∞␈ελN␈↓ ¬o␈ελr␈↓ εN␈ελr␈↓ εu␈εα+␈↓ π!␈ελt
␈β
z␈↓ ¬|␈εn␈↓ ε[␈εn␈↓ π,␈εn
␈β∞β␈↓ ↓l␈ελ⊗␈↓ α␈εα(␈ε⊗I␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β
␈ε⊗␈␈↓ β9␈ελ∂␈↓ βQ␈ε⊗∀␈↓ β␈␈ελ⊗␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ε⊗I␈↓ ∧J␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬=␈ε⊗∀␈↓ ε≤␈ε⊗∀
␈β∞⊂␈↓ ∧/␈εN
␈β∞∪␈↓ α`␈∧∞∪α`α"␈↓ ¬∞␈∧∞∪¬∞α"␈↓ ¬o␈∧∞∪¬oα∨␈↓ εN␈∧∞∪εNαp
␈β∞≠␈↓ αf␈ελn␈↓ ¬∀␈ελn␈↓ ¬t␈ελn␈↓ ε{␈ελn
␈β∞C␈↓ ε_␈ελs␈↓ λE␈ελN␈↓ 
↔␈ελN
␈β∞P␈↓ ε$␈εn
␈β∞Z␈↓ ¬ ␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εD␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π8␈ελ⊗␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ε⊗J␈↓ λ↓␈εα)␈αλ+␈↓ λu␈ε⊗∀␈↓ 	#␈ελ⊗␈↓ 	7␈εα(␈ε⊗I␈εα)␈αλ+␈↓ 
D␈εα+␈↓ 
p␈ελ∂␈↓ 
}␈εα.
␈β∞g␈↓ πg␈εN
␈β∞j␈↓ ε_␈∧∞jε_α≡␈↓ λE␈∧∞jλEα"␈↓ 
↔␈∧∞j
↔α"
␈β∞r␈↓ ε≤␈ελn␈↓ λK␈ελn␈↓ 
≥␈ελn
␈β∂=␈↓ ↓H␈εαThis␈αholds␈αfor␈αall␈↓ βb␈ελn␈↓ ∧β␈εαand␈αfor␈αall␈↓ ¬3␈ελ∂␈↓ ¬A␈εα;␈αhence␈↓ ε;␈εαlim␈↓ π?␈ελr␈↓ π↑␈εα/␈↓ πp␈ελn␈↓ λ∂␈εα=␈↓ λ=␈ελ⊗␈↓ λQ␈εα(␈ε⊗I␈εα).
␈β∂B␈↓ 	+␈∧∂B	+≠∂
␈β∂K␈↓ εm␈εn␈↓ ε␈␈ε→!1␈↓ πL␈εn
␈β⊂↓␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α	25␈α
sho␈α␈ws␈α	that␈α	Lemma␈α	M␈α
is␈α	not␈α	trivial,␈α
in␈α	the␈α
sense␈α	that␈α	some␈α	rather
␈β⊂-␈↓ ↓H␈εαrestrictiv␈α␈e␈αh␈α␈ypotheses␈αare␈αneeded␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α(43).
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∩Distribution␈α
of␈α
partial␈α
quotien␈α␈ts.␈εα␈α≠No␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
put␈α
Theorem␈αW␈α
and␈α
Lemma␈α
M
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαtogether␈αto␈αderiv␈α␈e␈αsome␈αsolid␈αfacts␈αabout␈αEuclid's␈αalgorithm.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα348␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αE.␈ε∂␈α↔Let␈↓ βZ␈ελn␈↓ β{␈ε∂and␈↓ ∧@␈ελk␈↓ ∧]␈ε∂be␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αlet␈↓ λ_␈ελp␈↓ λ7␈εα(␈↓ λC␈ελa␈↓ λU␈εα,␈↓ λe␈ελn␈↓ λ{␈εα)␈ε∂␈αbe␈αthe␈αprobability
␈βα4␈↓ λ)␈εk
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∂that␈α
the␈εα␈α(␈↓ α]␈ελk␈↓ αu␈εα+␈απ1)␈ε∂st␈α
quotien␈α␈t␈↓ ∧p␈ελA␈↓ ¬L␈ε∂in␈α
Euclid's␈αalgorithm␈αis␈αequal␈αto␈↓ 	H␈ελa␈↓ 	Z␈ε∂,␈αwhen␈↓ 
L␈ελv␈↓ 
i␈εα=␈↓ ↔␈ελn
␈βα←␈↓ ¬π␈εk␈↓ ¬⊗␈ε¬+1
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε∂and␈↓ α∞␈ελu␈↓ α/␈ε∂is␈αchosen␈αat␈αrandom.␈αThen
␈ββG␈↓ ε.␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ πK␈ε↓∩␈↓ λA␈ε↓∪
␈ββJ␈↓ εH␈εα1␈↓ λλ␈εα1
␈ββa␈↓ ∧ ␈εαlim␈↓ ∧e␈ελp␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελa␈↓ ¬"␈εα,␈↓ ¬2␈ελn␈↓ ¬H␈εα)␈α
=␈↓ ε␈ελF␈↓ ε|␈ε⊗␈␈↓ π(␈ελF␈↓ λW␈εα,
␈ββn␈↓ ∧v␈εk␈↓ ε ␈εk␈↓ π<␈εk
␈ββq␈↓ εH␈∧βqεHα∩␈↓ πe␈∧βqπeαX
␈ββy␈↓ εH␈ελa␈↓ πe␈ελa␈↓ π␈␈εα+␈αλ1
␈β∧α␈↓ ∧∪␈εn␈↓ ∧%␈ε→!1
␈β∧[␈↓ ↓H␈ε∂where␈↓ α0␈ελF␈↓ αR␈εα(␈↓ α↑␈ελx␈↓ αq␈εα)␈ε∂␈αis␈αthe␈αdistribution␈αfunction␈εα␈α(21).
␈β∧h␈↓ αD␈εk
␈β¬!␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≡The␈α∂set␈ε⊗␈α∞I␈εα␈α∂of␈α∂all␈↓ ∧L␈ελX␈↓ ∧x␈εαin␈α∂[␈αε0,␈αε1)␈α∂for␈α∂which␈↓ π*␈ελA␈↓ λ	␈εα=␈↓ λ<␈ελa␈↓ λ\␈εαis␈α∂a␈α∂union␈α∂of␈α∞disjoin␈α␈t
␈β¬/␈↓ πA␈εk␈↓ πO␈ε¬+1
␈β¬M␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tervals,␈α
and␈αso␈α
is␈α
the␈α
set␈ε⊗␈α
J␈εα␈αof␈α
all␈↓ ¬o␈ελX␈↓ ε~␈εαfor␈αwhich␈↓ π;␈ελA␈↓ λ↔␈ε⊗≤␈↓ λG␈ελa␈↓ λX␈εα.␈α∂Lemma␈α
M␈αtherefore
␈β¬Z␈↓ πR␈εk␈↓ πa␈ε¬+1
␈β¬x␈↓ ↓H␈εαapplies,␈α∩with␈ε⊗␈α⊃K␈εα␈α⊃the␈α⊃set␈α⊃of␈α⊂all␈↓ ¬:␈ελX␈↓ ¬i␈εαfor␈α⊃which␈↓ π∪␈ελA␈↓ πu␈εαis␈α⊃unde|ned.␈α~Furthermore,
␈βεβ␈↓ β∂␈ε↓␈␈↓ ∧1␈ε↓↓
␈βε¬␈↓ π*␈εk␈↓ π9␈ε¬+␈α␈1
␈βε#␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓j␈εα(1/␈↓ α~␈ελa␈↓ α,␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ αl␈ελF␈↓ β≥␈εα1/(␈↓ βM␈ελa␈↓ βg␈εα+␈αλ1)␈↓ ∧K␈εαis␈αthe␈αprobability␈αthat␈α1/(␈↓ πe␈ελa␈↓ π␈␈εα+␈αλ1)␈α
<␈↓ 	↓␈ελX␈↓ 	2␈ε⊗∀␈εα␈α
1/␈↓ 
∧␈ελa␈↓ 
⊗␈εα,␈αwhich␈αis
␈βε0␈↓ ↓\␈εk␈↓ β␈εk␈↓ 	~␈εk
␈βεN␈↓ ↓H␈ελ⊗␈↓ ↓\␈εα(␈ε⊗I␈εα),␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ∧`␈ελA␈↓ ¬:␈εα=␈↓ ¬h␈ελa␈↓ ¬z␈εα.
␈βεS␈↓ ε,␈∧εSε,≠∂
␈βε\␈↓ ∧w␈εk␈↓ ¬¬␈ε¬+1
␈βπ∩␈↓ α␈εαAs␈α
a␈α
consequence␈α
of␈α
Theorems␈α
E␈α
and␈α
W␈↓ π
␈εα,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
say␈α
that␈α
a␈α
quotien␈α␈t␈α
equal
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελa␈↓ α∩␈εαoccurs␈αwith␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αprobability
␈βπv␈↓ ∧J␈ε↓␈␈↓ ε2␈ε↓↓␈↓ π∀␈ε↓␈␈↓ λ2␈ε↓␈␈↓ 
∧␈ε↓↓␈↓ 
∩␈ε↓↓
␈βλ∂␈↓ λ∩␈ε¬2␈↓ 	0␈ε¬2
␈βλ∃␈↓ αJ␈εαlg␈↓ αf␈εα(1␈αλ+␈αλ1/␈↓ β\␈ελa␈↓ βn␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧.␈εαlg␈↓ ∧X␈εα1␈αλ+␈αλ1/(␈↓ ¬N␈ελa␈↓ ¬h␈εα+␈αλ1)␈↓ εJ␈εα=␈↓ εx␈εαlg␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελa␈↓ πH␈εα+␈αλ1␈↓ λε␈εα)␈↓ λ ␈εα/␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελa␈↓ λf␈εα+␈αλ1␈↓ 	$␈εα)␈↓ 	F␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 
 ␈εα.
␈βλm␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us
␈β	6␈↓ ε.␈ε¬4
␈β	:␈↓ α;␈εαa␈αquotien␈α␈t␈αof␈α1␈↓ ∧.␈εαoccurs␈αabout␈↓ εα␈εαlg␈↓ ε≡␈εα(␈↓ ε@␈εα)␈↓ εd␈εα=␈α
41.504␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
/␈εα;
␈β	J␈↓ ε.␈∧	Jε.α∂
␈β	M␈↓ ε.␈ε¬3
␈β	i␈↓ ε.␈ε¬9
␈β	l␈↓ α;␈εαa␈αquotien␈α␈t␈αof␈α2␈↓ ∧.␈εαoccurs␈αabout␈↓ εα␈εαlg␈↓ ε≡␈εα(␈↓ ε@␈εα)␈↓ εd␈εα=␈α
16.992␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
/␈εα;
␈β	|␈↓ ε.␈∧	|ε.α∂
␈β	␈␈↓ ε.␈ε¬8
␈β
≠␈↓ ε.␈ε¬16
␈β
∨␈↓ α;␈εαa␈αquotien␈α␈t␈αof␈α3␈↓ ∧.␈εαoccurs␈αabout␈↓ εα␈εαlg␈↓ ε≡␈εα(␈↓ εN␈εα)␈↓ εd␈εα=␈α≤9.311␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
/␈εα;
␈β
/␈↓ ε.␈∧
/ε.α≥
␈β
1␈↓ ε.␈ε¬15
␈β
N␈↓ ε.␈ε¬25
␈β
Q␈↓ α;␈εαa␈αquotien␈α␈t␈αof␈α4␈↓ ∧.␈εαoccurs␈αabout␈↓ εα␈εαlg␈↓ ε≡␈εα(␈↓ εN␈εα)␈↓ εd␈εα=␈α≤5.890␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime␈↓ 
/␈εα.
␈β
a␈↓ ε.␈∧
aε.α≥
␈β
d␈↓ ε.␈ε¬24
␈β)␈↓ ↓H␈εαActually,␈αλif␈απEuclid's␈αλalgorithm␈απproduces␈αλthe␈απquotien␈α␈ts␈↓ λα␈ελA␈↓ λ'␈εα,␈↓ λ:␈ελA␈↓ λ←␈εα,␈↓ λq␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	!␈εα,␈↓ 	4␈ελA␈↓ 	U␈εα,␈α	the␈απnature␈απof
␈β6␈↓ λ→␈ε¬1␈↓ λQ␈ε¬2␈↓ 	K␈εt
␈βT␈↓ ↓H␈εαthe␈α	proofs␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	will␈α	guaran␈α␈tee␈α	this␈α	behavior␈α	only␈α	for␈↓ λλ␈ελA␈↓ λ7␈εαwhen␈↓ 	∩␈ελk␈↓ 	,␈εαis␈α	comparativ␈α␈ely
␈βa␈↓ λ∨␈εk
␈β␈␈↓ ↓H␈εαsmall␈αwith␈α
respect␈αto␈↓ ∧→␈ελt␈↓ ∧&␈εα;␈αthe␈α
values␈↓ ¬e␈ελA␈↓ ε2␈εα,␈↓ εG␈ελA␈↓ π∀␈εα,␈↓ π)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↑␈εαare␈αnot␈αco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αthis␈α
proof.
␈β
␈↓ ¬|␈εt␈↓ επ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε↑␈εt␈↓ εi␈ε→␈␈ε¬2
␈β*␈↓ ↓H␈εαBut␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
in␈α
fact␈α
sho␈α␈w␈α
that␈α
the␈α
distribution␈αof␈α
the␈α
last␈α
quotien␈α␈ts␈↓ 	r␈ελA␈↓ 
?␈εα,␈↓ 
V␈ελA␈↓ "␈εα,
␈β8␈↓ 
	␈εt␈↓ 
∪␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
m␈εt␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬2
␈βV␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓}␈εαis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas␈αthe␈α|rst.
␈β
↓␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αconsider␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αexpansions␈αfor␈αthe␈αset
␈β
,␈↓ ↓H␈εαof␈αall␈αproper␈αfractions␈αwhose␈αdenominator␈αis␈α29:
␈β
⎇␈↓ ↓S␈ε¬1␈↓ βf␈ε¬8␈↓ ε6␈ε¬1␈α↓5␈↓ 	0␈ε¬22
␈β∞␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε29␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε3,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε1,␈αε14␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε3,␈αε7␈ε⊗␈α}?
␈β∞⊃␈↓ ↓L␈∧∞⊃↓Lα≥␈↓ β←␈∧∞⊃β←α≥␈↓ ε6␈∧∞⊃ε6α≥␈↓ 	0␈∧∞⊃	0α≥
␈β∞∪␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β∞3␈↓ ↓S␈ε¬2␈↓ βf␈ε¬9␈↓ ε6␈ε¬1␈α↓6␈↓ 	0␈ε¬23
␈β∞6␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε14,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε3,␈αε4,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε1,␈αε4,␈αε3␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε3,␈αε1,␈αε5␈ε⊗␈α↓?
␈β∞G␈↓ ↓L␈∧∞G↓Lα≥␈↓ β←␈∧∞Gβ←α≥␈↓ ε6␈∧∞Gε6α≥␈↓ 	0␈∧∞G	0α≥
␈β∞I␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β∞i␈↓ ↓S␈ε¬3␈↓ β←␈ε¬10␈↓ ε6␈ε¬1␈α↓7␈↓ 	0␈ε¬24
␈β∞l␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε9,␈αε1,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε2,␈αε1,␈αε9␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε1,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε4,␈αε1,␈αε4␈ε⊗␈α↓?
␈β∞⎇␈↓ ↓L␈∧∞⎇↓Lα≥␈↓ β←␈∧∞⎇β←α≥␈↓ ε6␈∧∞⎇ε6α≥␈↓ 	0␈∧∞⎇	0α≥
␈β∞␈␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β∂∨␈↓ ↓S␈ε¬4␈↓ β←␈ε¬11␈↓ ε6␈ε¬1␈α↓8␈↓ 	0␈ε¬25
␈β∂"␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε7,␈αε4␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε3␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε6,␈αε4␈ε⊗␈α↓?
␈β∂3␈↓ ↓L␈∧∂3↓Lα≥␈↓ β←␈∧∂3β←α≥␈↓ ε6␈∧∂3ε6α≥␈↓ 	0␈∧∂3	0α≥
␈β∂5␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β∂U␈↓ ↓S␈ε¬5␈↓ β←␈ε¬12␈↓ ε6␈ε¬1␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬26
␈β∂X␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε5,␈αε1,␈αε4␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε2,␈αε2,␈αε2,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε9␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε8,␈αε1,␈αε2␈ε⊗␈α↓?
␈β∂i␈↓ ↓L␈∧∂i↓Lα≥␈↓ β←␈∧∂iβ←α≥␈↓ ε6␈∧∂iε6α≥␈↓ 	0␈∧∂i	0α≥
␈β∂k␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β⊂␈↓ ↓S␈ε¬6␈↓ β←␈ε¬13␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓0␈↓ 	0␈ε¬27
␈β⊂∞␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε4,␈αε1,␈αε5␈ε⊗␈αα?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε2,␈αε4,␈αε3␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε2,␈αε4,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε13,␈αε2␈ε⊗␈α↓?
␈β⊂∨␈↓ ↓L␈∧⊂∨↓Lα≥␈↓ β←␈∧⊂∨β←α≥␈↓ ε6␈∧⊂∨ε6α≥␈↓ 	0␈∧⊂∨	0α≥
␈β⊂!␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β⊂A␈↓ ↓S␈ε¬7␈↓ β←␈ε¬14␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓1␈↓ 	0␈ε¬28
␈β⊂D␈↓ ↓v␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε4,␈αε7␈ε⊗␈α␈?␈↓ ∧
␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε2,␈αε14␈ε⊗␈αα?␈↓ εa␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε2,␈αε1,␈αε1,␈αε1,␈αε2␈ε⊗␈αα?␈↓ 	[␈εα=␈ε⊗␈α
?␈εα␈αε1,␈αε28␈ε⊗␈α↓?
␈β⊂U␈↓ ↓L␈∧⊂U↓Lα≥␈↓ β←␈∧⊂Uβ←α≥␈↓ ε6␈∧⊂Uε6α≥␈↓ 	0␈∧⊂U	0α≥
␈β⊂W␈↓ ↓L␈ε¬29␈↓ β←␈ε¬29␈↓ ε6␈ε¬2␈α↓9␈↓ 	0␈ε¬29
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαSev␈α␈eral␈αthings␈αcan␈αbe␈αobserv␈α␈ed␈αin␈αthis␈αtable.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα349
␈βα&␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαAs␈α∞men␈α␈tioned␈α∞earlier,␈α∂the␈α∞last␈α∞quotien␈α␈t␈α∞is␈α∂always␈α∞2␈α∞or␈α∞more.␈α∩Furthermore,
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αobvious␈αiden␈α␈tity
␈ββ≡␈↓ βR␈ε⊗?␈↓ βd␈ελx␈↓ ∧β␈εα,␈↓ ∧∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧C␈εα,␈↓ ∧S␈ελx␈↓ ¬!␈εα,␈↓ ¬1␈ελx␈↓ ¬[␈εα+␈αλ1␈ε⊗?␈εα␈α
=␈ε⊗␈α
?␈↓ εu␈ελx␈↓ π∀␈εα,␈↓ π$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πT␈εα,␈↓ πd␈ελx␈↓ λ2␈εα,␈↓ λB␈ελx␈↓ λd␈εα,␈αε1␈ε⊗?␈εα,␈↓ 
p␈εα(44)
␈ββ,␈↓ βt␈ε¬1␈↓ ∧c␈εn␈↓ ∧u␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬A␈εn␈↓ πε␈ε¬1␈↓ πu␈εn␈↓ λε␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λR␈εn
␈ββk␈↓ ↓H␈εαand␈α
this␈αsho␈α␈ws␈α
ho␈α␈w␈α
partial␈α
fractions␈α
whose␈α
last␈α
quotien␈α␈t␈α
is␈α
unity␈α
are␈α
related␈αto
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εαregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions.
␈β∧A␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαThe␈αλvalues␈αλin␈αλthe␈αλrigh␈α␈t-hand␈αλcolumns␈αλhav␈α␈e␈αλa␈αλsimple␈αλrelationship␈αλto␈αλthe␈αλvalues
␈β∧l␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α
left-hand␈α
columns;␈α∞can␈α
the␈α
reader␈α
see␈α
the␈α
correspondence␈α
before␈α
reading
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαan␈α␈y␈αfurther?␈αThe␈αrelevan␈α␈t␈αiden␈α␈tity␈αis
␈β¬d␈↓ β↑␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈αλ?␈↓ ∧6␈ελx␈↓ ∧U␈εα,␈↓ ∧e␈ελx␈↓ ¬∧␈εα,␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬D␈εα,␈↓ ¬T␈ελx␈↓ ¬v␈ε⊗?␈εα␈α
=␈ε⊗␈α
?␈εα1,␈↓ εt␈ελx␈↓ π≠␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈↓ πi␈ελx␈↓ λλ␈εα,␈↓ λ_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈εα,␈↓ λX␈ελx␈↓ λz␈ε⊗?␈εα;␈↓ 
p␈εα(45)
␈β¬r␈↓ ∧F␈ε¬1␈↓ ∧u␈ε¬2␈↓ ¬d␈εn␈↓ π¬␈ε¬1␈↓ πz␈ε¬2␈↓ λi␈εn
␈βε1␈↓ ↓H␈εαsee␈αex␈α␈ercise␈α9.
␈βε\␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαThere␈α∪is␈α∀symmetry␈α∪bet␈α␈w␈α␈een␈α∪left␈α∀and␈α∪righ␈α␈t␈α∪in␈α∀the␈α∪|rst␈α∪t␈α␈w␈α␈o␈α∀columns:␈α~If
␈βππ␈↓ ↓H␈ε⊗?␈↓ ↓Z␈ελA␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈ελA␈↓ α4␈εα,␈↓ αD␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αt␈εα,␈↓ β∧␈ελA␈↓ β&␈ε⊗?␈εα␈α
occurs,␈αso␈α
does␈ε⊗␈α
?␈↓ ¬C␈ελA␈↓ ¬e␈εα,␈↓ ¬u␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε%␈εα,␈↓ ε5␈ελA␈↓ εZ␈εα,␈↓ εj␈ελA␈↓ π⊂␈ε⊗?␈εα.␈αThis␈α
will␈α
always␈αbe␈α
the␈α
case␈α
(see
␈βπ∃␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α&␈ε¬2␈↓ β≠␈εt␈↓ ¬Z␈εt␈↓ εL␈ε¬2␈↓ π↓␈ε¬1
␈βπ3␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α26).
␈βπ↑␈↓ ↓`␈εαd)␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈α
examine␈αall␈α
of␈αthe␈α
quotien␈α␈ts␈αin␈α
the␈αtable,␈α
w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈αthere␈α
are␈α96␈αin
␈βλε␈↓ β↔␈ε¬39␈↓ π)␈ε¬2␈α↓1
␈βλ	␈↓ ↓H␈εαall,␈αof␈αwhich␈↓ βC␈εα=␈α40.6␈αpercen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α1,␈↓ πU␈εα=␈α21.9␈αpercen␈α␈t␈αare␈αequal␈αto␈α2,
␈βλ→␈↓ β↔␈∧λ→β↔α≥␈↓ π)␈∧λ→π)α≥
␈βλ≤␈↓ β↔␈ε¬96␈↓ π)␈ε¬9␈α↓6
␈βλ1␈↓ ↓S␈ε¬8
␈βλ4␈↓ ↓v␈εα=␈α	8.3␈α
percen␈α␈t␈α	are␈α	equal␈α
to␈α	3;␈α
this␈α
agrees␈α	reasonably␈α	w␈α␈ell␈α
with␈α	the␈α	probabilities
␈βλD␈↓ ↓L␈∧λD↓Lα≥
␈βλG␈↓ ↓L␈ε¬96
␈βλ←␈↓ ↓H␈εαlisted␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β	≤␈↓ ↓H␈ε∩The␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞division␈α∞steps.␈εα␈α≥Let␈α∞us␈α∞no␈α␈w␈α∞return␈α∞to␈α∞our␈α∞original␈α∞problem␈α
and
␈β	(␈↓ 	M␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β	G␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈estigate␈↓ αz␈ελT␈↓ β!␈εα,␈αthe␈αav␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
division␈αsteps␈αwhen␈↓ λW␈ελv␈↓ λt␈εα=␈↓ 	"␈ελn␈↓ 	8␈εα.␈↓ 	[␈εαSee␈αEq.␈α
(19).
␈β	U␈↓ β∂␈εn
␈β	r␈↓ ↓H␈εαHere␈αare␈αsome␈αsample␈αvalues␈αof␈↓ ¬B␈ελT␈↓ ¬i␈εα:
␈β
␈↓ ¬W␈εn
␈β
0␈↓ α&␈ελn␈↓ αE␈εα=
␈β
7␈↓ β∩␈εα95␈↓ βd␈εα96␈↓ ∧6␈εα97␈↓ ¬λ␈εα98␈↓ ¬Z␈εα99␈↓ ε'␈εα100␈↓ π↓␈εα101␈↓ π[␈εα102␈↓ λ5␈εα103␈↓ 	∂␈εα104␈↓ 	i␈εα105
␈β
[␈↓ α∃␈ελT␈↓ αE␈εα=
␈β
c␈↓ β
␈εα5.0␈↓ β←␈εα4.4␈↓ ∧1␈εα5.3␈↓ ¬β␈εα4.8␈↓ ¬U␈εα4.7␈↓ ε+␈εα4.6␈↓ π¬␈εα5.3␈↓ π←␈εα4.6␈↓ λ9␈εα5.3␈↓ 	∪␈εα4.7␈↓ 	m␈εα4.6
␈β
i␈↓ α*␈εn
␈β∞␈↓ πM␈εα.␈αε.␈αε.
␈β⊃␈↓ α&␈ελn␈↓ αE␈εα=
␈β_␈↓ β
␈εα996␈↓ βg␈εα997␈↓ ∧A␈εα998␈↓ ¬≠␈εα999␈↓ ¬u␈εα1000␈↓ εa␈εα1001␈↓ λ≠␈εα9999␈↓ 	π␈εα10000␈↓ 
¬␈εα10001
␈β9␈↓ πM␈εα.␈αε.␈αε.
␈β<␈↓ α∃␈ελT␈↓ αE␈εα=
␈βD␈↓ β⊃␈εα6.5␈↓ βk␈εα7.3␈↓ ∧E␈εα7.0␈↓ ¬∨␈εα6.8␈↓ εα␈εα6.4␈↓ εn␈εα6.7␈↓ λ(␈εα8.6␈↓ 	≥␈εα8.3␈↓ 
≠␈εα9.1
␈βJ␈↓ α*␈εn
␈βo␈↓ επ␈εα.␈αε.␈αε.
␈βr␈↓ α&␈ελn␈↓ αE␈εα=
␈βy␈↓ β
␈εα49999␈↓ ∧␈εα50000␈↓ ¬	␈εα50001␈↓ εU␈εα99999␈↓ πS␈εα100000␈↓ λc␈εα100001
␈β~␈↓ επ␈εα.␈αε.␈αε.
␈β≥␈↓ α∃␈ελT␈↓ αE␈εα=
␈β%␈↓ β~␈εα10.6␈↓ ∧!␈εα9.7␈↓ ¬⊗␈εα10.0␈↓ εb␈εα10.7␈↓ πi␈εα10.3␈↓ λy␈εα11.0
␈β+␈↓ α*␈εn
␈βc␈↓ ↓H␈εαNote␈α∞the␈α∂somewhat␈α∞erratic␈α∂behavior;␈↓ ε#␈ελT␈↓ εY␈εαtends␈α∞to␈α∂be␈α∞higher␈α∂than␈α∞its␈α∞neigh␈α␈bors
␈βp␈↓ ε8␈εn
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α!␈ελn␈↓ α>␈εαis␈απprime,␈αλand␈απit␈απis␈απcorrespondingly␈απlo␈α␈w␈α␈er␈αλwhen␈↓ πz␈ελn␈↓ λ⊗␈εαhas␈αλman␈α␈y␈απdivisors.␈α
(In␈απthis
␈β
9␈↓ ↓H␈εαlist,␈α	97,␈α	101,␈α	103,␈α	997,␈α	and␈αλ49999␈αλare␈α	primes;␈α	10001␈α
=␈α
73␈ε⊗␈αβ↓␈εα␈αβ137,␈α	50001␈α
=␈α
3␈ε⊗␈αβ↓␈εα␈αβ7␈ε⊗␈αβ↓␈εα␈αβ2381,
␈β
d␈↓ ↓H␈εα99999␈α
=␈α
3␈ε⊗␈αε↓␈εα␈αε3␈ε⊗␈απ↓␈εα␈αε41␈ε⊗␈αε↓␈εα␈απ271,␈αand␈α100001␈α
=␈α
11␈ε⊗␈αε↓␈εα␈αε9091.)␈α↔It␈α
is␈αnot␈αdi}cult␈αto␈α
understand
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈εαwh␈α␈y␈αλthis␈α	happens:␈α
if␈↓ ∧π␈εαgcd␈↓ ∧=␈εα(␈↓ ∧I␈ελu␈↓ ∧↑␈εα,␈↓ ∧n␈ελv␈↓ ¬↓␈εα)␈α
=␈↓ ¬E␈ελd␈↓ ¬Y␈εα,␈α
Euclid's␈αλalgorithm␈α	applied␈α	to␈↓ 	5␈ελu␈↓ 	S␈εαand␈↓ 
⊗␈ελv␈↓ 
1␈εαbehav␈α␈es
␈β∞;␈↓ ↓H␈εαessen␈α␈tially␈α
the␈α
same␈α
as␈α
if␈α
it␈αw␈α␈ere␈α
applied␈α
to␈↓ εk␈ελu␈↓ π↓␈εα/␈↓ π∪␈ελd␈↓ π1␈εαand␈↓ πu␈ελv␈↓ λλ␈εα/␈↓ λ~␈ελd␈↓ λ.␈εα.␈αTherefore,␈αwhen␈↓ 
L␈ελv␈↓ 
i␈εα=␈↓ ↔␈ελn
␈β∞f␈↓ ↓H␈εαhas␈α	sev␈α␈eral␈α
divisors,␈αthere␈α	are␈α
man␈α␈y␈α
choices␈α
of␈↓ π≠␈ελu␈↓ π:␈εαfor␈α
which␈↓ λV␈ελn␈↓ λu␈εαbehav␈α␈es␈α
as␈α
if␈α
it␈α	w␈α␈ere
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈εαsmaller.
␈β∂<␈↓ α␈εαAccordingly␈αλlet␈απus␈αλconsider␈ε∂␈απanother␈εα␈αλquan␈α␈tity,␈↓ πH␈ελ≤␈↓ πi␈εα,␈αλwhich␈αλis␈απthe␈αλav␈α␈erage␈απn␈α␈um␈α␈ber
␈β∂J␈↓ πW␈εn
␈β∂h␈↓ ↓H␈εαof␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ ∧0␈ελv␈↓ ∧L␈εα=␈↓ ∧z␈ελn␈↓ ¬≤␈εαand␈αwhen␈↓ ε@␈ελu␈↓ εb␈εαis␈ε∂␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈εα␈αto␈↓ 	7␈ελn␈↓ 	L␈εα.␈αTh␈α␈us
␈β⊂ ␈↓ ε3␈ε↓X
␈β⊂-␈↓ ¬E␈εα1
␈β⊂C␈↓ ∧O␈ελ≤␈↓ ∧z␈εα=␈↓ π%␈ελT␈↓ π>␈εα(␈↓ πJ␈ελm␈↓ πi␈εα,␈↓ πy␈ελn␈↓ λ∂␈εα).␈↓ 
p␈εα(46)
␈β⊂Q␈↓ ∧↑␈εn
␈β⊂T␈↓ ¬,␈∧⊂T¬,αE
␈β⊂\␈↓ ¬,␈ελ⎇␈↓ ¬C␈εα(␈↓ ¬O␈ελn␈↓ ¬e␈εα)
␈β⊂s␈↓ ε∪␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ε>␈εm␈↓ εX␈ε¬<␈↓ εu␈εn
␈β⊃∂␈↓ ¬}␈ε¬gcd␈↓ ε)␈ε¬(␈↓ ε3␈εm␈↓ εM␈ε¬,␈↓ εU␈εn␈↓ εg␈ε¬)␈α␈=1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα350␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαIt␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈βα8␈↓ ε(␈ε↓X
␈βαE␈↓ ε
␈εα1
␈βα[␈↓ ¬%␈ελT␈↓ ¬V␈εα=␈↓ εb␈ελ⎇␈↓ εy␈εα(␈↓ π¬␈ελd␈↓ π→␈εα)␈↓ π%␈ελ≤␈↓ πE␈εα.␈↓ 
p␈εα(47)
␈βαi␈↓ ¬:␈εn␈↓ π4␈εd
␈βαl␈↓ ελ␈∧αlελα⊗
␈βαt␈↓ ελ␈ελn
␈ββ
␈↓ ε*␈εd␈↓ ε:␈ε→∧␈↓ εH␈εn
␈ββQ␈↓ ↓H␈εαHere␈αis␈αa␈αtable␈αof␈↓ βb␈ελ≤␈↓ ∧∂␈εαfor␈αthe␈αsame␈αvalues␈αof␈↓ εw␈ελn␈↓ π_␈εαconsidered␈αabo␈α␈v␈α␈e:
␈ββ←␈↓ βq␈εn
␈β∧␈↓ α#␈ελn␈↓ αB␈εα=
␈β∧∩␈↓ β∂␈εα95␈↓ βa␈εα96␈↓ ∧3␈εα97␈↓ ¬¬␈εα98␈↓ ¬W␈εα99␈↓ ε$␈εα100␈↓ ε}␈εα101␈↓ πX␈εα102␈↓ λ2␈εα103␈↓ 	␈εα104␈↓ 	f␈εα105
␈β∧6␈↓ α_␈ελ≤␈↓ αB␈εα=
␈β∧=␈↓ β
␈εα5.4␈↓ β\␈εα5.3␈↓ ∧.␈εα5.3␈↓ ¬␈εα5.6␈↓ ¬R␈εα5.2␈↓ ε(␈εα5.2␈↓ πα␈εα5.4␈↓ π\␈εα5.3␈↓ λ6␈εα5.4␈↓ 	⊂␈εα5.3␈↓ 	j␈εα5.6
␈β∧D␈↓ α'␈εn
␈β∧i␈↓ πJ␈εα.␈αε.␈αε.
␈β∧l␈↓ α#␈ελn␈↓ αB␈εα=
␈β∧s␈↓ β
␈εα996␈↓ βd␈εα997␈↓ ∧>␈εα998␈↓ ¬_␈εα999␈↓ ¬r␈εα1000␈↓ ε↑␈εα1001␈↓ λ_␈εα9999␈↓ 	∧␈εα10000␈↓ 
α␈εα10001
␈β¬∀␈↓ πJ␈εα.␈αε.␈αε.
␈β¬↔␈↓ α_␈ελ≤␈↓ αB␈εα=
␈β¬≡␈↓ β∞␈εα7.2␈↓ βh␈εα7.3␈↓ ∧B␈εα7.3␈↓ ¬≤␈εα7.3␈↓ ¬␈␈εα7.3␈↓ εk␈εα7.4␈↓ λ≤␈εα9.21␈↓ 	⊃␈εα9.21␈↓ 
∂␈εα9.22
␈β¬%␈↓ α'␈εn
␈β¬J␈↓ ε∧␈εα.␈αε.␈αε.
␈β¬M␈↓ α#␈ελn␈↓ αB␈εα=
␈β¬T␈↓ β
␈εα49999␈↓ ∧λ␈εα50000␈↓ ¬ε␈εα50001␈↓ εW␈εα99999␈↓ πZ␈εα100000␈↓ λj␈εα100001
␈β¬u␈↓ ε∧␈εα.␈αε.␈αε.
␈β¬x␈↓ α_␈ελ≤␈↓ αB␈εα=
␈β¬␈␈↓ β∞␈εα10.58␈↓ ∧␈εα10.57␈↓ ¬
␈εα10.59␈↓ εR␈εα11.170␈↓ π↑␈εα11.172␈↓ λn␈εα11.172
␈βεε␈↓ α'␈εn
␈βε;␈↓ ↓H␈εαClearly␈↓ αE␈ελ≤␈↓ αp␈εαis␈α
m␈α␈uch␈α	more␈α
w␈α␈ell-behav␈α␈ed␈α	than␈↓ εm␈ελT␈↓ π∀␈εα,␈α
and␈α
it␈α	should␈α
be␈α
more␈α	susceptible
␈βεI␈↓ αT␈εn␈↓ πα␈εn
␈βεf␈↓ ↓H␈εαto␈α	analysis.␈αInspection␈α	of␈α	a␈α	table␈α	of␈↓ ¬k␈ελ≤␈↓ ε∃␈εαfor␈α	small␈↓ π%␈ελn␈↓ πD␈εαrev␈α␈eals␈α	some␈α	curious␈α	anomalies;
␈βεt␈↓ ¬z␈εn
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαfor␈αexample,␈↓ β↔␈ελ≤␈↓ βM␈εα=␈↓ β{␈ελ≤␈↓ ∧A␈εαand␈↓ ¬π␈ελ≤␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελ≤␈↓ ε%␈εα.␈αBut␈αas␈↓ π-␈ελn␈↓ πN␈εαgro␈α␈ws,␈αthe␈αvalues␈αof␈↓ 
∪␈ελ≤␈↓ 
?␈εαbehav␈α␈e
␈βπ∨␈↓ β&␈ε¬5␈α↓0␈↓ ∧
␈ε¬1␈α↓00␈↓ ¬⊗␈ε¬60␈↓ ¬z␈ε¬12␈α↓0␈↓ 
"␈εn
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαquite␈α
regularly␈α
indeed,␈αas␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
table␈α
indicates,␈αand␈α
they␈α
sho␈α␈w␈α
no␈α
signi|can␈α␈t
␈βπh␈↓ ↓H␈εαrelation␈αto␈αthe␈αfactorization␈αproperties␈αof␈↓ εY␈ελn␈↓ εo␈εα.␈αIf␈αthe␈αreader␈αwill␈αplot␈αthe␈αvalues␈αof
␈βλ∪␈↓ ↓H␈ελ≤␈↓ ↓u␈εαv␈α␈ersus␈↓ αb␈εαln␈↓ βε␈ελn␈↓ β(␈εαon␈α
graph␈αpaper,␈αfor␈α
the␈αvalues␈αof␈↓ π?␈ελ≤␈↓ πl␈εαgiv␈α␈en␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αhe␈α
will␈αsee␈αthat
␈βλ!␈↓ ↓W␈εn␈↓ πN␈εn
␈βλ>␈↓ ↓H␈εαthe␈αvalues␈αlie␈αv␈α␈ery␈αnearly␈αon␈αa␈αstraigh␈α␈t␈αline,␈αand␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β		␈↓ ¬␈ελ≤␈↓ ¬6␈ε⊗→␈εα␈α
0.843␈↓ ε<␈εαln␈↓ ε`␈ελn␈↓ ε⎇␈εα+␈αλ1.47␈↓ 
p␈εα(48)
␈β	⊗␈↓ ¬~␈εn
␈β	S␈↓ ↓H␈εαis␈αa␈αv␈α␈ery␈αgood␈αappro␈α␈ximation.
␈β	}␈↓ α␈εαWe␈αcan␈αaccoun␈α␈t␈αfor␈αthis␈αbehavior␈αif␈αw␈α␈e␈αstudy␈αthe␈αregular␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction
␈β
)␈↓ ↓H␈εαprocess␈αεa␈απlittle␈αεfurther.␈α
Note␈απthat␈αεin␈απEuclid's␈αεalgorithm␈απas␈αεexpressed␈απin␈αε(15)␈απw␈α␈e␈αεhav␈α␈e
␈β
n␈↓ ¬␈ελV␈↓ ¬3␈ελV␈↓ ε↔␈ελV␈↓ π"␈ελV
␈β
{␈↓ ¬∀␈ε¬0␈↓ ¬G␈ε¬1␈↓ ε+␈εt␈↓ ε5␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π6␈εt␈↓ π@␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬␈↓ ¬a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εp␈εα=␈↓ πp␈εα,
␈β∃␈↓ ∧}␈∧∃∧}α&␈↓ ¬2␈∧∃¬2α&␈↓ ε∃␈∧∃ε∃αM␈↓ π"␈∧∃π"αJ
␈β≥␈↓ ∧}␈ελU␈↓ ¬2␈ελU␈↓ ε∃␈ελU␈↓ π4␈ελU
␈β+␈↓ ¬∃␈ε¬0␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ ε,␈εt␈↓ ε7␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πK␈ε¬0
␈β↑␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α!␈ελU␈↓ α⎇␈εα=␈↓ β,␈ελV␈↓ βO␈εα;␈α
therefore,␈α
if␈↓ ¬,␈ελU␈↓ ¬U␈εα=␈↓ ε∧␈ελU␈↓ ε7␈εαand␈↓ ε}␈ελV␈↓ π#␈εα=␈↓ πR␈ελV␈↓ λα␈εαare␈α
relativ␈α␈ely␈αprime,␈α∞and␈αif
␈βl␈↓ α8␈εk␈↓ αF␈ε¬+1␈↓ β@␈εk␈↓ ε≠␈ε¬0␈↓ πf␈ε¬0
␈β
␈↓ ↓H␈εαthere␈αare␈↓ α`␈ελt␈↓ αy␈εαdivision␈αsteps,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βT␈↓ ¬∞␈ελX␈↓ ¬6␈ελX␈↓ ¬c␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε∪␈ελX␈↓ εl␈εα=␈α
1/␈↓ π>␈ελU␈↓ π\␈εα.
␈βa␈↓ ¬'␈ε¬0␈↓ ¬O␈ε¬1␈↓ ε,␈εt␈↓ ε7␈ε→␈␈ε¬1
␈β
≡␈↓ ↓H␈εαSetting␈↓ αD␈ελU␈↓ αk␈εα=␈↓ β→␈ελN␈↓ βG␈εαand␈↓ ∧
␈ελV␈↓ ∧1␈εα=␈↓ ∧←␈ελm␈↓ ¬	␈εα<␈↓ ¬7␈ελN␈↓ ¬X␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β
h␈↓ βy␈εαln␈↓ ∧≥␈ελX␈↓ ∧M␈εα+␈↓ ∧y␈εαln␈↓ ¬≥␈ελX␈↓ ¬L␈εα+␈↓ ¬x␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε*␈εα+␈↓ εV␈εαln␈↓ εz␈ελX␈↓ πS␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ λ+␈εαln␈↓ λO␈ελN␈↓ λq␈εα.␈↓ 
p␈εα(49)
␈β
v␈↓ ∧6␈ε¬0␈↓ ¬6␈ε¬1␈↓ π∪␈εt␈↓ π≡␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞3␈↓ ↓H␈εαWe␈α∂kno␈α␈w␈α∂the␈α∂appro␈α␈ximate␈α∂distribution␈α⊂of␈↓ εw␈ελX␈↓ π≡␈εα,␈↓ π8␈ελX␈↓ π←␈εα,␈↓ πy␈ελX␈↓ λ!␈εα,␈↓ λ;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λk␈εα,␈α⊂so␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂use␈α∂this
␈β∞@␈↓ π⊂␈ε¬0␈↓ πQ␈ε¬1␈↓ λ∩␈ε¬2
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εαequation␈αto␈αestimate
␈β∂(␈↓ ∧Q␈ελt␈↓ ∧h␈εα=␈↓ ¬⊗␈ελT␈↓ ¬/␈εα(␈↓ ¬;␈ελN␈↓ ¬]␈εα,␈↓ ¬m␈ελm␈↓ ε
␈εα)␈α
=␈↓ εQ␈ελT␈↓ εj␈εα(␈↓ εv␈ελm␈↓ π∃␈εα,␈↓ π%␈ελN␈↓ πG␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1.
␈β∂r␈↓ α␈εαReturning␈αto␈α
the␈αform␈α␈ulas␈α
preceding␈αTheorem␈αW␈↓ λ∀␈εα,␈α
w␈α␈e␈α|nd␈α
that␈αthe␈αav␈α␈erage
␈β⊂≡␈↓ ↓H␈εαvalue␈αof␈↓ αR␈εαln␈↓ αv␈ελX␈↓ β!␈εα,␈αwhen␈↓ ∧∃␈ελX␈↓ ∧H␈εαis␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αuniformly␈αdistributed␈αin␈α[␈αε0,␈αε1),␈αis
␈β⊂+␈↓ β∂␈εn␈↓ ∧.␈ε¬0
␈β⊂Z␈↓ βi␈ε↓Z␈↓ ε∀␈ε↓Z
␈β⊂c␈↓ ∧
␈ε¬1␈↓ ε8␈ε¬1
␈β⊃↓␈↓ ∧x␈ε→0
␈β⊃π␈↓ ∧"␈εαln␈↓ ∧F␈ελx␈↓ ∧↑␈ελF␈↓ ¬¬␈εα(␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬#␈εα)␈↓ ¬5␈ελd␈↓ ¬J␈ελx␈↓ ¬f␈εα=␈↓ εM␈εαln␈↓ εq␈ελx␈↓ π
␈ελf␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ελx␈↓ πE␈εα)␈↓ πW␈ελd␈↓ πk␈ελx␈↓ π}␈εα/(1␈αλ+␈↓ λb␈ελx␈↓ λu␈εα),␈↓ 
p␈εα(50)
␈β⊃∃␈↓ π∃␈εn
␈β⊃→␈↓ ∧s␈εn
␈β⊃+␈↓ β⎇␈ε¬0␈↓ ε(␈ε¬0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα351
␈βα&␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελf␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελx␈↓ αk␈εα)␈αis␈αde|ned␈αin␈α(31).␈αNo␈α␈w
␈βα4␈↓ α;␈εn
␈βα⎇␈↓ ε_␈εα1
␈ββ∞␈↓ π-␈ε→␈␈↓ πI␈εn
␈ββ∀␈↓ ¬β␈ελf␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬,␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈α
=␈↓ εH␈εα+␈↓ εt␈ελO␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈εα2␈↓ π[␈εα),␈↓ 
p␈εα(51)
␈ββ!␈↓ ¬∞␈εn
␈ββ$␈↓ εε␈∧β$εεα6
␈ββ,␈↓ εε␈εαln␈↓ ε*␈εα2
␈ββ|␈↓ ↓H␈εαusing␈αthe␈α
facts␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αderiv␈α␈ed␈αearlier␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α23);␈αhence␈αthe␈αav␈α␈erage␈α
value
␈β∧'␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈εαln␈↓ α⊗␈ελX␈↓ αM␈εαis␈αv␈α␈ery␈αw␈α␈ell␈αappro␈α␈ximated␈αby
␈β∧5␈↓ α/␈εn
␈β∧t␈↓ α8␈ε↓Z␈↓ ¬≡␈ε↓Z
␈β∧|␈↓ α\␈ε¬1␈↓ ¬B␈ε→1
␈β¬¬␈↓ ε≡␈ε→␈␈↓ ε:␈εu
␈β¬
␈↓ α
␈εα1␈↓ β¬␈εαln␈↓ β)␈ελx␈↓ ∧p␈εα1␈↓ ¬z␈ελu␈↓ ε⊂␈ελe
␈β¬!␈↓ βW␈ελd␈↓ βk␈ελx␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ εo␈ελd␈↓ ε␈␈ελu
␈β¬1␈↓ ↓x␈∧¬1↓xα6␈↓ αt␈∧¬1αtαY␈↓ ∧↑␈∧¬1∧↑α6␈↓ ¬b␈∧¬1¬bα↓β
␈β¬7␈↓ ε6␈ε→␈␈↓ εS␈εu
␈β¬9␈↓ ↓x␈εαln␈↓ α≤␈εα2␈↓ αt␈εα1␈αλ+␈↓ β:␈ελx␈↓ ∧↑␈εαln␈↓ ¬α␈εα2␈↓ ¬b␈εα1␈αλ+␈↓ ε(␈ελe
␈β¬E␈↓ αL␈ε¬0␈↓ ¬2␈ε¬0
␈β¬U␈↓ εp␈ε↓Z
␈β¬↑␈↓ π∀␈ε→1
␈β¬←␈↓ ¬!␈ε↓X
␈β¬k␈↓ ∧p␈εα1
␈β¬|␈↓ ε0␈εk␈↓ ε>␈ε¬+1␈↓ πZ␈ε→␈␈↓ πw␈εk␈↓ λ¬␈εu
␈βεα␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬b␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ε$␈εα)␈↓ π6␈ελu␈↓ πL␈ελe␈↓ λ≥␈ελd␈↓ λ.␈ελu
␈βε∩␈↓ ∧↑␈∧ε∩∧↑α6
␈βε≠␈↓ ∧↑␈εαln␈↓ ¬α␈εα2
␈βε&␈↓ π∧␈ε¬0
␈βε4␈↓ ¬≡␈εk␈↓ ¬-␈ε→∃␈ε¬␈α␈1
␈βεd␈↓ ¬_␈ε↓∩␈↓ 	␈ε↓∪
␈βεg␈↓ ∧p␈εα1␈↓ ¬x␈εα1␈↓ εF␈εα1␈↓ π≥␈εα1␈↓ π⎇␈εα1
␈βε}␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬.␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε⊗␈εα+␈↓ εd␈ε⊗␈␈↓ πD␈εα+␈↓ λ$␈ε⊗␈␈↓ λP␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ∞␈↓ ∧↑␈∧π∞∧↑α6␈↓ ¬x␈∧π∞¬xα∩␈↓ εF␈∧π∞εFα∩␈↓ π∀␈∧π∞π∀α$␈↓ πt␈∧π∞πtα$
␈βπ⊗␈↓ ∧↑␈εαln␈↓ ¬α␈εα2␈↓ ¬x␈εα4␈↓ εF␈εα9␈↓ π∀␈εα16␈↓ πt␈εα25
␈βπE␈↓ ¬_␈ε↓∩␈↓ λ␈ε↓∩␈↓ 
T␈ε↓∪␈↓ 
j␈ε↓∪
␈βπH␈↓ ∧p␈εα1␈↓ ¬x␈εα1␈↓ εF␈εα1␈↓ λ~␈εα1␈↓ λq␈εα1␈↓ 	Q␈εα1
␈βπ←␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬.␈εα1␈αλ+␈↓ ε⊗␈εα+␈↓ εd␈εα+␈↓ π⊂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πB␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ λ8␈εα+␈↓ 	_␈εα+␈↓ 	x␈εα+␈↓ 
$␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βπo␈↓ ∧↑␈∧πo∧↑α6␈↓ ¬x␈∧πo¬xα∩␈↓ εF␈∧πoεFα∩␈↓ λ~␈∧πoλ~α∩␈↓ λh␈∧πoλhα$␈↓ 	H␈∧πo	Hα$
␈βπw␈↓ ∧↑␈εαln␈↓ ¬α␈εα2␈↓ ¬x␈εα4␈↓ εF␈εα9␈↓ λ~␈εα4␈↓ λh␈εα16␈↓ 	H␈εα36
␈βλ&␈↓ ¬0␈ε↓∩␈↓ πX␈ε↓∪
␈βλ)␈↓ ∧|␈εα1␈↓ ε⊂␈εα1␈↓ ε↑␈εα1
␈βλ@␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬F␈εα1␈αλ+␈↓ ε.␈εα+␈↓ ε|␈εα+␈↓ π(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βλQ␈↓ ∧↑␈∧λQ∧↑αN␈↓ ε⊂␈∧λQε⊂α∩␈↓ ε↑␈∧λQε↑α∩
␈βλY␈↓ ∧↑␈εα2␈↓ ∧v␈εαln␈↓ ¬~␈εα2␈↓ ε⊂␈εα4␈↓ ε↑␈εα9
␈β	≠␈↓ ∧n␈ε¬2
␈β	!␈↓ ∧λ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ ∧Z␈ελ→␈↓ ∧⎇␈εα/(12␈↓ ¬E␈εαln␈↓ ¬i␈εα2).
␈β	z␈↓ ↓H␈εαBy␈α(49)␈αw␈α␈e␈αtherefore␈αexpect␈αto␈αhav␈α␈e␈αthe␈αappro␈α␈ximate␈αform␈α␈ula
␈β
P␈↓ ¬8␈ε¬2
␈β
W␈↓ ∧r␈ε⊗␈␈↓ ¬⊗␈ελt␈↓ ¬#␈ελ→␈↓ ¬F␈εα/(12␈↓ ε∞␈εαln␈↓ ε2␈εα2)␈ε⊗␈α
→␈α
␈␈↓ π2␈εαln␈↓ πV␈ελN␈↓ πx␈εα;
␈β∪␈↓ π~␈ε↓␈␈↓ λU␈ε↓↓
␈β.␈↓ λG␈ε¬2
␈β3␈↓ ↓H␈εαthat␈α⊂is,␈↓ αM␈ελt␈↓ αj␈εαshould␈α⊃be␈α⊂appro␈α␈ximately␈α⊂equal␈α⊂to␈↓ π(␈εα(12␈↓ π↑␈εαln␈↓ λα␈εα2)/␈↓ λ2␈ελ→␈↓ λi␈εαln␈↓ 	
␈ελN␈↓ 	/␈εα.␈α_This␈α⊂constan␈α␈t
␈βY␈↓ αf␈ε¬2
␈β↑␈↓ ↓H␈εα(12␈↓ ↓}␈εαln␈↓ α"␈εα2)/␈↓ αR␈ελ→␈↓ βα␈εα=␈α∞0.842765913␈↓ ∧x␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬0␈εαagrees␈α∞perfectly␈α∞with␈α∂the␈α∞empirical␈α∞form␈α␈ula␈α∞(48)
␈β	␈↓ ↓H␈εαobtained␈αearlier,␈αso␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αgood␈αreason␈αto␈αbeliev␈α␈e␈αthat␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β↑␈↓ ¬Z␈εα12␈↓ ε∧␈εαln␈↓ ε(␈εα2
␈βu␈↓ ∧⎇␈ελ≤␈↓ ¬(␈ε⊗→␈↓ εJ␈εαln␈↓ εn␈ελn␈↓ π␈εα+␈αλ1.47␈↓ 
p␈εα(52)
␈β
α␈↓ ¬␈εn
␈β
¬␈↓ ¬Z␈∧
¬¬Zα`
␈β
␈↓ ε
␈ε¬2
␈β

␈↓ ¬x␈ελ→
␈β
[␈↓ ↓H␈εαindicates␈αthe␈αtrue␈αasymptotic␈αbehavior␈αof␈↓ ε`␈ελ≤␈↓ π
␈εαas␈↓ π9␈ελn␈↓ πX␈ε⊗!␈α
1␈εα.
␈β
h␈↓ εo␈εn
␈β∞λ␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈αassume␈αthat␈α(52)␈αis␈αvalid,␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β∞W␈↓ εD␈ε↓X
␈β∞`␈↓ ¬A␈ε↓∩␈↓ πf␈ε↓∪
␈β∞c␈↓ ∧]␈εα12␈↓ ¬π␈εαln␈↓ ¬+␈εα2
␈β∞z␈↓ βz␈ελT␈↓ ∧+␈ε⊗→␈↓ ¬W␈εαln␈↓ ¬{␈ελn␈↓ ε_␈ε⊗␈␈↓ ε}␈ελβ␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελd␈↓ π4␈εα)/␈↓ πR␈ελd␈↓ λ∧␈εα+␈αλ1.47,␈↓ 
p␈εα(53)
␈β∂π␈↓ ∧∂␈εn
␈β∂
␈↓ ∧]␈∧∂
∧]α`
␈β∂⊂␈↓ ¬∂␈ε¬2
␈β∂∩␈↓ ∧{␈ελ→
␈β∂+␈↓ εF␈εd␈↓ εV␈ε→∧␈↓ εe␈εn
␈β⊂∂␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελβ␈↓ αF␈εα(␈↓ αR␈ελd␈↓ αf␈εα)␈αis␈ε∂␈αv␈α␈on␈αMangoldt's␈αfunction␈εα␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrules
␈β⊂a␈↓ εF␈εr
␈β⊂f␈↓ ∧<␈εαln␈↓ ∧`␈ελp␈↓ ∧r␈εα,␈↓ ¬D␈εαif␈↓ ¬f␈ελn␈↓ εε␈εα=␈↓ ε4␈ελp␈↓ ε`␈εαfor␈↓ π_␈ελp␈↓ π6␈εαprime␈αand␈↓ λb␈ελr␈↓ λ|␈ε⊗∃␈εα␈α
1;
␈β⊂g␈↓ ∧&␈ε↓~
␈β⊃↓␈↓ β*␈ελβ␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελn␈↓ βb␈εα)␈α
=␈↓ 
p␈εα(54)
␈β⊃≤␈↓ ∧<␈εα0,␈↓ ¬D␈εαotherwise.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα352␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,
␈βαx␈↓ ∧.␈ε↓∩␈↓ λf␈ε↓∪
␈βα{␈↓ βJ␈εα12␈↓ βt␈εαln␈↓ ∧_␈εα2␈↓ ¬V␈εαln␈↓ ¬z␈εα2␈↓ εH␈εαln␈↓ εl␈εα2␈↓ π:␈εαln␈↓ π↑␈εα2␈↓ λ,␈εαln␈↓ λP␈εα5
␈ββ∩␈↓ αN␈ελT␈↓ β_␈ε⊗→␈↓ ∧D␈εαln␈↓ ∧h␈εα100␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε_␈ε⊗␈␈↓ π
␈ε⊗␈␈↓ π|␈ε⊗␈␈↓ 	∧␈εα+␈αλ1.47
␈ββ∨␈↓ αc␈ε¬10␈α↓0
␈ββ"␈↓ βJ␈∧β"βJα`␈↓ ¬V␈∧β"¬Vα6␈↓ εH␈∧β"εHα6␈↓ π:␈∧β"π:α6␈↓ λ,␈∧β"λ,α6
␈ββ(␈↓ β⎇␈ε¬2
␈ββ*␈↓ βi␈ελ→␈↓ ¬h␈εα2␈↓ εZ␈εα4␈↓ πL␈εα5␈↓ λ5␈εα25
␈ββ]␈↓ β_␈ε⊗→␈εα␈α
(0.843)(4.605␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.347␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.173␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.322␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0.064)␈αλ+␈αλ1.47
␈β∧∪␈↓ β_␈ε⊗→␈εα␈α
4.59;
␈β∧b␈↓ ↓H␈εαthe␈αexact␈αvalue␈αof␈↓ βp␈ελT␈↓ ∧<␈εαis␈α4.56.
␈β∧o␈↓ ∧¬␈ε¬100
␈β¬
␈↓ α␈εαWe␈α
can␈α
also␈α
estimate␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
division␈α
steps␈α
when␈↓ 	|␈ελu␈↓ 
≤␈εαand␈↓ 
`␈ελv␈↓ 
|␈εαare
␈β¬8␈↓ ↓H␈εαboth␈αuniformly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ εh␈ελN␈↓ π	␈εα,␈αby␈αcalculating
␈β¬{␈↓ ε≤␈ε↓X
␈βεπ␈↓ ¬X␈εα1
␈βε≡␈↓ εw␈ελT␈↓ π≡␈εα.␈↓ 
p␈εα(55)
␈βε+␈↓ π␈εn
␈βε.␈↓ ¬P␈∧ε.¬Pα"
␈βε6␈↓ ¬P␈ελN
␈βεO␈↓ ¬|␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ε'␈εn␈↓ ε9␈ε→∀␈↓ εV␈εN
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαAssuming␈αform␈α␈ula␈α(53),␈αthis␈αsum␈αhas␈αthe␈αform
␈βπ|␈↓ ¬#␈εα12␈↓ ¬M␈εαln␈↓ ¬q␈εα2
␈βλ∪␈↓ ε
␈εαln␈↓ ε1␈ελN␈↓ ε[␈εα+␈↓ ππ␈ελO␈↓ π!␈εα(1),␈↓ 
p␈εα(56)
␈βλ#␈↓ ¬#␈∧λ#¬#α`
␈βλ)␈↓ ¬V␈ε¬2
␈βλ+␈↓ ¬B␈ελ→
␈βλu␈↓ ↓H␈εα(see␈αλex␈α␈ercise␈α	27),␈α	and␈αλempirical␈α	calculations␈αλwith␈α	the␈αλsame␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈αλused␈α	to␈αλderiv␈α␈e
␈β	 ␈↓ ↓H␈εαEq.␈α4.5.2↑45␈αsho␈α␈w␈αgood␈αagreemen␈α␈t␈αwith␈αthe␈αform␈α␈ula
␈β	o␈↓ ¬%␈εα12␈↓ ¬O␈εαln␈↓ ¬s␈εα2
␈β
¬␈↓ ε∂␈εαln␈↓ ε3␈ελN␈↓ ε]␈εα+␈αλ0.06.␈↓ 
p␈εα(57)
␈β
⊗␈↓ ¬%␈∧
⊗¬%α`
␈β
≠␈↓ ¬X␈ε¬2
␈β
≡␈↓ ¬D␈ελ→
␈β
e␈↓ ↓H␈εαOf␈α
course␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
not␈α
y␈α␈et␈ε∂␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈εα␈α
an␈α␈ything␈α
about␈↓ πU␈ελT␈↓ λε␈εαand␈↓ λJ␈ελ≤␈↓ λv␈εαin␈α
general;␈αso␈α
far␈α
w␈α␈e
␈β
s␈↓ πj␈εn␈↓ λY␈εn
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
only␈α∞been␈α∞considering␈α
plausible␈α∞reasons␈α∞wh␈α␈y␈α∞the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α∞form␈α␈ulas␈α∞ough␈α␈t␈α
to
␈β<␈↓ ↓H␈εαhold.␈αFortunately␈α
it␈αis␈α
no␈α␈w␈α
possible␈αto␈α
supply␈α
rigorous␈αproofs,␈α
based␈αon␈α
a␈α
careful
␈βg␈↓ ↓H␈εαanalysis␈αby␈αsev␈α␈eral␈αmathematicians.
␈β
␈↓ ε$␈ε¬2
␈β∩␈↓ α␈εαThe␈α⊂leading␈α⊃coe}cien␈α␈t␈α⊂(12␈↓ ¬<␈εαln␈↓ ¬`␈εα2)/␈↓ ε⊂␈ελ→␈↓ εC␈εαin␈α⊃the␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊃form␈α␈ulas␈α⊂was␈α⊂established
␈β=␈↓ ↓H␈εα|rst,␈α
in␈α
independen␈α␈t␈α
studies␈α
by␈α∞John␈α
D.␈α
Dix␈α␈on␈α
and␈α
Hans␈α
A.␈α
Heilbronn.␈α≠Dix␈α␈on
␈βi␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂J.␈α∂Num␈α␈ber␈α⊂Theory␈ε∩␈α⊂2␈εα␈α⊂(1970),␈α⊂414↑422]␈α⊂dev␈α␈eloped␈α⊂the␈α⊂theory␈α∂of␈α⊂the␈↓ 
∀␈ελF␈↓ 
:␈εα(␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α∂dis-
␈βv␈↓ 
(␈εn
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαtributions␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
that␈α
individual␈α∞partial␈α
quotien␈α␈ts␈α
are␈α
essen␈α␈tially␈α
independen␈α␈t
␈β
?␈↓ ↓H␈εαof␈αeach␈αother␈αin␈αan␈αappropriate␈αsense,␈αand␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈↓ 
⊗␈ελ∂␈↓ 
/␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
K␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α}␈ε↓␈␈↓ ∧9␈ε↓↓␈↓ ¬ε␈ε↓␈␈↓ λr␈ε↓␈␈↓ 
n␈ε↓↓
␈β
`␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ¬ε␈ε↓␈
␈β
e␈↓ ∧*␈ε¬2␈↓ ε≥␈ε¬(␈α␈1␈α↓/2␈α↓)␈α␈+␈↓ εx␈ε∂␈↓ 
F␈ε∂␈↓ 
R␈ε¬/2␈↓ ≡␈ε¬2
␈β
j␈↓ ↓T␈ελT␈↓ ↓m␈εα(␈↓ ↓y␈ελm␈↓ α→␈εα,␈↓ α)␈ελn␈↓ α>␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β␈εα(12␈↓ βB␈εαln␈↓ βf␈εα2)/␈↓ ∧⊗␈ελ→␈↓ ∧M␈εαln␈↓ ∧q␈ελn␈↓ ¬≥␈εα<␈α
(␈↓ ¬W␈εαln␈↓ ¬{␈ελn␈↓ ε⊃␈εα)␈↓ π⊂␈εαex␈α␈cept␈α
for␈↓ λ:␈εαexp␈↓ 	␈ε⊗␈␈↓ 	$␈ελc␈↓ 	2␈εα(␈↓ 	>␈ελ∂␈↓ 	L␈εα)(␈↓ 	d␈εαlog␈↓ 
_␈ελN␈↓ 
:␈εα)␈↓ 
|␈ελN
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαvalues␈α
of␈↓ αb␈ελm␈↓ β∞␈εαand␈↓ βU␈ελn␈↓ βx␈εαin␈α
the␈α
range␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ ε∩␈ελm␈↓ ε>␈εα<␈↓ εm␈ελn␈↓ π∂␈ε⊗∀␈↓ π>␈ελN␈↓ π`␈εα,␈α
where␈↓ λ`␈ελc␈↓ λn␈εα(␈↓ λz␈ελ∂␈↓ 	λ␈εα)␈α>␈α0.␈α∂Heilbronn's
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαapproach␈α∩was␈α⊃completely␈α∩di{eren␈α␈t,␈α∀w␈α␈orking␈α∩en␈α␈tirely␈α∩with␈α∩in␈α␈tegers␈α∩instead␈α⊃of
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈uous␈α∞variables.␈α∪His␈α∞idea,␈α∂which␈α∞is␈α∂presen␈α␈ted␈α∞in␈α∞sligh␈α␈tly␈α∂modi|ed␈α∞form␈α∞in
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercises␈α33␈αand␈α34,␈αis␈αbased␈αon␈αthe␈αfact␈αthat␈↓ π⊃␈ελ≤␈↓ π=␈εαcan␈αbe␈αrelated␈αto␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈β∂$␈↓ π ␈εn
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαways␈αλto␈αλrepresen␈α␈t␈↓ β]␈ελn␈↓ β{␈εαin␈αλa␈αλcertain␈αλmanner.␈αFurthermore,␈α	his␈αλpaper␈αλ[␈ε∂Num␈α␈ber␈αλTheory
␈β∂m␈↓ ↓H␈ε∂and␈αAnalysis␈εα,␈α
ed.␈αby␈α
Paul␈αTur␈↓ ¬&␈εα∞␈↓ ¬&␈εαa␈↓ ¬8␈εαn␈α
(New␈αYork:␈α
Plen␈α␈um,␈α
1969),␈α87↑96]␈α
sho␈α␈ws␈αthat
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαthe␈α
distribution␈α
of␈α∞individual␈α
partial␈α∞quotien␈α␈ts␈α
1,␈α∞2,␈↓ λ	␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ@␈εαthat␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
discussed
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαabo␈α␈v␈α␈e␈αλactually␈αλapplies␈α	to␈αλthe␈α	en␈α␈tire␈αλcollection␈αλof␈α	partial␈αλquotien␈α␈ts␈α	belonging␈αλto␈αλthe
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαfractions␈αλhaving␈α	a␈αλgiv␈α␈en␈α	denominator;␈α
this␈αλis␈α	a␈α	sharper␈αλform␈α	of␈αλTheorem␈α	E␈↓ 
;␈εα.␈αA␈αλstill
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαsharper␈α
result␈αwas␈α
obtained␈αsev␈α␈eral␈α
y␈α␈ears␈αlater␈αby␈α
J.␈αW.␈α
Porter␈α[␈ε∂Mathematika␈ε∩␈α
22
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα353
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(1975),␈α20↑28],␈αwho␈αestablished␈αthat
␈βαn␈↓ ∧s␈εα12␈↓ ¬≥␈εαln␈↓ ¬A␈εα2
␈βα␈␈↓ πW␈ε→␈␈ε¬1␈α↓/6+␈↓ λ<␈ε∂
␈ββ¬␈↓ ∧⊗␈ελ≤␈↓ ∧A␈εα=␈↓ ¬]␈εαln␈↓ ε↓␈ελn␈↓ ε≡␈εα+␈↓ εJ␈ελC␈↓ εp␈εα+␈↓ π≤␈ελO␈↓ π6␈εα(␈↓ πB␈ελn␈↓ λH␈εα),␈↓ 
p␈εα(58)
␈ββ∩␈↓ ∧%␈εn
␈ββ∃␈↓ ∧s␈∧β∃∧sα`
␈ββ≠␈↓ ¬&␈ε¬2
␈ββ≥␈↓ ¬⊃␈ελ→
␈ββ\␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελC␈↓ αW␈εα=␈α
1.4670780794␈↓ ∧[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊃␈εαis␈αthe␈αconstan␈α␈t
␈β∧	␈↓ βR␈ε↓␈␈↓ ∧{␈ε↓↓␈↓ ¬	␈ε↓␈␈↓ λ?␈ε↓↓
␈β∧$␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ π+␈ε¬2␈↓ πH␈ε→0
␈β∧&␈↓ 	¬␈ε¬1
␈β∧)␈↓ β`␈εα(6␈↓ ∧∧␈εαln␈↓ ∧(␈εα2)/␈↓ ∧X␈ελ→␈↓ ¬↔␈εα3␈↓ ¬/␈εαln␈↓ ¬S␈εα2␈αλ+␈αλ4␈↓ ε+␈ελ␈
␈↓ εG␈ε⊗␈␈εα␈αλ24␈↓ π↔␈ελ→␈↓ π9␈ελ⊂␈↓ πO␈εα(2)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ λU␈ε⊗␈␈↓ 	_␈εα;
␈β∧9␈↓ 	¬␈∧∧9	¬α∂
␈β∧<␈↓ 	¬␈ε¬2
␈β∧v␈↓ ↓H␈εαsee␈α∞D.␈α∞E.␈α∞Kn␈α␈uth,␈ε∂␈α∂Computers␈α∂and␈α∞Math.␈α∞with␈α∞Applic.␈ε∩␈α∂2␈εα␈α∞(1976),␈α∂137↑139.␈α∩Th␈α␈us
␈β¬!␈↓ ↓H␈εαthe␈αconjecture␈α(48)␈αis␈αfully␈αpro␈α␈v␈α␈ed.
␈β¬L␈↓ α␈εαThe␈αav␈α␈erage␈αrunning␈αtime␈αfor␈αEuclid's␈αalgorithm␈αon␈αm␈α␈ultiprecision␈αin␈α␈tegers,
␈β¬x␈↓ ↓H␈εαusing␈αclassical␈αalgorithms␈αfor␈αarithmetic,␈αwas␈αsho␈α␈wn␈αto␈αbe␈αof␈αorder
␈βε%␈↓ βj␈ε↓␈␈↓ ∧l␈ε↓␈␈↓ π'␈ε↓↓␈↓ π5␈ε↓↓
␈βεE␈↓ βx␈εα1␈αλ+␈↓ ∧>␈εαlog␈↓ ∧z␈εαmax␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελu␈↓ ¬`␈εα,␈↓ ¬p␈ελv␈↓ εβ␈εα)/␈↓ ε!␈εαgcd␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελu␈↓ εx␈εα,␈↓ πλ␈ελv␈↓ π≠␈εα)␈↓ πI␈εαlog␈↓ π⎇␈εαmin␈↓ λ9␈εα(␈↓ λE␈ελu␈↓ λ[␈εα,␈↓ λk␈ελv␈↓ λ}␈εα)
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαby␈αG.␈αE.␈αCollins,␈αin␈ε∂␈αSIAM␈αJ.␈αComputing␈ε∩␈α3␈εα␈α(1974),␈α1↑10.
␈βπO␈↓ ↓H␈ε∩Summary.␈εα␈α∪We␈α
hav␈α␈e␈α	found␈α
that␈α	the␈α
w␈α␈orst␈α
case␈α	of␈α
Euclid's␈α	algorithm␈α
occurs␈α	when
␈βπz␈↓ ↓H␈εαits␈αinputs␈↓ αg␈ελu␈↓ β	␈εαand␈↓ βN␈ελv␈↓ βm␈εαare␈αconsecutiv␈α␈e␈αFibonacci␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(Theorem␈αF␈↓ 	W␈εα);␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈βλ%␈↓ ↓H␈εαof␈α∞division␈α∞steps␈α∞when␈↓ ∧8␈ελv␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬
␈ελn␈↓ ¬.␈εαwill␈α∞nev␈α␈er␈α∞ex␈α␈ceed␈ε⊗␈α∞d␈εα4.8␈↓ λ∞␈εαlog␈↓ λ←␈ελN␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα␈α	0.32␈ε⊗e␈εα.␈α∩We␈α∞hav␈α␈e
␈βλ6␈↓ λ<␈ε¬10
␈βλP␈↓ ↓H␈εαdetermined␈α
the␈αfrequency␈α
of␈αthe␈α
values␈αof␈αvarious␈α
partial␈αquotien␈α␈ts,␈αsho␈α␈wing,␈α
for
␈βλ|␈↓ ↓H␈εαexample,␈α∂that␈α∂the␈α∞division␈α∂step␈α∂|nds␈ε⊗␈α∞b␈↓ ε2␈ελu␈↓ εH␈εα/␈↓ εZ␈ελv␈↓ εm␈ε⊗c␈εα␈α∞=␈α∂1␈α∞about␈α∂41␈α∞percen␈α␈t␈α∂of␈α∂the␈α∞time
␈β	'␈↓ ↓H␈εα(Theorem␈αE␈↓ ββ␈εα).␈αAnd,␈α|nally,␈αthe␈αtheorems␈αof␈αHeilbronn␈αand␈αDix␈α␈on␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αthe
␈β	R␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ βM␈ελT␈↓ ∧␈εαof␈αdivision␈αsteps␈αwhen␈↓ εh␈ελv␈↓ π∧␈εα=␈↓ π2␈ελn␈↓ πT␈εαis␈αappro␈α␈ximately
␈β	←␈↓ βb␈εn
␈β
␈↓ ∧-␈ε↓␈␈↓ ¬g␈ε↓↓
␈β
→␈↓ ¬Y␈ε¬2
␈β
∨␈↓ ∧;␈εα(12␈↓ ∧q␈εαln␈↓ ¬∃␈εα2)/␈↓ ¬E␈ελ→␈↓ ¬{␈εαln␈↓ ε∨␈ελn␈↓ ε?␈ε⊗→␈εα␈α
1.9405␈↓ πW␈εαlog␈↓ λ(␈ελn␈↓ λ=␈εα.
␈β
0␈↓ λ¬␈ε¬10
␈β
l␈↓ ↓H␈εαEmpirical␈α∂calculations␈α∂sho␈α␈w␈α∂that␈↓ ¬d␈ελT␈↓ ε~␈εαis␈α∂giv␈α␈en␈α∂v␈α␈ery␈α⊂accurately␈α∂by␈α∂this␈α∂form␈α␈ula,
␈β
z␈↓ ¬y␈εn
␈β_␈↓ ↓H␈εαmin␈α␈us␈αa␈αcorrection␈αterm␈αbased␈αon␈αthe␈αdivisors␈αof␈↓ πO␈ελn␈↓ πp␈εαas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αEq.␈α(53).
␈β∪␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β[␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β←␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sin␈α␈ce␈α∂the␈α∂q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈ε↔␈α∂b␈↓ ¬ε␈ε	u␈↓ ¬~␈εβ/␈↓ ¬+␈ε	v␈↓ ¬<␈ε↔c␈εβ␈α∂is␈α⊂e␈α␈qua␈α␈l␈α⊂to␈α∞un␈α␈i␈α↓ty␈α∞o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α∂40␈α∂p␈α␈ercen␈α}t␈α∂of␈α∂the␈α∂time␈α∂in
␈β
π␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈α4.5.2␈α␈A␈↓ βD␈εβ,␈αit␈αma␈α␈y␈αbe␈αa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈αon␈αso␈α␈me␈αcom␈α␈pu␈α␈ters␈αto␈αmak␈α}e␈αa␈αte␈α␈st␈αfo␈α␈r␈αth␈α␈is
␈β
+␈↓ 	k␈ε∃MIX
␈β
.␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈α	an␈α␈d␈α	to␈αλav␈α}oid␈α	th␈α␈e␈α	div␈α␈i␈α↓sion␈αλwhe␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	qu␈α␈otien␈α␈t␈α	is␈α	u␈α␈nity.␈α
Is␈α	the␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈↓ 
2␈εβpro␈α␈gram
␈β
V␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αmo␈α␈re␈αe}cien␈α}t␈αtha␈α␈n␈αProgr␈α␈am␈α4.5.2␈α␈A?
␈β∞∪␈↓ ∧R␈ε∃LDX␈↓ ¬N␈ε∃U
␈β∞⊗␈↓ εU␈εβrX␈↓ πβ␈ε↔ ␈↓ π-␈ε	u␈↓ πA␈εβ.
␈β∞:␈↓ ∧R␈ε∃JMP␈↓ ¬N␈ε∃2F
␈β∞b␈↓ β␈␈ε∃1H␈↓ ∧R␈ε∃STX␈↓ ¬N␈ε∃V
␈β∞e␈↓ εU␈ε	v␈↓ εo␈ε↔ ␈↓ π~␈εβrX␈↓ π?␈εβ.
␈β∂
␈↓ ∧R␈ε∃SUB␈↓ ¬N␈ε∃V
␈β∂
␈↓ εU␈εβrA␈↓ πβ␈ε↔ ␈↓ π-␈ε	u␈↓ πI␈ε↔␈␈↓ πr␈ε	v␈↓ λβ␈εβ.
␈β∂1␈↓ ∧R␈ε∃CMP␈α␈A␈↓ ¬N␈ε∃V
␈β∂Y␈↓ ∧R␈ε∃SRA␈α␈X␈↓ ¬N␈ε∃5
␈β∂\␈↓ εU␈εβrAX␈↓ π≠␈ε↔ ␈↓ πE␈εβrA␈↓ πj␈εβ.
␈β⊂␈↓ ∧R␈ε∃JL␈↓ ¬N␈ε∃2F
␈β⊂β␈↓ εU␈εβIs␈↓ εx␈ε	u␈↓ π∪␈ε↔␈␈↓ π<␈ε	v␈↓ πV␈εβ<␈↓ λ↓␈ε	v␈↓ λ∩␈εβ?
␈β⊂(␈↓ ∧R␈ε∃DIV␈↓ ¬N␈ε∃V
␈β⊂+␈↓ εU␈εβrX␈↓ πβ␈ε↔ ␈↓ π-␈εβrAX␈↓ πp␈εβmo␈α␈d␈↓ λ4␈ε	v␈↓ λF␈εβ.
␈β⊂P␈↓ β␈␈ε∃2H␈↓ ∧R␈ε∃LDA␈↓ ¬N␈ε∃V
␈β⊂S␈↓ εU␈εβrA␈↓ πβ␈ε↔ ␈↓ π-␈ε	v␈↓ π?␈εβ.
␈β⊂w␈↓ ∧R␈ε∃JXN␈α␈Z␈↓ ¬N␈ε∃1B
␈β⊂z␈↓ εU␈εβD␈α␈one␈αif␈↓ πK␈εβrX␈↓ πy␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β⊂|␈↓ λc␈∧⊂|λc≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα354␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Eva␈α␈luate␈α
the␈αma␈α␈trix␈αp␈α␈rodu␈α␈ct
␈βαp␈↓ ∧M␈ε↓∩␈↓ ¬@␈ε↓∪␈↓ ¬V␈ε↓∩␈↓ εI␈ε↓∪␈↓ π⊃␈ε↓∩␈↓ λπ␈ε↓∪
␈βαv␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ¬,␈εβ1␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε5␈εβ1␈↓ π+␈ε	x␈↓ πs␈εβ1
␈ββ↓␈↓ ∧w␈εε1␈↓ ¬␈␈εε2␈↓ π:␈εn
␈ββ
␈↓ εe␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ≥␈εβ.
␈ββ$␈↓ ∧m␈εβ1␈↓ ¬,␈εβ0␈↓ ¬v␈εβ1␈↓ ε5␈εβ0␈↓ π2␈εβ1␈↓ πs␈εβ0
␈ββy␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f
␈β∧$␈↓ ∧/␈ε↓0␈↓ λO␈ε↓1
␈β∧H␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ¬R␈εβ1␈↓ ε;␈εβ0␈↓ π∨␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ∃␈εβ0
␈β∧R␈↓ ∧w␈εε1
␈β∧e␈↓ ∧/␈ε↓B␈↓ λO␈ε↓C
␈β∧o␈↓ ∧L␈ε↔␈␈↓ ∧n␈εβ1␈↓ ¬L␈ε	x␈↓ ε;␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ0
␈β∧z␈↓ ¬[␈εε2
␈β∧{␈↓ ∧/␈ε↓B␈↓ λO␈ε↓C
␈β¬⊂␈↓ ∧/␈ε↓B␈↓ λ→␈εβ.␈↓ λO␈ε↓C
␈β¬↔␈↓ ∧n␈εβ0␈↓ ¬0␈ε↔␈␈↓ ¬R␈εβ1␈↓ ε5␈ε	x␈↓ π*␈εβ1
␈β¬≡␈↓ λ→␈εβ.
␈β¬!␈↓ εE␈εε3
␈β¬&␈↓ ∧/␈ε↓B␈↓ λO␈ε↓C
␈β¬'␈↓ β{␈εβd␈α␈et␈↓ λl␈εβ?
␈β¬,␈↓ λ→␈εβ.
␈β¬<␈↓ ∧/␈ε↓B␈↓ λO␈ε↓C
␈β¬>␈↓ ε~␈ε↔␈␈↓ ε;␈εβ1
␈β¬E␈↓ ∧q␈εβ.
␈β¬L␈↓ π∨␈εβ.
␈β¬Q␈↓ ∧/␈ε↓@␈↓ λO␈ε↓A
␈β¬T␈↓ ∧q␈εβ.
␈β¬W␈↓ π.␈εβ.
␈β¬b␈↓ ∧q␈εβ.␈↓ π<␈εβ.␈↓ λ∃␈εβ1
␈βε
␈↓ ∧n␈εβ0␈↓ ¬R␈εβ0␈↓ ε0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈ε↔␈␈↓ π*␈εβ1␈↓ λ∞␈ε	x
␈βε∀␈↓ λ≥␈εn
␈βε`␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αE␈α↓q␈α␈.␈α(8␈α␈).
␈βπ⊃␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈25␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βK␈ε	x␈↓ βg␈εβ,␈↓ β⎇␈ε	x␈↓ ∧→␈εβ,␈↓ ∧/␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧b␈εβb␈α␈e␈α
a␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α}bers␈αth␈α␈at␈α
a␈α␈re␈αeach␈αg␈α␈reate␈α␈r␈α
th␈α␈an
␈βπ≤␈↓ βZ␈εε1␈↓ ∧␈εε2
␈βπ9␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αr␈α␈eal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ ∧R␈ε	∂␈↓ ∧←␈εβ.␈α∞Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αthe␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈ite␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αf␈α↓r␈α␈action␈ε↔␈α?␈↓ 	n␈ε	x␈↓ 

␈εβ,␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
5␈εβ,␈↓ 
C␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
p␈ε↔?␈εβ␈α
=
␈βπD␈↓ 	⎇␈εε1␈↓ 
(␈εε2
␈βπa␈↓ ↓H␈εβlim␈↓ α>␈ε↔?␈↓ αO␈ε	x␈↓ αk␈εβ,␈↓ αz␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β&␈εβ,␈↓ β5␈ε	x␈↓ βU␈ε↔?␈εβ␈αλexists.␈αS␈α␈ho␈α}w␈α
a␈α␈lso␈α	tha␈α␈t␈ε↔␈α
?␈↓ εA␈ε	x␈↓ ε]␈εβ,␈↓ εl␈ε	x␈↓ πλ␈εβ,␈↓ π↔␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πC␈ε↔?␈εβ␈α	ne␈α␈ed␈α	n␈α␈ot␈α	exist␈α	if␈α
w␈α␈e␈α	a␈α␈ssume␈α	o␈α␈nly
␈βπk␈↓ ↓v␈εn␈↓ αε␈ε~!1␈↓ α↑␈εε1␈↓ βD␈εn␈↓ εQ␈εε1␈↓ ε{␈εε2
␈βλλ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α5␈εβ>␈α	0␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ β]␈ε	j␈↓ βl␈εβ.
␈βλ∪␈↓ α∨␈εj
␈βλ:␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α	reg␈α␈ular␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α	fra␈α␈ction␈α	e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈α	ex␈α␈pan␈α␈sion␈α	o␈α␈f␈α	a␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βλb␈↓ ↓H␈εβis␈ε⊂␈α∞u␈α␈niqu␈α␈e␈εβ␈α∞in␈α
the␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈α↓in␈α␈g␈α∞sen␈α␈se:␈α⊃If␈↓ ¬X␈ε	B␈↓ ¬x␈εβ,␈↓ ε⊂␈ε	B␈↓ ε0␈εβ,␈↓ εG␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε|␈εβare␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers,␈α∂th␈α␈en␈α∞th␈α␈e␈α∞in␈α␈|n␈α␈i␈α↓te
␈βλl␈↓ ¬k␈εε1␈↓ ε#␈εε2
␈β		␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈απf␈α↓ra␈α␈ction␈ε↔␈αλ?␈↓ βf␈ε	B␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧∃␈ε	B␈↓ ∧5␈εβ,␈↓ ∧D␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧p␈ε↔?␈εβ␈αλis␈αλan␈αλirratio␈α␈nal␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ πW␈ε	X␈↓ π{␈εβbe␈α␈tw␈α␈e␈α␈en␈αλ0␈αλa␈α␈nd␈αλ1␈αλwh␈α␈ose␈αλre␈α␈gula␈α␈r
␈β	∀␈↓ βz␈εε1␈↓ ∧(␈εε2
␈β	1␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αfractio␈α␈n␈αh␈α␈as␈↓ ∧→␈ε	A␈↓ ∧I␈εβ=␈↓ ∧u␈ε	B␈↓ ¬%␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε'␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈;␈α
an␈α␈d␈αi␈α↓f␈↓ π[␈ε	B␈↓ π{␈εβ,␈↓ λ⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈εβ,␈↓ λR␈ε	B␈↓ 	λ␈εβare␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}teger␈α␈s
␈β	<␈↓ ∧.␈εn␈↓ ¬λ␈εn␈↓ πn␈εε1␈↓ λe␈εm
␈β	Y␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α∀␈ε	B␈↓ αI␈εβ>␈α1,␈αthe␈α␈n␈αth␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfo␈α␈r␈↓ π]␈ε	X␈↓ λβ␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ λ@␈ε	B␈↓ λ`␈εβ,␈↓ λn␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	≠␈εβ,␈↓ 	*␈ε	B␈↓ 	T␈ε↔?␈εβ␈αh␈α␈as␈↓ 
-␈ε	A␈↓ 
]␈εβ=␈↓ 	␈ε	B
␈β	c␈↓ α(␈εm␈↓ λS␈εε1␈↓ 	=␈εm␈↓ 
B␈εn␈↓ ≤␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ α@␈ε	n␈↓ α]␈ε↔∀␈↓ βλ␈ε	m␈↓ β%␈εβ.
␈β
2␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈αλa␈α␈ll␈α	pe␈α␈rm␈α␈uta␈α␈tions␈↓ ¬7␈ε	p␈↓ ¬H␈εβ(1␈α␈)␈↓ ¬o␈ε	p␈↓ ε␈εβ(2␈α␈)␈↓ ε,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εX␈ε	p␈↓ εi␈εβ(␈↓ εt␈ε	n␈↓ πλ␈εβ)␈α	o␈α␈f␈α	th␈α␈e␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε↔␈α	f␈εβ␈α␈1,␈αε2␈α␈,␈↓ 	>␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	k␈εβ,␈↓ 	y␈ε	n␈↓ 

␈ε↔g␈εβ␈αλsuch␈απtha␈α␈t
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α∃␈εβ,␈↓ α$␈ε	x␈↓ α@␈εβ,␈↓ αO␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ α{␈εβ,␈↓ β
␈ε	x␈↓ β*␈εβ)␈α	=␈↓ βi␈ε	Q␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	x␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈ε	x␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Z␈εβ,␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ε'␈εβ)␈αho␈α␈lds␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ∩␈εβ,␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λB␈εβ,␈↓ λW␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	_␈ε	x␈↓ 	7␈εβ.
␈β
d␈↓ ↓↑␈εn␈↓ α	␈εε1␈↓ α3␈εε2␈↓ β~␈εn␈↓ β␈␈εn␈↓ λ¬␈εε1␈↓ λ6␈εε2␈↓ 	'␈εn
␈β
e␈↓ ∧*␈εp␈↓ ∧8␈εε(1)␈↓ ∧s␈εp␈↓ ¬↓␈εε(2)␈↓ ¬x␈εp␈↓ εε␈εε(␈↓ ε∞␈εn␈↓ ε≡␈εε)
␈β␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∂t␈α␈hat␈ε↔␈α∞␈␈εβ␈α↓1␈α␈/␈↓ ∧a␈ε	X␈↓ ¬_␈εβ=␈ε↔␈α⊂?␈↓ ¬Z␈ε	A␈↓ ¬␈␈εβ,␈↓ ε∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε:␈εβ,␈↓ εI␈ε	A␈↓ εk␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ π≠␈ε	X␈↓ π7␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈α⊂w␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ λw␈ε	X␈↓ 	.␈εβis␈α∂d␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈,␈α⊃in␈α∞the
␈β⊗␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬o␈εn␈↓ ε←␈εε1␈↓ 	∞␈εn
␈β3␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gula␈α␈r␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α
fraction␈α
pro␈α␈cess.
␈βe␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α␈s␈αsatisfy␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αide␈α␈n␈α␈tities:
␈β∪␈↓ α␈ε⊗?␈↓ β$␈ε⊗?␈↓ βj␈ε⊗?␈↓ ε|␈ε⊗?
␈β⊗␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α≡␈ε	x␈↓ α:␈εβ,␈↓ αI␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αu␈εβ,␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β?␈εβ=␈↓ β|␈ε	x␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧&␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ+␈ε↔␈απ?␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ε↓␈εβ,␈↓ ε⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε=␈εβ,␈↓ εK␈ε	x␈↓ εk␈ε↔?␈↓ π∞␈εβ,␈↓ π←1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ#␈ε	k␈↓ λ=␈ε↔∀␈↓ λh␈ε	n␈↓ λ|␈εβ;
␈β!␈↓ α-␈εε1␈↓ β∪␈εn␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧q␈εk␈↓ ¬N␈εk␈↓ ¬\␈εε+1␈↓ ε[␈εn
␈βE␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈ε↔?␈εβ0␈α␈,␈↓ α<␈ε	x␈↓ αX␈εβ,␈↓ αg␈ε	x␈↓ ββ␈εβ,␈↓ β∩␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β>␈εβ,␈↓ βM␈ε	x␈↓ βm␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧U␈εβ+␈ε↔␈απ?␈↓ ¬∞␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬e␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	x␈↓ ε∀␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ εv␈ε	n␈↓ π∪␈ε↔∃␈εβ␈α	1;
␈βP␈↓ αL␈εε1␈↓ αv␈εε2␈↓ β\␈εn␈↓ ∧A␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ εβ␈εn
␈βt␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈ε↔?␈↓ α≥␈ε	x␈↓ α9␈εβ,␈↓ αH␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ αt␈εβ,␈↓ ββ␈ε	x␈↓ βE␈εβ,␈↓ βT␈ε	x␈↓ βq␈εβ,␈α¬0,␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧a␈εβ,␈↓ ∧p␈ε	x␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬A␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬n␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	x␈↓ ε≤␈ε↔?
␈β}␈↓ α,␈εε1␈↓ β∩␈εk␈↓ β∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ βc␈εk␈↓ ∧.␈εk␈↓ ∧;␈εε+␈α↓1␈↓ ∧␈␈εk␈↓ ¬
␈εε+2␈↓ ε␈εn
␈β
≠␈↓ ∧h␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬N␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε	␈ε	x␈↓ εL␈εβ,␈↓ εZ␈ε	x␈↓ ε}␈εβ+␈↓ π'␈ε	x␈↓ πj␈εβ,␈↓ πx␈ε	x␈↓ λ;␈εβ,␈↓ λJ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λv␈εβ,␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	%␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ 
ε1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
K␈ε	k␈↓ 
e␈εβ<␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ;
␈β
&␈↓ ¬3␈εε1␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1␈↓ εj␈εk␈↓ π7␈εk␈↓ πD␈εε+1␈↓ λλ␈εk␈↓ λ∃␈εε+2␈↓ 	∀␈εn
␈β
J␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈αλ?␈↓ α]␈ε	x␈↓ αy␈εβ,␈↓ βλ␈ε	x␈↓ β$␈εβ,␈↓ β3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β←␈εβ,␈↓ βn␈ε	x␈↓ ∧∞␈ε↔?␈εβ␈α	=␈ε↔␈α	?␈εβ1,␈↓ ¬β␈ε	x␈↓ ¬&␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ¬n␈ε	x␈↓ ε
␈εβ,␈↓ ε→␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εE␈εβ,␈↓ εT␈ε	x␈↓ εt␈ε↔?␈εβ,␈↓ πV␈ε	n␈↓ πs␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.
␈β
U␈↓ αm␈εε1␈↓ β_␈εε2␈↓ β}␈εn␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ¬}␈εε2␈↓ εd␈εn
␈β
|␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗By␈α
the␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α
of␈α∞ex␈α}ercise␈α
6,␈α∂e␈α␈v␈α␈ery␈α
irration␈α␈al␈α∞re␈α␈al␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ 	G␈ε	X␈↓ 	p␈εβha␈α␈s␈α∞a␈α
un␈α␈ique
␈β∞$␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gula␈α␈r␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈α␈-fraction␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈αo␈α␈f␈αthe␈αfo␈α␈rm
␈β∞o␈↓ ∧u␈ε	X␈↓ ¬~␈εβ=␈↓ ¬D␈ε	A␈↓ ¬m␈εβ+␈ε↔␈αλ?␈↓ ε'␈ε	A␈↓ εI␈εβ,␈↓ εX␈ε	A␈↓ εy␈εβ,␈↓ πλ␈ε	A␈↓ π*␈εβ,␈↓ π9␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πe␈ε↔?␈εβ,
␈β∞y␈↓ ¬Y␈εε0␈↓ ε<␈εε1␈↓ εm␈εε2␈↓ π≥␈εε3
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α'␈ε	A␈↓ αT␈εβis␈α
an␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈αa␈α␈nd␈↓ ∧P␈ε	A␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε	A␈↓ ¬(␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	A␈↓ ¬]␈εβ,␈↓ ¬q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε#␈εβa␈α␈re␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈α
if␈↓ 
⊗␈ε	X␈↓ 
<␈εβha␈α␈s␈αth␈α␈is
␈β∂D␈↓ α=␈εε0␈↓ ∧e␈εε1␈↓ ¬≠␈εε2␈↓ ¬Q␈εε3
␈β∂a␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αth␈α␈en␈αth␈α␈e␈αregu␈α␈lar␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈αfo␈α␈r␈α1␈α␈/␈↓ λ␈ε	X␈↓ λ&␈εβi␈α↓s
␈β⊂,␈↓ ∧0␈εβ1/␈↓ ∧R␈ε	X␈↓ ∧v␈εβ=␈↓ ¬!␈ε	B␈↓ ¬H␈εβ+␈ε↔␈αλ?␈↓ εα␈ε	B␈↓ ε"␈εβ,␈↓ ε1␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε]␈εβ,␈↓ εl␈ε	B␈↓ π↔␈εβ,␈↓ π%␈ε	A␈↓ πG␈εβ,␈↓ πV␈ε	A␈↓ πx␈εβ,␈↓ λπ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ3␈ε↔?
␈β⊂7␈↓ ¬4␈εε0␈↓ ε∃␈εε1␈↓ ε␈␈εm␈↓ π;␈εε5␈↓ πk␈εε6
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αλsu␈α␈i␈α↓ta␈α␈ble␈απi␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ βh␈ε	B␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧~␈ε	B␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧K␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧x␈εβ,␈↓ ¬	␈ε	B␈↓ ¬4␈εβ.␈α
(The␈απcase␈↓ εV␈ε	A␈↓ π↓␈εβ<␈α
0␈απis,␈α	of␈απcou␈α␈rse,␈α	th␈α␈e␈αλm␈α␈ost␈απi␈α↓n␈α}terestin␈α␈g.)
␈β⊃α␈↓ β|␈εε0␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬≥␈εm␈↓ εk␈εε0
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβEx␈α␈plain␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αthe␈↓ ¬ε␈ε	B␈↓ ¬≥␈εβ's␈αin␈αterm␈α␈s␈αof␈↓ εh␈ε	A␈↓ π
␈εβ,␈↓ π≡␈ε	A␈↓ π@␈εβ,␈↓ πU␈ε	A␈↓ πw␈εβ,␈↓ λ␈ε	A␈↓ λ-␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ 	α␈ε	A␈↓ 	$␈εβ.
␈β⊃*␈↓ ε⎇␈εε0␈↓ π4␈εε1␈↓ πj␈εε2␈↓ λ ␈εε3␈↓ 	↔␈εε4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα355
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈αLagr␈α␈ang␈α␈e.)␈α~Let␈↓ ¬→␈ε	X␈↓ ¬>␈εβ=␈↓ ¬i␈ε	A␈↓ ε∩␈εβ+␈ε↔␈αλ?␈↓ εK␈ε	A␈↓ εm␈εβ,␈↓ ε|␈ε	A␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π-␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πY␈ε↔?␈εβ,␈↓ π}␈ε	Y␈↓ λ ␈εβ=␈↓ λK␈ε	B␈↓ λr␈εβ+␈ε↔␈αλ?␈↓ 	,␈ε	B␈↓ 	L␈εβ,␈↓ 	[␈ε	B␈↓ 	{␈εβ,␈↓ 
	␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
6␈ε↔?␈εβ␈αb␈α␈e␈αthe
␈βα5␈↓ ¬}␈εε0␈↓ εa␈εε1␈↓ π⊃␈εε2␈↓ λ↑␈εε0␈↓ 	?␈εε1␈↓ 	n␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gula␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α␈-f␈α↓ra␈α␈ction␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈αt␈α␈wo␈αre␈α␈al␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ λg␈ε	X␈↓ 	∂␈εβan␈α␈d␈↓ 	Q␈ε	Y␈↓ 	j␈εβ,␈α
in␈αth␈α␈e␈αsense
␈βαy␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
1␈α␈0.␈α⊃Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
these␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
\e␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
a␈α␈gree␈α␈,␈α↓"␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
sens␈α␈e␈α
tha␈α␈t
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α$␈εβ=␈↓ αN␈ε	B␈↓ β!␈εβfor␈αλsome␈↓ ∧#␈ε	m␈↓ ∧I␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬π␈ε	n␈↓ ¬$␈εβa␈α␈nd␈αλfo␈α␈r␈α	all␈↓ ε?␈ε	k␈↓ εX␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈,␈α
if␈α	a␈α␈nd␈αλo␈α␈nly␈αλif␈↓ λe␈ε	X␈↓ 	
␈εβ=␈α	(␈↓ 	?␈ε	q␈↓ 	N␈ε	Y␈↓ 	k␈εβ+␈↓ 
⊂␈ε	r␈↓ 
∨␈εβ)/(␈↓ 
F␈ε	s␈↓ 
S␈ε	Y␈↓ 
p␈εβ+␈↓ ∃␈ε	t␈↓ !␈εβ)
␈ββ,␈↓ ↓]␈εm␈↓ ↓t␈εε+␈↓ α
␈εk␈↓ αb␈εn␈↓ αr␈εε+␈↓ β␈εk
␈ββI␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	so␈α␈me␈αλi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers␈↓ βB␈ε	q␈↓ βP␈εβ,␈↓ βc␈ε	r␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧β␈ε	s␈↓ ∧⊃␈εβ,␈↓ ∧#␈ε	t␈↓ ∧8␈εβwith␈ε↔␈αλj␈↓ ¬
␈ε	q␈↓ ¬→␈ε	t␈↓ ¬(␈ε↔␈␈↓ ¬M␈ε	r␈↓ ¬\␈ε	s␈↓ ¬j␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α
1␈α␈.␈α(This␈αλthe␈α␈orem␈αλis␈α	t␈α␈he␈αλan␈α␈alog␈α␈,␈α
fo␈α␈r␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α␈-
␈ββp␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈α	re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns,␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	simple␈α	resu␈α␈lt␈α
t␈α␈hat␈α	th␈α␈e␈α	repr␈α␈esen␈α␈ta␈α␈tions␈α	o␈α␈f␈↓ 	T␈ε	X␈↓ 	x␈εβand␈↓ 
7␈ε	Y␈↓ 
Y␈εβin␈α	the
␈β∧∀␈↓ πz␈εq␈↓ 	≤␈εs
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ecima␈α␈l␈α
sy␈α␈stem␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αag␈α␈ree␈αif␈αand␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈↓ ε{␈ε	X␈↓ π!␈εβ=␈α(1␈↓ πi␈εβ0␈↓ λε␈ε	Y␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	r␈↓ λ←␈εβ)/1␈↓ 	␈εβ0␈↓ 	3␈εβfor␈αsome␈αin␈α}teger␈α␈s
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈εβ,␈↓ ↓k␈ε	r␈↓ ↓y␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ αN␈ε	s␈↓ α\␈εβ.)
␈β∧q␈↓ λ⎇␈∧∧qλ⎇α~
␈β∧s␈↓ λ[␈ε↔p
␈β∧t␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧x␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗A␈ε⊂␈αqu␈α␈adr␈α␈atic␈αirra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓ity␈εβ␈αis␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α(␈↓ λ⎇␈ε	D␈↓ 	≥␈ε↔␈␈↓ 	F␈ε	U␈↓ 	a␈εβ)␈α↓/␈↓ 	⎇␈ε	V␈↓ 
∃␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ,
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓c␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ α9␈ε	V␈↓ α\␈εβare␈αin␈α␈te␈α␈gers,␈↓ ∧→␈ε	D␈↓ ∧<␈εβ>␈α
0␈α␈,␈↓ ¬␈ε	V␈↓ ¬.␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈αa␈α␈nd␈↓ ε@␈ε	D␈↓ εd␈εβis␈αn␈α␈ot␈αa␈αp␈α␈erfec␈α␈t␈αsqu␈α␈are␈α␈.␈α
We␈αmay␈αa␈α␈ssume
␈β¬C␈↓ πX␈εε2
␈β¬G␈↓ ↓H␈εβwith␈α␈out␈α
lo␈α␈ss␈α
of␈α
gen␈α␈erality␈α
th␈α␈at␈↓ ¬λ␈ε	V␈↓ ¬*␈εβis␈α
a␈α
d␈α␈ivisor␈α
o␈α␈f␈↓ εw␈ε	D␈↓ π⊗␈ε↔␈␈↓ π=␈ε	U␈↓ πe␈εβ,␈α
for␈α
oth␈α␈erwise␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
m␈α␈ay
␈β¬g␈↓ βY␈∧¬gβYα>
␈β¬i␈↓ β8␈ε↔p
␈β¬l␈↓ ∧
␈εε2
␈β¬n␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αrewritten␈α
as␈α(␈↓ βY␈ε	D␈↓ βr␈ε	V␈↓ ∧≡␈ε↔␈␈↓ ∧G␈ε	U␈↓ ∧b␈ε↔j␈↓ ∧k␈ε	V␈↓ ¬β␈ε↔j␈εβ)␈α↓/␈↓ ¬(␈ε	V␈↓ ¬@␈ε↔j␈↓ ¬I␈ε	V␈↓ ¬a␈ε↔j␈εβ.
␈βε'␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
reg␈α␈ular␈αcon␈α␈t␈α␈i␈α↓n␈α}ued␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αexp␈α␈an␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
(in␈αthe␈αsen␈α␈se␈α
of␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α
10␈α␈)
␈βεH␈↓ ελ␈∧εHελα~
␈βεI␈↓ ¬g␈ε↔p
␈βεN␈↓ α␈εβof␈απa␈αεqu␈α␈ad␈α␈ratic␈απirra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α↓ity␈↓ ¬␈ε	X␈↓ ¬1␈εβ=␈α	(␈↓ ελ␈ε	D␈↓ ε"␈ε↔␈␈↓ εE␈ε	U␈↓ εa␈εβ)/␈↓ ε|␈ε	V␈↓ π≠␈εβis␈απo␈α␈btain␈α␈ed␈αεby␈αεthe␈αεfollo␈α␈wing␈αεform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s:
␈βπ≡␈↓ ∧→␈ε	V␈↓ ∧A␈εβ=␈↓ ∧l␈ε	V␈↓ ¬β␈εβ,␈↓ ¬Z␈ε	A␈↓ ε¬␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ ε=␈ε	X␈↓ εX␈ε↔c␈εβ,␈↓ π<␈ε	U␈↓ πg␈εβ=␈↓ λ∩␈ε	U␈↓ λ4␈εβ+␈↓ λ]␈ε	A␈↓ λ␈␈ε	V␈↓ 	↔␈εβ;
␈βπ)␈↓ ∧+␈εε0␈↓ ¬o␈εε0␈↓ πQ␈εε0␈↓ λr␈εε0
␈βπJ␈↓ λ␈∧πJλα~
␈βπL␈↓ ¬0␈εε2␈↓ πi␈ε↔p
␈βπQ␈↓ βD␈ε	V␈↓ ∧⊗␈εβ=␈α
(␈↓ ∧L␈ε	D␈↓ ∧l␈ε↔␈␈↓ ¬∃␈ε	U␈↓ ¬=␈εβ)/␈↓ ¬Y␈ε	V␈↓ ¬{␈εβ,␈↓ εR␈ε	A␈↓ π'␈εβ=␈ε↔␈α	b␈εβ(␈↓ λ␈ε	D␈↓ λ+␈εβ+␈↓ λT␈ε	U␈↓ λy␈εβ)␈α↓/␈↓ 	∃␈ε	V␈↓ 	↑␈ε↔c␈εβ,
␈βπ[␈↓ βW␈εn␈↓ βg␈εε+1␈↓ ¬k␈εn␈↓ εh␈εn␈↓ εx␈εε+1␈↓ λi␈εn␈↓ 	(␈εn␈↓ 	8␈εε+1
␈βπ`␈↓ ¬,␈εn
␈βλβ␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ ε"␈ε	A␈↓ εn␈ε	V␈↓ π>␈ε↔␈␈↓ πf␈ε	U␈↓ λ␈εβ.
␈βλ∞␈↓ ¬8␈εn␈↓ ¬I␈εε+1␈↓ ε8␈εn␈↓ εH␈εε+1␈↓ π␈εn␈↓ π⊃␈εε+1␈↓ π|␈εn
␈βλS␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α
An␈αalgorith␈α␈m␈αba␈α␈sed␈αo␈α␈n␈αth␈α␈is␈αproc␈α␈ess␈αha␈α␈s␈αman␈α}y␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈αthe␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion
␈βλz␈↓ α␈εβof␈α∞qu␈α␈ad␈α␈ratic␈α∞equ␈α␈ation␈α␈s␈α∂in␈α∞in␈α}tegers␈α␈;␈α⊃se␈α␈e,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂e␈α␈xa␈α␈mple,␈α∂H.␈α∂Da␈α␈v␈α␈en␈α␈po␈α␈rt,␈ε⊂␈α⊂Th␈α␈e␈α∞Hi␈α↓g␈α␈he␈α␈r
␈β	"␈↓ α␈ε⊂Arithm␈α␈etic␈εβ␈αλ(L␈α↓o␈α␈nd␈α␈on␈α␈:␈α
Hutch␈α␈inso␈α␈n,␈α	19␈α␈52);␈α	W.␈α	J␈α␈.␈α	LeVe␈α␈que␈α␈,␈ε⊂␈α	Topics␈αλin␈απNum␈α␈b␈α␈er␈αλThe␈α␈ory
␈β	I␈↓ α␈εβ(Read␈α␈ing␈α␈,␈α∞Ma␈α␈ss.␈α↓:␈α∂Ad␈α␈dison␈α␈-Wesley,␈α
195␈α␈6);␈α∞an␈α␈d␈α
see␈αalso␈α
S␈α␈ection␈α4.5.4.␈α⊃By␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈β	k␈↓ ∧←␈∧	k∧←α~␈↓ 
]␈∧	k
]α~
␈β	l␈↓ ∧>␈ε↔p␈↓ 
<␈ε↔p
␈β	q␈↓ α␈εβ1.2.4␈α␈↑35␈↓ βα␈εβ,␈↓ β_␈ε	A␈↓ βm␈εβ=␈ε↔␈αb␈εβ(␈ε↔b␈↓ ∧←␈ε	D␈↓ ∧x␈ε↔c␈εβ␈αλ+␈↓ ¬6␈ε	U␈↓ ¬\␈εβ)/␈↓ ¬w␈ε	V␈↓ ε@␈ε↔c␈εβ␈αwh␈α␈en␈↓ π0␈ε	V␈↓ λβ␈εβ>␈α0␈α␈,␈αand␈↓ 	⊗␈ε	A␈↓ 	k␈εβ=␈ε↔␈αb␈εβ(␈ε↔b␈↓ 
]␈ε	D␈↓ 
v␈ε↔c␈εβ␈αλ+
␈β	|␈↓ β-␈εn␈↓ β=␈εε+1␈↓ ¬K␈εn␈↓ ε
␈εn␈↓ ε~␈εε+1␈↓ πC␈εn␈↓ πS␈εε+1␈↓ 	+␈εn␈↓ 	;␈εε+␈α↓1
␈β
→␈↓ α␈εβ1␈αε+␈↓ αJ␈ε	U␈↓ αp␈εβ)/␈↓ β␈ε	V␈↓ βT␈ε↔c␈εβ␈α
when␈↓ ∧A␈ε	V␈↓ ¬∪␈εβ<␈α
0␈α␈;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈α
such␈α	an␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m␈α
nee␈α␈d␈α
on␈α␈ly␈α
w␈α␈ork␈α	wi␈α↓th␈α	the
␈β
#␈↓ α←␈εn␈↓ β≡␈εn␈↓ β.␈εε+1␈↓ ∧T␈εn␈↓ ∧d␈εε+1
␈β
:␈↓ β(␈∧
:β(α~
␈β
;␈↓ βπ␈ε↔p
␈β
@␈↓ α␈εβin␈α␈teg␈α␈er␈ε↔␈αb␈↓ β(␈ε	D␈↓ βA␈ε↔c␈εβ.␈α↓]
␈β
c␈↓ ∧u␈∧
c∧uα~␈↓ εu␈∧
cεuα~
␈β
d␈↓ ∧T␈ε↔p␈↓ εT␈ε↔p
␈β
i␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α0␈α
<␈↓ βy␈ε	U␈↓ ∧(␈εβ<␈↓ ∧u␈ε	D␈↓ ¬∞␈εβ,␈α
0␈α
<␈↓ ¬j␈ε	V␈↓ ε↔␈εβ<␈α2␈↓ εu␈ε	D␈↓ π∞␈εβ,␈αfor␈αall␈↓ λε␈ε	n␈↓ λ%␈εβ>␈↓ λP␈ε	N␈↓ λo␈εβ,␈αwhere␈↓ 	e␈ε	N␈↓ 
⊂␈εβis␈αso␈α␈me␈αin␈α␈-
␈β
t␈↓ ∧∞␈εn␈↓ ¬⎇␈εn
␈β⊃␈↓ α␈εβteg␈α␈er␈α	d␈α␈ep␈α␈end␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλon␈↓ ∧%␈ε	X␈↓ ∧@␈εβ;␈α
h␈α␈ence␈αλth␈α␈e␈α	r␈α␈egu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α	co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α␈-f␈α↓ra␈α␈ction␈αλrep␈α␈resen␈α}tation␈αλo␈α␈f␈α	ev␈α}ery
␈β2␈↓ 	g␈∧2	gα~
␈β4␈↓ 	F␈ε↔p
␈β8␈↓ α␈εβqu␈α␈ad␈α␈ratic␈αirration␈α␈ality␈αis␈αev␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈αperiod␈α␈ic.␈α≤[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈α(␈↓ 	g␈ε	D␈↓ 
λ␈ε↔␈␈↓ 
1␈ε	U␈↓ 
M␈εβ)/␈↓ 
h␈ε	V␈↓ ␈εβ=
␈βZ␈↓ ¬∞␈∧Z¬∞α~␈↓ 
α␈∧Z
αα~
␈β[␈↓ ∧l␈ε↔p␈↓ 	`␈ε↔p
␈β`␈↓ α␈ε	A␈↓ α4␈εβ+␈ε↔␈απ?␈↓ αl␈ε	A␈↓ β∞␈εβ,␈↓ β≥␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βI␈εβ,␈↓ βX␈ε	A␈↓ β}␈εβ,␈ε↔␈α¬␈␈↓ ∧.␈ε	V␈↓ ∧Q␈εβ/␈α␈(␈↓ ¬∞␈ε	D␈↓ ¬-␈εβ+␈↓ ¬T␈ε	U␈↓ ¬z␈εβ)␈ε↔?␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
u␈α␈se␈α
E␈α↓q␈α␈.␈α(5␈α␈)␈αto␈α	pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈α
(␈↓ 
α␈ε	D␈↓ 
!␈εβ+␈↓ 
H␈ε	U␈↓ 
n␈εβ)/␈↓ 
␈ε	V
␈βk␈↓ α!␈εε0␈↓ β↓␈εε1␈↓ βm␈εn␈↓ ∧@␈εn␈↓ ¬i␈εn␈↓ 
↑␈εn␈↓ ≤␈εn
␈βλ␈↓ α␈εβis␈αpo␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈αwhen␈↓ β␈␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβi␈α↓s␈αlarg␈α␈e.]
␈β1␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβLetting␈↓ βε␈ε	p␈↓ β5␈εβ=␈↓ βe␈ε	Q␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε	A␈↓ ∧←␈εβ,␈↓ ∧n␈ε	A␈↓ ¬∂␈εβ,␈↓ ¬≡␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬K␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε	A␈↓ ¬␈␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ ε]␈ε	q␈↓ πλ␈εβ=␈↓ π9␈ε	Q␈↓ π←␈εβ(␈↓ πj␈ε	A␈↓ λ␈εβ,␈↓ λ≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λG␈εβ,␈↓ λV␈ε	A␈↓ λ|␈εβ),␈α⊂p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α∂th␈α␈e␈α∂id␈α␈en␈α␈tity
␈β;␈↓ β⊗␈εn␈↓ β|␈εn␈↓ ∧␈εε+1␈↓ ∧R␈εε0␈↓ ¬β␈εε1␈↓ ¬o␈εn␈↓ εi␈εn␈↓ πO␈εn␈↓ λ␈εε1␈↓ λl␈εn
␈βT␈↓ α5␈εε2␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬d␈εε2␈↓ εp␈εn␈↓ π␈εε+␈α↓1
␈βU␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ¬I␈εα)
␈βX␈↓ α␈ε	V␈↓ α$␈ε	p␈↓ αL␈εβ+␈αλ2␈↓ βε␈ε	U␈↓ β!␈ε	p␈↓ βA␈ε	q␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧%␈ε	U␈↓ ∧T␈ε↔␈␈↓ ∧|␈ε	D␈↓ ¬∃␈εβ)␈α↓/␈↓ ¬1␈ε	V␈↓ ¬U␈ε	q␈↓ ¬⎇␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ εe␈εβ)␈↓ π&␈ε	V␈↓ πo␈εβ.
␈βc␈↓ β1␈εn␈↓ βM␈εn␈↓ π9␈εn␈↓ πI␈εε+1
␈βg␈↓ α5␈εn␈↓ ¬d␈εn
␈β
↓␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈α
the␈αregu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed-fra␈α␈ction␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
an␈αi␈α↓rr␈α␈ation␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
)␈↓ α␈ε	X␈↓ α3␈εβi␈α↓s␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈αperio␈α␈dic␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αif␈↓ εC␈ε	X␈↓ εj␈εβi␈α↓s␈αa␈αqu␈α␈ad␈α␈ratic␈αirratio␈α␈nality.␈α
(This␈αis␈αthe
␈β
Q␈↓ α␈εβco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fraction␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αfa␈α␈ct␈αth␈α␈at␈α
the␈α
de␈α␈cimal␈αe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αo␈α␈f␈αa␈α
rea␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β
x␈↓ α␈ε	X␈↓ α3␈εβis␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αp␈α␈eriodic␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈ly␈αif␈↓ ε<␈ε	X␈↓ εc␈εβis␈αration␈α␈al.)
␈β∞,␈↓ π	␈εn
␈β∞0␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈α
Lagra␈α␈nge␈α␈,␈α17␈α␈97.)␈α_Let␈↓ ¬l␈ε	f␈↓ ¬|␈εβ(␈↓ επ␈ε	x␈↓ ε_␈εβ)␈α
=␈↓ εW␈ε	a␈↓ εw␈ε	x␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πG␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ≥␈ε	a␈↓ λ9␈εβ,␈↓ λL␈ε	a␈↓ λv␈εβ>␈α	0,␈αb␈α␈e␈α
a␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β∞;␈↓ εg␈εn␈↓ λ,␈εε0␈↓ λ\␈εn
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβwith␈α∞in␈α␈te␈α␈ger␈α∞coe}␈α␈cien␈α␈ts,␈α∂hav␈α␈ing␈α∞n␈α␈o␈α∂ra␈α␈tiona␈α␈l␈α∂roo␈α␈ts,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞ha␈α␈vin␈α␈g␈α∂e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α∞o␈α␈ne␈α∞rea␈α␈l␈α∂roo␈α␈t
␈β∂␈↓ ↓H␈ε	_␈↓ ↓c␈εβ>␈α1.␈α∞Design␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αp␈α␈rogr␈α␈am␈αto␈α|␈α␈nd␈αth␈α␈e␈α|rst␈αth␈α␈ou␈α␈san␈α␈d␈αor␈αso␈αp␈α␈artial␈αqu␈α␈otien␈α␈ts␈αo␈α␈f
␈β∂'␈↓ ↓H␈ε	_␈↓ ↓W␈εβ,␈αλusin␈α␈g␈αεthe␈αεfollo␈α␈wing␈αεalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αε(which␈αεesse␈α␈n␈α␈tially␈αεi␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}es␈απo␈α␈nly␈αεm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈recision␈αεa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tion␈α␈):
␈β∂←␈↓ α∃␈ε∪L1.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε	A␈↓ β)␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈.
␈β⊂_␈↓ α∃␈ε∪L2.␈↓ αP␈εβF␈α↓o␈α␈r␈↓ β
␈ε	k␈↓ β&␈εβ=␈α
0␈α␈,␈α	1,␈↓ ∧⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧l␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈αλ(i␈α↓n␈απthis␈αλord␈α␈er),␈α	an␈α␈d␈αλfor␈↓ πo␈ε	j␈↓ λπ␈εβ=␈↓ λ2␈ε	n␈↓ λJ␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈,␈↓ 	⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	P␈ε	k␈↓ 	h␈εβ(␈α↓in␈αλth␈α␈is␈αλorde␈α␈r)
␈β⊂?␈↓ αP␈εβset␈↓ ββ␈ε	a␈↓ β(␈ε↔ ␈↓ βS␈ε	a␈↓ ∧≠␈εβ+␈↓ ∧B␈ε	a␈↓ ∧↑␈εβ.␈α(This␈α
step␈α
re␈α␈place␈α␈s␈↓ π␈ε	f␈↓ π~␈εβ(␈↓ π&␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈α
by␈↓ π|␈ε	g␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ⊗␈ε	x␈↓ λ(␈εβ)␈α	=␈↓ λg␈ε	f␈↓ λw␈εβ(␈↓ 	α␈ε	x␈↓ 	→␈εβ+␈απ1),␈αa␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β⊂J␈↓ β∪␈εj␈↓ βb␈εj␈↓ βn␈εε+␈α↓1␈↓ ∧R␈εj
␈β⊂g␈↓ αP␈εβwhose␈α
roots␈αa␈α␈re␈αon␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈αth␈α␈ose␈αof␈↓ πβ␈ε	f␈↓ π∪␈εβ.)
␈β⊃∨␈↓ α∃␈ε∪L3.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε	a␈↓ β→␈εβ+␈↓ βB␈ε	a␈↓ ∧∂␈εβ+␈↓ ∧7␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬∞␈ε	a␈↓ ¬4␈εβ<␈α	0,␈αset␈↓ ε7␈ε	A␈↓ εW␈ε↔ ␈↓ π↓␈ε	A␈↓ π∨␈εβ+␈απ1␈αan␈α␈d␈αretu␈α␈rn␈αto␈α
L␈α↓2␈α␈.
␈β⊃*␈↓ β↓␈εn␈↓ βQ␈εn␈↓ βa␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ¬≡␈εε0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα356␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ α∃␈ε∪L4.␈↓ αP␈εβOutp␈α␈ut␈↓ βL␈ε	A␈↓ βs␈εβ(which␈α⊂is␈α⊃t␈α␈he␈α⊂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α⊃o␈α␈f␈α⊃th␈α␈e␈α⊃n␈α␈ex␈α␈t␈α⊃p␈α␈artial␈α⊃q␈α␈uot␈α␈i␈α↓en␈α}t).␈α≤Rep␈α␈lace␈α⊂the
␈βαR␈↓ αP␈εβcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
(␈↓ ∧α␈ε	a␈↓ ∧"␈εβ,␈↓ ∧1␈ε	a␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬ε␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	a␈↓ ¬]␈εβ)␈αb␈α␈y␈α
(␈ε↔␈␈↓ εO␈ε	a␈↓ εk␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ π≠␈ε	a␈↓ π7␈εβ,␈↓ πF␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πr␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ λ"␈ε	a␈↓ λB␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
retu␈α␈rn␈α
to␈αL1␈α␈.␈α(Th␈α␈is
␈βα\␈↓ ∧∩␈εn␈↓ ∧A␈εn␈↓ ∧Q␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬P␈εε0␈↓ ε↑␈εε0␈↓ π*␈εε1␈↓ λ2␈εn
␈βαy␈↓ αP␈εβstep␈αre␈α␈place␈α␈s␈↓ ∧∃␈ε	f␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	x␈↓ ∧A␈εβ)␈αby␈α
a␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αwh␈α␈ose␈αroo␈α␈ts␈αare␈αre␈α␈ci␈α↓p␈α␈roc␈α␈als␈αof␈αtho␈α␈se␈αof␈↓ ¬␈ε	f␈↓ ∃␈εβ.)
␈ββ'␈↓ ε∀␈εε3
␈ββ(␈↓ 
∨␈εα(
␈ββ+␈↓ α␈εβFor␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
sta␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈α	with␈↓ ¬_␈ε	f␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬3␈ε	x␈↓ ¬D␈εβ)␈α	=␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε&␈ε↔␈␈εβ␈α¬2␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	will␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α	\1␈α␈"␈↓ 
+␈εβch␈α␈an␈α␈ging
␈ββO␈↓ αD␈εε3␈↓ β#␈εε2␈↓ λ"␈εε3␈↓ 	↓␈εε2
␈ββP␈↓ ∧B␈εα)␈↓ ¬l␈εα(␈↓ 
 ␈εα)
␈ββS␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈αto␈↓ α3␈ε	x␈↓ αX␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ β∩␈ε	x␈↓ β7␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ βp␈ε	x␈↓ ∧	␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∧N␈εβ;␈αth␈α␈en␈α\␈α␈3"␈↓ ¬x␈εβc␈α␈han␈α␈gin␈α␈g␈↓ π∧␈ε	f␈↓ π∀␈εβ(␈↓ π∨␈ε	x␈↓ π1␈εβ)␈αto␈α
10␈↓ λ⊃␈ε	x␈↓ λ6␈ε↔␈␈εβ␈αλ6␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	∃␈ε↔␈␈εβ␈αλ6␈↓ 	N␈ε	x␈↓ 	g␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 
,␈εβ;␈αe␈α␈tc.
␈β∧¬␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈αHu␈α␈rwi␈α↓tz␈α␈,␈α189␈α␈1.)␈α_Sh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
rules␈α
mak␈α}e␈α
i␈α↓t␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈αto␈α
|␈α␈nd
␈β∧-␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αreg␈α␈ular␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α
exp␈α␈an␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈αfor␈α2␈↓ εe␈ε	X␈↓ π↓␈εβ,␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αthe␈α
part␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αq␈α␈uot␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αof␈↓ 
H␈ε	X␈↓ 
c␈εβ:
␈β∧u␈↓ ∧(␈ε⊗?␈↓ ¬T␈ε⊗?␈↓ ε~␈ε⊗?␈↓ λ→␈ε⊗?
␈β∧x␈↓ ∧_␈εβ2␈↓ ∧@␈εβ2␈↓ ∧P␈ε	a␈↓ ∧a␈εβ,␈↓ ∧p␈ε	b␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬␈ε	c␈↓ ¬→␈εβ,␈↓ ¬'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εB␈εβ,␈α¬2␈↓ εa␈ε	b␈↓ εv␈εβ+␈απ2␈ε↔?␈↓ π@␈ε	c␈↓ πM␈εβ,␈↓ π\␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λλ␈ε↔?␈↓ λ+␈εβ;
␈β¬'␈↓ βb␈ε⊗?␈↓ ¬T␈ε⊗?␈↓ ε~␈ε⊗?␈↓ 	λ␈ε⊗?
␈β¬*␈↓ βQ␈εβ2␈↓ βy␈εβ2␈↓ ∧
␈ε	a␈↓ ∧"␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧j␈ε	b␈↓ ∧w␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε	c␈↓ ¬∪␈εβ,␈↓ ¬'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εB␈εβ,␈α¬1,␈αε1␈απ+␈αλ2␈ε↔␈α␈?␈↓ πR␈ε	b␈↓ πg␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈↓ λ/␈ε	c␈↓ λ<␈εβ,␈↓ λK␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λw␈ε↔?␈↓ 	~␈εβ.
␈β¬s␈↓ λ`␈εε1
␈β¬v␈↓ ↓H␈εβUse␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλidea␈αλto␈αλ|n␈α␈d␈αλthe␈αλreg␈α␈ular␈αλcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfraction␈αλe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈αλof␈↓ λq␈ε	e␈↓ λ}␈εβ,␈α	giv␈α␈e␈α␈n␈αλthe␈αλex␈α␈pan␈α␈sion
␈βε¬␈↓ λ`␈∧ε¬λ`α
␈βεπ␈↓ λ`␈εε2
␈βε≡␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	e␈↓ απ␈εβin␈α
(␈α↓1␈α␈3).
␈βεL␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεP␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M31␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈αW.␈α
G␈α␈ospe␈α␈r.␈α↓)␈α~Gene␈α␈ralizi␈α↓n␈α␈g␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α14,␈αde␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈αa␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αtha␈α␈t␈αcom␈α␈-
␈βεx␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ute␈α␈s␈αλthe␈απcon␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈αλfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ ∧a␈ε	X␈↓ ¬λ␈εβ+␈ε↔␈αβ?␈↓ ¬=␈ε	X␈↓ ¬`␈εβ,␈↓ ¬o␈ε	X␈↓ ε∪␈εβ,␈↓ ε"␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ εN␈ε↔?␈εβ␈αλfo␈α␈r␈αλ(␈↓ π"␈ε	a␈↓ π3␈ε	x␈↓ πG␈εβ+␈↓ πl␈ε	b␈↓ πy␈εβ)/(␈↓ λ ␈ε	c␈↓ λ-␈ε	x␈↓ λA␈εβ+␈↓ λf␈ε	d␈↓ λx␈εβ),␈α	giv␈α}en␈αλth␈α␈e␈αλco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈βπα␈↓ ∧x␈εε0␈↓ ¬T␈εε1␈↓ εε␈εε2
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈↓ αD␈ε	x␈↓ αh␈εβ+␈ε↔␈αλ?␈↓ β"␈ε	x␈↓ β>␈εβ,␈↓ βM␈ε	x␈↓ βi␈εβ,␈↓ βx␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧$␈ε↔?␈εβ␈αfo␈α␈r␈↓ ∧u␈ε	x␈↓ ¬ε␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αin␈α␈t␈α␈egers␈↓ π1␈ε	a␈↓ πB␈εβ,␈↓ πW␈ε	b␈↓ πd␈εβ,␈↓ πz␈ε	c␈↓ λπ␈εβ,␈↓ λ≤␈ε	d␈↓ λ:␈εβwith␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	↔␈ε	d␈↓ 	4␈ε↔≤␈↓ 	`␈ε	b␈↓ 	m␈ε	c␈↓ 	z␈εβ.␈α
Mak␈α}e␈αy␈α}ou␈α␈r
␈βπ*␈↓ αT␈εε0␈↓ β1␈εε1␈↓ β\␈εε2
␈βπG␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αa␈α␈n␈α
\on␈α␈-l␈α↓in␈α␈e␈αc␈α␈orou␈α␈tine"␈α
th␈α␈at␈α
ou␈α␈tpu␈α␈ts␈αa␈α␈s␈αma␈α␈n␈α␈y␈↓ πp␈ε	X␈↓ λ∨␈εβa␈α␈s␈αp␈α␈ossible␈α
be␈α␈fore␈α
i␈α↓n␈α␈pu␈α␈tting
␈βπR␈↓ λπ␈εk
␈βπo␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α2␈εβ.␈α∃Dem␈α␈ons␈α␈trate␈α∞ho␈α}w␈α∂y␈α}ou␈α␈r␈α∞algorith␈α␈m␈α∞comp␈α␈ut␈α␈es␈α∞(␈α↓9␈α␈7␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λ+␈εβ+␈α
3␈α␈9)/(␈ε↔␈␈εβ62␈↓ 	`␈ε	x␈↓ 	{␈ε↔␈␈εβ␈α
25␈α␈)␈α∂wh␈α␈en
␈βπy␈↓ α&␈εj
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓b␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈εβ␈αβ5,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε2,␈α¬1,␈αε2␈ε↔␈α␈?␈εβ.
␈βλD␈↓ εt␈εz␈↓ πA␈ε~␈␈↓ πZ␈εz␈↓ λ→␈εz␈↓ λf␈ε~␈␈↓ λ␈␈εz
␈βλH␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(L.␈α∂Euler,␈α∂173␈α␈1.)␈α Let␈↓ ¬b␈ε	f␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	z␈↓ ε∩␈εβ)␈α∂=␈α∂(␈↓ εg␈ε	e␈↓ π	␈ε↔␈␈↓ π4␈ε	e␈↓ πf␈εβ)/␈α␈(␈↓ λ␈ε	e␈↓ λ.␈εβ+␈↓ λY␈ε	e␈↓ 	␈εβ)␈α∂=␈↓ 	U␈εβta␈α␈nh␈↓ 
≥␈ε	z␈↓ 
+␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞l␈α↓e␈α␈t
␈βλS␈↓ ¬m␈εε0
␈βλp␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ αλ␈εβ(␈↓ α∪␈ε	z␈↓ α!␈εβ)␈α=␈α1/␈↓ βε␈ε	f␈↓ β!␈εβ(␈↓ β,␈ε	z␈↓ β:␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(2␈↓ ∧∪␈ε	n␈↓ ∧/␈εβ+␈α	1␈α␈)/␈↓ ¬¬␈ε	z␈↓ ¬∪␈εβ.␈α⊂Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at,␈α
for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ πB␈ε	n␈↓ πW␈εβ,␈↓ πm␈ε	f␈↓ λπ␈εβ(␈↓ λ∩␈ε	z␈↓ λ ␈εβ)␈α
is␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓y␈α␈tic␈α
fu␈α␈nction␈αo␈α␈f
␈βλ{␈↓ ↓R␈εn␈↓ ↓b␈εε+1␈↓ β⊂␈εn␈↓ πw␈εn
␈β	_␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αcomp␈α␈lex␈αva␈α␈riable␈↓ ∧¬␈ε	z␈↓ ∧≡␈εβi␈α↓n␈α
a␈αn␈α␈eigh␈α}bor␈α␈hoo␈α␈d␈αof␈αthe␈αorigin␈α␈,␈αan␈α␈d␈αi␈α↓t␈αsatis|␈α␈es␈αthe␈αdi{eren␈α}ti␈α↓a␈α␈l
␈β	;␈↓ α↑␈ε~0␈↓ ∧B␈εε2
␈β	?␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈tion␈↓ αO␈ε	f␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	z␈↓ ββ␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧β␈ε	f␈↓ ∧≡␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	z␈↓ ∧6␈εβ)␈↓ ∧V␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬#␈ε	f␈↓ ¬=␈εβ(␈↓ ¬I␈ε	z␈↓ ¬V␈εβ)/␈↓ ¬r␈ε	z␈↓ ε␈εβ.␈αUse␈αthis␈αfac␈α␈t␈αto␈αpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈β	J␈↓ ∧
␈εn␈↓ ¬-␈εn
␈β	N␈↓ αZ␈εn
␈β
π␈↓ ¬T␈ε~␈␈εε1␈↓ ε'␈ε~␈␈εε1␈↓ εz␈ε~␈␈εε1␈↓ πM␈ε~␈␈εε1
␈β

␈↓ ∧,␈εβtan␈α␈h␈↓ ∧t␈ε	z␈↓ ¬␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ ¬F␈ε	z␈↓ ¬z␈εβ,␈αε3␈↓ ε→␈ε	z␈↓ εM␈εβ,␈αε5␈↓ εl␈ε	z␈↓ π ␈εβ,␈αε7␈↓ π?␈ε	z␈↓ πs␈εβ,␈↓ λα␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ.␈ε↔?␈εβ.
␈β
[␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈αa␈α␈pp␈α␈ly␈αHurwitz's␈αru␈α␈l␈α↓e␈α(e␈α␈x␈α␈ercise␈α1␈α␈4)␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αt␈α␈hat
␈β&␈↓ ∧β␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈/␈↓ ∧6␈εn
␈β'␈↓ ¬⊃␈∧'¬⊃αα→
␈β)␈↓ ∧z␈ε⊗?␈↓ π*␈ε⊗?
␈β,␈↓ βv␈ε	e␈↓ ∧O␈εβ=␈↓ ¬⊃␈εβ1,␈αε(2␈↓ ¬M␈ε	m␈↓ ¬q␈εβ+␈αλ1)␈↓ ε6␈ε	n␈↓ εQ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈αε1␈↓ π<␈εβ,␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ9␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.
␈βw␈↓ ↓H␈εα(
␈βz␈↓ ↓T␈εβTh␈α␈is␈α∞n␈α␈otation␈α
d␈α␈en␈α␈otes␈α
the␈α
in|␈α␈nite␈α∞c␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fra␈α␈ction␈ε↔␈α
?␈εβ␈α¬1,␈↓ λ*␈ε	n␈↓ λH␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α∞1,␈α∞1,␈α∞3␈↓ 	{␈ε	n␈↓ 
_␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α∞1,␈α∂1␈α␈,
␈β≡␈↓ 
⊂␈ε~␈␈εε2/␈↓ 
B␈εn
␈β∨␈↓ β8␈εα)
␈β"␈↓ ↓H␈εβ5␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓v␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α∂1,␈↓ αr␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β≡␈ε↔?␈εβ.␈↓ βR␈εβAlso␈α∞|␈α␈nd␈α
the␈α∞re␈α␈gula␈α␈r␈α∞con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∞frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α
for␈↓ 
β␈ε	e␈↓ 
a␈εβwh␈α␈en
␈βI␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈α	0␈αis␈αo␈α␈dd␈α␈.
␈βw␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β{␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈α	Pro␈α␈v␈α}e␈α	tha␈α␈t␈ε↔␈α	?␈↓ ∧X␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬$␈ε	x␈↓ ¬@␈ε↔?␈εβ␈α	=␈ε↔␈α
?␈↓ ε∃␈ε	x␈↓ ε6␈ε↔␈␈εβ␈α¬1,␈α¬1,␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π<␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈ε↔␈α␈?␈εβ.␈α∀(b)␈α	Gen␈α␈eralize␈α	th␈α␈is␈α	i␈α↓d␈α␈en␈α␈t␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β
ε␈↓ ∧g␈εε1␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ε%␈εε1␈↓ π*␈εε2
␈β
#␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈απa␈απfo␈α␈rm␈α␈ula␈απfor␈ε↔␈απ?␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧C␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬≡␈ε	x␈↓ ¬:␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬k␈ε	x␈↓ επ␈εβ,␈↓ ε∃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εB␈εβ,␈↓ εQ␈ε	x␈↓ π#␈εβ,␈ε↔␈α¬␈␈↓ πS␈ε	x␈↓ π␈␈ε↔?␈εβ␈απin␈απwhich␈αεall␈αλp␈α␈artial␈απqu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β
.␈↓ ∧7␈εε1␈↓ ¬β␈εε2␈↓ ¬.␈εε3␈↓ ¬z␈εε4␈↓ ε`␈εε2␈↓ εm␈εn␈↓ ε⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ πb␈εε2␈↓ πo␈εn
␈β
K␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈αλin␈α}tegers␈απwhen␈απthe␈↓ ∧u␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ's␈αλa␈α␈re␈αλlarg␈α␈e␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈αλin␈α}tegers.␈α⊃(c␈α␈)␈αλThe␈αλre␈α␈sult␈αλo␈α␈f␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈απ16
␈β
r␈↓ ↓H␈εβimp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
t␈α␈hat␈↓ α⎇␈εβta␈α␈n␈↓ β2␈εβ1␈α	=␈ε↔␈α
?␈εβ␈α␈1,␈ε↔␈αε␈␈εβ3,␈αε5␈α␈,␈ε↔␈αε␈␈εβ7,␈↓ ¬H␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬t␈ε↔?␈εβ.␈αFind␈αλthe␈α	re␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α	con␈α}ti␈α↓n␈α}ued␈αλfraction␈αλex␈α␈pan␈α␈sion
␈β∞~␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈εβtan␈↓ α$␈εβ1.
␈β∞L␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Dev␈α}elop␈α∂a␈α∂co␈α␈mpu␈α␈ter␈α∂pro␈α␈gram␈α∂to␈α∂|n␈α␈d␈α∂as␈α∂man␈α}y␈α∂pa␈α␈rtial␈α⊂qu␈α␈otien␈α}ts␈α⊂o␈α␈f␈↓ 
n␈ε	x␈↓ ∂␈εβa␈α␈s
␈β∞t␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αwhe␈α␈n␈↓ β"␈ε	x␈↓ β=␈εβi␈α↓s␈α
a␈α	real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
giv␈α␈en␈α	wi␈α↓th␈α	high␈α	pre␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n.␈αUse␈α
th␈α␈is␈α
prog␈α␈ram␈α
to␈α	calcu␈α␈-
␈β∂≠␈↓ ↓H␈εβlat␈α␈e␈αth␈α␈e␈α|␈α␈rst␈αone␈αth␈α␈ou␈α␈sand␈α(o␈α␈r␈αso␈α␈)␈αp␈α␈artial␈αq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αof␈αEu␈α␈l␈α↓e␈α␈r'␈α↓s␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ 	W␈ε	␈
␈↓ 	i␈εβ,␈αb␈α␈ased␈αo␈α␈n␈αD.
␈β∂@␈↓ 	)␈εα(
␈β∂C␈↓ ↓H␈εβW.␈α
S␈α␈w␈α␈een␈α␈ey's␈α356␈α␈6-plac␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α[␈ε⊂Ma␈α␈th.␈α
Co␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α
17␈εβ␈α(19␈α␈63),␈α
17␈α␈0↑1␈α␈78].␈↓ 	5␈εβAccord␈α␈ing␈αto␈αthe
␈β∂k␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈y␈αin␈α
th␈α␈e␈αtex␈α␈t,␈αw␈α␈e␈α
exp␈α␈ect␈α
to␈αg␈α␈et␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α
0.97␈α
pa␈α␈rti␈α↓a␈α␈l␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αp␈α␈er␈αd␈α␈ecimal␈α
digit.␈αCf.
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈L␈α
a␈α␈nd␈αthe␈αa␈α␈rti␈α↓c␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈αJ␈α␈.␈α
W.␈αW␈α↓ren␈α␈ch␈α␈,␈α
Jr.␈αan␈α␈d␈αD.␈αSh␈α␈an␈α␈ks,␈ε⊂␈αMat␈α␈h.␈αComp␈α␈.
␈β⊂7␈↓ β←␈εα)
␈β⊂:␈↓ ↓H␈ε∪2␈α␈0␈εβ␈α(19␈α␈66),␈α44␈α␈4↑4␈α␈47.
␈β⊂l␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ∧≠␈ε	F␈↓ ∧3␈εβ(␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧O␈εβ)␈α	=␈↓ ¬∞␈εβlog␈↓ ¬D␈εβ(1␈απ+␈↓ ε∂␈ε	x␈↓ ε!␈εβ)␈αsatis|␈α␈es␈αEq.␈α(24).
␈β⊂{␈↓ ¬9␈εb
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Deriv␈α␈e␈α
(␈α↓3␈α␈6)␈αfrom␈α(3␈α␈5).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ εAA␈α␈NAL␈α⎇YSIS␈α	OF␈α	EU␈α␈CLID␈εα'␈ε∞S␈α	AL␈α␈GORITH␈α␈M␈↓ 
v␈εα357
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈29␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(E.␈απWirsing␈α␈.␈α↓)␈αTh␈α␈e␈αεbo␈α␈un␈α␈ds␈αε(37␈α␈)␈αεw␈α␈ere␈αεob␈α␈tain␈α␈ed␈αεfo␈α␈r␈αεa␈αεfun␈α␈ction␈↓ 	G␈ε	⎇␈↓ 	c␈εβco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing
␈βαR␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓m␈ε	g␈↓ α¬␈εβwith␈↓ αN␈ε	T␈↓ αe␈ε	g␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β⊃␈εβ)␈α	=␈α
1/␈α␈(␈↓ β|␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ+␈α∧1␈α␈).␈αS␈α␈ho␈α}w␈α	t␈α␈hat␈αλth␈α␈e␈αλfu␈α␈nction␈απcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλto␈↓ 	,␈ε	T␈↓ 	D␈ε	g␈↓ 	S␈εβ(␈↓ 	↑␈ε	x␈↓ 	p␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈/(␈↓ 
[␈ε	x␈↓ 
p␈εβ+␈↓ ∀␈ε	c␈↓ !␈εβ)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβy␈α␈ields␈αb␈α␈etter␈αbo␈α␈un␈α␈ds,␈αwhe␈α␈n␈↓ ∧[␈ε	c␈↓ ∧q␈εβ>␈α
0␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈n␈αap␈α␈pro␈α␈priate␈α
con␈α␈stan␈α␈t.
␈ββ/␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈46␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(K.␈αλI.␈αλB␈α↓a␈α␈ben␈α␈k␈α␈o␈α␈.␈α↓)␈α⊂Dev␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈p␈αλe␈α␈}cien␈α␈t␈απmean␈α␈s␈αλto␈απcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈te␈αλac␈α␈cura␈α␈te␈αλap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈-
␈ββW␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α∂to␈α∂th␈α␈e␈α∂qu␈α␈an␈α␈tities␈↓ ∧$␈ε	∃␈↓ ∧R␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬⊗␈εβ␈	␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬Y␈εβ)␈α∂in␈α∂(42␈α␈),␈α⊃fo␈α␈r␈α⊂s␈α␈mall␈↓ λα␈ε	j␈↓ λ ␈ε↔∃␈εβ␈α⊃3␈α∞and␈α∞for␈α∂0␈ε↔␈α⊂∀␈↓ 
@␈ε	x␈↓ 
a␈ε↔∀␈εβ␈α⊃1␈α␈.
␈ββa␈↓ ∧6␈εj␈↓ ¬0␈εj
␈β∧
␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α(5␈α␈1),␈αusing␈α
results␈αfrom␈α
the␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈αTh␈α␈eor␈α␈em␈αW.
␈β∧C␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
v␈α␈alu␈α␈e␈α
of␈α	a␈α
p␈α␈artial␈α
q␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈↓ λ$␈ε	A␈↓ λS␈εβin␈α	the␈α	regu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed
␈β∧M␈↓ λ9␈εn
␈β∧j␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈αe␈α␈xp␈α␈ans␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αre␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}ber?
␈β¬ ␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈25␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αan␈α
exa␈α␈mple␈αof␈αa␈αset␈ε↔␈αI␈εβ␈α
=␈↓ εI␈ε	I␈↓ εg␈ε↔[␈↓ ππ␈ε	I␈↓ π%␈ε↔[␈↓ πE␈ε	I␈↓ πc␈ε↔[␈↓ λβ␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ3␈ε↔∩␈εβ␈α
[0,␈αε1],␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈↓ 
P␈ε	I␈↓ 
↑␈εβ'␈α↓s␈αare
␈β¬+␈↓ εS␈εε1␈↓ π⊃␈εε2␈↓ πO␈εε3
␈β¬H␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isjoin␈α␈t␈αin␈α␈ter␈α␈vals,␈αfor␈αwhich␈α
(43)␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αh␈α␈old.
␈β¬}␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
if␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈ε↔␈α
f␈εβ1/␈↓ ε"␈ε	n␈↓ ε6␈εβ,␈αε2/␈↓ εf␈ε	n␈↓ ε{␈εβ,␈↓ π	␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π6␈εβ,␈ε↔␈αεb␈↓ πQ␈ε	n␈↓ πe␈εβ/2␈ε↔c␈εβ/␈↓ λ$␈ε	n␈↓ λ8␈ε↔g␈εβ␈α
are␈α
ex␈α␈pre␈α␈ssed␈α
as␈α
re␈α␈gula␈α␈r
␈βε%␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αfraction␈α␈s,␈α∞th␈α␈e␈α
resu␈α␈lt␈α
i␈α↓s␈αsymm␈α␈etric␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α
left␈α
a␈α␈nd␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t,␈α
i␈α↓n␈αthe␈αsense␈αtha␈α␈t
␈βεM␈↓ ↓H␈ε↔?␈↓ ↓X␈ε	A␈↓ ↓w␈εβ,␈↓ αε␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α2␈εβ,␈↓ αA␈ε	A␈↓ αc␈εβ,␈↓ αr␈ε	A␈↓ β∀␈ε↔?␈εβ␈αa␈α␈pp␈α␈ears␈αwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈ε↔␈α?␈↓ ¬M␈ε	A␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ¬}␈ε	A␈↓ ε ␈εβ,␈↓ ε/␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε[␈εβ,␈↓ εj␈ε	A␈↓ π	␈ε↔?␈εβ␈αd␈α␈oes␈α␈.
␈βεW␈↓ ↓n␈εt␈↓ αV␈εε2␈↓ βπ␈εε1␈↓ ¬c␈εε1␈↓ ε∪␈εε2␈↓ ε␈␈εt
␈βπβ␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Der␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α(53)␈αfro␈α␈m␈α(47)␈αan␈α␈d␈α(5␈α␈2).
␈βπ9␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈απth␈α␈e␈απfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈απid␈α␈en␈α␈tities␈απin␈α}v␈α␈olv␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αεthe␈αεthre␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈er-th␈α␈eoretic␈αεfun␈α␈ction␈α␈s
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε	⎇␈↓ ↓]␈εβ(␈↓ ↓h␈ε	n␈↓ ↓|␈εβ),␈↓ α≤␈ε	⊗␈↓ α.␈εβ(␈↓ α9␈ε	n␈↓ αM␈εβ),␈↓ αm␈ε	β␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε	n␈↓ β ␈εβ):
␈βλ∩␈↓ α<␈ε↓X␈↓ εb␈ε↓X␈↓ λw␈ε↓X
␈βλ7␈↓ α⊂␈εβa␈α␈)␈↓ αv␈ε	⊗␈↓ βλ␈εβ(␈↓ β∪␈ε	d␈↓ β%␈εβ)␈α
=␈↓ βd␈ε	∞␈↓ ∧
␈εβ.␈↓ ¬K␈εβb␈α␈)␈↓ ¬y␈εβln␈↓ ε~␈ε	n␈↓ ε8␈εβ=␈↓ π≤␈ε	β␈↓ π0␈εβ(␈↓ π;␈ε	d␈↓ πN␈εβ),␈↓ λ/␈ε	n␈↓ λM␈εβ=␈↓ 	1␈ε	⎇␈↓ 	F␈εβ(␈↓ 	Q␈ε	d␈↓ 	d␈εβ).
␈βλB␈↓ βp␈εn␈↓ ∧↓␈εε1
␈βλi␈↓ α@␈εd␈↓ αO␈ε~∧␈↓ α\␈εn␈↓ εf␈εd␈↓ εu␈ε~∧␈↓ πα␈εn␈↓ λ|␈εd␈↓ 	
␈ε~∧␈↓ 	↔␈εn
␈βλ|␈↓ βs␈ε↓⊂␈↓ ∧ ␈ε↓⊃␈↓ πα␈ε↓⊂␈↓ π/␈ε↓⊃
␈β	β␈↓ β'␈ε↓X␈↓ ε6␈ε↓X
␈β	∪␈↓ ∧	␈ε	n␈↓ π↔␈ε	n
␈β	)␈↓ α⊂␈εβc␈α␈)␈↓ α5␈ε	β␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	n␈↓ αh␈εβ)␈α	=␈↓ βa␈ε	⊗␈↓ ∧8␈εβln␈↓ ∧Y␈ε	d␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ¬B␈ε	⎇␈↓ ¬X␈εβ(␈↓ ¬c␈ε	n␈↓ ¬w␈εβ)␈α	=␈↓ εo␈ε	⊗␈↓ πG␈ε	d␈↓ πY␈εβ.
␈β	7␈↓ ∧	␈∧	7∧	α∃␈↓ π↔␈∧	7π↔α∃
␈β	@␈↓ ∧	␈ε	d␈↓ π_␈ε	d
␈β	Z␈↓ β+␈εd␈↓ β:␈ε~∧␈↓ βF␈εn␈↓ ε:␈εd␈↓ εI␈ε~∧␈↓ εU␈εn
␈β
B␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Assu␈α␈ming␈αt␈α␈hat␈↓ ∧W␈ε	T␈↓ ¬¬␈εβi␈α↓s␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αb␈α␈y␈α(53␈α␈),␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈α(55␈α␈)␈α=␈α(56␈α␈)␈α↓.
␈β
M␈↓ ∧j␈εn
␈β
t␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
x␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈32␈↓ αm␈εβ]␈α⊗The␈α¬f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αεmo␈α␈di|␈α␈cation␈α¬of␈αεEuclid's␈αεa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α¬i␈α↓s␈α¬often␈α¬sugg␈α␈ested␈α␈:␈α	Inst␈α␈ead
␈β ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α⊂rep␈α␈lacing␈↓ βε␈ε	v␈↓ β&␈εβby␈↓ β[␈ε	u␈↓ βt␈εβmod␈↓ ∧9␈ε	v␈↓ ∧Z␈εβd␈α␈urin␈α␈g␈α∂the␈α∂d␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈α∂step␈α␈,␈α⊃rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α∂i␈α↓t␈α∂b␈α␈y␈ε↔␈α∂j␈εβ␈α↓(␈↓ 	>␈ε	u␈↓ 	W␈εβmod␈↓ 
≤␈ε	v␈↓ 
-␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ 
n␈ε	v␈↓ 
␈␈ε↔j␈εβ␈α⊂if
␈βD␈↓ α␈␈εε1
␈βH␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓a␈εβmod␈↓ α&␈ε	v␈↓ αI␈εβ>␈↓ β∂␈ε	v␈↓ β!␈εβ.␈α~Th␈α}us,␈α⊃for␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∩if␈↓ ε↔␈ε	u␈↓ ε=␈εβ=␈α⊃26␈α⊂a␈α␈nd␈↓ πg␈ε	v␈↓ λ	␈εβ=␈α∩7,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 	q␈εβg␈α␈cd␈↓ 
#␈εβ(2␈α␈6,␈αε7)␈α⊃=
␈βV␈↓ α␈␈∧Vα␈α
␈βX␈↓ α␈␈εε2
␈βo␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2,␈α¬7)␈α	=␈↓ β∃␈εβgc␈α␈d␈↓ βG␈εβ(7,␈α¬2);␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓2␈α	is␈α	the␈ε⊂␈α	re␈α␈maind␈α␈er␈α	of␈α	smallest␈α	mag␈α␈nitu␈α␈de␈εβ␈α	whe␈α␈n␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
7
␈β↔␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αsu␈α␈btr␈α␈acted␈α
fro␈α␈m␈α2␈α␈6.␈αComp␈α␈are␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
pro␈α␈ced␈α␈ure␈α
wi␈α↓th␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalg␈α␈orithm;␈αe␈α␈stimate␈α
the
␈β>␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αd␈α␈ivision␈αste␈α␈ps␈αth␈α␈i␈α↓s␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αsav␈α}es,␈αon␈α
the␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge.
␈βp␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βt␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈αth␈α␈e␈α\␈α␈wo␈α␈rst␈αca␈α␈se"␈αof␈αth␈α␈e␈αm␈α␈od␈α␈i␈α↓|␈α␈cation␈αo␈α␈f␈αEuclid's␈αalgorith␈α␈m␈αsu␈α␈gg␈α␈ested
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α3␈α␈0;␈αwha␈α␈t␈αare␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αinp␈α␈uts␈↓ εI␈ε	u␈↓ εf␈εβ>␈↓ π⊂␈ε	v␈↓ π+␈εβ>␈α
0␈α
that␈αre␈α␈qu␈α␈i␈α↓re␈↓ 	)␈ε	n␈↓ 	H␈εβd␈α␈ivision␈αste␈α␈ps?
␈β
R␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(a)␈α	A␈αλMo␈α␈rse␈α	c␈α␈ode␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλof␈α	len␈α␈gth␈↓ εa␈ε	n␈↓ ε⎇␈εβi␈α↓s␈αλa␈αλstring␈αλof␈↓ λ5␈ε	r␈↓ λM␈εβd␈α␈ots␈αλan␈α␈d␈↓ 	P␈ε	s␈↓ 	g␈εβd␈α␈ash␈α␈es,␈α	where
␈β
y␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓↑␈εβ+␈απ2␈↓ α↔␈ε	s␈↓ α.␈εβ=␈↓ αY␈ε	n␈↓ αm␈εβ.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,␈αthe␈αM␈α␈orse␈αco␈α␈de␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α␈s␈αo␈α␈f␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α
4␈αar␈α␈e
␈β∞J␈↓ ¬;␈εβ←␈↓ ε≤␈εβ←␈↓ ε|␈εβ←␈↓ πk␈εβ←␈↓ λ∩␈εβ←
␈β∞K␈↓ ∧8␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈α¬↓␈εβ␈α↓,␈ε↔␈α'↓␈αε↓␈↓ ¬]␈εβ,␈ε↔␈α'↓␈↓ εB␈ε↔↓␈εβ␈α↓,␈↓ π#␈ε↔↓␈α¬↓␈εβ␈α↓,␈↓ λ3␈εβ.
␈β∂≥␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈ting␈αth␈α␈at␈αthe␈αc␈α␈on␈α␈tin␈α}uan␈α}t␈↓ ∧b␈ε	Q␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬,␈εβ,␈↓ ¬;␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ,␈↓ ¬f␈ε	x␈↓ εα␈εβ,␈↓ ε⊃␈ε	x␈↓ ε-␈εβ)␈α=␈↓ εp␈ε	x␈↓ π␈ε	x␈↓ π(␈ε	x␈↓ πD␈ε	x␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε	x␈↓ λ-␈ε	x␈↓ λR␈εβ+␈↓ λ{␈ε	x␈↓ 	↔␈ε	x␈↓ 	;␈εβ+␈↓ 	e␈ε	x␈↓ 
↓␈ε	x␈↓ 
%␈εβ+␈αλ1,␈α
|␈α␈nd
␈β∂(␈↓ ∧y␈εε4␈↓ ¬ ␈εε1␈↓ ¬K␈εε2␈↓ ¬u␈εε3␈↓ ε ␈εε4␈↓ ε␈␈εε1␈↓ π≠␈εε2␈↓ π7␈εε3␈↓ πS␈εε4␈↓ λ!␈εε1␈↓ λ=␈εε2␈↓ 	
␈εε1␈↓ 	'␈εε4␈↓ 	t␈εε3␈↓ 
⊂␈εε4
␈β∂E␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
a␈α
simp␈α␈l␈α↓e␈α
relatio␈α␈n␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ ¬]␈ε	Q␈↓ εβ␈εβ(␈↓ ε∞␈ε	x␈↓ ε*␈εβ,␈↓ ε9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εe␈εβ,␈↓ εt␈ε	x␈↓ π∀␈εβ)␈α
and␈α
M␈α␈orse␈α
cod␈α␈e␈α
sequ␈α␈en␈α␈ces␈αo␈α␈f␈αlen␈α␈gth
␈β∂O␈↓ ¬s␈εn␈↓ ε≡␈εε1␈↓ π∧␈εn
␈β∂l␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓\␈εβ.␈α→(b)␈α(L.␈αEu␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈ε⊂␈αNo␈α}vi␈αCom␈α␈m.␈αA␈α↓c␈α␈ad␈α␈.␈αS␈α␈ci.␈αPet.␈ε∪␈α9␈εβ␈α(17␈α␈62),␈α53␈α␈↑69␈α␈.␈α↓)␈α→Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈β⊂>␈↓ ↓i␈ε	Q␈↓ α@␈εβ(␈↓ αK␈ε	x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈α
=␈↓ ∧@␈ε	Q␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε	x␈↓ ¬∃␈εβ,␈↓ ¬$␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬P␈εβ,␈↓ ¬←␈ε	x␈↓ εε␈εβ)␈↓ ε⊃␈ε	Q␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	x␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πJ␈εβ,␈↓ πY␈ε	x␈↓ λ)␈εβ)
␈β⊂I␈↓ ↓␈␈εm␈↓ α⊗␈εε+␈↓ α0␈εn␈↓ αZ␈εε1␈↓ β@␈εm␈↓ βX␈εε+␈↓ βq␈εn␈↓ ∧V␈εm␈↓ ¬λ␈εε1␈↓ ¬n␈εm␈↓ ε'␈εn␈↓ εR␈εm␈↓ εi␈εε+1␈↓ πh␈εm␈↓ π␈␈εε+␈↓ λ→␈εn
␈β⊂m␈↓ ¬t␈εβ+␈↓ ε≥␈ε	Q␈↓ εp␈εβ(␈↓ ε{␈ε	x␈↓ π↔␈εβ,␈↓ π&␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	x␈↓ λ.␈εβ)␈↓ λ9␈ε	Q␈↓ 	¬␈εβ(␈↓ 	⊂␈ε	x␈↓ 	]␈εβ,␈↓ 	k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
w␈εβ).
␈β⊂w␈↓ ε3␈εm␈↓ εJ␈ε~␈␈εε1␈↓ π
␈εε1␈↓ πp␈εm␈↓ λλ␈ε~␈␈εε1␈↓ λO␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∨␈εm␈↓ 	7␈εε+2␈↓ 
6␈εm␈↓ 
M␈εε+␈↓ 
f␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα358␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	h␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	n␈↓ βc␈εβ)␈αb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈f␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ+␈εβin␈αth␈α␈e␈αform
␈βαy␈↓ α2␈ε~0␈↓ β∞␈ε~0␈↓ ¬R␈ε~0␈↓ ε∨␈ε~0␈↓ 
T␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ=␈↓ α∂␈ε	x␈↓ α!␈ε	x␈↓ α@␈εβ+␈↓ αi␈ε	y␈↓ α{␈ε	y␈↓ β∀␈εβ,␈↓ β\␈ε	x␈↓ βw␈εβ>␈↓ ∧"␈ε	y␈↓ ∧=␈εβ>␈α
0␈α␈,␈↓ ¬A␈ε	x␈↓ ¬b␈εβ>␈↓ ε␈ε	y␈↓ ε.␈εβ>␈α
0,␈↓ π2␈εβgcd␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε	x␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ∂␈ε	y␈↓ λ"␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈α:i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ 
"␈ε	x␈↓ 
4␈εβ,␈↓ 
C␈ε	x␈↓ 
Z␈εβ,␈↓ 
i␈ε	y␈↓ 
|␈εβ,␈↓ 
␈ε	y␈↓ #␈εβ.
␈ββM␈↓ π"␈ε~0␈↓ πn␈ε~0
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβ(a␈α␈)␈απSh␈α␈o␈α␈w␈απth␈α␈at␈απif␈απth␈α␈e␈απco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s␈απa␈α␈re␈απrelax␈α}ed␈αεto␈απa␈α␈l␈α↓lo␈α␈w␈↓ π⊂␈ε	x␈↓ π1␈εβ=␈↓ π\␈ε	y␈↓ πu␈εβ,␈αλth␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈απo␈α␈f␈απrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈ββx␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓f␈ε	h␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α∃␈εβ)␈αβ+␈ε↔␈α∧b␈εβ(␈↓ α`␈ε	n␈↓ αw␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈)/2␈ε↔c␈εβ.␈α⊃(b␈α␈)␈αλSh␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈at␈αλfor␈απ|x␈α}ed␈↓ εH␈ε	y␈↓ εc␈εβ>␈α
0␈απand␈απ0␈α	<␈↓ λ(␈ε	t␈↓ λ>␈ε↔∀␈↓ λh␈ε	y␈↓ λ{␈εβ,␈αλwhere␈↓ 	i␈εβgcd␈↓ 
≠␈εβ(␈↓ 
&␈ε	t␈↓ 
2␈εβ,␈↓ 
A␈ε	y␈↓ 
T␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,
␈β∧≤␈↓ βp␈ε~0␈↓ ¬+␈ε~0␈↓ λ←␈ε~0
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αfor␈αeac␈α␈h␈α
|␈α␈x␈α␈e␈α␈d␈↓ β←␈ε	x␈↓ ∧β␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ¬~␈ε	x␈↓ ¬2␈ε	t␈↓ ¬I␈ε↔⊃␈↓ ¬v␈ε	n␈↓ ε⊗␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ π_␈ε	y␈↓ π*␈εβ)␈α
a␈α␈nd␈α0␈α<␈↓ λN␈ε	x␈↓ λq␈εβ<␈↓ 	≡␈ε	n␈↓ 	2␈εβ/(␈↓ 	N␈ε	y␈↓ 	i␈εβ+␈↓ 
∩␈ε	t␈↓ 
≡␈εβ),␈α∞th␈α␈ere␈αis
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈αλon␈α␈e␈α	re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α	o␈α␈f␈↓ ∧p␈ε	n␈↓ ¬
␈εβsatisfyin␈α␈g␈α	th␈α␈e␈α	restr␈α␈i␈α↓ct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α	o␈α␈f␈α	(a)␈α	an␈α␈d␈αλthe␈αλcon␈α␈dition␈↓ 
[␈ε	x␈↓ 
v␈ε↔⊃␈↓ !␈ε	t
␈β∧o␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	y␈↓ α\␈εβ).␈α→(c)␈αCon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈tly
␈β¬5␈↓ ∧c␈ε↓X
␈β¬>␈↓ ¬≤␈ε↓_␈↓ ¬,␈ε↓∩␈↓ ε[␈ε↓∪␈↓ π⊂␈ε↓→
␈β¬D␈↓ ¬c␈ε	n␈↓ ε{␈εβ1
␈β¬T␈↓ εT␈ε~0
␈β¬Z␈↓ βt␈ε	h␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε	n␈↓ ∧$␈εβ)␈α	=␈↓ ε ␈ε↔␈␈↓ εH␈ε	t␈↓ π'␈ε↔␈␈αλb␈εβ(␈↓ πh␈ε	n␈↓ λ∧␈ε↔␈␈εβ␈απ1)/2␈ε↔␈α␈c␈εβ,
␈β¬h␈↓ ¬F␈∧¬h¬FαO␈↓ εz␈∧¬hεzα∪
␈β¬r␈↓ ¬F␈ε	y␈↓ ¬`␈εβ+␈↓ ε	␈ε	t␈↓ εz␈ε	y
␈βε@␈↓ εx␈ε~0␈↓ 
W␈ε~0
␈βεE␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α	the␈α	su␈α␈m␈α
is␈α	o␈α␈v␈α}er␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α
in␈α}tegers␈↓ ε(␈ε	y␈↓ ε:␈εβ,␈↓ εM␈ε	t␈↓ εY␈εβ,␈↓ εl␈ε	t␈↓ πλ␈εβsu␈α␈ch␈α	tha␈α␈t␈↓ λ→␈εβg␈α␈cd␈↓ λK␈εβ(␈↓ λV␈ε	t␈↓ λb␈εβ,␈↓ λp␈ε	y␈↓ 	β␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈↓ 	f␈ε	t␈↓ 	{␈ε↔∀␈↓ 
%␈ε	y␈↓ 
8␈εβ,␈↓ 
K␈ε	t␈↓ 
f␈ε↔∀␈↓ ⊃␈ε	y␈↓ #␈εβ,
␈βεh␈↓ ↓←␈ε~0
␈βεl␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓T␈ε	t␈↓ ↓q␈ε↔⊃␈↓ α≥␈ε	n␈↓ α=␈εβ(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ β>␈ε	y␈↓ βQ␈εβ).␈α≤(d␈α␈)␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈αea␈α␈ch␈αof␈αth␈α␈e␈↓ ππ␈ε	h␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	n␈↓ π7␈εβ)␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αca␈α␈n␈αbe␈αe␈α␈xp␈α␈ressed
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈ely␈αin␈αt␈α␈he␈αform
␈βπb␈↓ α␈␈ε	x␈↓ β~␈εβ=␈↓ βD␈ε	Q␈↓ βr␈εβ(␈↓ β⎇␈ε	x␈↓ ∧→␈εβ,␈↓ ∧(␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ¬	␈εβ)␈α↓,␈↓ εQ␈ε	y␈↓ εm␈εβ=␈↓ π↔␈ε	Q␈↓ πj␈εβ(␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ∩␈εβ,␈↓ λ ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λM␈εβ,␈↓ λ\␈ε	x␈↓ 	(␈εβ),
␈βπl␈↓ βZ␈εm␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧r␈εm␈↓ π-␈εm␈↓ πE␈ε~␈␈εε1␈↓ λ¬␈εε1␈↓ λk␈εm␈↓ 	α␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ∞␈↓ β
␈ε~0␈↓ ε]␈ε~0
␈βλ∀␈↓ αy␈ε	x␈↓ β~␈εβ=␈↓ βD␈ε	Q␈↓ βg␈εβ(␈↓ βs␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ,␈↓ ∧N␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧z␈εβ,␈↓ ¬	␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ)␈↓ ¬g␈ε	d␈↓ ¬y␈εβ,␈↓ εK␈ε	y␈↓ εm␈εβ=␈↓ π↔␈ε	Q␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈ε	x␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λs␈εβ,␈↓ 	α␈ε	x␈↓ 	O␈εβ)␈↓ 	`␈ε	d␈↓ 	r␈εβ,
␈βλ∨␈↓ βZ␈εk␈↓ ∧α␈εm␈↓ ∧→␈εε+␈α↓1␈↓ ¬→␈εm␈↓ ¬0␈εε+␈↓ ¬I␈εk␈↓ π-␈εk␈↓ π;␈ε~␈␈εε1␈↓ π{␈εm␈↓ λ∩␈εε+2␈↓ 	⊃␈εm␈↓ 	)␈εε+␈↓ 	B␈εk
␈βλb␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α+␈ε	m␈↓ αH␈εβ,␈↓ α`␈ε	k␈↓ αp␈εβ,␈↓ βλ␈ε	d␈↓ β~␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞th␈α␈e␈↓ ∧2␈ε	x␈↓ ∧[␈εβare␈α
positiv␈α␈e␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α∞with␈↓ π`␈ε	x␈↓ λ
␈ε↔∃␈εβ␈α∞2␈α␈,␈↓ λa␈ε	x␈↓ 	<␈ε↔∃␈εβ␈α∞2,␈α∂an␈α␈d␈↓ 
W␈ε	d␈↓ 
x␈εβis␈α∞a
␈βλm␈↓ ∧A␈εj␈↓ πo␈εε1␈↓ λq␈εm␈↓ 	λ␈εε+␈↓ 	!␈εk
␈β	
␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisor␈αof␈↓ α]␈ε	n␈↓ αq␈εβ.␈α
Th␈α␈e␈αide␈α␈n␈α␈tity␈αof␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α32␈αno␈α}w␈αimplies␈αthat␈↓ λ→␈ε	n␈↓ λ-␈εβ/␈↓ λ>␈ε	d␈↓ λZ␈εβ=␈↓ 	ε␈ε	Q␈↓ 	Z␈εβ(␈↓ 	e␈ε	x␈↓ 
↓␈εβ,␈↓ 
⊂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
<␈εβ,␈↓ 
K␈ε	x␈↓ _␈εβ).
␈β	∀␈↓ 	≤␈εm␈↓ 	3␈εε+␈↓ 	M␈εk␈↓ 	t␈εε1␈↓ 
Z␈εm␈↓ 
r␈εε+␈↓ ␈εk
␈β	1␈↓ ↓H␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈αe␈α␈v␈α␈ery␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}tegers␈↓ π␈ε	x␈↓ π≤␈εβ,␈↓ π1␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πs␈ε	x␈↓ λL␈εβwith␈↓ 	_␈ε	x␈↓ 	>␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈↓ 
⊂␈ε	x␈↓ 
g␈ε↔∃␈εβ␈α2␈α␈,
␈β	<␈↓ π⊂␈εε1␈↓ λα␈εm␈↓ λ~␈εε+␈↓ λ3␈εk␈↓ 	'␈εε1␈↓ 
∨␈εm␈↓ 
6␈εε+␈↓ 
P␈εk
␈β	Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α∧␈ε	Q␈↓ αX␈εβ(␈↓ αc␈ε	x␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β∞␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β:␈εβ,␈↓ βI␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈απdivid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ¬&␈ε	n␈↓ ¬:␈εβ,␈αλco␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈s␈απin␈απth␈α␈is␈απway␈αεto␈↓ λB␈ε	m␈↓ λa␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	k␈↓ 	⊗␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αεrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈β	c␈↓ α~␈εm␈↓ α2␈εε+␈↓ αK␈εk␈↓ αs␈εε1␈↓ βY␈εm␈↓ βp␈εε+␈↓ ∧	␈εk
␈β
␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	n␈↓ αβ␈εβ.␈α→(e)␈αThe␈α␈refore␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧↓␈ε	T␈↓ ∧.␈εβ=␈ε↔␈α	b␈εβ(5␈↓ ¬↓␈ε	n␈↓ ¬≤␈ε↔␈␈εβ␈αλ3)/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈αλ+␈απ2␈↓ εP␈ε	h␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε	n␈↓ ε␈␈εβ)␈α↓.
␈β
␈↓ ∧∀␈εn
␈β
8␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈40␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(H.␈αHeilbro␈α␈nn␈α␈.␈α↓)␈α↔(a)␈α
Let␈↓ ¬j␈ε	h␈↓ ελ␈εβ(␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε(␈εβ)␈α
be␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α
of␈↓ 
J␈ε	n␈↓ 
i␈εβa␈α␈s␈αin
␈β
C␈↓ ¬z␈εd
␈β
\␈↓ ∧v␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈β
`␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α33␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧λ␈ε	x␈↓ ∧~␈ε	d␈↓ ∧8␈εβ<␈↓ ∧e␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ,␈α
plus␈αha␈α␈lf␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αwith␈↓ 
/␈ε	x␈↓ 
A␈ε	d␈↓ 
←␈εβ=␈↓ ␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈βπ␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ αα␈ε	g␈↓ α∩␈εβ(␈↓ α≥␈ε	n␈↓ α1␈εβ)␈α	b␈α␈e␈αλthe␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α	o␈α␈f␈α	rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈s␈α	with␈α␈out␈αλthe␈αλreq␈α␈uirem␈α␈en␈α␈t␈↓ 	λ␈εβgcd␈↓ 	:␈εβ(␈↓ 	E␈ε	x␈↓ 	W␈εβ,␈↓ 	f␈ε	y␈↓ 	x␈εβ)␈α	=␈α
1.␈α
Pro␈α␈v␈α␈e
␈β/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at
␈β3␈↓ ¬V␈ε↓⊂␈↓ ε∧␈ε↓⊃␈↓ λH␈ε↓⊂␈↓ λu␈ε↓⊃
␈β:␈↓ ∧R␈ε↓X␈↓ πp␈ε↓X
␈βI␈↓ ¬l␈ε	n␈↓ λ↑␈ε	n
␈β←␈↓ βc␈ε	h␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	n␈↓ ∧∪␈εβ)␈α	=␈↓ ¬␈ε	⊗␈↓ ¬≡␈εβ(␈↓ ¬)␈ε	d␈↓ ¬;␈εβ)␈↓ ¬F␈ε	g␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ εl␈ε	g␈↓ ε|␈εβ(␈↓ ππ␈ε	n␈↓ π≠␈εβ)␈α	=␈α
2␈↓ λ*␈ε	h␈↓ 	π␈εβ.
␈βj␈↓ λ9␈εd
␈βm␈↓ ¬l␈∧m¬lα∃␈↓ λ↑␈∧mλ↑α∃
␈βw␈↓ ¬m␈ε	d␈↓ λ↑␈ε	d
␈β⊂␈↓ ∧V␈εd␈↓ ∧e␈ε~∧␈↓ ∧q␈εn␈↓ πt␈εd␈↓ λβ␈ε~∧␈↓ λ⊂␈εn
␈β?␈↓ λD␈ε↓P
␈βZ␈↓ λj␈εα(␈↓ 	≠␈εα(␈↓ 
≠␈εα))
␈β]␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈αG␈α␈ener␈α␈ali␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
ex␈α}ercise␈α
33␈α␈(b),␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
for␈↓ ε]␈ε	d␈↓ εy␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ πH␈ε	h␈↓ πf␈εβ(␈↓ πq␈ε	n␈↓ λ¬␈εβ)␈α	=␈↓ λv␈ε	n␈↓ 	
␈εβ/␈↓ 	'␈ε	y␈↓ 	9␈εβ(␈↓ 	D␈ε	y␈↓ 	]␈εβ+␈↓ 
∧␈ε	t␈↓ 
⊂␈εβ)␈↓ 
9␈εβ+␈↓ 
a␈ε	O␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ _␈εβ),
␈βg␈↓ πW␈εd
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈αthe␈αsu␈α␈m␈αi␈α↓s␈αo␈α␈v␈α}er␈α
a␈α␈ll␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ¬D␈ε	y␈↓ ¬b␈εβand␈↓ ε$␈ε	t␈↓ ε=␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πS␈εβgcd␈↓ λ¬␈εβ(␈↓ λ⊃␈ε	t␈↓ λ≤␈εβ,␈↓ λ+␈ε	y␈↓ λ>␈εβ)␈α=␈α1␈αan␈α␈d␈α0␈α<␈↓ 
)␈ε	t␈↓ 
@␈ε↔∀␈↓ 
m␈ε	y␈↓ ␈εβ<
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε↓p
␈β
∪␈↓ ∧⊗␈ε↓P
␈β
)␈↓ ↓l␈∧
)↓lα8
␈β
.␈↓ ¬~␈εα(␈↓ ε.␈εα)␈↓ λ,␈εα(␈↓ 	⊗␈εα)
␈β
1␈↓ ↓l␈ε	n␈↓ α␈εβ/␈↓ α⊂␈ε	d␈↓ α#␈εβ.␈α→(c)␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈↓ ¬&␈ε	y␈↓ ¬8␈εβ/(␈↓ ¬T␈ε	y␈↓ ¬n␈εβ+␈↓ ε↔␈ε	t␈↓ ε#␈εβ)␈↓ εC␈εβ=␈↓ εn␈ε	⎇␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε	y␈↓ π!␈εβ)␈↓ π1␈εβl␈α↓n␈↓ πS␈εβ2␈απ+␈↓ λ∀␈ε	O␈↓ λ8␈ε	≠␈↓ λm␈εβ(␈↓ λx␈ε	y␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	"␈εβ,␈αwhere␈α
the␈αsu␈α␈m␈αis
␈β
<␈↓ λG␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
@␈↓ λj␈ε↓P
␈β
D␈↓ ∧<␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧a␈εy␈↓ ∧p␈ε~∀␈↓ ¬
␈εn
␈β
↑␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
th␈α␈e␈α
ra␈α␈nge␈α0␈α<␈↓ βt␈ε	t␈↓ ∧␈ε↔∀␈↓ ∧:␈ε	y␈↓ ∧L␈εβ,␈↓ ∧V␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε	t␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬-␈ε	y␈↓ ¬@␈εβ)␈α=␈α
1;␈α∞an␈α␈d␈α
wh␈α␈ere␈↓ πR␈ε	≠␈↓ λπ␈εβ(␈↓ λ∩␈ε	y␈↓ λ%␈εβ)␈α=␈↓ 	:␈εβ(1/␈↓ 	f␈ε	d␈↓ 	y␈εβ).␈α≥(d)␈α
S␈α␈ho␈α}w
␈β
i␈↓ πa␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
p␈↓ α∂␈ε↓P␈↓ ∧;␈ε↓P
␈β
q␈↓ 	⊂␈εd␈↓ 	≡␈ε~∧␈↓ 	+␈εy
␈β∞
␈↓ βz␈εε2␈↓ εw␈εε2␈↓ 
+␈εε2
␈β∞␈↓ 	␈εα(␈↓ 
7␈εα)(
␈β∞∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ β→␈ε	⎇␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	y␈↓ βL␈εβ)/␈↓ βh␈ε	y␈↓ ∧⊂␈εβ=␈↓ ¬D␈ε	⊗␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	d␈↓ ¬t␈εβ)␈↓ ¬␈␈ε	H␈↓ εS␈εβ/␈↓ εd␈ε	d␈↓ πβ␈εβ.␈α_(e)␈αHe␈α␈nce␈↓ λ5␈ε	T␈↓ λb␈εβ=␈↓ 	_␈εβ(␈α↓1␈α␈2␈↓ 	J␈εβl␈α↓n␈↓ 	l␈εβ2␈α␈)/␈↓ 
_␈ε	→␈↓ 
O␈εβln␈↓ 
q␈ε	n␈↓ ␈ε↔␈
␈β∞→␈↓ λH␈εn
␈β∞~␈↓ ε∀␈ε~b␈↓ ε≡␈εn␈↓ ε.␈εε/␈↓ ε;␈εd␈↓ εJ␈ε~c
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β∞!␈↓ α5␈εε1␈ε~∀␈↓ α[␈εy␈↓ αj␈ε~∀␈↓ ββ␈εn␈↓ ∧a␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬ε␈εd␈↓ ¬∃␈ε~∀␈↓ ¬.␈εn
␈β∞8␈↓ ∧?␈εε2
␈β∞9␈↓ α␈␈εα)␈↓ βS␈εα(␈↓ ∧K␈εα)
␈β∞<␈↓ α∨␈ε	β␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	d␈↓ αQ␈εβ)/␈↓ αl␈ε	d␈↓ β∩␈εβ+␈↓ β;␈ε	O␈↓ β←␈ε	≠␈↓ ∧∃␈εβ(␈↓ ∧ ␈ε	n␈↓ ∧4␈εβ)␈↓ ∧W␈εβ.
␈β∞G␈↓ βo␈ε~␈␈εε1
␈β∞O␈↓ ↓n␈εd␈↓ ↓|␈ε~∧␈↓ α	␈εn
␈β∞z␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈41␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(A.␈α
C.␈α
Yao␈α	a␈α␈nd␈α	D.␈α
E.␈α
Kn␈α}uth␈α␈.␈α↓)␈α∃Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α	sum␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	par␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈α
qu␈α␈otien␈α␈t␈α␈s
␈β∂β␈↓ π0␈ε↓P
␈β∂≡␈↓ π$␈εα(␈↓ 	≡␈εα)
␈β∂!␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	the␈αλf␈α↓r␈α␈action␈α␈s␈↓ β7␈ε	m␈↓ βT␈εβ/␈↓ βe␈ε	n␈↓ βy␈εβ,␈α
fo␈α␈r␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬α␈ε	m␈↓ ¬(␈εβ<␈↓ ¬S␈ε	n␈↓ ¬g␈εβ,␈α	i␈α↓s␈α	e␈α␈qu␈α␈al␈α	to␈α	2␈↓ πV␈ε↔b␈↓ πc␈ε	x␈↓ πu␈εβ/␈↓ λ¬␈ε	y␈↓ λ_␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈ε↔␈α¬b␈↓ λ\␈ε	n␈↓ λp␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈↓ 	*␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈α	th␈α␈e␈α	sum␈αλis
␈β∂E␈↓ ¬
␈ε~0␈↓ ¬f␈ε~0
␈β∂I␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
all␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈↓ ∧"␈ε	n␈↓ ∧?␈εβ=␈↓ ∧j␈ε	x␈↓ ∧{␈ε	x␈↓ ¬→␈εβ+␈↓ ¬A␈ε	y␈↓ ¬T␈ε	y␈↓ ¬w␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α
of␈α
ex␈α}ercise␈α
33(a␈α␈)␈α↓.␈αS␈α␈ho␈α}w
␈β∂R␈↓ α⊂␈ε↓P
␈β∂l␈↓ β↑␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧c␈εε2␈↓ π2␈εε2
␈β∂m␈↓ ¬8␈εα(␈↓ π?␈εα)
␈β∂p␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α6␈ε↔b␈↓ αC␈ε	x␈↓ αU␈εβ/␈↓ αe␈ε	y␈↓ αx␈ε↔c␈εβ␈α
=␈α
3␈↓ βK␈ε	→␈↓ ∧β␈ε	n␈↓ ∧↔␈εβ(␈↓ ∧"␈εβl␈α↓n␈↓ ∧D␈ε	n␈↓ ∧X␈εβ)␈↓ ∧w␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε	O␈↓ ¬D␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβlog␈↓ ε∞␈ε	n␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈εβlog␈↓ εc␈εβlog␈↓ π∪␈ε	n␈↓ π'␈εβ)␈↓ πK␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αap␈α␈ply␈αthis␈αto␈αth␈α␈e␈α\␈α␈an␈α␈cien␈α␈t"
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈αof␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αt␈α␈hat␈αu␈α␈ses␈αon␈α␈ly␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈αin␈α␈stead␈α
of␈αdivision␈α␈.
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(G.␈α	H.␈α	B␈α↓ra␈α␈dley␈α␈.␈α↓)␈α∪W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α	the␈αλsmallest␈α	va␈α␈lue␈α	o␈α␈f␈↓ λ≤␈ε	u␈↓ λH␈εβsu␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	calcu␈α␈lation
␈β⊂Z␈↓ λ/␈εn
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈εβgc␈α␈d␈↓ α ␈εβ(␈↓ α+␈ε	u␈↓ αK␈εβ,␈↓ αZ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βε␈εβ,␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β8␈εβ)␈αb␈α␈y␈α
steps␈α
C1␈α
an␈α␈d␈αC␈α␈2␈αin␈α
Se␈α␈ction␈α
4.5.2␈α
requ␈α␈ires␈↓ λ`␈ε	N␈↓ 		␈εβdiv␈α␈i␈α↓sio␈α␈ns,␈αif␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s
␈β⊃α␈↓ α>␈εε1␈↓ β(␈εn
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αi␈α↓s␈αu␈α␈sed␈α
throu␈α␈gh␈α␈ou␈α␈t?␈αAssume␈α
that␈↓ εJ␈ε	N␈↓ εr␈ε↔∃␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π0␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα359
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβ[␈ε	M38␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(T.␈α	S.␈α	M␈α␈otzk␈α␈in␈α	a␈α␈nd␈αλE.␈α	G.␈α	Stra␈α␈us.)␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ π#␈ε	a␈↓ π?␈εβ,␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π}␈εβ,␈↓ λ⊃␈ε	a␈↓ λ9␈εβbe␈αλpositiv␈α␈e␈αλin␈α␈teg␈α␈ers.␈αS␈α␈ho␈α}w
␈βα5␈↓ π3␈εε1␈↓ λ ␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈εβmax␈↓ αV␈ε	Q␈↓ α|␈εβ(␈↓ βπ␈ε	a␈↓ βB␈εβ,␈↓ βQ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧K␈εβ),␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
all␈α
p␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈s␈↓ π2␈ε	p␈↓ πC␈εβ(1)␈↓ πo␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ≤␈ε	p␈↓ λ-␈εβ(␈↓ λ8␈ε	n␈↓ λL␈εβ)␈α
o␈α␈f␈ε↔␈α
f␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈↓ 	\␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
λ␈εβ,␈↓ 
↔␈ε	n␈↓ 
+␈ε↔g␈εβ␈α␈,␈α∞o␈α␈ccur␈α␈s
␈βα\␈↓ αl␈εn
␈βα]␈↓ β↔␈εp␈↓ β%␈εε(1)␈↓ ∧≤␈εp␈↓ ∧*␈εε(␈↓ ∧2␈εn␈↓ ∧B␈εε)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α!␈ε	a␈↓ αi␈ε↔∃␈↓ β↔␈ε	a␈↓ βc␈ε↔∃␈↓ ∧⊃␈ε	a␈↓ ∧Y␈ε↔∃␈↓ ¬λ␈ε	a␈↓ ¬y␈ε↔∃␈↓ ε(␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ εT␈εβ;␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α∞m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α
oc␈α␈curs␈α
wh␈α␈en␈↓ 
C␈ε	a␈↓ ␈ε↔∀
␈ββ¬␈↓ α0␈εp␈↓ α>␈εε(␈α↓1␈α␈)␈↓ β'␈εp␈↓ β5␈εε(␈↓ β=␈εn␈↓ βM␈εε)␈↓ ∧!␈εp␈↓ ∧/␈εε(2)␈↓ ¬↔␈εp␈↓ ¬%␈εε(␈↓ ¬-␈εn␈↓ ¬>␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
S␈εp␈↓ 
a␈εε(1)
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ α∂␈ε↔∀␈↓ α:␈ε	a␈↓ α}␈ε↔∀␈↓ β(␈ε	a␈↓ ∧⊗␈ε↔∀␈↓ ∧A␈ε	a␈↓ ¬¬␈ε↔∀␈↓ ¬/␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬←␈ε↔∀␈↓ ε
␈ε	a␈↓ εN␈ε↔∀␈↓ εx␈ε	a␈↓ πf␈ε↔∀␈↓ λ⊂␈ε	a␈↓ λT␈ε↔∀␈↓ λ␈␈ε	a␈↓ 	m␈ε↔∀␈↓ 
↔␈ε	a␈↓ 
R␈εβ.
␈ββ-␈↓ ↓W␈εp␈↓ ↓e␈εε(␈↓ ↓m␈εn␈↓ ↓}␈εε)␈↓ αI␈εp␈↓ αW␈εε(␈α↓3␈α␈)␈↓ β8␈εp␈↓ βF␈εε(␈↓ βN␈εn␈↓ β←␈ε~␈␈εε2␈α␈)␈↓ ∧P␈εp␈↓ ∧↑␈εε(5)␈↓ ε→␈εp␈↓ ε'␈εε(␈α↓6␈α␈)␈↓ πλ␈εp␈↓ π⊗␈εε(␈↓ π≡␈εn␈↓ π.␈ε~␈␈εε␈α↓3␈α␈)␈↓ λ ␈εp␈↓ λ.␈εε(4)␈↓ 	∂␈εp␈↓ 	≤␈εε(␈↓ 	%␈εn␈↓ 	5␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
'␈εp␈↓ 
4␈εε(␈α↓2␈α␈)
␈ββ↑␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈α∂Mik␈α␈usinsk␈α␈i.␈α↓)␈α!Let␈↓ ¬?␈ε	K␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬f␈ε	n␈↓ ¬z␈εβ)␈α⊂=␈↓ εF␈εβmax␈↓ πH␈ε	T␈↓ π←␈εβ(␈↓ πj␈ε	m␈↓ λπ␈εβ,␈↓ λ⊗␈ε	n␈↓ λ*␈εβ).␈α_Th␈α␈eorem␈α∂F␈α∂sh␈α␈o␈α␈ws␈α∂tha␈α␈t
␈ββi␈↓ π¬␈εm␈↓ π≤␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β∧␈↓ β4␈∧∧β4α⊃␈↓ λ0␈∧∧λ0α⊃
␈β∧↓␈↓ β∪␈ε↔p␈↓ λ∂␈ε↔p
␈β∧β␈↓ π,␈εε1
␈β∧ε␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	n␈↓ αα␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈α	b␈↓ αN␈εβlog␈↓ βλ␈εβ(␈↓ β4␈εβ5␈↓ βK␈ε	n␈↓ βf␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈ε↔c␈αλ␈␈εβ␈απ2;␈αpro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ ε/␈ε	K␈↓ εK␈εβ(␈↓ εV␈ε	n␈↓ εj␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ π=␈ε↔d␈↓ πJ␈εβlog␈↓ λ∧␈εβ(␈↓ λ0␈εβ5␈↓ λF␈ε	n␈↓ λb␈εβ+␈απ1)␈ε↔e␈απ␈␈εβ␈αλ2.
␈β∧∀␈↓ π,␈∧∧∀π,α
␈β∧∃␈↓ αy␈ε≡␈↓ πt␈ε≡
␈β∧⊗␈↓ π,␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧D␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈αW.␈αGosp␈α␈er.)␈α→If␈αa␈α
ba␈α␈seb␈α␈all␈αplay␈α}er's␈αba␈α␈tting␈α
av␈α}erage␈α
is␈α.334␈α␈,␈αwhat␈α
is␈αthe
␈β∧k␈↓ ↓H␈εβfew␈α␈e␈α␈st␈αλp␈α␈ossible␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈αλtimes␈απh␈α␈e␈αλh␈α␈as␈απbee␈α␈n␈απat␈απba␈α␈t?␈α⊂[Note␈απfor␈απno␈α␈n-b␈α␈aseb␈α␈all-␈α↓fa␈α␈ns:␈α	Batting
␈β¬∪␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α=␈α(n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αhits)/(times␈αa␈α␈t␈αbat),␈αrou␈α␈nd␈α␈ed␈α
to␈αthre␈α␈e␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αplace␈α␈s.␈α↓]
␈β¬L␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬P␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Th␈α␈e␈αP␈α↓eirce␈αtre␈α␈e.␈εβ)␈α≤Co␈α␈nside␈α␈r␈α
a␈α␈n␈αin|␈α␈nite␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αtr␈α␈ee␈αi␈α↓n␈αwhich␈αe␈α␈ach␈αn␈α␈od␈α␈e␈αis
␈β¬x␈↓ ↓H␈εβlab␈α␈eled␈α
with␈α
th␈α␈e␈α
factio␈α␈n␈α
(␈↓ ∧4␈ε	p␈↓ ∧R␈εβ+␈↓ ∧y␈ε	p␈↓ ¬∃␈εβ)/(␈↓ ¬<␈ε	q␈↓ ¬V␈εβ+␈↓ ¬}␈ε	q␈↓ ε⊗␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ π∀␈ε	p␈↓ π+␈εβ/␈↓ π<␈ε	q␈↓ πZ␈εβis␈α
the␈α
lab␈α␈el␈αo␈α␈f␈α
the␈α
n␈α␈ode␈α␈'␈α↓s␈α
n␈α␈eares␈α␈t
␈βεβ␈↓ ∧D␈εl␈↓ ¬	␈εr␈↓ ¬H␈εl␈↓ ε
␈εr␈↓ π$␈εl␈↓ πH␈εl
␈βε ␈↓ ↓H␈εβleft␈α
an␈α␈cesto␈α␈r␈αa␈α␈nd␈↓ βD␈ε	p␈↓ β`␈εβ/␈↓ βq␈ε	q␈↓ ∧∪␈εβi␈α↓s␈α
th␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈bel␈α
of␈α
the␈α
n␈α␈od␈α␈e's␈αn␈α␈eare␈α␈st␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
an␈α␈cesto␈α␈r.␈α(␈α↓A␈α
left␈α
an␈α␈cesto␈α␈r
␈βε*␈↓ βT␈εr␈↓ β⎇␈εr
␈βεG␈↓ ↓H␈εβis␈α	on␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	prec␈α␈ede␈α␈s␈α
a␈α	no␈α␈de␈α	in␈α	sym␈α␈metric␈α	orde␈α␈r,␈α
while␈α
a␈α	righ␈α}t␈α
a␈α␈nces␈α␈tor␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈α↓s␈α	th␈α␈e␈α
n␈α␈od␈α␈e.
␈βεo␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αλS␈α␈ection␈απ2.3.1␈απfor␈αλth␈α␈e␈αλde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αλof␈αλs␈α␈ymm␈α␈etric␈αλord␈α␈er.)␈α
If␈αλthe␈αλn␈α␈od␈α␈e␈αλh␈α␈as␈αλn␈α␈o␈αλleft␈αλan␈α␈cesto␈α␈rs,
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓←␈εβ/␈↓ ↓p␈ε	q␈↓ α
␈εβ=␈α	0/␈α␈1;␈αif␈αi␈α↓t␈α
has␈α
no␈α
righ␈α␈t␈α
anc␈α␈estors,␈↓ ε⊂␈ε	p␈↓ ε,␈εβ/␈↓ ε<␈ε	q␈↓ ε↑␈εβ=␈α	1/0␈α␈.␈αT␈α↓h␈α}us␈α
the␈α
l␈α↓a␈α␈bel␈αo␈α␈f␈αthe␈α
root␈α
is␈α1/1␈α␈;
␈βπ!␈↓ ↓W␈εl␈↓ ↓|␈εl␈↓ ε∨␈εr␈↓ εH␈εr
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈bels␈αof␈α
its␈αt␈α␈w␈α␈o␈αsons␈αare␈α1/␈α␈2␈αan␈α␈d␈α2/1␈α␈;␈α∞th␈α␈e␈α
lab␈α␈els␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αf␈α↓o␈α␈ur␈αno␈α␈des␈αon␈αlev␈α}el␈α
2␈αare
␈βπf␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/2,␈α2/3␈α␈,␈α
3/␈α␈2,␈α
a␈α␈nd␈α3␈α␈/1,␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α}t;␈α
the␈αlab␈α␈els␈αof␈αthe␈αeigh␈α}t␈αno␈α␈des␈αon␈αl␈α↓e␈α␈v␈α␈el␈α3␈αare
␈βλ
␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/4,␈α2/␈α␈5,␈α3/5␈α␈,␈α3␈α␈/4␈α␈,␈α4␈α␈/3,␈α5/␈α␈3,␈α5/2␈α␈,␈α4␈α␈/1;␈αan␈α␈d␈αso␈α
on.
␈βλ8␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈↓ β*␈ε	p␈↓ βC␈εβi␈α↓s␈απrelativ␈α␈ely␈απprime␈αλto␈↓ ¬r␈ε	q␈↓ ε	␈εβin␈αλe␈α␈ach␈απl␈α↓a␈α␈bel␈↓ πB␈ε	p␈↓ πS␈εβ/␈↓ πc␈ε	q␈↓ πr␈εβ;␈α	furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α	the␈απno␈α␈de␈αλlab␈α␈eled
␈βλ[␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ ¬8␈ε~0␈↓ 
(␈ε~0␈↓ 
M␈ε~0
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ/␈↓ ↓i␈ε	q␈↓ αβ␈εβp␈α␈reced␈α␈es␈αth␈α␈e␈αno␈α␈de␈αlab␈α␈eled␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬→␈εβ/␈↓ ¬)␈ε	q␈↓ ¬I␈εβi␈α↓n␈α
sy␈α␈mmetric␈αo␈α␈rder␈α
i␈α↓f␈αa␈α␈nd␈α
only␈α
i␈α↓f␈↓ 	3␈ε	p␈↓ 	D␈εβ/␈↓ 	T␈ε	q␈↓ 	l␈εβ<␈↓ 
↔␈ε	p␈↓ 
.␈εβ/␈↓ 
?␈ε	q␈↓ 
T␈εβ.␈αFind
␈β	π␈↓ ↓H␈εβa␈α
c␈α␈onn␈α␈ection␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
the␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
for␈α
th␈α␈e␈α∞lab␈α␈el␈α
of␈α∞a␈α
n␈α␈od␈α␈e␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
p␈α␈ath␈α
to
␈β	.␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αn␈α␈od␈α␈e,␈αth␈α␈ereb␈α␈y␈αsh␈α␈o␈α␈wing␈αt␈α␈hat␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αap␈α␈pe␈α␈ars␈αas␈αth␈α␈e␈αlabe␈α␈l␈αo␈α␈f
␈β	V␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α
on␈α␈e␈αno␈α␈de␈αin␈αth␈α␈e␈αtree␈α␈.
␈β
∪␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α⊂tha␈α␈t␈α⊃th␈α␈e␈α⊃fun␈α␈ction␈α⊂ro␈α␈un␈α␈d(␈↓ εJ␈ε	x␈↓ ε[␈εβ)␈α⊃ne␈α␈eded␈α⊂in␈α⊂|x␈α}ed-sla␈α␈sh␈α⊃o␈α␈r␈α⊃⎇␈α␈oatin␈α␈g-slash
␈β
;␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈απ(ex␈α}ercise␈αλ4␈α␈.5.1↑1␈α␈2)␈αλc␈α␈an␈απbe␈απco␈α␈mpu␈α␈ted␈απra␈α␈ther␈απeasily␈απfrom␈απthe␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α␈-␈α↓fra␈α␈ction
␈β
c␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αof␈↓ βH␈ε	x␈↓ βY␈εβ.
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈48␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Dev␈α}elop␈αλthe␈αλan␈α␈aly␈α␈si␈α↓s␈αλof␈αλalgorith␈α␈ms␈α	fo␈α␈r␈α	co␈α␈mpu␈α␈ting␈αλth␈α␈e␈α	g␈α␈cd␈αλof␈α	th␈α␈ree␈αλor␈αλmore
␈βH␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers.
␈βd␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.5.4.␈α
Fac␈α␈t␈α↓or␈α␈ing␈α
i␈α↓nto␈α
P␈α↓r␈α␈imes
␈β
0␈↓ ↓H␈εαSev␈α␈eral␈αof␈αthe␈αcomputational␈αmethods␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αencoun␈α␈tered␈αin␈αthis␈αbook␈αrest␈αon
␈β
[␈↓ ↓H␈εαthe␈αλfact␈αλthat␈αλev␈α␈ery␈α	positiv␈α␈e␈αλin␈α␈teger␈↓ ¬b␈ελn␈↓ ε␈εαcan␈αλbe␈α	expressed␈αλin␈αλa␈αλunique␈α	way␈αλin␈αλthe␈αλform
␈β∞:␈↓ ∧∧␈ελn␈↓ ∧$␈εα=␈↓ ∧R␈ελp␈↓ ∧q␈ελp␈↓ ¬⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬F␈ελp␈↓ ¬b␈εα,␈↓ ε:␈ελp␈↓ εc␈ε⊗∀␈↓ π⊃␈ελp␈↓ π;␈ε⊗∀␈↓ πi␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ≥␈ε⊗∀␈↓ λK␈ελp␈↓ λf␈εα,␈↓ α␈εα(1)
␈β∞G␈↓ ∧c␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ ¬W␈εt␈↓ εK␈ε¬1␈↓ π"␈ε¬2␈↓ λ\␈εt
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∂each␈↓ βλ␈ελp␈↓ β6␈εαis␈α∂prime.␈α∨(When␈↓ ¬W␈ελn␈↓ ¬|␈εα=␈α∂1,␈α⊂this␈α∂equation␈α∂holds␈α∂for␈↓ 	U␈ελt␈↓ 	r␈εα=␈α∂0.)␈α≡It␈α∂is
␈β∂&␈↓ β→␈εk
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαunfortunately␈α∂not␈α∂a␈α∂simple␈α∂matter␈α∂to␈α∂|nd␈α∂this␈α∂prime␈α⊂factorization␈α∂of␈↓ 
.␈ελn␈↓ 
C␈εα,␈α⊂or␈α∂to
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαdetermine␈αwhether␈α
or␈αnot␈↓ ∧g␈ελn␈↓ ¬
␈εαis␈αprime.␈α
So␈α
far␈αas␈α
an␈α␈y␈α␈one␈αkno␈α␈ws,␈α
it␈αis␈α
a␈αgreat␈αdeal
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαharder␈αto␈αfactor␈αa␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬@␈ελn␈↓ ¬`␈εαthan␈αto␈αcompute␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαof␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	large␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧∪␈ελm␈↓ ∧<␈εαand␈↓ ∧␈␈ελn␈↓ ¬∃␈εα;␈α
therefore␈α	w␈α␈e␈α	should␈α
av␈α␈oid␈α	factoring␈α	large␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαwhenev␈α␈er␈αpossible.␈αBut␈αsev␈α␈eral␈αingenious␈αways␈αto␈αspeed␈αup␈αthe␈αfactoring␈αprocess
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered,␈αand␈αw␈α␈e␈αwill␈αno␈α␈w␈αin␈α␈v␈α␈estigate␈αsome␈αof␈αthem.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα360␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈β¬␈␈↓ ∧∨␈ε∪Fi␈α↓g␈α␈.␈α1␈α␈0.␈εβ␈α~A␈αsimp␈α␈le␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αalg␈α␈orithm.
␈βπβ␈↓ ↓H␈ε∩Divide␈αand␈α
factor.␈εα␈α~First␈α
let␈αus␈α
consider␈αthe␈α
most␈α
obvious␈αalgorithm␈α
for␈αfactor-
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαization:␈α⊂If␈↓ αs␈ελn␈↓ β⊗␈εα>␈α∞1,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∞divide␈↓ ¬↑␈ελn␈↓ εα␈εαby␈α∞successiv␈α␈e␈α∞primes␈↓ λX␈ελp␈↓ λx␈εα=␈α∞2,␈α∂3,␈α∂5,␈↓ 
+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
c␈εαun␈α␈til
␈βπY␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈ering␈αthe␈α
smallest␈↓ ∧K␈ελp␈↓ ∧j␈εαfor␈α
which␈↓ ε␈ελn␈↓ ε'␈εαmod␈↓ εq␈ελp␈↓ π∞␈εα=␈α0.␈α∞Then␈↓ λF␈ελp␈↓ λe␈εαis␈αthe␈α
smallest␈αprime
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εαfactor␈α∂of␈↓ α`␈ελn␈↓ αu␈εα,␈α⊂and␈α∂the␈α∂same␈α∂process␈α∂may␈α∂be␈α∂applied␈α∂to␈↓ λ,␈ελn␈↓ λP␈ε⊗ ␈↓ 	β␈ελn␈↓ 	→␈εα/␈↓ 	+␈ελp␈↓ 	L␈εαin␈α∂an␈α∂attempt
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαto␈α∂divide␈α∂this␈α⊂new␈α∂value␈α∂of␈↓ ¬
␈ελn␈↓ ¬2␈εαby␈↓ ¬j␈ελp␈↓ ε␈εαand␈α⊂by␈α∂higher␈α∂primes.␈α⊗If␈α⊂at␈α∂an␈α␈y␈α∂stage␈α∂w␈α␈e
␈βλ[␈↓ ↓H␈εα|nd␈α⊂that␈↓ αf␈ελn␈↓ β↓␈εαmod␈↓ βK␈ελp␈↓ βn␈ε⊗≤␈εα␈α⊃0␈α⊂but␈ε⊗␈α⊂b␈↓ ¬→␈ελn␈↓ ¬/␈εα/␈↓ ¬A␈ελp␈↓ ¬S␈ε⊗c␈α⊃∀␈↓ ε&␈ελp␈↓ ε9␈εα,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂conclude␈α⊂that␈↓ 	=␈ελn␈↓ 	b␈εαis␈α⊂prime;␈α∩for
␈β	↓␈↓ π}␈ε¬2
␈β	ε␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓m␈ελn␈↓ α⊃␈εαis␈α∂not␈α∂prime␈α∂then␈α∂by␈α∂(1)␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈↓ π∀␈ελn␈↓ π9␈ε⊗∃␈↓ πl␈ελp␈↓ λ
␈εα,␈α∂but␈↓ λk␈ελp␈↓ 	→␈εα>␈↓ 	L␈ελp␈↓ 	n␈εαimplies␈α∞that
␈β	∪␈↓ λ|␈ε¬1
␈β	_␈↓ π}␈ε¬1
␈β	,␈↓ ↓Z␈ε¬2␈↓ β_␈ε¬2␈↓ ¬8␈ε¬2
␈β	1␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓u␈ε⊗∃␈εα␈α
(␈↓ α2␈ελp␈↓ αM␈εα+␈α	1␈↓ β␈εα)␈↓ β3␈εα>␈↓ βd␈ελp␈↓ βv␈εα(␈↓ ∧α␈ελp␈↓ ∧≡␈εα+␈α	1)␈α>␈↓ ¬&␈ελp␈↓ ¬P␈εα+␈α	(␈↓ ε	␈ελn␈↓ ε%␈εαmod␈↓ εo␈ελp␈↓ π↓␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈αb␈↓ πX␈ελn␈↓ πn␈εα/␈↓ λ␈ελp␈↓ λ∩␈ε⊗c␈↓ λ ␈ελp␈↓ λ<␈εα+␈α	(␈↓ λu␈ελn␈↓ 	⊂␈εαmod␈↓ 	Z␈ελp␈↓ 	m␈εα)␈α=␈↓ 
6␈ελn␈↓ 
L␈εα.␈α⊂This
␈β	C␈↓ ↓Z␈ε¬1
␈β	\␈↓ ↓H␈εαleads␈αus␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure:
␈β
$␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
A␈εα␈α(␈ε∂Factoring␈α
by␈α
division␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊗Giv␈α␈en␈α
a␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger␈↓ 	~␈ελN␈↓ 	;␈εα,␈αthis␈α
algorithm
␈β
O␈↓ ↓H␈εα|nds␈α	the␈α
prime␈α	factors␈↓ ∧.␈ελp␈↓ ∧W␈ε⊗∀␈↓ ¬¬␈ελp␈↓ ¬/␈ε⊗∀␈↓ ¬]␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε⊃␈ε⊗∀␈↓ ε?␈ελp␈↓ εd␈εαof␈↓ π␈ελN␈↓ π6␈εαas␈α
in␈α
Eq.␈α	(1).␈αThe␈α
method␈α	mak␈α␈es
␈β
\␈↓ ∧?␈ε¬1␈↓ ¬⊗␈ε¬2␈↓ εP␈εt
␈β
z␈↓ ↓H␈εαuse␈αof␈αan␈αauxiliary␈αsequence␈αof␈α\trial␈αdivisors"
␈βT␈↓ ∧J␈εα2␈α
=␈↓ ¬∀␈ελd␈↓ ¬=␈εα<␈↓ ¬k␈ελd␈↓ ε∀␈εα<␈↓ εB␈ελd␈↓ εk␈εα<␈↓ π→␈ελd␈↓ πB␈εα<␈↓ πp␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ ␈εα,␈↓ α␈εα(2)
␈βa␈↓ ¬$␈ε¬0␈↓ ¬|␈ε¬1␈↓ εS␈ε¬2␈↓ π*␈ε¬3
␈β'␈↓ εB␈∧'εBα"
␈β(␈↓ ε≡␈ε⊗p
␈β-␈↓ ↓H␈εαwhich␈α∞includes␈α∞all␈α∞prime␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈α∞∀␈↓ εB␈ελN␈↓ εr␈εα(and␈α∞which␈α∞may␈α∞also␈α∞include␈α∞values
␈βX␈↓ ↓H␈εαthat␈α
are␈ε∂␈α
not␈εα␈α∞prime,␈α
if␈α∞it␈α
is␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α∞to␈α
do␈α
so).␈α⊃The␈α
sequence␈α
of␈↓ 	]␈ελd␈↓ 	q␈εα's␈α
m␈α␈ust␈α
also
␈β⎇␈↓ π↓␈∧⎇π↓α"
␈β}␈↓ ε]␈ε⊗p
␈β
β␈↓ ↓H␈εαinclude␈αat␈αleast␈αone␈αvalue␈αsuch␈αthat␈↓ εε␈ελd␈↓ ε/␈εα>␈↓ π↓␈ελN␈↓ π#␈εα.
␈β
⊃␈↓ ε⊗␈εk
␈β
=␈↓ ↓J␈ε∩A1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α_Set␈↓ ∧π␈ελt␈↓ ∧≡␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈↓ ∧s␈ελk␈↓ ¬∂␈ε⊗ ␈εα␈α
0,␈↓ ¬d␈ελn␈↓ ε∧␈ε⊗ ␈↓ ε2␈ελN␈↓ εT␈εα.␈α↔(During␈αthis␈αalgorithm␈αthe␈αvariables
␈β
h␈↓ α␈ελt␈↓ α→␈εα,␈↓ α1␈ελk␈↓ αC␈εα,␈↓ αZ␈ελn␈↓ α⎇␈εαare␈α∞related␈α
by␈α
the␈α∞follo␈α␈wing␈α
condition:␈α∂\␈↓ λ␈ελn␈↓ λ"␈εα=␈↓ λR␈ελN␈↓ λs␈εα/␈↓ 	¬␈ελp␈↓ 	+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	[␈ελp␈↓ 	v␈εα,␈α∞and␈↓ 
U␈ελn␈↓ 
x␈εαhas
␈β
v␈↓ 	⊗␈ε¬1␈↓ 	l␈εt
␈β∞∀␈↓ α␈εαno␈αprime␈αfactors␈αless␈αthan␈↓ ¬0␈ελd␈↓ ¬O␈εα.")
␈β∞!␈↓ ¬A␈εk
␈β∞M␈↓ ↓J␈ε∩A2.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α6␈εα=␈α
1?]␈α→If␈↓ βK␈ελn␈↓ βk␈εα=␈α
1,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.
␈β∂π␈↓ ↓J␈ε∩A3.␈↓ α␈εα[Divide.]␈α↔Set␈↓ βf␈ελq␈↓ ∧␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ∧<␈ελn␈↓ ∧R␈εα/␈↓ ∧d␈ελd␈↓ ¬β␈ε⊗c␈εα,␈↓ ¬&␈ελr␈↓ ¬@␈ε⊗ ␈↓ ¬n␈ελn␈↓ ε
␈εαmod␈↓ εT␈ελd␈↓ εs␈εα.␈α↔(Here␈↓ πs␈ελq␈↓ λ∞␈εαand␈↓ λS␈ελr␈↓ λn␈εαare␈αthe␈αquotien␈α␈t␈αand
␈β∂∃␈↓ ∧u␈εk␈↓ εe␈εk
␈β∂3␈↓ α␈εαremainder␈αobtained␈αwhen␈↓ ¬(␈ελn␈↓ ¬J␈εαis␈αdivided␈αby␈↓ π"␈ελd␈↓ πA␈εα.)
␈β∂@␈↓ π2␈εk
␈β∂m␈↓ ↓J␈ε∩A4.␈↓ α␈εα[Zero␈αremainder?]␈α→If␈↓ ∧[␈ελr␈↓ ∧u␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αgo␈αto␈αstep␈αA6.
␈β⊂&␈↓ ↓J␈ε∩A5.␈↓ α␈εα[Factor␈αfound.]␈α_Increase␈↓ ¬→␈ελt␈↓ ¬1␈εαby␈α1,␈αand␈αset␈↓ π	␈ελp␈↓ π/␈ε⊗ ␈↓ π]␈ελd␈↓ π|␈εα,␈↓ λ∩␈ελn␈↓ λ1␈ε⊗ ␈↓ λ←␈ελq␈↓ λo␈εα.␈αReturn␈αto␈αstep␈αA2.
␈β⊂4␈↓ π~␈εt␈↓ πm␈εk
␈β⊂`␈↓ ↓J␈ε∩A6.␈↓ α␈εα[Lo␈α␈w␈αquotien␈α␈t?]␈α→If␈↓ ∧;␈ελq␈↓ ∧U␈εα>␈↓ ¬β␈ελd␈↓ ¬#␈εα,␈αincrease␈↓ εA␈ελk␈↓ ε↑␈εαby␈α1␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αA3.
␈β⊂n␈↓ ¬∀␈εk
␈β⊃~␈↓ ↓J␈ε∩A7.␈↓ α␈εα[␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α8␈εαis␈αprime.]␈α→Increase␈↓ ∧m␈ελt␈↓ ¬ε␈εαby␈α1,␈αset␈↓ ε~␈ελp␈↓ ε?␈ε⊗ ␈↓ εm␈ελn␈↓ πβ␈εα,␈αand␈αterminate␈αthe␈αalgorithm.
␈β⊃∨␈↓ ␈∧⊃∨≠∂
␈β⊃(␈↓ ε+␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα361
␈βα(␈↓ α␈εαAs␈αλan␈αλexample␈αλof␈αλAlgorithm␈αλA␈↓ ¬\␈εα,␈α	consider␈αλthe␈αλfactorization␈αλof␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
]␈ελN␈↓ λ␈εα=
␈βαS␈↓ ↓H␈εα25852.␈α⊃We␈α∞immediately␈α∞|nd␈α∞that␈↓ ¬i␈ελN␈↓ ε↔␈εα=␈α
2␈ε⊗␈α
↓␈εα␈α	12926;␈α∂hence␈↓ λO␈ελp␈↓ λ|␈εα=␈α
2.␈α⊃Furthermore,
␈βαa␈↓ λ`␈ε¬1
␈βα}␈↓ ↓H␈εα12926␈α
=␈α
2␈ε⊗␈α∧↓␈εα␈α¬6463,␈α
so␈↓ ∧∧␈ελp␈↓ ∧-␈εα=␈α
2.␈αBut␈α
no␈α␈w␈↓ ε∞␈ελn␈↓ ε.␈εα=␈α
6463␈α	is␈α
not␈α	divisible␈α	by␈α
2,␈α
3,␈α
5,␈↓ 
;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
k␈εα,␈α	19;
␈ββ␈↓ ∧∃␈ε¬2
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
|nd␈α
that␈↓ β␈ελn␈↓ β,␈εα=␈α
23␈ε⊗␈α¬↓␈εα␈αε281,␈α
hence␈↓ ¬?␈ελp␈↓ ¬h␈εα=␈α
23.␈αFinally␈α
281␈α
=␈α
12␈ε⊗␈α¬↓␈εα␈α¬23␈α¬+␈αε5␈α
and␈α	12␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
23;
␈ββ7␈↓ ¬P␈ε¬3
␈ββU␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α-␈ελp␈↓ αY␈εα=␈α281.␈α⊂The␈α
determination␈α
of␈α∞25852's␈α
factors␈α
has␈α∞therefore␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α
a
␈ββb␈↓ α>␈ε¬4
␈β∧␈↓ ↓H␈εαtotal␈αof␈α
12␈α
division␈α
operations;␈α
on␈α
the␈αother␈α
hand,␈α
if␈α
w␈α␈e␈αhad␈α
tried␈α
to␈α
factor␈αthe
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαsligh␈α␈tly␈α∞smaller␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
25849␈α∞(which␈α∞is␈α∞prime),␈α∂at␈α∞least␈α∞38␈α∞division␈α
operations
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈αbeen␈α
performed.␈α
This␈αillustrates␈α
the␈αfact␈αthat␈α
Algorithm␈αA␈αrequires
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαa␈αrunning␈αtime␈αroughly␈αproportional␈αto␈↓ ε8␈εαmax␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈ελp␈↓ πO␈εα,␈↓ λβ␈ελp␈↓ λ$␈εα).␈α_(If␈↓ 	↓␈ελt␈↓ 	→␈εα=␈α
1,␈αthis␈αform␈α␈ula
␈β¬β␈↓ λβ␈∧¬βλβα≤
␈β¬∧␈↓ π←␈ε⊗p
␈β¬∂␈↓ π→␈εt␈↓ π$␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ∀␈εt
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαis␈αvalid␈αif␈αw␈α␈e␈αadopt␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tion␈↓ ¬v␈ελp␈↓ ε∨␈εα=␈α
1.)
␈β¬:␈↓ επ␈ε¬0
␈β¬X␈↓ α␈εαThe␈α	sequence␈↓ βe␈ελd␈↓ ∧∧␈εα,␈↓ ∧_␈ελd␈↓ ∧7␈εα,␈↓ ∧K␈ελd␈↓ ∧j␈εα,␈↓ ∧}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬1␈εαof␈α
trial␈α	divisors␈α	used␈α
in␈α	Algorithm␈α	A␈α
can␈α	be␈α	tak␈α␈en
␈β¬e␈↓ βv␈ε¬0␈↓ ∧)␈ε¬1␈↓ ∧\␈ε¬2
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαto␈α
be␈α	simply␈α
2,␈α3,␈α
5,␈α
7,␈α11,␈α
13,␈α
17,␈α
19,␈α23,␈α
25,␈α
29,␈α31,␈α
35,␈↓ λ%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λU␈εα,␈αwhere␈α
w␈α␈e␈α	alternately
␈βε.␈↓ ↓H␈εαadd␈α2␈αand␈α4␈αafter␈αthe␈α|rst␈αthree␈αterms.␈αThis␈αsequence␈αcon␈α␈tains␈αall␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthat
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαare␈α	not␈α	m␈α␈ultiples␈α
of␈α	2␈α	or␈α
3;␈α
it␈α	also␈α
includes␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	such␈α
as␈α	25,␈α
35,␈α
49,␈α
etc.,␈α	which
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαare␈α∂not␈α⊂prime,␈α⊂but␈α∂the␈α⊂algorithm␈α∂will␈α⊂still␈α∂giv␈α␈e␈α⊂the␈α∂correct␈α⊂answ␈α␈er.␈α⊗A␈α∂further
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαsavings␈α	of␈α	20␈α	percen␈α␈t␈α	in␈α	computation␈α	time␈α
can␈α	be␈α	made␈α	by␈α	remo␈α␈ving␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈βπ[␈↓ ↓H␈εα30␈↓ ↓l␈ελm␈↓ α∂␈ε⊗ε␈εα␈α∧5␈αλfrom␈α	the␈α	list␈αλfor␈↓ ∧L␈ελm␈↓ ∧v␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈α	thereby␈α	eliminating␈α	all␈αλof␈α	the␈α	spurious␈αλm␈α␈ultiples
␈βλε␈↓ ↓H␈εαof␈α5.␈αThe␈αex␈α␈clusion␈αof␈αm␈α␈ultiples␈αof␈α7␈αshortens␈αthe␈αlist␈αby␈α14␈αpercen␈α␈t␈αmore,␈αetc.␈αA
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαcompact␈αbit␈αtable␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αgo␈α␈v␈α␈ern␈αthe␈αchoice␈αof␈αtrial␈αdivisors.
␈βλ]␈↓ α␈εαIf␈↓ α-␈ελN␈↓ αY␈εαis␈α	kno␈α␈wn␈α	to␈α
be␈α	small,␈α
it␈α
is␈α	reasonable␈α	to␈α
hav␈α␈e␈α	a␈α
table␈α	of␈α
all␈α	the␈α	necessary
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαprimes␈α⊂as␈α⊂part␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂program.␈α_For␈α⊂example,␈α⊃if␈↓ πc␈ελN␈↓ λ∀␈εαis␈α⊂less␈α⊂than␈α⊂a␈α⊂million,␈α⊃w␈α␈e
␈β	3␈↓ ↓H␈εαneed␈α∞only␈α∂include␈α∂the␈α∞168␈α∂primes␈α∂less␈α∞than␈α∂a␈α∂thousand␈α∞(follo␈α␈w␈α␈ed␈α∂by␈α∂the␈α∞value
␈β	Y␈↓ 
,␈ε¬2
␈β	↑␈↓ ↓H␈ελd␈↓ α⊂␈εα=␈α
1000,␈α
to␈α∞terminate␈α
the␈α∞list␈α
in␈α∞case␈↓ εi␈ελn␈↓ π␈εαis␈α∞a␈α
prime␈α∞larger␈α
than␈α∞99␈↓ 
~␈εα7␈↓ 
:␈εα).␈α⊂Such
␈β	l␈↓ ↓X␈ε¬1␈α↓68
␈β

␈↓ ↓H␈εαa␈α
table␈α
can␈α
be␈α∞set␈α
up␈α
by␈α
means␈α∞of␈α
a␈α
short␈α
auxiliary␈α
program,␈α∞which␈α
builds␈α
the
␈β
5␈↓ ↓H␈εαtable␈α∞just␈α∂after␈α∂the␈α∞factoring␈α∂program␈α∂has␈α∂been␈α∞loaded␈α∂in␈α␈to␈α∂the␈α∞computer;␈α⊂see
␈β
`␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α1.3.2P␈↓ βT␈εα,␈αor␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α8.
␈β␈↓ α␈εαHo␈α␈w␈α⊂man␈α␈y␈α⊂trial␈α⊂divisions␈α∂are␈α⊂necessary␈α⊂in␈α⊂Algorithm␈α⊂A␈↓ 	
␈εα?␈α↔Let␈↓ 	x␈ελ→␈↓ 
␈εα(␈↓ 
_␈ελx␈↓ 
+␈εα)␈α⊂be␈α∂the
␈β6␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞primes␈ε⊗␈α∞∀␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα,␈α∞so␈α∞that␈↓ ¬H␈ελ→␈↓ ¬\␈εα(2)␈α
=␈α∞1,␈↓ εo␈ελ→␈↓ πβ␈εα(10)␈α
=␈α∞4;␈α∂the␈α
asymptotic␈α∞behavior
␈βb␈↓ ↓H␈εαof␈α∂this␈α∂function␈α∂has␈α∂been␈α∂studied␈α∂extensiv␈α␈ely␈α∂by␈α∂man␈α␈y␈α∞of␈α∂the␈α∂w␈α␈orld's␈α∂greatest
␈β
␈↓ ↓H␈εαmathematicians,␈α⊃beginning␈α⊃with␈α⊂Legendre␈α⊃in␈α⊂1798.␈α~After␈α⊂n␈α␈umerous␈α⊂advances
␈β8␈↓ ↓H␈εαmade␈α	during␈α	the␈α	next␈α
h␈α␈undred␈α	y␈α␈ears,␈α
Charles␈α	de␈α	la␈α	Vall␈↓ λ ␈εα∞␈↓ λ!␈εαe␈↓ λ1␈εαe␈α
Poussin␈α	pro␈α␈v␈α␈ed␈α	in␈α	1899
␈βc␈↓ ↓H␈εαthat,␈αfor␈αsome␈↓ β2␈ελA␈↓ βT␈εα>␈α
0,
␈β
ε␈↓ ¬&␈ε↓Z
␈β
∞␈↓ ¬J␈εx
␈β
∪␈↓ εg␈ε↓␈␈↓ λ-␈ε↓↓
␈β
≤␈↓ ¬k␈ελd␈↓ ε␈ελt
␈β
%␈↓ πj␈∧
%πjα?
␈β
&␈↓ πF␈ε⊗p
␈β
-␈↓ π⊗␈ε→␈␈↓ π2␈εA␈↓ πo␈ε¬lo␈α↓g␈↓ λ→␈εx
␈β
3␈↓ ∧/␈ελ→␈↓ ∧C␈εα(␈↓ ∧O␈ελx␈↓ ∧b␈εα)␈α
=␈↓ ε ␈εα+␈↓ εL␈ελO␈↓ εu␈ελx␈↓ ππ␈ελe␈↓ λ;␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈β
C␈↓ ¬c␈∧
C¬cα2
␈β
K␈↓ ¬c␈εαln␈↓ επ␈ελt
␈β
W␈↓ ¬:␈ε¬2
␈β
z␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂M␈↓ ↓q␈ε∂∞␈↓ ↓r␈ε∂e␈↓ αα␈ε∂m.␈αεCouronn␈↓ β9␈ε∂∞␈↓ β:␈ε∂e␈↓ βJ␈ε∂s␈αεAcad.␈αεRo␈α␈y.␈απBelgique␈ε∩␈αε59␈εα␈αε(1899),␈αλ1↑74.]␈α
In␈α␈tegrating␈αεby␈αεparts␈αεyields
␈β∞.␈↓ 	␈ε↓∩␈↓ 
5␈ε↓∪
␈β∞1␈↓ β6␈ελx␈↓ ∧<␈ελx␈↓ ¬D␈εα2!␈↓ ¬f␈ελx␈↓ πQ␈ελr␈↓ πa␈εα!␈↓ πq␈ελx␈↓ 	\␈ελx
␈β∞H␈↓ α)␈ελ→␈↓ α=␈εα(␈↓ αI␈ελx␈↓ α\␈εα)␈α
=␈↓ βf␈εα+␈↓ ∧␈␈εα+␈↓ ε→␈εα+␈↓ εE␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εw␈εα+␈↓ λ:␈εα+␈↓ λf␈ελO␈↓ α␈εα(4)
␈β∞Y␈↓ β$␈∧∞Yβ$α7␈↓ ∧⊗␈∧∞Y∧⊗α↑␈↓ ¬/␈∧∞Y¬/α↑␈↓ π'␈∧∞Yπ'α↓λ␈↓ 	~␈∧∞Y	~α↓_
␈β∞↑␈↓ ∧e␈ε¬2␈↓ ¬}␈ε¬3␈↓ πu␈εr␈↓ λβ␈ε¬+1␈↓ 	y␈εr␈↓ 
ε␈ε¬+2
␈β∞a␈↓ β$␈εαln␈↓ βH␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα(␈↓ ∧"␈εαln␈↓ ∧F␈ελx␈↓ ∧Y␈εα)␈↓ ¬/␈εα(␈↓ ¬;␈εαln␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ¬r␈εα)␈↓ π'␈εα(␈↓ π3␈εαln␈↓ πW␈ελx␈↓ πi␈εα)␈↓ 	~␈εα(␈↓ 	&␈εαlog␈↓ 	Z␈ελx␈↓ 	m␈εα)
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαfor␈α∪all␈α∪|x␈α␈ed␈↓ β∨␈ελr␈↓ βE␈ε⊗∃␈εα␈α⊗0.␈α"The␈α∪error␈α∪term␈α∀in␈α∪(3)␈α∪can␈α∀be␈α∪impro␈α␈v␈α␈ed,␈α∃for␈α∪example
␈β∂"␈↓ α∞␈ε↓␈␈↓ αm␈ε↓␈␈↓ ε⊃␈ε↓↓␈↓ ε∨␈ε↓↓
␈β∂<␈↓ ∧⊗␈ε¬3/␈α↓5␈↓ ¬f␈ε¬1/␈α↓5
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαto␈↓ ↓t␈ελO␈↓ α≤␈ελx␈↓ α5␈εαexp␈↓ α{␈ε⊗␈␈↓ β∨␈ελA␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈εαlog␈↓ βw␈ελx␈↓ ∧
␈εα)␈↓ ∧A␈εα/(␈↓ ∧←␈εαlog␈↓ ¬∪␈εαlog␈↓ ¬G␈ελx␈↓ ¬Z␈εα)␈↓ ε-␈εα;␈α
see␈α
A.␈α
Wal|sz,␈ε∂␈α
Weyl'sche␈αExponen␈α␈tial-
␈β∂m␈↓ ↓H␈ε∂summen␈α∪in␈α∀der␈α∪neueren␈α∪Zahlen␈α␈theorie␈εα␈α∀(Berlin,␈α∃1963),␈α⊗Chapter␈α∪5.␈α"Bernhard
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαRiemann␈αconjectured␈αin␈α1859␈αthat
␈β⊂<␈↓ αe␈ε↓X
␈β⊂@␈↓ βx␈ε↓␈␈↓ ∧C␈ε↓↓␈↓ πM␈ε↓␈␈↓ λ_␈ε↓↓␈↓ 	␈ε↓␈␈↓ 	W␈ε↓↓
␈β⊂I␈↓ π∨␈εα1␈↓ λ↑␈εα1
␈β⊂Z␈↓ ∧∂␈ε
k␈↓ 	#␈επ3
␈β⊂\␈↓ ∧*␈∧⊂\∧*α∪␈↓ π␈␈∧⊂\π␈α∪␈↓ 	>␈∧⊂\	>α∪
␈β⊂]␈↓ ∧ε␈ε⊗p␈↓ π[␈ε⊗p␈↓ 	~␈ε⊗p
␈β⊂←␈↓ ↓l␈ελ→␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελx␈↓ α∨␈εα)␈α
=␈↓ β"␈ελ⊗␈↓ β6␈εα(␈↓ βB␈ελk␈↓ βT␈εα)␈↓ β`␈ελL␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ∧Q␈εα/␈↓ ∧c␈ελk␈↓ ∧|␈εα+␈↓ ¬(␈ελO␈↓ ¬C␈εα(1)␈α
=␈↓ ε%␈ελL␈↓ ε=␈εα(␈↓ εI␈ελx␈↓ ε[␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π5␈ελL␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ.␈ε⊗␈␈↓ λt␈ελL␈↓ 	>␈ελx␈↓ 	m␈εα+␈↓ 
→␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α␈εα(5)
␈β⊂p␈↓ π∨␈∧⊂pπ∨α∩␈↓ λ↑␈∧⊂pλ↑α∩
␈β⊂x␈↓ π∨␈εα2␈↓ λ↑␈εα3
␈β⊃⊃␈↓ αc␈εk␈↓ αq␈ε→∃␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα362␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα	␈↓ β*␈ε↓R
␈βα↔␈↓ βB␈εx
␈βα%␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελL␈↓ αG␈εα(␈↓ αS␈ελx␈↓ αf␈εα)␈α
=␈↓ β↑␈ελd␈↓ βr␈ελt␈↓ β␈␈εα/␈↓ ∧⊃␈εαln␈↓ ∧5␈ελt␈↓ ∧B␈εα,␈αand␈αhis␈αform␈α␈ula␈αagrees␈αw␈α␈ell␈αwith␈αactual␈αcoun␈α␈ts␈αwhen␈↓ ~␈ελx
␈βα8␈↓ β;␈ε¬2
␈βαP␈↓ ↓H␈εαis␈αof␈αreasonable␈αsize.␈αFor␈αexample,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈ββ~␈↓ αo␈ελx␈↓ βS␈ελ→␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελx␈↓ ∧ε␈εα)␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬→␈εα/␈↓ ¬+␈εαln␈↓ ¬O␈ελx␈↓ εo␈ελL␈↓ ππ␈εα(␈↓ π∪␈ελx␈↓ π&␈εα)␈↓ πz␈εαReimann's␈αform␈α␈ula
␈ββG␈↓ αt␈ε¬3
␈ββL␈↓ αP␈εα1␈↓ αb␈εα0␈↓ ∧␈εα168␈↓ ¬4␈εα144.8␈↓ π∧␈εα176.6␈↓ 	@␈εα168.36
␈ββr␈↓ αt␈ε¬6
␈ββw␈↓ αP␈εα1␈↓ αb␈εα0␈↓ β\␈εα78498␈↓ ¬⊂␈εα72382.4␈↓ ε`␈εα78626.5␈↓ 	≤␈εα78527.40
␈β∧≥␈↓ αt␈ε¬9
␈β∧"␈↓ αP␈εα1␈↓ αb␈εα0␈↓ β&␈εα50847534␈↓ ∧Z␈εα48254942.4␈↓ ε*␈εα50849233.9␈↓ λf␈εα50847455.43
␈β∧q␈↓ ↓H␈εαActually␈α	Riemann's␈α	conjecture␈α
(5)␈α	was␈α	dispro␈α␈v␈α␈ed␈α
by␈α	J.␈α	E.␈α
Littlew␈α␈ood␈α	in␈α	1914;␈α
see
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εαHardy␈α∞and␈α∞Littlew␈α␈ood,␈ε∂␈α∞Acta␈α∞Math.␈ε∩␈α∞41␈εα␈α∞(1918),␈α∞119↑196,␈α∂where␈α∞it␈α∞is␈α
sho␈α␈wn␈α∞that
␈β¬F␈↓ λW␈∧¬FλWα∪
␈β¬G␈↓ λ3␈ε⊗p
␈β¬H␈↓ ↓H␈εαthere␈α	is␈α	a␈α	positiv␈α␈e␈α
constan␈α␈t␈↓ ∧n␈ελC␈↓ ¬∃␈εαsuch␈α	that␈↓ ε/␈ελ→␈↓ εC␈εα(␈↓ εO␈ελx␈↓ εb␈εα)␈α
>␈↓ π&␈ελL␈↓ π>␈εα(␈↓ πJ␈ελx␈↓ π]␈εα)␈α∧+␈↓ λ⊗␈ελC␈↓ λW␈ελx␈↓ λp␈εαlog␈↓ 	$␈εαlog␈↓ 	X␈εαlog␈↓ 
␈ελx␈↓ 
≡␈εα/␈↓ 
0␈εαlog␈↓ 
d␈ελx␈↓ ␈εαfor
␈β¬s␈↓ ↓H␈εαin|nitely␈αman␈α␈y␈↓ βC␈ελx␈↓ βV␈εα.␈αBut␈αRiemann␈αmade␈αanother␈αm␈α␈uch␈αmore␈αplausible␈αconjecture,
␈βε≡␈↓ ↓H␈εαthe␈α
famous␈α\Riemann␈α
h␈α␈ypothesis"␈αabout␈αthe␈α
complex␈αzeros␈αof␈α
the␈αzeta␈α
function;
␈βε*␈↓ λe␈ε↓␈␈↓ 	w␈ε↓↓
␈βεH␈↓ 	↔␈∧εH	↔α∪
␈βεI␈↓ ↓H␈εαthis␈αh␈α␈ypothesis,␈αif␈αtrue,␈αw␈α␈ould␈αimply␈αthat␈↓ ε↑␈ελ→␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελx␈↓ π⊃␈εα)␈α
=␈↓ πU␈ελL␈↓ πm␈εα(␈↓ πy␈ελx␈↓ λ␈εα)␈αλ+␈↓ λK␈ελO␈↓ λs␈ε⊗p␈↓ 	↔␈ελx␈↓ 	0␈εαlog␈↓ 	d␈ελx␈↓ 
¬␈εα.
␈βεu␈↓ α␈εαIn␈α
order␈α
to␈α
analyze␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α
behavior␈α
of␈α
Algorithm␈αA␈↓ 	⊃␈εα,␈α∞w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
lik␈α␈e␈αto
␈βπ ␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈w␈α∞ho␈α␈w␈α∞large␈α∂the␈α∞largest␈α∞prime␈α∂factor␈↓ εZ␈ελp␈↓ π∧␈εαwill␈α∞tend␈α∞to␈α∂be.␈α∪This␈α∞question␈α∞was
␈βπ-␈↓ εk␈εt
␈βπK␈↓ ↓H␈εα|rst␈α
in␈α␈v␈α␈estigated␈α∞by␈α∞Karl␈α∞Dickman␈α∞[␈ε∂Arkiv␈α∞f␈↓ π↓␈ε∂∪␈↓ π↓␈ε∂o␈↓ π∪␈ε∂r␈α
Mat.,␈α∂Astron.,␈α∞och␈α∞Fys.␈ε∩␈α∞22A␈εα,␈α
10
␈βπv␈↓ ↓H␈εα(1930),␈α1↑14],␈αwho␈αstudied␈αthe␈αprobability␈αthat␈αa␈αrandom␈αin␈α␈teger␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand
␈βλ≤␈↓ ε-␈ε
␈βλ!␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓e␈εαwill␈αhav␈α␈e␈αits␈αlargest␈αprime␈αfactor␈ε⊗␈α∀␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε>␈εα.␈αDickman␈αgav␈α␈e␈αa␈αheuristic␈αargumen␈α␈t␈αto
␈βλM␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈w␈αthat␈αthis␈αprobability␈αapproaches␈αthe␈αlimiting␈α
value␈↓ λN␈ελF␈↓ λg␈εα(␈↓ λs␈ελ␈↓ 	π␈εα)␈αas␈↓ 	K␈ελx␈↓ 	h␈ε⊗!␈α
1␈εα,␈αwhere
␈βλx␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓m␈εαcan␈αbe␈αcalculated␈αfrom␈αthe␈αfunctional␈αequation
␈β	1␈↓ αE␈ε↓Z
␈β	:␈↓ αi␈ε
␈β	D␈↓ β_␈ε↓∩␈↓ ∧	␈ε↓∪
␈β	G␈↓ βU␈ελt␈↓ ∧)␈ελd␈↓ ∧=␈ελt
␈β	↑␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελ␈↓ α↓␈εα)␈α
=␈↓ α␈␈ελF␈↓ ∧N␈εα,␈↓ ¬α␈εαfor␈↓ ¬:␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε∧␈ελ␈↓ ε"␈ε⊗∀␈εα␈α
1;␈↓ π:␈ελF␈↓ πT␈εα(␈↓ π`␈ελ␈↓ πs␈εα)␈α
=␈α
1␈↓ λm␈εαfor␈↓ 	%␈ελ␈↓ 	C␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ α␈εα(6)
␈β	n␈↓ β2␈∧	nβ2αT␈↓ ∧)␈∧	n∧)α"
␈β	w␈↓ β2␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ βx␈ελt␈↓ ∧3␈ελt
␈β
α␈↓ αY␈ε¬0
␈β
A␈↓ ↓H␈εαHis␈αεargumen␈α␈t␈απwas␈απessen␈α␈tially␈αεthis:␈α
The␈αεn␈α␈um␈α␈ber␈απof␈απin␈α␈tegers␈ε⊗␈απ∀␈↓ λf␈ελx␈↓ λ␈␈εαwhose␈απlargest␈αεprime
␈β
g␈↓ βm␈εt␈↓ ∧Z␈εt␈↓ ∧d␈ε¬+␈↓ ¬↓␈εd␈↓ ¬⊃␈εt␈↓ ¬u␈ε→0
␈β
l␈↓ ↓H␈εαfactor␈α
is␈αbet␈α␈w␈α␈een␈↓ βZ␈ελx␈↓ ∧α␈εαand␈↓ ∧G␈ελx␈↓ ¬'␈εαis␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬\␈ελF␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελt␈↓ ε⊗␈εα)␈↓ ε(␈ελd␈↓ ε<␈ελt␈↓ εI␈εα.␈αThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αprimes␈↓ 	D␈ελp␈↓ 	a␈εαin␈αthat␈α
range
␈β
x␈↓ ∧3␈ε↓␈␈↓ ε$␈ε↓↓
␈β∩␈↓ α≡␈εt␈↓ α(␈ε¬+␈↓ αE␈εd␈↓ αU␈εt␈↓ βQ␈εt␈↓ ∧T␈εt␈↓ ¬r␈εt␈↓ π⊗␈εt␈↓ πx␈εt
␈β↔␈↓ ↓H␈εαis␈↓ ↓k␈ελ→␈↓ ↓␈␈εα(␈↓ α␈ελx␈↓ α`␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ β≡␈ελ→␈↓ β2␈εα(␈↓ β>␈ελx␈↓ β[␈εα)␈α
=␈↓ ∧∨␈ελ→␈↓ ∧A␈ελx␈↓ ∧e␈εα+␈απ(␈↓ ¬≤␈εαln␈↓ ¬@␈ελx␈↓ ¬S␈εα)␈↓ ¬←␈ελx␈↓ εα␈ελd␈↓ ε↔␈ελt␈↓ ε9␈ε⊗␈␈↓ εc␈ελ→␈↓ εx␈εα(␈↓ π∧␈ελx␈↓ π!␈εα)␈α
=␈↓ πe␈ελx␈↓ λλ␈ελd␈↓ λ≤␈ελt␈↓ λ)␈εα/␈↓ λ;␈ελt␈↓ λH␈εα.␈αFor␈αev␈α␈ery␈αsuch␈↓ 
S␈ελp␈↓ 
e␈εα,␈αthe
␈βC␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	in␈α␈tegers␈↓ βq␈ελn␈↓ ∧⊂␈εαsuch␈α	that␈α
\␈↓ ¬=␈ελn␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬o␈ε⊗∀␈↓ ε≥␈ελx␈↓ ε9␈εαand␈α	the␈α
largest␈α	prime␈α
factor␈α	of␈↓ 
~␈ελn␈↓ 
9␈εαis␈ε⊗␈α	∀␈↓ λ␈ελp␈↓ ~␈εα"
␈βi␈↓ ∧/␈ε¬1␈ε→␈␈↓ ∧Z␈εt␈↓ 	α␈ε¬1␈ε→␈α↓␈␈↓ 	.␈εt␈↓ 	D␈εt␈↓ 	O␈ε¬/(1␈ε→␈␈↓ 
∩␈εt␈↓ 
≤␈ε¬)
␈βn␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈↓ βN␈ελn␈↓ βn␈ε⊗∀␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧o␈εαwhose␈α
largest␈α
prime␈α
factor␈α
is␈ε⊗␈α∀␈εα␈α
(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	8␈εα)␈↓ 
&␈εα,␈α
namely
␈βy␈↓ α)␈ε↓␈␈↓ βA␈ε↓↓␈↓ π↓␈ε↓␈␈↓ πq␈ε↓␈␈↓ 	∀␈ε↓↓␈↓ 	"␈ε↓↓
␈β∀␈↓ ↓Z␈ε¬1␈ε→␈α↓␈␈↓ αε␈εt␈↓ ∧z␈ε→0␈↓ ε%␈εt␈↓ π"␈ε¬1␈ε→␈␈↓ πM␈εt
␈β→␈↓ ↓H␈ελx␈↓ α⊂␈ελF␈↓ α7␈ελt␈↓ αD␈εα/(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β(␈ελt␈↓ β5␈εα)␈↓ βO␈εα.␈αHence␈↓ ∧N␈ελx␈↓ ∧a␈ελF␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελt␈↓ ¬≠␈εα)␈↓ ¬-␈ελd␈↓ ¬A␈ελt␈↓ ¬X␈εα=␈α
(␈↓ ε∩␈ελx␈↓ ε5␈ελd␈↓ εI␈ελt␈↓ εV␈εα/␈↓ εh␈ελt␈↓ εu␈εα)␈↓ π∂␈ελx␈↓ πX␈ελF␈↓ π␈␈εα(␈↓ λ␈ελt␈↓ λ_␈εα/(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ{␈ελt␈↓ 	λ␈εα)␈↓ 	0␈εα,␈αand␈α(6)␈αfollo␈α␈ws
␈βD␈↓ ↓H␈εαby␈α
in␈α␈tegration.␈α∩This␈α
heuristic␈α∞argumen␈α␈t␈α∞can␈α∞be␈α
made␈α∞rigorous;␈α∂V.␈α
Ramaswami
␈βo␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Bull.␈α∂Amer.␈α∂Math.␈α∂Soc.␈ε∩␈α⊂55␈εα␈α∂(1949),␈α⊂1122↑1127]␈α∂sho␈α␈w␈α␈ed␈α⊂that␈α∂the␈α∂probability␈α∂in
␈β
≠␈↓ ↓H␈εαquestion␈α∞for␈α∂|x␈α␈ed␈↓ βl␈ελ␈↓ ∧∂␈εαis␈↓ ∧6␈ελF␈↓ ∧O␈εα(␈↓ ∧[␈ελ␈↓ ∧o␈εα)␈α	+␈↓ ¬2␈ελO␈↓ ¬L␈εα(1/␈↓ ¬|␈εαlog␈↓ ε0␈ελx␈↓ εC␈εα),␈α∂as␈↓ π↔␈ελx␈↓ π8␈ε⊗!␈α∞1␈εα,␈α⊂and␈α∞man␈α␈y␈α∂other␈α∞authors
␈β
F␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
extended␈αthe␈α
analysis␈α
[see␈α
the␈α
surv␈α␈ey␈α
by␈α
Karl␈α
K.␈αNorton,␈ε∂␈α∞Memoirs␈αAmer.
␈β
q␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈αSoc.␈ε∩␈α106␈εα␈α(1971),␈α9↑27].
␈β∞→␈↓ α4␈ε¬1
␈β∞≤␈↓ α␈εαIf␈↓ αP␈ε⊗∀␈↓ α}␈ελ␈↓ β≤␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈αform␈α␈ula␈α(6)␈αsimpli|es␈αto
␈β∞,␈↓ α4␈∧∞,α4α∂
␈β∞/␈↓ α4␈ε¬2
␈β∞`␈↓ ∧B␈ε↓Z␈↓ πT␈ε↓Z
␈β∞h␈↓ ∧f␈ε¬1␈↓ πx␈ε¬1
␈β∞r␈↓ ¬∀␈ε↓∩␈↓ ε¬␈ε↓∪
␈β∞v␈↓ ¬Q␈ελt␈↓ ε%␈ελd␈↓ ε9␈ελt␈↓ λ⊂␈ελd␈↓ λ$␈ελt
␈β∂
␈↓ αs␈ελF␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελ␈↓ β,␈εα)␈α⊂=␈α⊂1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧z␈ελF␈↓ εZ␈εα=␈α⊂1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λE␈εα=␈α⊂1␈αλ+␈↓ 	?␈εαln␈↓ 	c␈ελ␈↓ 	w␈εα.
␈β∂≥␈↓ ¬.␈∧∂≥¬.αT␈↓ ε%␈∧∂≥ε%α"␈↓ λ⊂␈∧∂≥λ⊂α"
␈β∂%␈↓ ¬.␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬t␈ελt␈↓ ε/␈ελt␈↓ λ~␈ελt
␈β∂0␈↓ ∧V␈ε␈↓ πh␈ε
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈α⊂for␈α∂example,␈α⊂the␈α∂probability␈α∂that␈α∂a␈α∂random␈α⊂positiv␈α␈e␈α∂in␈α␈teger␈ε⊗␈α∂∀␈↓ 
5␈ελx␈↓ 
W␈εαhas␈α∂a
␈β⊂↔␈↓ ¬4␈ε¬1
␈β⊂→␈↓ βu␈∧⊂→βuα∪
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαprime␈α∂factor␈α⊂>␈↓ βQ␈ε⊗p␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧_␈εαis␈α⊂1␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬␈ελF␈↓ ¬$␈εα(␈↓ ¬F␈εα)␈α⊃=␈↓ ε↔␈εαln␈↓ ε;␈εα2,␈α⊂about␈α⊂69␈α⊂percen␈α␈t.␈α↔In␈α⊂all␈α⊂such␈α∂cases,
␈β⊂+␈↓ ¬4␈∧⊂+¬4α∂
␈β⊂-␈↓ ¬4␈ε¬2
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αA␈αm␈α␈ust␈αw␈α␈ork␈αhard.
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈α∂net␈α∞result␈α∂of␈α∞this␈α∂discussion␈α∞is␈α∞that␈α∂Algorithm␈α∞A␈α∂will␈α∞giv␈α␈e␈α∂the␈α∞answ␈α␈er
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαrather␈αλquickly␈α	if␈αλw␈α␈e␈α	wan␈α␈t␈αλto␈αλfactor␈α	a␈αλsix-digit␈α	n␈α␈um␈α␈ber;␈α	but␈α	for␈αλlarge␈↓ 	Q␈ελN␈↓ 	{␈εαthe␈αλamoun␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα363
␈βε(␈↓ βI␈ε∪Fig.␈α11␈α␈.␈εβ␈α≠Prob␈α␈ability␈αd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αf␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αfor␈αth␈α␈e
␈βεP␈↓ βI␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
l␈α↓a␈α␈rgest␈α
prime␈α
facto␈α␈rs␈αof␈α
a␈αra␈α␈nd␈α␈om␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈ε↔␈α∀␈↓ 	⊂␈ε	x␈↓ 	"␈εβ.
␈βπJ␈↓ ↓H␈εαof␈αcomputer␈αtime␈αfor␈αfactorization␈αby␈αtrial␈αdivision␈αwill␈αrapidly␈αex␈α␈ceed␈αpractical
␈βπv␈↓ ↓H␈εαlimits,␈αunless␈αw␈α␈e␈αare␈αun␈α␈usually␈αlucky.
␈βλ!␈↓ α␈εαLater␈α
in␈α
this␈α
section␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
see␈α
that␈α
there␈α
are␈α
fairly␈α
good␈α
ways␈α
to␈α
determine
␈βλL␈↓ ↓H␈εαwhether␈α
or␈αnot␈αa␈αreasonably␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ εb␈ελn␈↓ πα␈εαis␈αprime,␈αwithout␈αtrying␈αall␈α
divisors
␈βλu␈↓ αC␈∧λuαCα⊗
␈βλv␈↓ α∨␈ε⊗p
␈βλw␈↓ ↓H␈εαup␈απto␈↓ αC␈ελn␈↓ αX␈εα.␈αTherefore␈αλAlgorithm␈απA␈αλw␈α␈ould␈απoften␈αλrun␈αλfaster␈απif␈αλw␈α␈e␈απinserted␈αλa␈απprimality
␈β	"␈↓ ↓H␈εαtest␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂steps␈α⊂A2␈α⊂and␈α⊂A3;␈α∩the␈α⊂running␈α⊂time␈α⊂for␈α⊂this␈α⊂impro␈α␈v␈α␈ed␈α∂algorithm
␈β	N␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈αλthen␈αλbe␈α	roughly␈αλproportional␈α	to␈↓ ε≠␈ελp␈↓ εb␈εα,␈α	the␈ε∂␈αλsecond-largest␈εα␈α	prime␈αλfactor␈αλof␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β	[␈↓ ε,␈εt␈↓ ε7␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β	w␈↓ ∧d␈∧	w∧dα≤
␈β	x␈↓ ∧@␈ε⊗p
␈β	y␈↓ ↓H␈εαinstead␈αof␈αto␈↓ β~␈εαmax␈↓ β↑␈εα(␈↓ βj␈ελp␈↓ ∧0␈εα,␈↓ ∧d␈ελp␈↓ ¬ε␈εα).␈αBy␈αan␈αargumen␈α␈t␈αanalogous␈αto␈αDickman's␈α(see␈αex-
␈β
ε␈↓ β{␈εt␈↓ ∧¬␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧u␈εt
␈β
$␈↓ ↓H␈εαercise␈α	18),␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	sho␈α␈w␈α	that␈α	the␈αλsecond-largest␈α	prime␈α	factor␈α	of␈α	a␈α	random␈α	in␈α␈teger␈↓ ~␈ελx
␈β
J␈↓ α|␈ε␈
␈β
O␈↓ ↓H␈εαwill␈αbe␈ε⊗␈α∀␈↓ αj␈ελx␈↓ β~␈εαwith␈αappro␈α␈ximate␈αprobability␈↓ εw␈ελG␈↓ π∪␈εα(␈↓ π∨␈ελ␈␈↓ π5␈εα),␈αwhere
␈β∃␈↓ βb␈ε↓Z
␈β≡␈↓ ∧ε␈ε␈
␈β(␈↓ ∧≡␈ε↓∩␈↓ ∧O␈ε↓∩␈↓ ¬@␈ε↓∪␈↓ ε#␈ε↓∩␈↓ π∀␈ε↓∪␈↓ π*␈ε↓∪
␈β,␈↓ ¬␈ελt␈↓ ε`␈ελt␈↓ πJ␈ελd␈↓ π↑␈ελt
␈β?␈↓ 	x␈ε¬1
␈βB␈↓ α`␈ελG␈↓ α{␈εα(␈↓ βπ␈ελ␈␈↓ β≡␈εα)␈α
=␈↓ ∧4␈ελG␈↓ ¬↑␈ε⊗␈␈↓ ε
␈ελF␈↓ πo␈εα,␈↓ λ#␈εαfor␈↓ λ[␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	%␈ελ␈␈↓ 	F␈ε⊗∀␈↓ 

␈εα.␈↓ α␈εα(7)
␈βS␈↓ ∧i␈∧S∧iαT␈↓ ε=␈∧Sε=αT␈↓ πJ␈∧SπJα"␈↓ 	x␈∧S	xα∂
␈βU␈↓ 	x␈ε¬2
␈β[␈↓ ∧i␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬/␈ελt␈↓ ε=␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πβ␈ελt␈↓ πT␈ελt
␈βf␈↓ βv␈ε¬0
␈β*␈↓ ∧n␈ε¬1
␈β.␈↓ ↓H␈εαClearly␈↓ αF␈ελG␈↓ αb␈εα(␈↓ αn␈ελ␈␈↓ β∧␈εα)␈α
=␈α
1␈αfor␈↓ ∧≤␈ελ␈␈↓ ∧<␈ε⊗∃␈↓ ¬␈εα.␈α↔(See␈α
Fig.␈α11.)␈α⊗Numerical␈αevaluation␈αof␈α(6)␈αand␈α
(7)
␈β>␈↓ ∧n␈∧>∧nα∂
␈β@␈↓ ∧n␈ε¬2
␈βY␈↓ ↓H␈εαyields␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈α\percen␈α␈tage␈αpoin␈α␈ts":
␈β
'␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελ␈↓ α↓␈εα),␈↓ α≥␈ελG␈↓ α8␈εα(␈↓ αD␈ελ␈␈↓ αZ␈εα)␈α
=
␈β
*␈↓ β8␈εβ.␈α↓0␈α␈1␈↓ ∧_␈εβ.05␈↓ ∧w␈εβ.10␈↓ ¬V␈εβ.20␈↓ ε6␈εβ.3␈α␈5␈↓ π∃␈εβ.50␈↓ πt␈εβ.65␈↓ λS␈εβ.␈α↓8␈α␈0␈↓ 	3␈εβ.90␈↓ 
∩␈εβ.95␈↓ 
q␈εβ.99
␈β
Y␈↓ αR␈ελ␈↓ αp␈εα=
␈β
\␈↓ β(␈εβ.26␈α␈97␈↓ ∧π␈εβ.334␈α␈8␈↓ ∧f␈εβ.␈α↓3␈α␈78␈α␈5␈↓ ¬F␈εβ.4␈α␈430␈↓ ε%␈εβ.52␈α␈20␈↓ π∧␈εβ.606␈α␈5␈↓ πc␈εβ.␈α↓7␈α␈047␈↓ λC␈εβ.81␈α␈87␈↓ 	"␈εβ.904␈α␈8␈↓ 
↓␈εβ.␈α↓9␈α␈512␈↓ 
a␈εβ.9␈α␈900
␈β∞␈↓ αP␈ελ␈␈↓ αp␈εα=
␈β∞∂␈↓ β(␈εβ.00␈α␈56␈↓ ∧π␈εβ.027␈α␈3␈↓ ∧f␈εβ.␈α↓0␈α␈53␈α␈1␈↓ ¬F␈εβ.1␈α␈003␈↓ ε%␈εβ.16␈α␈11␈↓ π∧␈εβ.211␈α␈7␈↓ πc␈εβ.␈α↓2␈α␈582␈↓ λC␈εβ.31␈α␈04␈↓ 	"␈εβ.359␈α␈0␈↓ 
↓␈εβ.␈α↓3␈α␈967␈↓ 
a␈εβ.4␈α␈517
␈β∞[␈↓ πU␈ε¬.2␈α↓11␈α↓7
␈β∞`␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αthe␈αsecond-largest␈αprime␈αfactor␈αwill␈αbe␈ε⊗␈α∀␈↓ πC␈ελx␈↓ λ#␈εαabout␈αhalf␈αthe␈αtime,␈αetc.
␈β∂␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈α∂total␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α⊂prime␈α∂factors␈εα,␈↓ εS␈ελt␈↓ ε`␈εα,␈α⊃has␈α∂also␈α⊂been␈α∂in␈α␈tensiv␈α␈ely␈α∂analyzed.
␈β∂6␈↓ ↓H␈εαObviously␈α	1␈ε⊗␈α
∀␈↓ β;␈ελt␈↓ βR␈ε⊗∀␈↓ ∧␈εαlg␈↓ ∧"␈ελN␈↓ ∧D␈εα,␈α
but␈α	these␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈α	and␈α
upper␈α	bounds␈α
are␈α	seldom␈α	achiev␈α␈ed.
␈β∂a␈↓ ↓H␈εαIt␈α∂is␈α⊂possible␈α⊂to␈α⊂pro␈α␈v␈α␈e␈α⊂that␈α∂a␈α⊂random␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂1␈α⊂and␈↓ 	(␈ελx␈↓ 	K␈εαwill␈α∂hav␈α␈e␈↓ 
k␈ελt␈↓ λ␈ε⊗∀
␈β⊂ε␈↓ β	␈∧⊂εβ	αa
␈β⊂π␈↓ αe␈ε⊗p
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαln␈↓ ↓l␈εαln␈↓ α⊂␈ελx␈↓ α*␈εα+␈↓ αV␈ελc␈↓ β∂␈εαln␈↓ β3␈εαln␈↓ βW␈ελx␈↓ βu␈εαwith␈αthe␈αlimiting␈αprobability
␈β⊂J␈↓ ¬t␈ε↓Z
␈β⊂S␈↓ ε_␈εc
␈β⊂a␈↓ ¬<␈εα1
␈β⊂n␈↓ π∧␈επ2
␈β⊂q␈↓ εU␈ε→␈␈↓ εr␈εu␈↓ π∂␈ε¬/␈α↓2
␈β⊂w␈↓ εG␈ελe␈↓ π2␈ελd␈↓ πC␈ελu␈↓ α␈εα(8)
␈β⊃λ␈↓ ¬ ␈∧⊃λ¬ αK
␈β⊃→␈↓ ¬D␈∧⊃→¬Dα'
␈β⊃~␈↓ ¬ ␈ε⊗p
␈β⊃≠␈↓ ελ␈ε→␈␈α␈1
␈β⊃∨␈↓ ¬D␈εα2␈↓ ¬V␈ελ→
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα364␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαas␈↓ ↓v␈ελx␈↓ α_␈ε⊗!␈α∞1␈εα,␈α⊂for␈α∂an␈α␈y␈α∞|x␈α␈ed␈↓ ∧d␈ελc␈↓ ∧r␈εα.␈α∃In␈α∞other␈α∂w␈α␈ords,␈α⊂the␈α∞distribution␈α∂of␈↓ 	I␈ελt␈↓ 	e␈εαis␈α∞essen␈α␈tially
␈βαS␈↓ ↓H␈εαnormal,␈αwith␈αmean␈αand␈αvariance␈↓ ¬P␈εαln␈↓ ¬t␈εαln␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε+␈εα;␈αabout␈α99.73␈αpercen␈α␈t␈αof␈αall␈αlarge␈αin␈α␈tegers
␈βαx␈↓ ¬β␈∧αx¬βαa
␈βαy␈↓ ∧←␈ε⊗p
␈βα}␈↓ ↓H␈ε⊗∀␈↓ ↓v␈ελx␈↓ α∪␈εαhav␈α␈e␈ε⊗␈αj␈↓ αq␈ελt␈↓ β¬␈ε⊗␈␈↓ β0␈εαln␈↓ βT␈εαln␈↓ βx␈ελx␈↓ ∧␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
3␈↓ ¬	␈εαln␈↓ ¬-␈εαln␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬c␈εα.␈αFurthermore␈αthe␈αav␈α␈erage␈αvalue␈αof␈↓ 
∪␈ελt␈↓ 
'␈ε⊗␈␈↓ 
R␈εαln␈↓ 
v␈εαln␈↓ ~␈ελx
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαis␈αkno␈α␈wn␈αto␈αbe
␈ββY␈↓ β;␈ε↓X
␈ββ\␈↓ ∧π␈ε↓␈␈↓ π⊂␈ε↓↓
␈ββ|␈↓ αZ␈ελ␈
␈↓ αv␈εα+␈↓ ∧∃␈εαln␈↓ ∧3␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1/␈↓ ¬)␈ελp␈↓ ¬<␈εα)␈αλ+␈αλ1/(␈↓ ε,␈ελp␈↓ εF␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ π(␈εα=␈α
1.03465␈αλ38818␈αλ97438.
␈β∧-␈↓ β"␈εp␈↓ β;␈ε¬prime
␈β¬ε␈↓ ↓H␈εα[Cf.␈α∞G.␈α∂H.␈α∂Hardy␈α∂and␈α∂E.␈α∂M.␈α∂Wrigh␈α␈t,␈ε∂␈α∂In␈α␈troduction␈α∂to␈α∂the␈α∂Theory␈α∂of␈α∞Num␈α␈bers␈εα,
␈β¬1␈↓ ↓H␈εα4th␈αed.␈α
(Oxford,␈α1960),␈ε⊗␈αx␈εα22.11;␈αsee␈αalso␈αP.␈αErd␈↓ π⊗␈εα⊗␈↓ π⊗␈εαo␈↓ π(␈εαs␈αand␈αM.␈αKac,␈ε∂␈αAmer.␈αJ.␈αMath.␈ε∩␈α
26
␈β¬\␈↓ ↓H␈εα(1940),␈α738↑742.]
␈βεπ␈↓ α␈εαThe␈α∞size␈α∞of␈α∞prime␈α∞factors␈α∞has␈α∞a␈α∞remarkable␈α∞connection␈α∞with␈α
perm␈α␈utations:
␈βε2␈↓ ↓H␈εαThe␈α∞av␈α␈erage␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞bits␈α∂in␈α∞the␈↓ ε␈ελk␈↓ ε∩␈εαth␈α∞largest␈α∂prime␈α∞factor␈α∞of␈α∂a␈α∞random␈↓ 
←␈ελn␈↓ 
t␈εα-bit
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger␈αis␈αasymptotically␈αthe␈αsame␈αas␈αthe␈αav␈α␈erage␈αlength␈αof␈αthe␈↓ 	-␈ελk␈↓ 	>␈εαth␈αlargest␈αcy␈α␈cle
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαof␈α
a␈α
random␈↓ β∂␈ελn␈↓ β%␈εα-elemen␈α␈t␈α
perm␈α␈utation,␈αas␈↓ ε4␈ελn␈↓ εT␈ε⊗!␈α
1␈εα.␈α∃[See␈α
D.␈αE.␈α
Kn␈α␈uth␈αand␈α
L.␈α
Trabb
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαPardo,␈ε∂␈α
Theoretical␈α
Comp.␈αSci.␈ε∩␈α
3␈εα␈α
(1976),␈α
321↑348.]␈α≠It␈α
follo␈α␈ws␈α
that␈α
Algorithm␈αA
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαusually␈α
|nds␈α
a␈α
few␈α
small␈α
factors␈α
and␈α
then␈α
begins␈α
a␈α
long-drawn-out␈α
search␈α
for␈α
the
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαbig␈αones␈αthat␈αare␈αleft.
␈βλI␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈↓ αp␈ε∩␈
␈↓ αp␈ε∩a␈↓ β∩␈ε∩la␈α⊃Mon␈α␈te␈α⊂Carlo.␈εα␈α!Near␈α⊂the␈α⊃beginning␈α⊂of␈α⊂Chapter␈α⊃3,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂observ␈α␈ed
␈βλt␈↓ ↓H␈εαthat␈α
\a␈α∞random-n␈α␈um␈α␈ber␈α∞generator␈α∞chosen␈α∞at␈α∞random␈α
isn't␈α∞v␈α␈ery␈α∞random."␈α⊃This
␈β	 ␈↓ ↓H␈εαprinciple,␈α	which␈α	w␈α␈ork␈α␈ed␈α
against␈α	us␈α	in␈α	that␈α	chapter,␈α
has␈α	the␈α	redeeming␈α	virtue␈α	that
␈β	K␈↓ ↓H␈εαit␈α∂leads␈α∂to␈α∂a␈α⊂surprisingly␈α∂e}cien␈α␈t␈α∂method␈α∂of␈α⊂factorization,␈α⊂disco␈α␈v␈α␈erd␈α∂by␈α∂J.␈α∂M.
␈β	v␈↓ ↓H␈εαPollard␈α	[␈ε∂BIT␈ε∩␈αλ15␈εα␈α	(1975),␈α
331↑334].␈αThe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	computational␈α	steps␈α	in␈αλPollard's
␈β
 ␈↓ ¬∞␈∧
 ¬∞αG
␈β
!␈↓ ↓H␈εαmethod␈αis␈α
on␈α
the␈α
order␈α
of␈↓ ∧j␈ε⊗p␈↓ ¬∞␈ελp␈↓ ¬U␈εα,␈α
so␈α
it␈α
is␈αsigni|can␈α␈tly␈α
faster␈α
than␈α
Algorithm␈αA
␈β
/␈↓ ¬∨␈εt␈↓ ¬*␈ε→␈␈ε¬1
␈β
L␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελN␈↓ αT␈εαis␈αlarge.␈αAccording␈α
to␈α(7)␈αand␈αFig.␈α11,␈α
the␈αrunning␈αtime␈αwill␈αusually␈αbe
␈β
s␈↓ β_␈ε¬1␈α↓/4
␈β
x␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell␈αunder␈↓ αw␈ελN␈↓ βC␈εα.
␈β#␈↓ α␈εαLet␈↓ αP␈ελf␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελx␈↓ β␈εα)␈α∞be␈α∞an␈α␈y␈α∞polynomial␈α∞with␈α∂in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts,␈α∞and␈α∞consider␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o
␈βN␈↓ ↓H␈εαsequences␈αde|ned␈αby
␈β ␈↓ α.␈ελx␈↓ αW␈εα=␈↓ β¬␈ελy␈↓ β.␈εα=␈↓ β\␈ελA␈↓ βt␈εα;␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ¬,␈εα=␈↓ ¬Z␈ελf␈↓ ¬k␈εα(␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε"␈εα)␈↓ ε4␈εαmod␈↓ ε}␈ελN␈↓ π∨␈εα,␈↓ πw␈ελy␈↓ λX␈εα=␈↓ 	ε␈ελf␈↓ 	↔␈εα(␈↓ 	#␈ελy␈↓ 	N␈εα)␈↓ 	`␈εαmod␈↓ 
*␈ελp␈↓ 
<␈εα,␈↓ α␈εα(9)
␈β.␈↓ α?␈ε¬0␈↓ β⊗␈ε¬0␈↓ ∧]␈εm␈↓ ∧w␈ε¬+1␈↓ ελ␈εm␈↓ λλ␈εm␈↓ λ"␈ε¬+1␈↓ 	4␈εm
␈βs␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελp␈↓ αN␈εαis␈αan␈α␈y␈αprime␈αfactor␈αof␈↓ ¬/␈ελN␈↓ ¬Q␈εα.␈αIt␈αfollo␈α␈ws␈αthat
␈β
E␈↓ ∧@␈ελy␈↓ ∧u␈εα=␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬T␈εαmod␈↓ ε≡␈ελp␈↓ ε0␈εα,␈↓ πλ␈εαfor␈↓ π@␈ελm␈↓ πj␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(10)
␈β
R␈↓ ∧Q␈εm␈↓ ¬4␈εm
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α∂ex␈α␈ercise␈α⊂3.1↑7␈α⊂sho␈α␈ws␈α∂that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂will␈α∂hav␈α␈e␈↓ π≡␈ελy␈↓ πY␈εα=␈↓ λ
␈ελy␈↓ 	∪␈εαfor␈α⊂some␈↓ 
-␈ελm␈↓ 
\␈ε⊗∃␈εα␈α⊂1,
␈β∞%␈↓ π/␈εm␈↓ λ#␈εl␈↓ λ+␈ε¬(␈↓ λ5␈εm␈↓ λO␈ε¬)␈ε→␈α␈␈␈ε¬1
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α2␈ελl␈↓ α<␈εα(␈↓ αH␈ελm␈↓ αh␈εα)␈α∞is␈α∂the␈α∞least␈α∂po␈α␈w␈α␈er␈α∞of␈α∂2␈α∞that␈α∂is␈ε⊗␈α∞∀␈↓ π!␈ελm␈↓ π@␈εα.␈α∀Th␈α␈us␈↓ λ;␈ελx␈↓ λo␈ε⊗␈␈↓ 	≥␈ελx␈↓ 
!␈εαwill␈α∂be␈α∞a
␈β∞P␈↓ λL␈εm
␈β∞Q␈↓ 	2␈εl␈↓ 	;␈ε¬(␈↓ 	D␈εm␈↓ 	↑␈ε¬)␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ α|␈ελp␈↓ β∂␈εα.␈αFurthermore␈αif␈↓ ¬_␈ελf␈↓ ¬)␈εα(␈↓ ¬5␈ελy␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬[␈εαmod␈↓ ε%␈ελp␈↓ εB␈εαbehav␈α␈es␈αas␈αa␈αrandom␈αmapping␈αfrom␈α
the
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαset␈ε⊗␈α
f␈εα0,␈αε1,␈↓ αW␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βπ␈εα,␈↓ β↔␈ελp␈↓ β2␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗g␈εα␈α
in␈α␈to␈α
itself,␈α∞ex␈α␈ercise␈α
3.1↑12␈αsho␈α␈ws␈α
that␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α
value␈α
of
␈β∂B␈↓ εα␈∧∂Bεαα∪
␈β∂C␈↓ ¬↑␈ε⊗p
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαthe␈α
least␈α
such␈↓ β0␈ελm␈↓ β]␈εαwill␈α
be␈α
of␈α
order␈↓ εα␈ελp␈↓ ε∀␈εα.␈α⊂In␈α
fact,␈α∞ex␈α␈ercise␈α
4␈α∞belo␈α␈w␈α
sho␈α␈ws␈α
that␈α
this
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈α
value␈α
for␈α∞random␈α
mappings␈α
is␈α∞less␈α
than␈α∞1.625␈↓ λ&␈ελQ␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελp␈↓ λ↑␈εα),␈α∞where␈α
the␈α
function
␈β∂y␈↓ αM␈ε↓p
␈β⊂∀␈↓ αq␈∧⊂∀αqαK
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελQ␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελp␈↓ α␈εα)␈ε⊗␈α∞→␈↓ αq␈ελ→␈↓ β¬␈ελp␈↓ β↔␈εα/2␈↓ βJ␈εαwas␈α∞de|ned␈α∂in␈α∞Section␈α∂1.2.11.3.␈α∪If␈α∂the␈α∞di{eren␈α␈t␈α∂prime␈α∞divisors
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓t␈ελN␈↓ α$␈εαcorrespond␈α∂to␈α∞di{eren␈α␈t␈α∂values␈α∞of␈↓ ε9␈ελm␈↓ εh␈εα(as␈α∞they␈α∞almost␈α∂surely␈α∞will,␈α∂when␈↓ ␈ελN
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαis␈α
large),␈α∂w␈α␈e␈α
will␈α∞be␈α∞able␈α∞to␈α
|nd␈α∞them␈α∞by␈α∞calculating␈↓ λ≤␈εαgcd␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ 	∩␈ε⊗␈␈↓ 	?␈ελx␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
E␈ελN␈↓ 
g␈εα)␈α
for
␈β⊂}␈↓ λo␈εm
␈β⊂␈␈↓ 	U␈εl␈↓ 	]␈ε¬(␈↓ 	f␈εm␈↓ 
␈ε¬)␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓q␈εα=␈α
1,␈α2,␈α3,␈↓ β↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βG␈εα,␈αun␈α␈til␈αthe␈αunfactored␈αresidue␈αis␈αprime.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα365
␈βα&␈↓ α␈εαFrom␈απthe␈απtheory␈απin␈αεChapter␈απ3,␈αλw␈α␈e␈απkno␈α␈w␈απthat␈απa␈απlinear␈αεpolynomial␈↓ 	←␈ελf␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελx␈↓ 
∂␈εα)␈α
=␈↓ 
S␈ελa␈↓ 
e␈ελx␈↓ 
y␈εα+␈↓ ≡␈ελc
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαwill␈α
not␈αbe␈αsu}cien␈α␈tly␈αrandom␈α
for␈αour␈αpurposes.␈αThe␈αnext-simplest␈αcase␈αis␈α
quad-
␈βαx␈↓ βh␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαratic,␈α
say␈↓ αa␈ελf␈↓ αr␈εα(␈↓ α}␈ελx␈↓ β⊃␈εα)␈α
=␈↓ βU␈ελx␈↓ β{␈εα+␈α∧1;␈αalthough␈α	w␈α␈e␈α
don't␈ε∂␈α	kno␈α␈w␈εα␈α
that␈α	this␈α
function␈α	is␈α	su}cien␈α␈tly
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαrandom,␈αour␈α
lack␈α
of␈αkno␈α␈wledge␈α
tends␈αto␈α
support␈α
the␈αh␈α␈ypothesis␈α
of␈αrandomness,
␈ββS␈↓ ↓H␈εαand␈αempirical␈α
tests␈αsho␈α␈w␈α
that␈αthis␈↓ ¬n␈ελf␈↓ ε␈εαdoes␈αw␈α␈ork␈α
essen␈α␈tially␈α
as␈αpredicted.␈α∞In␈αfact,
␈ββy␈↓ π←␈ε¬2
␈ββ{␈↓ 
(␈ε¬1
␈ββ}␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓f␈εαis␈α
probably␈α
sligh␈α␈tly␈ε∂␈α
better␈εα␈α
than␈α
random,␈α
since␈↓ πM␈ελx␈↓ πv␈εα+␈α	1␈α
tak␈α␈es␈α
on␈α
only␈↓ 
;␈εα(␈↓ 
G␈ελp␈↓ 
b␈εα+␈αλ1)
␈β∧∂␈↓ 
(␈∧∧∂
(α∂
␈β∧⊃␈↓ 
(␈ε¬2
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαdistinct␈αvalues␈αmod␈↓ ∧λ␈ελp␈↓ ∧~␈εα.␈αTherefore␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure␈αis␈αreasonable:
␈β∧f␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
B␈εα␈α
(␈ε∂Mon␈α␈te␈α	Carlo␈α
factorization␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∃This␈α
algorithm␈α
outputs␈α
the␈α	prime␈α
fac-
␈β¬⊃␈↓ ↓H␈εαtors␈αof␈αa␈αgiv␈α␈en␈αin␈α␈teger␈↓ ∧+␈ελN␈↓ ∧W␈ε⊗∃␈εα␈α
2,␈αwith␈αhigh␈αprobability,␈αalthough␈αthere␈αis␈αa␈αchance
␈β¬<␈↓ ↓H␈εαthat␈αit␈αwill␈αfail.
␈β¬Q␈↓ λD␈ε↓␈
␈β¬k␈↓ ¬␈ε→0
␈β¬p␈↓ ↓L␈ε∩B1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α⊃Set␈↓ β⎇␈ελx␈↓ ∧~␈ε⊗ ␈εα␈α
2,␈↓ ∧m␈ελx␈↓ ¬⊃␈ε⊗ ␈εα␈α
5,␈↓ ¬d␈ελk␈↓ ε␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈↓ εS␈ελl␈↓ εg␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈↓ π:␈ελn␈↓ πZ␈ε⊗ ␈↓ λλ␈ελN␈↓ λ)␈εα.␈↓ λR␈εαDuring␈αλthis␈αλalgorithm,
␈βε⊗␈↓ εT␈ε→0
␈βε≠␈↓ α␈ελn␈↓ α)␈εαis␈απthe␈απunfactored␈απpart␈απof␈↓ ¬≡␈ελN␈↓ ¬@␈εα,␈αλand␈απ(␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε2␈εα,␈↓ εB␈ελx␈↓ ε\␈εα)␈απrepresen␈α␈ts␈απ(␈↓ λ∨␈ελx␈↓ 	≠␈εαmod␈↓ 	e␈ελn␈↓ 	z␈εα,␈↓ 
⊂␈ελx␈↓ 
A␈εαmod␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα)
␈βε'␈↓ 	k␈ε↓↓
␈βε)␈↓ λ4␈εl␈↓ λ<␈ε¬(␈↓ λF␈εm␈↓ λ`␈ε¬)␈ε→␈α␈␈␈ε¬1␈↓ 
!␈εm
␈βεA␈↓ ∧e␈ε¬2
␈βεG␈↓ α␈εαin␈α(9),␈αwhere␈↓ β↑␈ελf␈↓ βo␈εα(␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧∞␈εα)␈α
=␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ∧{␈εα+␈αλ1,␈↓ ¬O␈ελA␈↓ ¬q␈εα=␈α
1,␈↓ εG␈ελl␈↓ ε[␈εα=␈↓ π	␈ελl␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελm␈↓ π?␈εα),␈αand␈↓ λ'␈ελk␈↓ λC␈εα=␈α
2␈↓ 	β␈ελl␈↓ 	∃␈ε⊗␈␈↓ 	A␈ελm␈↓ 	a␈εα.
␈βεz␈↓ ↓L␈ε∩B2.␈↓ α␈εα[Test␈α⊂primality.]␈α!If␈↓ ∧\␈ελn␈↓ ¬α␈εαis␈α⊂prime␈α⊂(see␈α⊃the␈α⊂discussion␈α⊂belo␈α␈w),␈α∩output␈↓ 
H␈ελn␈↓ 
↑␈εα;␈α∩the
␈βπ&␈↓ α␈εαalgorithm␈αterminates.
␈βπT␈↓ ¬f␈ε→0
␈βπY␈↓ ↓L␈ε∩B3.␈↓ α␈εα[Factor␈α	found?]␈α∀Set␈↓ ∧H␈ελg␈↓ ∧c␈ε⊗ ␈↓ ¬⊃␈εαgcd␈↓ ¬G␈εα(␈↓ ¬S␈ελx␈↓ ¬r␈ε⊗␈␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα,␈↓ εC␈ελn␈↓ εY␈εα).␈αIf␈↓ π≠␈ελg␈↓ π6␈εα=␈α
1,␈α
go␈α
on␈α	to␈α
step␈α	B4;␈α
otherwise
␈βλ¬␈↓ α␈εαoutput␈↓ β␈ελg␈↓ β⊃␈εα.␈αNo␈α␈w␈α
if␈↓ ∧_␈ελg␈↓ ∧3␈εα=␈↓ ∧a␈ελn␈↓ ∧w␈εα,␈α
the␈α
algorithm␈α
terminates␈α(and␈α
it␈α
has␈α
failed,␈α
because
␈βλ+␈↓ 
s␈ε→0
␈βλ0␈↓ α␈εαw␈α␈e␈α∞kno␈α␈w␈α∂that␈↓ βu␈ελn␈↓ ∧→␈εαisn't␈α∞prime).␈α∀Otherwise␈α∞set␈↓ πU␈ελn␈↓ πy␈ε⊗ ␈↓ λ+␈ελn␈↓ λ@␈εα/␈↓ λR␈ελg␈↓ λd␈εα,␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	≥␈ε⊗ ␈↓ 	O␈ελx␈↓ 	h␈εαmod␈↓ 
2␈ελn␈↓ 
H␈εα,␈↓ 
a␈ελx␈↓ λ␈ε⊗ 
␈βλV␈↓ α∨␈ε→0
␈βλ[␈↓ α␈ελx␈↓ α,␈εαmod␈↓ αv␈ελn␈↓ β␈εα,␈α
and␈αreturn␈α
to␈α
step␈α
B2.␈α⊗(Note␈α
that␈↓ π=␈ελg␈↓ πX␈εαmay␈αnot␈α
be␈α
prime;␈αthis␈α
should
␈β	ε␈↓ α␈εαbe␈α∞tested.␈α∪In␈α∂the␈α∞rare␈α∞ev␈α␈en␈α␈t␈α∂that␈↓ ε'␈ελg␈↓ εF␈εαisn't␈α∂prime,␈α∞its␈α∂prime␈α∞factors␈α∞probably
␈β	1␈↓ α␈εαw␈α␈on't␈αbe␈αdeterminable␈αwith␈α
this␈αalgorithm␈αunless␈αsome␈αchanges␈αare␈αmade␈α
as
␈β	]␈↓ α␈εαdiscussed␈αbelo␈α␈w.)
␈β
␈↓ λH␈ε→0
␈β
⊂␈↓ ↓L␈ε∩B4.␈↓ α␈εα[Advance.]␈α!Set␈↓ ∧⊗␈ελk␈↓ ∧9␈ε⊗ ␈↓ ∧o␈ελk␈↓ ¬␈ε⊗␈␈εα␈α1.␈α→If␈↓ ε→␈ελk␈↓ ε<␈εα=␈α⊃0,␈α∩set␈↓ π\␈ελx␈↓ λ␈ε⊗ ␈↓ λ5␈ελx␈↓ λO␈εα,␈↓ λk␈ελl␈↓ 	π␈ε⊗ ␈εα␈α⊃2␈↓ 	N␈ελl␈↓ 	X␈εα,␈↓ 	t␈ελk␈↓ 
↔␈ε⊗ ␈↓ 
M␈ελl␈↓ 
W␈εα.␈α→Set
␈β
7␈↓ α∨␈ε→0␈↓ α⎇␈ε¬2
␈β
<␈↓ α␈ελx␈↓ α0␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ αj␈ελx␈↓ β∪␈εα+␈αλ1)␈↓ βc␈εαmod␈↓ ∧-␈ελn␈↓ ∧O␈εαand␈αreturn␈αto␈αB3.
␈β
A␈↓ π
␈∧
Aπ
≠∂
␈β
x␈↓ α␈εαAs␈α∞an␈α∞example␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∞B␈↓ ¬x␈εα,␈α∂let's␈α∞try␈α∞to␈α∞factor␈↓ λ5␈ελN␈↓ λe␈εα=␈α
25852␈α∞again.␈α∩The
␈β#␈↓ ↓H␈εαthird␈α⊂ex␈α␈ecution␈α⊃of␈α⊃step␈α⊃B3␈α⊂will␈α⊃output␈↓ εJ␈ελg␈↓ εm␈εα=␈α∩4␈α⊃(which␈α⊃isn't␈α⊂prime).␈α≠After␈α⊂six
␈βO␈↓ ↓H␈εαmore␈α⊂iterations␈α⊂the␈α⊂algorithm␈α⊃|nds␈α⊂the␈α⊂factor␈↓ π>␈ελg␈↓ π`␈εα=␈α⊃23.␈α→Algorithm␈α⊂B␈α⊂has␈α⊂not
␈βz␈↓ ↓H␈εαdistinguished␈α
itself␈α
in␈α
this␈α∞example,␈α
but␈α∞of␈α
course␈α
it␈α
was␈α∞designed␈α
to␈α
factor␈ε∂␈α
big
␈β%␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers.␈αAlgorithm␈α
A␈α
tak␈α␈es␈α
m␈α␈uch␈α
longer␈α
to␈α|nd␈α
large␈α
prime␈α
factors,␈α
but␈α
it␈α
can't
␈βP␈↓ ↓H␈εαbe␈α∞beat␈α
when␈α∞it␈α∞comes␈α∞to␈α∞remo␈α␈ving␈α∞the␈α∞small␈α∞ones.␈α⊃In␈α∞practice,␈α∂w␈α␈e␈α∞should␈α
run
␈β{␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αA␈αawhile␈αbefore␈αswitching␈αo␈α␈v␈α␈er␈αto␈αAlgorithm␈αB.
␈β
'␈↓ α␈εαWe␈α∞can␈α∞get␈α∞a␈α∞better␈α
idea␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∞B's␈α∞pro␈α␈w␈α␈ess␈α∞by␈α∞considering␈α∞the␈α
ten
␈β
R␈↓ ↓H␈εαlargest␈α
six-digit␈αprimes.␈αThe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations,␈↓ π]␈ελm␈↓ π⎇␈εα(␈↓ λ	␈ελp␈↓ λ≠␈εα),␈αthat␈αAlgorithm␈αB␈α
needs
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαto␈α|nd␈αthe␈αfactor␈↓ βb␈ελp␈↓ ∧␈εαis␈αgiv␈α␈en␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈β∞@␈↓ ↓␈␈ελp␈↓ α≤␈εα=
␈β∞C␈↓ αM␈εβ99␈α␈986␈α␈3␈↓ β>␈εβ999␈α␈883␈↓ ∧0␈εβ9␈α␈999␈α␈07␈↓ ¬!␈εβ99␈α␈99␈α␈17␈↓ ε∩␈εβ99␈α␈993␈α␈1␈↓ πβ␈εβ999␈α␈953␈↓ πu␈εβ9␈α␈999␈α␈59␈↓ λf␈εβ99␈α␈996␈α␈1␈↓ 	W␈εβ999␈α␈979␈↓ 
I␈εβ9␈α␈99␈α␈983
␈β∞v␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα(␈↓ ↓s␈ελp␈↓ αε␈εα)␈α
=
␈β∞y␈↓ α␈␈εβ27␈α␈6␈↓ βp␈εβ409␈↓ ∧Q␈εβ21␈α␈06␈↓ ¬B␈εβ15␈α␈61␈↓ ε3␈εβ159␈α␈3␈↓ π%␈εβ1␈α␈091␈↓ λ'␈εβ4␈α␈74␈↓ 	π␈εβ181␈α␈9␈↓ 
	␈εβ395␈↓ 
z␈εβ814
␈β∂A␈↓ 
→␈∧∂A
→α∪
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαExperimen␈α␈ts␈α⊃indicate␈α∩that␈↓ ¬␈ελm␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬,␈ελp␈↓ ¬>␈εα)␈α∩has␈α⊃an␈α∩av␈α␈erage␈α∩value␈α∩of␈α⊃about␈α∩2␈↓ 	u␈ε⊗p␈↓ 
→␈ελp␈↓ 
,␈εα,␈α∪and␈α⊃it
␈β∂h␈↓ 
w␈ε¬6
␈β∂l␈↓ βx␈∧∂lβxα∪
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαnev␈α␈er␈α∂ex␈α␈ceeds␈α∂12␈↓ βT␈ε⊗p␈↓ βx␈ελp␈↓ ∧~␈εαwhen␈↓ ∧{␈ελp␈↓ ¬≥␈εα<␈α⊂1000000.␈α⊗The␈α∂maxim␈α␈um␈↓ λi␈ελm␈↓ 	λ␈εα(␈↓ 	∀␈ελp␈↓ 	'␈εα)␈α∂for␈↓ 	⎇␈ελp␈↓ 
∨␈εα<␈α⊂1␈↓ 
e␈εα0␈↓ ∀␈εαis
␈β⊂↔␈↓ πp␈∧⊂↔πpα∪
␈β⊂_␈↓ πL␈ε⊗p
␈β⊂→␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα(874771)␈α∂=␈α∞7685;␈α⊃and␈α∞the␈α∂maxim␈α␈um␈α∂of␈↓ εp␈ελm␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελp␈↓ π.␈εα)/␈↓ πp␈ελp␈↓ λ∩␈εαoccurs␈α∞when␈↓ 	c␈ελp␈↓ 
∧␈εα=␈α∞290047,
␈β⊂D␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα(␈↓ ↓s␈ελp␈↓ αε␈εα)␈α
=␈α6251.␈α
According␈αto␈αthese␈α
experimen␈α␈tal␈αresults,␈αalmost␈α
all␈α12-digit␈αn␈α␈um-
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαbers␈αcan␈αbe␈αfactored␈αin␈αfew␈α␈er␈αthan␈α2000␈αiterations␈αof␈αAlgorithm␈αB␈α(compared␈αto
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαroughly␈α100,000␈αdivisions␈αin␈αAlgorithm␈αA).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα366␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈α⊃time-consuming␈α⊂operations␈α⊃in␈α⊃each␈α⊂iteration␈α⊃of␈α⊃Algorithm␈α⊂B␈α⊃are␈α⊂the
␈βαS␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiprecision␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision␈αin␈αstep␈αB4,␈αand␈αthe␈αgcd␈αin␈αstep␈αB3.␈αIf
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞gcd␈α∂operation␈α∞is␈α∂slo␈α␈w,␈α∂Pollard␈α∂suggests␈α∞gaining␈α∂speed␈α∞by␈α∂accum␈α␈ulating␈α∞the
␈ββ%␈↓ εB␈ε→0
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαproduct␈αλmod␈↓ β↔␈ελn␈↓ β5␈εαof,␈α	say,␈α	ten␈α	consecutiv␈α␈e␈αλ(␈↓ ε/␈ελx␈↓ εL␈ε⊗␈␈↓ εt␈ελx␈↓ πε␈εα)␈α	values␈αλbefore␈α	taking␈αλeach␈α	gcd;␈α	this
␈ββU␈↓ ↓H␈εαreplaces␈α90␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αgcd␈αoperations␈αby␈αa␈αsingle␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision
␈β∧␈↓ ↓H␈εαwhile␈α	only␈α	sligh␈α␈tly␈α
increasing␈α	the␈α	chance␈α
of␈α	failure.␈αHe␈α	also␈α
suggests␈α	starting␈α	with
␈β∧(␈↓ λπ␈ε¬1
␈β∧+␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓r␈εα=␈↓ α!␈ελq␈↓ α=␈εαinstead␈αof␈↓ βd␈ελm␈↓ ∧∞␈εα=␈α1␈αin␈α
step␈αB1,␈αwhere␈↓ ε{␈ελq␈↓ π↔␈εαis␈α
say␈↓ λ-␈εαthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αiterations
␈β∧<␈↓ λ␈∧∧<λα≥
␈β∧>␈↓ λ␈ε¬10
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαy␈α␈ou␈αare␈αplanning␈αto␈αuse.
␈β¬¬␈↓ α␈εαIn␈α⊃those␈α⊃rare␈α⊃cases␈α⊃where␈α⊃failure␈α⊃occurs␈α⊃for␈α⊃large␈↓ λ=␈ελN␈↓ λ↑␈εα,␈α∪w␈α␈e␈α⊃could␈α⊂try␈α⊃using
␈β¬+␈↓ αR␈ε¬2
␈β¬0␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελx␈↓ ↓x␈εα)␈α=␈↓ α?␈ελx␈↓ αi␈εα+␈↓ β∃␈ελc␈↓ β0␈εαfor␈α
some␈↓ ∧D␈ελc␈↓ ∧↑␈ε⊗≤␈εα␈α0␈α
or␈α
1.␈α∞The␈α
value␈↓ π0␈ελc␈↓ πJ␈εα=␈ε⊗␈α␈␈εα2␈α
should␈α
also␈αbe␈α
av␈α␈oided,
␈β¬S␈↓ 
∂␈ε
m␈↓ 
␈ε
m
␈β¬V␈↓ ¬$␈ε¬2␈↓ 
↓␈ε¬2␈↓ 
b␈ε→␈␈↓ 
}␈ε¬2
␈β¬[␈↓ ↓H␈εαsince␈α	the␈α
recurrence␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧d␈εα=␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬C␈ε⊗␈␈εα␈α¬2␈α	has␈α	solutions␈α
of␈α	the␈α
form␈↓ 	∞␈ελx␈↓ 	C␈εα=␈↓ 	q␈ελr␈↓ 
)␈εα+␈↓ 
R␈ελr␈↓ "␈εα.
␈β¬i␈↓ ∧∃␈εm␈↓ ∧.␈ε¬+1␈↓ 	∨␈εm
␈β¬m␈↓ ¬$␈εm
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαOther␈α
values␈α∞of␈↓ βL␈ελc␈↓ βh␈εαdo␈α
not␈α∞seem␈α
to␈α
lead␈α∞to␈α
simple␈α∞relationships␈α
mod␈↓ 	u␈ελp␈↓ 
π␈εα,␈α∞and␈α
they
␈βε2␈↓ ↓H␈εαshould␈αall␈αbe␈αsatisfactory␈αwhen␈αused␈αwith␈αsuitable␈αstarting␈αvalues.
␈βπ
␈↓ ↓H␈ε∩Fermat's␈αmethod.␈εα␈α→Another␈αapproach␈αto␈αthe␈αfactoring␈αproblem,␈αwhich␈αwas␈αused
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαby␈α
Pierre␈α
de␈α
Fermat␈α
in␈α∞1643,␈α
is␈α
more␈α
suited␈α∞to␈α
|nding␈α
large␈α
factors␈α
than␈α
small
␈βπa␈↓ ↓H␈εαones.␈α[Fermat's␈αdescription␈αof␈αhis␈αmethod,␈αtranslated␈αin␈α␈to␈αEnglish,␈αappears␈αin␈αL.
␈βλ␈↓ ↓H␈εαE.␈απDickson's␈ε∂␈απHistory␈αλof␈απthe␈απTheory␈αλof␈απNum␈α␈bers␈ε∩␈απ1␈εα␈αλ(New␈απYork:␈α
Chelsea,␈αλ1952),␈αλ357.]
␈βλ:␈↓ α␈εαAssume␈αthat␈↓ β\␈ελN␈↓ ∧λ␈εα=␈↓ ∧6␈ελu␈↓ ∧K␈ελv␈↓ ∧↑␈εα,␈αwhere␈↓ ¬Z␈ελu␈↓ ¬z␈ε⊗∀␈↓ ε(␈ελv␈↓ ε;␈εα.␈αFor␈αpractical␈αpurposes␈αw␈α␈e␈αmay␈αassume
␈βλe␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελN␈↓ αC␈εαis␈αodd;␈αthis␈αmeans␈αthat␈↓ ¬9␈ελu␈↓ ¬[␈εαand␈↓ ε!␈ελv␈↓ ε@␈εαare␈αodd.␈αWe␈αcan␈αtherefore␈αlet
␈β	@␈↓ 
p␈εα(11)
␈β	A␈↓ ∧→␈ελx␈↓ ∧6␈εα=␈α
(␈↓ ∧p␈ελu␈↓ ¬∞␈εα+␈↓ ¬:␈ελv␈↓ ¬L␈εα)/2,␈↓ εN␈ελy␈↓ εl␈εα=␈α
(␈↓ π&␈ελv␈↓ πA␈ε⊗␈␈↓ πm␈ελu␈↓ λβ␈εα)/2,
␈β	r␈↓ ¬↔␈ε¬2␈↓ ¬n␈ε¬2
␈β	v␈↓ 
p␈εα(12)
␈β	w␈↓ ∧+␈ελN␈↓ ∧W␈εα=␈↓ ¬¬␈ελx␈↓ ¬.␈ε⊗␈␈↓ ¬Z␈ελy␈↓ ¬|␈εα,␈↓ εN␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π_␈ελy␈↓ π6␈εα<␈↓ πd␈ελx␈↓ λ↓␈ε⊗∀␈↓ λ/␈ελN␈↓ λQ␈εα.
␈β
Q␈↓ ↓H␈εαFermat's␈α∂method␈α⊂consists␈α⊂of␈α∂searching␈α⊂for␈α⊂values␈α∂of␈↓ λ≠␈ελx␈↓ λ>␈εαand␈↓ 	π␈ελy␈↓ 	+␈εαthat␈α⊂satisfy␈α∂this
␈β
|␈↓ ↓H␈εαequation.␈α∃The␈α∂follo␈α␈wing␈α∂algorithm␈α∂sho␈α␈ws␈α∂ho␈α␈w␈α∂factoring␈α∞can␈α∂therefore␈α∂be␈α∂done
␈β(␈↓ ↓H␈ε∂without␈αusing␈αan␈α␈y␈αdivision:
␈β␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
C␈εα␈α
(␈ε∂Factoring␈α
by␈α
addition␈α
and␈α
subtraction␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∃Giv␈α␈en␈α
an␈αodd␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β%␈↓ 
I␈∧%
Iα"
␈β&␈↓ 
%␈ε⊗p
␈β+␈↓ ↓H␈εαthis␈αalgorithm␈αdetermines␈αthe␈αlargest␈αfactor␈αof␈↓ π,␈ελN␈↓ πY␈εαless␈αthan␈αor␈αequal␈αto␈↓ 
I␈ελN␈↓ 
k␈εα.
␈βh␈↓ ¬&␈∧h¬&α"␈↓ λ1␈∧hλ1α"
␈βi␈↓ ∧∨␈ε→0␈↓ ¬α␈ε⊗p␈↓ εH␈ε→0␈↓ λ
␈ε⊗p␈↓ λa␈ε¬2
␈βo␈↓ ↓H␈ε∩C1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α≠Set␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧2␈ε⊗ ␈εα␈α2␈ε⊗b␈↓ ¬&␈ελN␈↓ ¬G␈ε⊗c␈εα␈α	+␈α	1,␈↓ ε4␈ελy␈↓ ε[␈ε⊗ ␈εα␈α1,␈↓ π4␈ελr␈↓ πP␈ε⊗ ␈αb␈↓ λ1␈ελN␈↓ λS␈ε⊗c␈↓ λx␈ε⊗␈␈↓ 	%␈ελN␈↓ 	F␈εα.␈α≠(During␈α
this
␈β
∃␈↓ βC␈ε→0␈↓ βu␈ε→0␈↓ 	p␈ε¬2␈↓ 
H␈ε¬2
␈β
~␈↓ α␈εαalgorithm␈↓ β1␈ελx␈↓ βK␈εα,␈↓ βa␈ελy␈↓ β⎇␈εα,␈↓ ∧∪␈ελr␈↓ ∧/␈εαcorrespond␈α
respectiv␈α␈ely␈α
to␈α2␈↓ πj␈ελx␈↓ λ¬␈εα+␈α	1,␈α2␈↓ λl␈ελy␈↓ 		␈εα+␈αλ1,␈↓ 	↑␈ελx␈↓ 
π␈ε⊗␈␈↓ 
4␈ελy␈↓ 
↑␈ε⊗␈␈↓ ␈ελN
␈β
@␈↓ λt␈ε→0␈↓ 	a␈ε→0␈↓ 
3␈ε→0
␈β
E␈↓ α␈εαas␈αw␈α␈e␈αsearch␈αfor␈αa␈αsolution␈αto␈α(12);␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e␈ε⊗␈αj␈↓ λ∂␈ελr␈↓ λ∨␈ε⊗j␈εα␈α
<␈↓ λa␈ελx␈↓ 	π␈εαand␈↓ 	M␈ελy␈↓ 	r␈εα<␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
:␈εα.)
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε∩C2.␈↓ α␈εα[Test␈↓ αh␈ελr␈↓ αx␈εα.]␈α→If␈↓ βI␈ελr␈↓ βc␈ε⊗∀␈εα␈α
0,␈αgo␈αto␈αstep␈αC4.
␈β∞G␈↓ ¬π␈ε→0␈↓ ¬8␈ε→0␈↓ ε␈ε→0
␈β∞L␈↓ ↓H␈ε∩C3.␈↓ α␈εα[Step␈↓ αh␈ελy␈↓ α|␈εα.]␈α→Set␈↓ βg␈ελr␈↓ ∧↓␈ε⊗ ␈↓ ∧/␈ελr␈↓ ∧G␈ε⊗␈␈↓ ∧s␈ελy␈↓ ¬∞␈εα,␈↓ ¬$␈ελy␈↓ ¬J␈ε⊗ ␈↓ ¬x␈ελy␈↓ ε≠␈εα+␈αλ2,␈αand␈αreturn␈αto␈αC2.
␈β∂∂␈↓ ↓H␈ε∩C4.␈↓ α␈εα[Done?]␈α→If␈↓ β=␈ελr␈↓ βW␈εα=␈α
0,␈αthe␈αalgorithm␈αterminates;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∂P␈↓ ¬ ␈ε↓␈␈↓ εS␈ε↓↓␈↓ εa␈ε↓␈␈↓ λZ␈ε↓↓
␈β∂j␈↓ ¬M␈ε→0␈↓ ε≤␈ε→0␈↓ π∞␈ε→0␈↓ π]␈ε→0
␈β∂p␈↓ ∧F␈ελN␈↓ ∧r␈εα=␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελx␈↓ ¬\␈ε⊗␈␈↓ ελ␈ελy␈↓ ε#␈εα)/2␈↓ εo␈εα(␈↓ ε{␈ελx␈↓ π≥␈εα+␈↓ πI␈ελy␈↓ πl␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)/2␈↓ λh␈εα,
␈β⊂Q␈↓ 
	␈∧⊂Q
	α"
␈β⊂R␈↓ αq␈ε→0␈↓ β@␈ε→0␈↓ 	e␈ε⊗p
␈β⊂W␈↓ α␈εαand␈α(␈↓ α↑␈ελx␈↓ β␈ε⊗␈␈↓ β,␈ελy␈↓ βG␈εα)/2␈αis␈αthe␈αlargest␈αfactor␈αof␈↓ εk␈ελN␈↓ π→␈εαless␈αthan␈αor␈αequal␈αto␈↓ 
	␈ελN␈↓ 
+␈εα.
␈β⊃∃␈↓ ¬∧␈ε→0␈↓ ¬4␈ε→0␈↓ εε␈ε→0
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∩C5.␈↓ α␈εα[Step␈↓ αh␈ελx␈↓ α{␈εα.]␈α→Set␈↓ βf␈ελr␈↓ ∧␈ε⊗ ␈↓ ∧.␈ελr␈↓ ∧F␈εα+␈↓ ∧r␈ελx␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬F␈ε⊗ ␈↓ ¬t␈ελx␈↓ ε⊗␈εα+␈αλ2,␈αand␈αreturn␈αto␈αC3.
␈β⊃∨␈↓ 	)␈∧⊃∨	)≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα367
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈α
reader␈α	may␈α
|nd␈α	it␈α
am␈α␈using␈α	to␈α
|nd␈α	the␈α
factors␈α	of␈α
377␈α	by␈α
hand,␈α
using␈α	this
␈βαS␈↓ ↓H␈εαalgorithm.␈α∂The␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
steps␈α
needed␈α
to␈α
|nd␈α
the␈α
factors␈↓ λr␈ελu␈↓ 	∃␈εαand␈↓ 	\␈ελv␈↓ 	|␈εαof␈↓ 
'␈ελN␈↓ 
T␈εα=␈↓ ∧␈ελu␈↓ ~␈ελv
␈βαx␈↓ πZ␈∧αxπZα"␈↓ 	9␈∧αx	9α"
␈βαy␈↓ ¬.␈ε→0␈↓ ¬{␈ε→0␈↓ π6␈ε⊗p␈↓ 	∃␈ε⊗p
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈αessen␈α␈tially␈αproportional␈αto␈α(␈↓ ¬≠␈ελx␈↓ ¬<␈εα+␈↓ ¬g␈ελy␈↓ ε
␈ε⊗␈␈εα␈απ2)/2␈ε⊗␈αε␈␈απb␈↓ πZ␈ελN␈↓ π|␈ε⊗c␈εα␈α
=␈↓ λB␈ελv␈↓ λ\␈ε⊗␈␈απb␈↓ 	9␈ελN␈↓ 	Z␈ε⊗c␈εα;␈αthis␈αcan,␈αof
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαcourse,␈αbe␈αa␈αv␈α␈ery␈αlarge␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αalthough␈αeach␈αstep␈αcan␈αbe␈αdone␈αv␈α␈ery␈αrapidly␈αon
␈ββP␈↓ λ]␈ε¬1/␈α↓3
␈ββU␈↓ ↓H␈εαmost␈αcomputers.␈α∂An␈αimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α
that␈α
requires␈α
only␈↓ λ∃␈ελO␈↓ λ/␈εα(␈↓ λ;␈ελN␈↓ 	λ␈εα)␈α
operations␈α
in␈αthe
␈β∧␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orst␈απcase␈απhas␈απbeen␈απdev␈α␈eloped␈απby␈απR.␈απS.␈απLehman␈απ[␈ε∂Math.␈αεComp.␈ε∩␈απ28␈εα␈απ(1974),␈↓ 
~␈εα637↑646␈↓ _␈εα].
␈β∧+␈↓ α␈εαIt␈αis␈α
not␈αquite␈α
correct␈αto␈α
call␈αAlgorithm␈α
C␈α\Fermat's␈α
method,"␈αsince␈α
Fermat
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαused␈αa␈αsomewhat␈α
more␈αstreamlined␈αapproach.␈α∞Algorithm␈αC's␈αmain␈α
loop␈αis␈αquite
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαfast␈απon␈απcomputers,␈αλbut␈απit␈απis␈απnot␈απv␈α␈ery␈απsuitable␈απfor␈απhand␈απcalculation.␈α
Fermat␈απactually
␈β¬(␈↓ λ9␈ε¬2
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαdid␈αnot␈αk␈α␈eep␈αthe␈α
running␈αvalue␈αof␈↓ ¬h␈ελy␈↓ ¬|␈εα;␈α
he␈αw␈α␈ould␈αlook␈αat␈↓ λ'␈ελx␈↓ λP␈ε⊗␈␈↓ λ|␈ελN␈↓ 	*␈εαand␈αtell␈αwhether
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαor␈α
not␈α
this␈α
quan␈α␈tity␈α
was␈αa␈α
perfect␈α
square␈α
by␈α
looking␈αat␈α
its␈α
least␈α
signi|can␈α␈t␈α
digits.
␈βεβ␈↓ ↓H␈εα(The␈αlast␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
digits␈αof␈α
a␈αperfect␈α
square␈α
m␈α␈ust␈αbe␈α
00,␈↓ λα␈ελa␈↓ λ∀␈εα1,␈↓ λ<␈ελa␈↓ λN␈εα4,␈α
25,␈↓ 	2␈ελb␈↓ 	@␈εα6,␈α
or␈↓ 
⊗␈ελa␈↓ 
(␈εα9,␈αwhere
␈βε.␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓f␈εαis␈αan␈αev␈α␈en␈αdigit␈αand␈↓ ∧)␈ελb␈↓ ∧C␈εαis␈αan␈αodd␈αdigit.)␈αTherefore␈αhe␈αav␈α␈oided␈αthe␈αoperations␈αof
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαsteps␈αC2␈αand␈αC3,␈αreplacing␈αthem␈αby␈αan␈αoccasional␈αdetermination␈αthat␈αa␈αcertain
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αis␈αnot␈αa␈αperfect␈αsquare.
␈βπ0␈↓ α␈εαFermat's␈αλmethod␈α	of␈αλlooking␈αλat␈α	the␈αλrigh␈α␈tmost␈αλdigits␈α	can,␈α	of␈αλcourse,␈α	be␈αλgeneral-
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαized␈α
by␈α
using␈α
other␈α∞moduli.␈α⊂Suppose␈α
for␈α
clarity␈α
that␈↓ λ⊗␈ελN␈↓ λC␈εα=␈α
11111,␈α
and␈α
consider
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable:
␈βλS␈↓ ε"␈εε2␈↓ 	.␈εε2
␈βλX␈↓ ↓L␈ε	m␈↓ α)␈εβif␈↓ αI␈ε	x␈↓ α`␈εβm␈α␈od␈↓ β$␈ε	m␈↓ βL␈εβi␈α↓s␈↓ ¬E␈εβthe␈α␈n␈↓ ε⊃␈ε	x␈↓ ε5␈εβm␈α␈od␈↓ εy␈ε	m␈↓ π!␈εβi␈α↓s␈↓ λQ␈εβa␈α␈nd␈α
(␈↓ 	≤␈ε	x␈↓ 	B␈ε↔␈␈↓ 	k␈ε	N␈↓ 
	␈εβ)␈↓ 
~␈εβmo␈α␈d␈↓ 
←␈ε	m␈↓ π␈εβis
␈β	
␈↓ ↓X␈εβ3␈↓ α)␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2␈↓ ¬E␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε1␈↓ λQ␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈αε2
␈β	2␈↓ ↓X␈εβ5␈↓ α)␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4␈↓ ¬E␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε4␈α␈,␈αε1␈↓ λQ␈εβ4␈α␈,␈αε0,␈αε3␈α␈,␈αε3,␈α¬0
␈β	Y␈↓ ↓X␈εβ7␈↓ α)␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6␈↓ ¬E␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε1␈↓ λQ␈εβ5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε2,␈α¬6
␈β
↓␈↓ ↓X␈εβ8␈↓ α)␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6,␈α¬7␈↓ ¬E␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈α¬1,␈αε4,␈α¬1␈↓ λQ␈εβ1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬1,␈αε2,␈α¬5,␈αε2
␈β
(␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈1␈↓ α)␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε4,␈α¬5,␈αε6,␈α¬7,␈αε8␈α␈,␈αε9,␈αε1␈α␈0␈↓ ¬E␈εβ0,␈αε1␈α␈,␈αε4,␈αε9␈α␈,␈αε5,␈α¬3,␈αε3,␈α¬5,␈αε9␈α␈,␈αε4,␈αε1␈↓ λQ␈εβ1␈α␈0,␈αε0␈α␈,␈αε3,␈αε8␈α␈,␈αε4,␈αε2␈α␈,␈αε2,␈α¬4,␈αε8,␈α¬3,␈αε0
␈β
u␈↓ ↓}␈ε¬2␈↓ ελ␈ε¬2
␈β
z␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α∃␈ε⊗␈␈↓ αA␈ελN␈↓ αn␈εαis␈αto␈αbe␈αa␈αperfect␈αsquare␈↓ ¬t␈ελy␈↓ ε⊗␈εα,␈αit␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αa␈αresidue␈αmod␈↓ 	f␈ελm␈↓ 
⊃␈εαconsisten␈α␈t
␈β%␈↓ ↓H␈εαwith␈α∞this␈α∂fact,␈α⊂for␈α∂all␈↓ ∧+␈ελm␈↓ ∧J␈εα.␈α∃For␈α∂example,␈α∂if␈↓ εp␈ελN␈↓ π ␈εα=␈α∂11111␈α∂and␈↓ 	¬␈ελx␈↓ 	≥␈εαmod␈↓ 	g␈εα3␈ε⊗␈α∂≤␈εα␈α∂0,␈α∂then
␈βK␈↓ ↓f␈ε¬2␈↓ ∧V␈ε¬2
␈βP␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓|␈ε⊗␈␈↓ α(␈ελN␈↓ αJ␈εα)␈↓ α\␈εαmod␈↓ β&␈εα3␈α
=␈α
2,␈αso␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧l␈ε⊗␈␈↓ ¬_␈ελN␈↓ ¬E␈εαcannot␈αbe␈αa␈αperfect␈αsquare;␈αtherefore␈↓ 
⊃␈ελx␈↓ 
0␈εαm␈α␈ust␈αbe
␈βv␈↓ ¬}␈ε¬2␈↓ εU␈ε¬2
␈β|␈↓ ↓H␈εαa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈α3␈αwhenev␈α␈er␈α11111␈α
=␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ε∃␈ε⊗␈␈↓ εA␈ελy␈↓ εc␈εα.␈αThe␈αtable␈αtells␈αus,␈αin␈αfact,␈αthat
␈βI␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧≥␈εαmod␈↓ ∧g␈εα3␈α≤=␈↓ ¬C␈εα0;
␈βt␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧≥␈εαmod␈↓ ∧g␈εα5␈α≤=␈↓ ¬C␈εα0,␈α1,␈αor␈α4;
␈β
∨␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧≥␈εαmod␈↓ ∧g␈εα7␈α≤=␈↓ ¬C␈εα2,␈α3,␈α4,␈αor␈α5;␈↓ 
p␈εα(13)
␈β
J␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧≥␈εαmod␈↓ ∧g␈εα8␈α≤=␈↓ ¬C␈εα0␈αor␈α4␈α(hence␈↓ π≠␈ελx␈↓ π4␈εαmod␈↓ π}␈εα4␈α
=␈α
0);
␈β
u␈↓ ∧∧␈ελx␈↓ ∧≥␈εαmod␈↓ ∧g␈εα11␈α
=␈↓ ¬C␈εα1,␈α2,␈α4,␈α7,␈α9,␈αor␈α10.
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαThis␈α∂narro␈α␈ws␈α⊂do␈α␈wn␈α⊂the␈α⊂search␈α⊂for␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε≥␈εαconsiderably.␈α_For␈α∂example,␈↓ 	g␈ελx␈↓ 

␈εαm␈α␈ust␈α⊂be␈α∂a
␈β∞g␈↓ ε⊗␈∧∞gε⊗α"
␈β∞h␈↓ ¬r␈ε⊗p
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈α	of␈α
12.␈αWe␈α	m␈α␈ust␈α
hav␈α␈e␈↓ ¬→␈ελx␈↓ ¬6␈ε⊗∃␈α
d␈↓ ε⊗␈ελN␈↓ ε=␈ε⊗e␈εα␈α
=␈α
106,␈α
and␈α
it␈α	is␈α
easy␈α	to␈α
v␈α␈erify␈α	that␈α	the
␈β∂→␈↓ ↓H␈εα|rst␈αvalue␈αof␈↓ β~␈ελx␈↓ β7␈ε⊗∃␈εα␈α
106␈αthat␈αsatis|es␈αall␈αof␈αthe␈αconditions␈αin␈α(13)␈αis␈↓ 	O␈ελx␈↓ 	l␈εα=␈α
144.␈αNo␈α␈w
␈β∂?␈↓ ↓}␈ε¬2
␈β∂D␈↓ ↓H␈εα144␈↓ α⊃␈ε⊗␈␈εα␈αε11111␈α
=␈α
9625,␈α
and␈αby␈α
attempting␈α
to␈α
tak␈α␈e␈α
the␈α
square␈α
root␈α
of␈α
9625␈α
w␈α␈e␈α
|nd
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαthat␈αit␈αis␈αnot␈αa␈αsquare.␈α
The␈α|rst␈αvalue␈αof␈↓ εU␈ελx␈↓ εr␈εα>␈α144␈αthat␈αsatis|es␈α(13)␈αis␈↓ 
!␈ελx␈↓ 
>␈εα=␈α
156.
␈β⊂∃␈↓ β4␈ε¬2␈↓ εI␈ε¬2
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαIn␈α	this␈α	case␈α
15␈↓ β"␈εα6␈↓ βG␈ε⊗␈␈εα␈α∧11111␈α
=␈α
13225␈α
=␈α
11␈↓ ε7␈εα5␈↓ εX␈εα;␈α
so␈α	w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α	found␈α
the␈α	desired␈α	solution
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓d␈εα=␈α
156,␈↓ α↑␈ελy␈↓ α⎇␈εα=␈α
115.␈αThis␈αcalculation␈αsho␈α␈ws␈αthat␈α11111␈α
=␈α
41␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ271.
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈αhand␈αcalculations␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α
in␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αexample␈αare␈αcomparable␈αto␈α
the
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαamoun␈α␈t␈α
of␈α
w␈α␈ork␈α
required␈α∞to␈α
divide␈α
11111␈α∞by␈α
13,␈α∞17,␈α
19,␈α∞23,␈α
29,␈α∞31,␈α∞37,␈α
and␈α
41,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα368␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈α
though␈αthe␈α
factors␈α41␈α
and␈α271␈α
are␈αnot␈α
v␈α␈ery␈αclose␈α
to␈αeach␈α
other;␈αth␈α␈us␈αw␈α␈e␈α
can
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsee␈αthe␈αadvan␈α␈tages␈αof␈αFermat's␈αmethod.
␈ββ␈↓ α␈εαIn␈αplace␈αof␈αthe␈αmoduli␈αconsidered␈αin␈α(13),␈αw␈α␈e␈αcan␈αuse␈αan␈α␈y␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈αof␈αdistinct
␈ββ+␈↓ ↓H␈εαprimes.␈αFor␈α
example,␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
had␈α
used␈α	25␈α
in␈α
place␈α
of␈α
5,␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
|nd␈α
that␈α
the␈α	only
␈ββV␈↓ ↓H␈εαpermissible␈α∞values␈α∞of␈↓ ∧ ␈ελx␈↓ ∧8␈εαmod␈↓ ¬α␈εα25␈α∞are␈α∞0,␈α∂5,␈α∞6,␈α∂10,␈α∞15,␈α∂19,␈α∞and␈α∞20.␈α∩This␈α∞giv␈α␈es␈α∞more
␈ββ|␈↓ 
J␈ε¬2
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαinformation␈αthan␈α(13).␈αIn␈αgeneral,␈αw␈α␈e␈αwill␈αget␈αmore␈αinformation␈α
modulo␈↓ 
8␈ελp␈↓ 
d␈εαthan
␈β∧'␈↓ εL␈ε¬2
␈β∧,␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α	do␈α
modulo␈↓ β'␈ελp␈↓ β9␈εα,␈α
for␈α
odd␈α	primes␈↓ ¬8␈ελp␈↓ ¬J␈εα,␈α
when␈↓ ε9␈ελx␈↓ ε←␈ε⊗␈␈↓ πλ␈ελN␈↓ π3␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ 		␈ελp␈↓ 	≤␈εα)␈α	has␈α
a␈α	solution␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα.
␈β∧Y␈↓ α␈εαThe␈α⊃modular␈α⊃method␈α⊂just␈α⊃used␈α⊃is␈α⊃called␈α⊂a␈ε∂␈α⊃siev␈α␈e␈α⊃procedure␈εα,␈α∩since␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαimagine␈αpassing␈α
all␈αin␈α␈tegers␈α
through␈αa␈α
\siev␈α␈e"␈α
for␈αwhich␈α
only␈αthose␈α
values␈αwith
␈β¬/␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓`␈εαmod␈↓ α*␈εα3␈α∂=␈α∞0␈α∂come␈α∞out,␈α∂then␈α∂sifting␈α∂these␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂through␈α∞another␈α∂siev␈α␈e␈α∞that
␈β¬Z␈↓ ↓H␈εαallo␈α␈ws␈αonly␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
with␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧␈␈εαmod␈↓ ¬I␈εα5␈α=␈α
0,␈α
1,␈αor␈α
4␈αto␈α
pass,␈αetc.␈α
Each␈α
siev␈α␈e␈αby␈αitself
␈βεε␈↓ ↓H␈εαwill␈α	remo␈α␈v␈α␈e␈αλabout␈α	half␈α	of␈α	the␈α	remaining␈α	values␈α	(see␈α	ex␈α␈ercise␈α	6);␈α
and␈α	when␈α	w␈α␈e␈αλsiev␈α␈e
␈βε1␈↓ ↓H␈εαwith␈αλrespect␈αλto␈αλmoduli␈αλthat␈αλare␈αλrelativ␈α␈ely␈αλprime␈αλin␈αλpairs,␈α	each␈αλsiev␈α␈e␈αλis␈αλindependen␈α␈t
␈βε\␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αothers␈αbecause␈αof␈αthe␈αChinese␈αRemainder␈αTheorem␈α(Theorem␈α4.3.2C␈↓ 
e␈εα).␈αSo
␈βππ␈↓ ↓H␈εαif␈α	w␈α␈e␈α	siev␈α␈e␈α	with␈α	respect␈α	to,␈α
say,␈α
30␈α	di{eren␈α␈t␈α	primes,␈α
only␈α	about␈α	one␈α	value␈α	in␈α	ev␈α␈ery
␈βπ-␈↓ ↓Z␈ε¬30␈↓ ε3␈ε¬2␈↓ 	a␈ε¬2
␈βπ2␈↓ ↓H␈εα2␈↓ αα␈εαwill␈αneed␈αto␈αbe␈αexamined␈αto␈αsee␈αif␈↓ ε ␈ελx␈↓ εJ␈ε⊗␈␈↓ εv␈ελN␈↓ π#␈εαis␈αa␈αperfect␈αsquare␈↓ 	M␈ελy␈↓ 	p␈εα.
␈βπ|␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
D␈εα␈α
(␈ε∂Factoring␈α
with␈α
siev␈α␈es␈↓ ¬|␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≠Giv␈α␈en␈α
an␈α
odd␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	∀␈ελN␈↓ 	6␈εα,␈α
this␈α
algorithm
␈βλ!␈↓ λI␈∧λ!λIα"
␈βλ"␈↓ λ%␈ε⊗p
␈βλ'␈↓ ↓H␈εαdetermines␈α
the␈α
largest␈α
factor␈α
of␈↓ ¬8␈ελN␈↓ ¬c␈εαless␈α
than␈α
or␈α
equal␈α
to␈↓ λI␈ελN␈↓ λk␈εα.␈αThe␈α
procedure␈α
uses
␈βλR␈↓ ↓H␈εαmoduli␈↓ αB␈ελm␈↓ αo␈εα,␈↓ βπ␈ελm␈↓ β4␈εα,␈↓ βM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β⎇␈εα,␈↓ ∧∃␈ελm␈↓ ∧A␈εα,␈α∞which␈α∞are␈α∞relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α∞to␈α∞each␈α∞other␈α∞in␈α∞pairs␈α∞and
␈βλ←␈↓ α`␈ε¬1␈↓ β&␈ε¬2␈↓ ∧4␈εr
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈αprime␈α
to␈↓ β{␈ελN␈↓ ∧≥␈εα.␈α∞We␈α
assume␈α
that␈↓ εA␈ελr␈↓ ε↑␈εα\siev␈α␈e␈α
tables"␈↓ λC␈ελS␈↓ λY␈εα[␈↓ λc␈ελi␈↓ λq␈εα,␈↓ 	↓␈ελj␈↓ 	⊃␈εα]␈α
for␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
-␈ελj␈↓ 
I␈εα<␈↓ 
x␈ελm␈↓ "␈εα,
␈β	␈↓ ↔␈εi
␈β	(␈↓ ↓H␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελi␈↓ α*␈ε⊗∀␈↓ αX␈ελr␈↓ αg␈εα,␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αprepared,␈αwhere
␈β	|␈↓ β]␈ε↓~
␈β	}␈↓ ¬	␈ε¬2␈↓ ε9␈ε¬2
␈β
β␈↓ βs␈εα1,␈↓ ∧W␈εαif␈↓ ∧y␈ελj␈↓ ¬ ␈ε⊗␈␈↓ ¬L␈ελN␈↓ ¬w␈ε⊗⊃␈↓ ε%␈ελy␈↓ εR␈εα(modulo␈↓ π↑␈ελm␈↓ λλ␈εα)␈αhas␈αa␈αsolution␈↓ 
ε␈ελy␈↓ 
~␈εα;
␈β
⊃␈↓ π|␈εi
␈β
⊗␈↓ αL␈ελS␈↓ αc␈εα[␈↓ αm␈ελi␈↓ αz␈εα,␈↓ β
␈ελj␈↓ β≠␈εα]␈α
=
␈β
.␈↓ βs␈εα0,␈↓ ∧W␈εαotherwise.
␈β⊗␈↓ ¬≡␈∧⊗¬≡α"
␈β↔␈↓ ∧z␈ε⊗p
␈β≤␈↓ ↓H␈ε∩D1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α Set␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗ ␈α⊃d␈↓ ¬≡␈ελN␈↓ ¬E␈ε⊗e␈εα,␈α⊃and␈α⊂set␈↓ εt␈ελk␈↓ π ␈ε⊗ ␈εα␈α⊂(␈ε⊗␈␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ↔␈εα)␈↓ λ)␈εαmod␈↓ λs␈ελm␈↓ 	-␈εαfor␈α⊂1␈ε⊗␈α⊂∀␈↓ 
@␈ελi␈↓ 
↑␈ε⊗∀␈↓ ∪␈ελr␈↓ "␈εα.
␈β)␈↓ π∧␈εi␈↓ 	∩␈εi
␈βG␈↓ α␈εα(Throughout␈α
this␈αalgorithm␈α
the␈αindex␈α
variables␈↓ λ¬␈ελk␈↓ λ#␈εα,␈↓ λ:␈ελk␈↓ λX␈εα,␈↓ λo␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∨␈εα,␈↓ 	5␈ελk␈↓ 	←␈εαwill␈αbe␈α
set␈αso
␈βU␈↓ λ∃␈ε¬1␈↓ λJ␈ε¬2␈↓ 	E␈εr
␈βr␈↓ α␈εαthat␈α(␈ε⊗␈␈↓ β
␈ελx␈↓ β≥␈εα)␈↓ β/␈εαmod␈↓ βy␈ελm␈↓ ∧-␈εα=␈↓ ∧[␈ελk␈↓ ∧v␈εα.)
␈β␈↓ ∧↔␈εi␈↓ ∧k␈εi
␈β-␈↓ ↓H␈ε∩D2.␈↓ α␈εα[Siev␈α␈e.]␈α→If␈↓ β8␈ελS␈↓ βN␈εα[␈↓ βX␈ελi␈↓ βf␈εα,␈↓ βv␈ελk␈↓ ∧∩␈εα]␈α
=␈α
1␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬t␈ελi␈↓ ε␈ε⊗∀␈↓ ε:␈ελr␈↓ εI␈εα,␈αgo␈αto␈αstep␈αD4.
␈β;␈↓ ∧ε␈εi
␈βh␈↓ ↓H␈ε∩D3.␈↓ α␈εα[Step␈↓ αf␈ελx␈↓ αy␈εα.]␈α∀Set␈↓ β\␈ελx␈↓ βy␈ε⊗ ␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧?␈εα+␈α¬1,␈α
and␈α
set␈↓ ελ␈ελk␈↓ ε-␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ εg␈ελk␈↓ πλ␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈↓ πU␈εαmod␈↓ λ∨␈ελm␈↓ λS␈εαfor␈α	1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	R␈ελi␈↓ 	j␈ε⊗∀␈↓ 
_␈ελr␈↓ 
(␈εα.␈αReturn
␈βu␈↓ ε_␈εi␈↓ εw␈εi␈↓ λ=␈εi
␈β
∪␈↓ α␈εαto␈αstep␈αD2.
␈β
F␈↓ ¬Z␈∧
F¬Zαw␈↓ π{␈∧
Fπ{αw
␈β
G␈↓ ¬6␈ε⊗p␈↓ πW␈ε⊗p
␈β
I␈↓ α⎇␈ε¬2␈↓ 	\␈ε¬2␈↓ 
<␈ε¬2
␈β
L␈↓ ¬l␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬2
␈β
N␈↓ ↓H␈ε∩D4.␈↓ α␈εα[Test␈↓ αj␈ελx␈↓ β∃␈ε⊗␈␈↓ βB␈ελN␈↓ βd␈εα.]␈α≥Set␈↓ ∧U␈ελy␈↓ ∧v␈ε⊗ ␈α∞b␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ εβ␈ε⊗␈␈↓ ε/␈ελN␈↓ εP␈ε⊗c␈εα␈α∞or␈α∞to␈ε⊗␈α∂d␈↓ π{␈ελx␈↓ λ$␈ε⊗␈␈↓ λP␈ελN␈↓ λw␈ε⊗e␈εα.␈α∩If␈↓ 	H␈ελy␈↓ 	w␈εα=␈↓ 
)␈ελx␈↓ 
S␈ε⊗␈␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β
y␈↓ α␈εαthen␈α(␈↓ αj␈ελx␈↓ β¬␈ε⊗␈␈↓ β1␈ελy␈↓ βE␈εα)␈αis␈αthe␈αdesired␈αfactor,␈αand␈αthe␈αalgorithm␈αterminates.␈αOtherwise
␈β∞$␈↓ α␈εαreturn␈αto␈αstep␈αD3.
␈β∞)␈↓ ∧R␈∧∞)∧R≠∂
␈β∞n␈↓ α␈εαThere␈α∞are␈α∞sev␈α␈eral␈α∞ways␈α∞to␈α∞mak␈α␈e␈α∞this␈α∞procedure␈α∂run␈α∞fast.␈α∩For␈α∞example,␈α∞w␈α␈e
␈β∂∀␈↓ ≠␈ε→0
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αλseen␈αλthat␈α	if␈↓ βL␈ελN␈↓ βt␈εαmod␈↓ ∧>␈εα3␈α
=␈α
2,␈α	then␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε⊗␈εαm␈α␈ust␈α	be␈αλa␈αλm␈α␈ultiple␈α	of␈αλ3;␈α
w␈α␈e␈αλcan␈αλset␈↓ 
,␈ελx␈↓ 
H␈εα=␈α
3␈↓ λ␈ελx␈↓ "␈εα,
␈β∂?␈↓ π↓␈ε→0
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαand␈α
use␈α∞a␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞siev␈α␈e␈α
corresponding␈α∞to␈↓ εn␈ελx␈↓ πλ␈εα,␈α∞increasing␈α∞the␈α
speed␈α∞threefold.␈α⊃If
␈β∂o␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓o␈εαmod␈↓ α9␈εα9␈α
=␈α
1,␈α4,␈αor␈α7,␈αthen␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬∃␈εαm␈α␈ust␈αbe␈αcongruen␈α␈t␈αrespectiv␈α␈ely␈αto␈ε⊗␈αε␈εα1,␈ε⊗␈αε␈εα2,␈αor␈ε⊗␈αε␈εα4
␈β⊂∃␈↓ εt␈ε→0␈↓ λ]␈ε→0␈α↓0␈↓ 
↑␈ε→0
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εα(modulo␈α9);␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
run␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αsiev␈α␈es␈α
(one␈α
for␈↓ εa␈ελx␈↓ πλ␈εαand␈α
one␈α
for␈↓ λK␈ελx␈↓ λl␈εα,␈α
where␈↓ 	l␈ελx␈↓ 

␈εα=␈α9␈↓ 
K␈ελx␈↓ 
n␈εα+␈↓ ≠␈ελa
␈β⊂A␈↓ α⎇␈ε→00
␈β⊂B␈↓ λ7␈ε¬1
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελx␈↓ α*␈εα=␈α
9␈↓ αj␈ελx␈↓ β∪␈ε⊗␈␈↓ β?␈ελa␈↓ βQ␈εα)␈αto␈αincrease␈αthe␈αspeed␈αby␈αa␈αfactor␈αof␈α4␈↓ λI␈εα.␈αIf␈↓ 	β␈ελN␈↓ 	+␈εαmod␈↓ 	u␈εα4␈α
=␈α
3,␈αthen
␈β⊂V␈↓ λ7␈∧⊂Vλ7α∂
␈β⊂X␈↓ λ7␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓`␈εαmod␈↓ α*␈εα4␈αis␈α
kno␈α␈wn␈αand␈αthe␈αspeed␈αis␈αincreased␈αby␈αan␈αadditional␈αfactor␈αof␈α4;␈αin␈αthe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαother␈α∞case,␈α⊂when␈↓ βc␈ελN␈↓ ∧
␈εαmod␈↓ ∧T␈εα4␈α∂=␈α∂1,␈↓ ¬S␈ελx␈↓ ¬u␈εαm␈α␈ust␈α∂be␈α∂odd␈α∞so␈α∂the␈α∂speed␈α∂may␈α∂be␈α∞doubled.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα369
␈βα&␈↓ ↓H␈εαAnother␈α∂way␈α∂to␈α⊂double␈α∂the␈α∂speed␈α∂of␈α⊂the␈α∂algorithm␈α∂(at␈α⊂the␈α∂expense␈α∂of␈α∂storage
␈βαN␈↓ ␈ε¬1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαspace)␈απis␈απto␈αλcom␈α␈bine␈απpairs␈απof␈αλmoduli,␈αλusing␈↓ εN␈ελm␈↓ π*␈ελm␈↓ π←␈εαin␈απplace␈απof␈↓ 	↓␈ελm␈↓ 	5␈εαfor␈απ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
2␈ελk␈↓ 
N␈εα<␈↓ ∪␈ελr␈↓ "␈εα.
␈βα←␈↓ εm␈εr␈↓ εz␈ε→␈␈↓ π↔␈εk␈↓ πI␈εk␈↓ 	∨␈εk
␈βαb␈↓ ␈∧αbα∂
␈βαd␈↓ ␈ε¬2
␈βα}␈↓ α␈εαAn␈α
ev␈α␈en␈α
more␈αimportan␈α␈t␈α
method␈α
of␈α
speeding␈α
up␈αAlgorithm␈α
D␈α
is␈α
to␈α
use␈αthe
␈ββ)␈↓ ↓H␈εα\Boolean␈α
operations"␈α
found␈α∞on␈α
most␈α∞binary␈α
computers.␈α⊂Let␈α∞us␈α
assume,␈α∞for␈α
ex-
␈ββU␈↓ ↓H␈εαample,␈αthat␈ε∃␈α
M␈α␈IX␈εα␈αis␈αa␈α
binary␈αcomputer␈α
with␈α30␈αbits␈α
per␈αw␈α␈ord.␈α
The␈α
tables␈↓ 
I␈ελS␈↓ 
←␈εα[␈↓ 
i␈ελi␈↓ 
w␈εα,␈↓ π␈ελk␈↓ "␈εα]
␈ββb␈↓ ↔␈εi
␈β∧␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αk␈α␈ept␈αin␈αmemory␈αwith␈αone␈αbit␈αper␈αen␈α␈try;␈αth␈α␈us␈α30␈αvalues␈αcan␈αbe␈αstored␈αin␈αa
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαsingle␈α
w␈α␈ord.␈α∂The␈α∞operation␈↓ ¬␈ε∃A␈α␈ND␈↓ ¬>␈εα,␈α
which␈α∞replaces␈α
the␈↓ λπ␈ελk␈↓ λ→␈εαth␈α
bit␈α
of␈α
the␈α
accum␈α␈ulator
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαby␈αzero␈αif␈αthe␈↓ β$␈ελk␈↓ β5␈εαth␈αbit␈αof␈αa␈αspeci|ed␈αw␈α␈ord␈αin␈αmemory␈αis␈αzero,␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	s␈ελk␈↓ 
∂␈ε⊗∀␈εα␈α
30,␈αcan
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαbe␈αused␈αto␈αprocess␈α30␈αvalues␈αof␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬S␈εαat␈αonce!␈αFor␈αcon␈α␈v␈α␈enience,␈αw␈α␈e␈αcan␈αmak␈α␈e␈αsev␈α␈eral
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαcopies␈α	of␈α	the␈α
tables␈↓ βw␈ελS␈↓ ∧
␈εα[␈↓ ∧↔␈ελi␈↓ ∧%␈εα,␈↓ ∧5␈ελj␈↓ ∧E␈εα]␈α
so␈α	that␈α	the␈α
table␈α	en␈α␈tries␈α	for␈↓ λ¬␈ελm␈↓ λ9␈εαin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈↓ 	1␈εαlcm␈↓ 	i␈εα(␈↓ 	u␈ελm␈↓ 
∨␈εα,␈αε30)␈α	bits;
␈β¬:␈↓ λ$␈εi␈↓ 
∀␈εi
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαthen␈α
the␈α∞siev␈α␈e␈α
tables␈α
for␈α∞each␈α
modulus␈α∞|ll␈α
an␈α∞in␈α␈tegral␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
w␈α␈ords.␈α⊂Under
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαthese␈α
assumptions,␈α
30␈α
ex␈α␈ecutions␈α
of␈α
the␈α
main␈α
loop␈α
in␈α
Algorithm␈α
D␈α
are␈α
equivalen␈α␈t
␈βε.␈↓ ↓H␈εαto␈αcode␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αform:
␈βεt␈↓ π␈ε~0
␈βεu␈↓ β ␈ε∃D␈α␈2␈↓ βr␈ε∃LD1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈1
␈βεx␈↓ ε≡␈εβrI␈↓ ε6␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε{␈ε	k␈↓ π_␈εβ.
␈βππ␈↓ π␈εε1
␈βπ≠␈↓ π␈ε~0
␈βπ≥␈↓ βr␈ε∃LDA␈↓ ∧o␈ε∃S␈α␈1,1
␈βπ ␈↓ ε≡␈εβrA␈↓ εL␈ε↔ ␈↓ εw␈ε	S␈↓ π∩␈εβ[1,␈↓ π:␈ε	r␈↓ πI␈ε	I␈↓ πX␈εβ1␈α␈]␈α↓.
␈βπD␈↓ βr␈ε∃DEC1␈↓ ∧o␈ε∃1
␈βπG␈↓ ε≡␈εβrI␈↓ ε6␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε{␈εβrI␈↓ π∪␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1.
␈βπl␈↓ βr␈ε∃J1NN␈↓ ∧o␈ε∃*␈α␈+2
␈βλ∪␈↓ βr␈ε∃INC1␈↓ ∧o␈ε∃M␈α␈1
␈βλ⊗␈↓ ε≡␈εβIf␈↓ ε?␈εβrI␈↓ εW␈εβ1␈α	<␈α
0,␈αset␈↓ πu␈εβrI␈↓ λ
␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ λQ␈εβrI␈↓ λi␈εβ1␈απ+␈↓ 	*␈εβlcm␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 	i␈ε	m␈↓ 
∩␈εβ,␈αε3␈α␈0).
␈βλ!␈↓ 
¬␈εε1
␈βλ:␈↓ ε.␈ε~0
␈βλ;␈↓ βr␈ε∃ST1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈1
␈βλ>␈↓ ε≡␈ε	k␈↓ εD␈ε↔ ␈↓ εo␈εβrI␈↓ ππ␈εβ1.
␈βλM␈↓ ε.␈εε1
␈βλa␈↓ π␈ε~0
␈βλc␈↓ βr␈ε∃LD1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈2
␈βλf␈↓ ε≡␈εβrI␈↓ ε6␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε{␈ε	k␈↓ π_␈εβ.
␈βλu␈↓ π␈εε2
␈β		␈↓ πW␈ε~0
␈β	
␈↓ βr␈ε∃AND␈↓ ∧o␈ε∃S␈α␈2,1
␈β	
␈↓ ε≡␈εβrA␈↓ εL␈ε↔ ␈↓ εw␈εβrA␈↓ π#␈ε↔↑␈↓ πC␈ε	S␈↓ π↑␈εβ[2␈α␈,␈↓ λε␈εβrI␈↓ λ≡␈εβ1].
␈β	2␈↓ βr␈ε∃DEC1␈↓ ∧o␈ε∃1
␈β	5␈↓ ε≡␈εβrI␈↓ ε6␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε{␈εβrI␈↓ π∪␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1.
␈β	Y␈↓ βr␈ε∃J1NN␈↓ ∧o␈ε∃*␈α␈+2
␈β
↓␈↓ βr␈ε∃INC1␈↓ ∧o␈ε∃M␈α␈2
␈β
∧␈↓ ε≡␈εβif␈↓ ε>␈εβrI␈↓ εV␈εβ1␈α	<␈α	0,␈αset␈↓ πs␈εβrI␈↓ λ␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ λO␈εβrI␈↓ λg␈εβ1␈απ+␈↓ 	(␈εβlcm␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	m␈↓ 
⊂␈εβ,␈αε30␈α␈).
␈β
∂␈↓ 
β␈εε2
␈β
'␈↓ ε.␈ε~0
␈β
)␈↓ βr␈ε∃ST1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈2
␈β
,␈↓ ε≡␈ε	k␈↓ εD␈ε↔ ␈↓ εo␈εβrI␈↓ ππ␈εβ1.
␈β
;␈↓ ε.␈εε2
␈β
O␈↓ π␈ε~0
␈β
P␈↓ βr␈ε∃LD1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈3
␈β
S␈↓ ε≡␈εβrI␈↓ ε6␈εβ1␈ε↔␈α	 ␈↓ ε{␈ε	k␈↓ π_␈εβ.
␈β
b␈↓ π␈εε3
␈β
{␈↓ βr␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε≡␈εβ(␈↓ ε)␈ε	m␈↓ ε]␈εβthro␈α␈ugh␈↓ π[␈ε	m␈↓ λ∂␈εβa␈α␈re␈αl␈α↓ik␈α}e␈↓ 	∧␈ε	m␈↓ 	-␈εβ)
␈β¬␈↓ εF␈εε3␈↓ πw␈εr␈↓ 	!␈εε2
␈β≡␈↓ ε.␈ε~0
␈β∨␈↓ βr␈ε∃ST1␈↓ ∧o␈ε∃K␈α␈r
␈β"␈↓ ε≡␈ε	k␈↓ εD␈ε↔ ␈↓ εn␈εβrI␈↓ ππ␈εβ1␈α␈.
␈β1␈↓ ε.␈εr
␈βG␈↓ βr␈ε∃INCX␈↓ ∧o␈ε∃3␈α␈0
␈βJ␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε9␈ε↔ ␈↓ εc␈ε	x␈↓ ε|␈εβ+␈αλ3␈α␈0.
␈βo␈↓ βr␈ε∃JAZ␈↓ ∧o␈ε∃D␈α␈2
␈βr␈↓ ε≡␈εβRep␈α␈eat␈αif␈αall␈αsiev␈α}ed␈αo␈α␈ut.
␈βt␈↓ 	∨␈∧t	∨≠∂
␈β:␈↓ ↓H␈εαThe␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α∩of␈α⊃cy␈α␈cles␈α⊃for␈α∩30␈α⊃iterations␈α∩is␈α⊃essen␈α␈tially␈α∩2␈α+␈α8␈↓ 	∞␈ελr␈↓ 	≡␈εα;␈α∀if␈↓ 	c␈ελr␈↓ 
ε␈εα=␈α∪11␈α⊃this
␈βf␈↓ ↓H␈εαmeans␈α
three␈αcy␈α␈cles␈αare␈αbeing␈αused␈α
on␈αeach␈αiteration,␈αjust␈αas␈αin␈αAlgorithm␈α
C␈↓ 
]␈εα,␈αand
␈β
∞␈↓ ∧u␈ε¬1
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈αC␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈↓ ∧%␈ελy␈↓ ∧C␈εα=␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελv␈↓ ¬.␈ε⊗␈␈↓ ¬Z␈ελu␈↓ ¬p␈εα)␈αmore␈αiterations.
␈β
!␈↓ ∧u␈∧
!∧uα∂
␈β
$␈↓ ∧u␈ε¬2
␈β
>␈↓ α␈εαIf␈α	the␈α	table␈α
en␈α␈tries␈α	for␈↓ ∧e␈ελm␈↓ ¬_␈εαdo␈α
not␈α	come␈α	out␈α	to␈α	be␈α
an␈α	in␈α␈tegral␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	w␈α␈ords,
␈β
K␈↓ ¬∧␈εi
␈β
i␈↓ ↓H␈εαfurther␈αshifting␈αof␈αthe␈αtable␈αen␈α␈tries␈αw␈α␈ould␈αbe␈αnecessary␈αon␈αeach␈αiteration␈αso␈αthat
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαthe␈απbits␈αλare␈αλaligned␈απproperly.␈αThis␈αλw␈α␈ould␈απadd␈αλquite␈αλa␈απlot␈αλof␈αλcoding␈απto␈αλthe␈αλmain␈απloop
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαand␈α
it␈αw␈α␈ould␈α
probably␈α
mak␈α␈e␈αthe␈α
program␈αtoo␈α
slo␈α␈w␈αto␈α
compete␈αwith␈α
Algorithm␈α
C
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαunless␈↓ α2␈ελv␈↓ αD␈εα/␈↓ αV␈ελu␈↓ αv␈ε⊗∀␈εα␈α
100␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α7).
␈β∂↔␈↓ α␈εαSiev␈α␈e␈α
procedures␈α∞can␈α
be␈α
applied␈α
to␈α∞a␈α
variety␈α
of␈α
other␈α∞problems,␈α
not␈α
neces-
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαsarily␈α
having␈αm␈α␈uch␈α
to␈α
do␈αwith␈α
arithmetic.␈αA␈α
surv␈α␈ey␈αof␈α
these␈αtechniques␈α
has␈α
been
␈β∂n␈↓ ↓H␈εαprepared␈αby␈αMarvin␈αC.␈αWunderlich,␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α14␈εα␈α(1967),␈α10↑19.
␈β⊂~␈↓ α␈εαSpecial␈α
siev␈α␈e␈αmachines␈α
(of␈α
reasonably␈αlo␈α␈w␈α
cost)␈α
hav␈α␈e␈αbeen␈α
constructed␈α
by␈α
D.
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαH.␈αλLehmer␈α	and␈αλhis␈α	associates␈α	o␈α␈v␈α␈er␈αλa␈α	period␈αλof␈α	man␈α␈y␈α	y␈α␈ears;␈α	see,␈α
for␈αλexample,␈ε∂␈α	AMM
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε∩40␈εα␈α(1933),␈α401↑406.␈α
Lehmer's␈α
electronic␈αdelay-line␈αsiev␈α␈e,␈α
which␈αbegan␈αoperating
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαin␈α
1965,␈α∞processes␈α∞one␈α∞million␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α∞per␈α∞second.␈α⊂Th␈α␈us,␈α∂each␈α
iteration␈α∞of␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα370␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαloop␈αλin␈αλAlgorithm␈α	D␈αλcan␈αλbe␈α	performed␈αλin␈αλone␈α	microsecond␈αλon␈αλthis␈α	device.␈α
Another
␈βαS␈↓ ↓H␈εαway␈α∂to␈α⊂factor␈α∂with␈α⊂siev␈α␈es␈α∂is␈α⊂described␈α⊂by␈α∂D.␈α⊂H.␈α∂and␈α⊂Emma␈α∂Lehmer␈α⊂in␈ε∂␈α∂Math.
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∂Comp.␈ε∩␈α28␈εα␈α(1974),␈α625↑635.
␈ββI␈↓ ↓H␈ε∩Primality␈α
testing.␈εα␈α∃None␈α
of␈α
the␈αalgorithms␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
discussed␈α
so␈αfar␈α
is␈α
an␈α
e}cien␈α␈t
␈ββu␈↓ ↓H␈εαway␈α
to␈αdetermine␈α
that␈α
a␈α
large␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε4␈ελn␈↓ εV␈εαis␈α
prime.␈α∂Fortunately,␈α
there␈α
are␈αother
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εαmethods␈α
available␈αfor␈αsettling␈αthis␈αquestion;␈αe}cien␈α␈t␈αmethods␈αhav␈α␈e␈αbeen␈α
devised
␈β∧B␈↓ α␈εα∞
␈β∧K␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓⎇␈εαE␈↓ α∃␈εα.␈α⊂Lucas␈α
and␈α
others,␈α∞notably␈α
D.␈α
H.␈α∞Lehmer␈α
[see␈ε∂␈α
Bull.␈α∞Amer.␈α
Math.␈α
Soc.␈ε∩␈α
33
␈β∧v␈↓ ↓H␈εα(1927),␈α327↑340].
␈β¬≡␈↓ 	F␈εp␈↓ 	U␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬#␈↓ α␈εαAccording␈αto␈αFermat's␈αtheorem␈α(Theorem␈α1.2.4F␈↓ λ	␈εα),␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ 	3␈ελx␈↓ 
ε␈εαmod␈↓ 
P␈ελp␈↓ 
l␈εα=␈α
1
␈β¬N␈↓ ↓H␈εαwhenev␈α␈er␈↓ αj␈ελp␈↓ β␈εαis␈α⊂prime␈α∂and␈↓ ∧g␈ελx␈↓ ¬	␈εαis␈α⊂not␈α∂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α∂of␈ε⊗␈α⊂∃␈↓ λλ␈ελp␈↓ λ~␈εα.␈α⊗Furthermore,␈α⊃there␈α∂are
␈β¬t␈↓ ∧r␈εn␈↓ ¬∧␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬y␈↓ ↓H␈εαe}cien␈α␈t␈α	ways␈α
to␈α
calculate␈↓ ∧←␈ελx␈↓ ¬5␈εαmod␈↓ ¬␈␈ελn␈↓ ε∃␈εα,␈α
requiring␈α
only␈↓ λ
␈ελO␈↓ λ'␈εα(␈↓ λ3␈εαlog␈↓ λg␈ελn␈↓ λ|␈εα)␈α
operations␈α
of␈α	m␈α␈ul-
␈βε$␈↓ ↓H␈εαtiplication␈α
mod␈↓ βG␈ελn␈↓ β\␈εα.␈α⊃(We␈α
shall␈α
study␈α∞these␈α
in␈α∞Section␈α
4.6.3␈α∞belo␈α␈w.)␈α⊂Therefore␈α
w␈α␈e
␈βεP␈↓ ↓H␈εαcan␈αoften␈αdetermine␈αthat␈↓ ∧\␈ελn␈↓ ∧⎇␈εαis␈ε∂␈αnot␈εα␈αprime␈αwhen␈αthis␈αrelationship␈αfails.
␈βεw␈↓ λ←␈ε¬1␈↓ 	X␈ε¬2␈↓ 
Q␈ε¬4
␈βε|␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αFermat␈αonce␈αv␈α␈eri|ed␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ λM␈εα2␈↓ λt␈εα+␈απ1,␈↓ 	F␈εα2␈↓ 	m␈εα+␈απ1,␈↓ 
?␈εα2␈↓ 
f␈εα+␈αε1,
␈βπ"␈↓ ↓Z␈ε¬8␈↓ β≥␈ε¬1␈α↓6
␈βπ(␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓p␈εα+␈αλ1,␈α
and␈↓ β␈εα2␈↓ βB␈εα+␈αλ1␈α
are␈αprime.␈α
In␈αa␈α
letter␈αto␈αMersenne␈αwritten␈α
in␈α1640,␈αFermat
␈βπJ␈↓ βz␈ε
n
␈βπN␈↓ βk␈ε¬2
␈βπS␈↓ ↓H␈εαconjectured␈αthat␈↓ βY␈εα2␈↓ ∧∩␈εα+␈αλ1␈α
is␈α
always␈α
prime,␈α
but␈αsaid␈α
he␈α
was␈α
unable␈α
to␈αdetermine
␈βπy␈↓ π:␈ε¬32
␈βπ}␈↓ ↓H␈εαde|nitely␈α
whether␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
4294967297␈α
=␈↓ π(␈εα2␈↓ π`␈εα+␈α	1␈α
is␈α∞prime␈α∞or␈α
not.␈α⊃Neither
␈βλ)␈↓ ↓H␈εαFermat␈α
nor␈α
Mersenne␈α	ev␈α␈er␈α
resolv␈α␈ed␈α
this␈α
problem,␈αalthough␈α
they␈α
could␈α	hav␈α␈e␈α
done
␈βλL␈↓ ∧⎇␈επ3␈α↓2
␈βλO␈↓ ∧o␈ε¬2␈↓ εα␈ε¬32
␈βλT␈↓ ↓H␈εαit␈α
as␈α
follo␈α␈ws:␈αThe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧]␈εα3␈↓ ¬~␈εαmod␈↓ ¬d␈εα(␈↓ ¬p␈εα2␈↓ ε%␈εα+␈α¬1)␈αcan␈α
be␈α
computed␈αby␈α
doing␈α
32␈α
opera-
␈βλz␈↓ ∧q␈ε¬3␈α↓2
␈β	␈↓ ↓H␈εαtions␈α
of␈α∞squaring␈α
modulo␈↓ ∧←␈εα2␈↓ ¬↔␈εα+␈α	1,␈α∞and␈α
the␈α∞answ␈α␈er␈α
is␈α∞3029026160;␈α∞therefore␈α
(by
␈β	+␈↓ ↓H␈εαFermat's␈αo␈α␈wn␈αtheorem,␈αwhich␈αhe␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αin␈αthe␈αsame␈αy␈α␈ear␈α1640!)␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈β	Q␈↓ ↓Z␈ε¬32
␈β	V␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓|␈εα+␈απ1␈α
is␈ε∂␈αnot␈εα␈α
prime.␈αThis␈α
argumen␈α␈t␈αgiv␈α␈es␈α
us␈αabsolutely␈α
no␈αidea␈α
what␈αthe␈α
factors
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαare,␈αbut␈αit␈αansw␈α␈ers␈αFermat's␈αquestion.
␈β
.␈↓ α␈εαFermat's␈α∂theorem␈α∂is␈α∂a␈α⊂po␈α␈w␈α␈erful␈α∂test␈α∂for␈α∂sho␈α␈wing␈α∂non-primality␈α∂of␈α∂a␈α∂giv␈α␈en
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber.␈α∀When␈↓ βG␈ελn␈↓ βl␈εαis␈α∞not␈α∂prime,␈α⊂it␈α∂is␈α∂always␈α∞possible␈α∂to␈α∂|nd␈α∂a␈α∂value␈α∂of␈↓ 
B␈ελx␈↓ 
d␈εα<␈↓ ↔␈ελn
␈β
␈␈↓ ββ␈εn␈↓ β∀␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsuch␈α⊂that␈↓ αp␈ελx␈↓ βF␈εαmod␈↓ ∧⊂␈ελn␈↓ ∧6␈ε⊗≤␈εα␈α⊃1;␈α∩experience␈α⊂sho␈α␈ws␈α⊂that,␈α⊃in␈α⊂fact,␈α⊃such␈α⊂a␈α⊂value␈α⊂can
␈β/␈↓ ↓H␈εαalmost␈αalways␈αbe␈αfound␈αv␈α␈ery␈αquickly.␈αThere␈αare␈αsome␈αrare␈αvalues␈αof␈↓ 	x␈ελn␈↓ 
→␈εαfor␈αwhich
␈βU␈↓ ↓Z␈εn␈↓ ↓l␈ε→␈␈ε¬1
␈βV␈↓ 
r␈επ3
␈βY␈↓ 
␈∧Y
α⊗
␈βZ␈↓ 
i␈ε⊗p
␈β[␈↓ ↓H␈ελx␈↓ α≡␈εαmod␈↓ αh␈ελn␈↓ β
␈εαis␈α
frequen␈α␈tly␈α
equal␈αto␈α
unity,␈α
but␈α
then␈↓ πg␈ελn␈↓ λ	␈εαhas␈α
a␈αfactor␈α
less␈α
than␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα;
␈βε␈↓ ↓H␈εαsee␈αex␈α␈ercise␈α9.
␈β2␈↓ α␈εαThe␈α∞same␈α∂method␈α∞can␈α∞be␈α∂extended␈α∞to␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that␈α∞a␈α∂large␈α∞prime␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ↔␈ελn
␈β↑␈↓ ↓H␈εαreally␈ε∂␈αis␈εα␈αprime,␈αby␈αusing␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αidea:␈ε∂␈αIf␈αthere␈αis␈αa␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	=␈ελx␈↓ 	[␈ε∂for␈αwhich␈αthe
␈β
	␈↓ ↓H␈ε∂order␈αλof␈↓ αI␈ελx␈↓ αd␈ε∂modulo␈↓ βa␈ελn␈↓ β␈␈ε∂is␈αλequal␈α	to␈↓ ¬#␈ελn␈↓ ¬<␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈ε∂,␈α	then␈↓ εW␈ελn␈↓ εu␈ε∂is␈α	prime.␈εα␈α⊃(The␈αλorder␈α	of␈↓ 	↑␈ελx␈↓ 	z␈εαmodulo␈↓ 
v␈ελn␈↓ ∀␈εαis
␈β
/␈↓ εW␈εk
␈β
4␈↓ ↓H␈εαthe␈αsmallest␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈↓ ¬	␈ελk␈↓ ¬&␈εαsuch␈αthat␈↓ εD␈ελx␈↓ εk␈εαmod␈↓ π5␈ελn␈↓ πU␈εα=␈α
1;␈αsee␈αSection␈α3.2.1.2.)␈α↔For
␈β
Z␈↓ εN␈εk
␈β
←␈↓ ↓H␈εαthis␈αcondition␈α
implies␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ε;␈ελx␈↓ εc␈εαmod␈↓ π-␈ελn␈↓ πM␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λN␈ελk␈↓ λj␈ε⊗∀␈↓ 	_␈ελn␈↓ 	4␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αare␈α
distinct
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαand␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ∧=␈ελn␈↓ ∧R␈εα,␈αso␈αthey␈αm␈α␈ust␈αbe␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α1,␈α2,␈↓ 		␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	9␈εα,␈↓ 	O␈ελn␈↓ 	l␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αin␈αsome
␈β∞6␈↓ ↓H␈εαorder;␈α
th␈α␈us␈↓ α|␈ελn␈↓ β≠␈εαhas␈αno␈α
proper␈α
divisors.␈αIf␈↓ ε)␈ελn␈↓ εI␈εαis␈α
prime,␈αsuch␈α
a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	c␈εα(a␈α
\primitiv␈α␈e
␈β∞a␈↓ ↓H␈εαroot"␈αof␈↓ αP␈ελn␈↓ αe␈εα)␈α
will␈αalways␈αexist;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α3.2.1.2↑16.␈αIn␈αfact,␈αprimitiv␈α␈e␈αroots␈αare
␈β∂␈↓ ↓H␈εαrather␈α∂n␈α␈umerous.␈α∀There␈α∂are␈↓ ¬⊗␈ελ⎇␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελn␈↓ ¬Y␈ε⊗␈␈εα␈α
1)␈α∂of␈α∂them,␈α⊂and␈α∂this␈α∂is␈α∂quite␈α∞a␈α∂substan␈α␈tial
␈β∂7␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber,␈αsince␈↓ β,␈ελn␈↓ βA␈εα/␈↓ βS␈ελ⎇␈↓ βk␈εα(␈↓ βw␈ελn␈↓ ∧∀␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ ¬⊗␈ελO␈↓ ¬0␈εα(␈↓ ¬<␈εαlog␈↓ ¬p␈εαlog␈↓ ε$␈ελn␈↓ ε:␈εα).
␈β∂←␈↓ ¬o␈εk
␈β∂d␈↓ α␈εαIt␈αis␈αunnecessary␈αto␈αcalculate␈↓ ¬]␈ελx␈↓ ε∧␈εαmod␈↓ εN␈ελn␈↓ εo␈εαfor␈αall␈↓ πX␈ελk␈↓ πs␈ε⊗∀␈↓ λ!␈ελn␈↓ λ>␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αto␈αdetermine␈αif␈αthe
␈β⊂∂␈↓ ↓H␈εαorder␈αof␈↓ αP␈ελx␈↓ αn␈εαis␈↓ β∩␈ελn␈↓ β0␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αor␈αnot.␈αThe␈αorder␈αof␈↓ εB␈ελx␈↓ εa␈εαwill␈αbe␈↓ πU␈ελn␈↓ πs␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β⊂c␈↓ β[␈εn␈↓ βm␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊂h␈↓ β&␈εαi)␈↓ βH␈ελx␈↓ ∧≡␈εαmod␈↓ ∧h␈ελn␈↓ ¬π␈εα=␈α
1;
␈β⊃∃␈↓ β[␈ε¬(␈↓ βd␈εn␈↓ βv␈ε→␈␈ε¬1)/␈↓ ∧9␈εp
␈β⊃~␈↓ β≤␈εαii)␈↓ βH␈ελx␈↓ ∧O␈εαmod␈↓ ¬→␈ελn␈↓ ¬8␈ε⊗≤␈εα␈α
1␈↓ ε∧␈εαfor␈αall␈αprimes␈↓ πb␈ελp␈↓ λ↓␈εαthat␈αdivide␈↓ 	;␈ελn␈↓ 	X␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα371
␈βα#␈↓ α!␈εs
␈βα(␈↓ ↓H␈εαFor␈↓ α∞␈ελx␈↓ α3␈εαmod␈↓ α⎇␈ελn␈↓ β ␈εα=␈α∞1␈α∞if␈α∞and␈α∞only␈α∞if␈↓ ¬T␈ελs␈↓ ¬q␈εαis␈α∂a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∞of␈α∞the␈α∞order␈α∞of␈↓ 	?␈ελx␈↓ 	`␈εαmodulo␈↓ 
b␈ελn␈↓ 
x␈εα.␈α∩If
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αconditions␈αhold,␈αand␈αif␈↓ ¬9␈ελk␈↓ ¬W␈εαis␈αthe␈αorder␈αof␈↓ πA␈ελx␈↓ π`␈εαmodulo␈↓ λ`␈ελn␈↓ λv␈εα,␈αw␈α␈e␈αtherefore␈αkno␈α␈w
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈ελk␈↓ α1␈εαis␈αa␈α
divisor␈αof␈↓ ∧∞␈ελn␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈εα␈αε1,␈αbut␈αnot␈αa␈α
divisor␈αof␈α(␈↓ πA␈ελn␈↓ π]␈ε⊗␈␈εα␈αε1)/␈↓ λ7␈ελp␈↓ λT␈εαfor␈αan␈α␈y␈αprime␈α
factor␈↓ ~␈ελp
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελn␈↓ α∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ1;␈αthe␈αonly␈αremaining␈αpossibility␈αis␈↓ εi␈ελk␈↓ π¬␈εα=␈↓ π3␈ελn␈↓ πQ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.␈αThis␈αcompletes␈αthe␈αproof
␈ββU␈↓ ↓H␈εαthat␈αconditions␈α(i)␈αand␈α(ii)␈αsu}ce␈αto␈αestablish␈αthe␈αprimality␈αof␈↓ 	 ␈ελn␈↓ 	5␈εα.
␈β∧␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α
10␈α	sho␈α␈ws␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
can␈α	in␈α
fact␈α
use␈α	di{eren␈α␈t␈α
values␈α
of␈↓ 	1␈ελx␈↓ 	M␈εαfor␈α
each␈α	prime
␈β∧+␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓Z␈εα,␈αand␈↓ α4␈ελn␈↓ αT␈εαwill␈αstill␈αbe␈αprime.␈αWe␈α
may␈αrestrict␈αconsideration␈αto␈αprimes␈↓ 	|␈ελx␈↓ 
∂␈εα,␈αsince␈α
the
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαorder␈αof␈↓ αP␈ελu␈↓ αf␈ελv␈↓ β¬␈εαmodulo␈↓ ∧¬␈ελn␈↓ ∧'␈εαdivides␈αthe␈α
least␈αcommon␈αm␈α␈ultiple␈αof␈α
the␈αorders␈αof␈↓ 
Q␈ελu␈↓ 
r␈εαand
␈β¬α␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓e␈εαby␈αex␈α␈ercise␈α3.2.1.2↑15.␈αConditions␈α(i)␈α
and␈α(ii)␈αcan␈αbe␈αtested␈αe}cien␈α␈tly␈αby␈α
using
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαthe␈αrapid␈α
methods␈α
for␈α
evaluating␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈αof␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
discussed␈α
in␈α
Section␈α4.6.3.
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαBut␈α
it␈αis␈αnecessary␈α
to␈αkno␈α␈w␈αthe␈α
prime␈αfactors␈αof␈↓ π8␈ελn␈↓ πS␈ε⊗␈␈εα␈απ1,␈αso␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αan␈α
in␈α␈teresting
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαsituation␈αin␈αwhich␈αthe␈αfactorization␈αof␈↓ ε*␈ελn␈↓ εK␈εαdepends␈αon␈αthat␈αof␈↓ λ␈␈ελn␈↓ 	≥␈ε⊗␈␈εα␈αλ1!
␈βεD␈↓ ↓H␈ε∩An␈α	example.␈εα␈α⊃The␈α	study␈α	of␈α	a␈α	reasonably␈α	typical␈α	large␈α	factorization␈α	will␈α	help␈α	to␈αλ|x
␈βεk␈↓ 
:␈ε¬214
␈βεp␈↓ ↓H␈εαthe␈α	ideas␈αλw␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈α	discussed␈α	so␈α	far.␈αLet␈α	us␈α	try␈αλto␈α	|nd␈α	the␈α	prime␈α	factors␈α	of␈↓ 
(␈εα2␈↓ 
i␈εα+␈αβ1,
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαa␈α65-digit␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈α
The␈α
factorization␈αcan␈αbe␈α
initiated␈αwith␈αa␈α
bit␈αof␈αclairv␈α␈o␈α␈yance
␈βπF␈↓ ↓H␈εαif␈αw␈α␈e␈αnotice␈αthat
␈βλ⊗␈↓ βk␈ε¬2␈α↓14␈↓ ¬3␈ε¬107␈↓ ε$␈ε¬54␈↓ π1␈ε¬107␈↓ λ"␈ε¬54
␈βλ≥␈↓ βY␈εα2␈↓ ∧∨␈εα+␈αλ1␈α
=␈α
(␈↓ ¬!␈εα2␈↓ ¬f␈ε⊗␈␈↓ ε∩␈εα2␈↓ εI␈εα+␈αλ1)(␈↓ π∨␈εα2␈↓ πd␈εα+␈↓ λ⊂␈εα2␈↓ λG␈εα+␈αλ1);␈↓ 
p␈εα(14)
␈βλs␈↓ ↓H␈εαthis␈αλiden␈α␈tity␈α	is␈αλa␈αλspecial␈α	case␈αλof␈α	some␈αλfactorizations␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈αλby␈α	A.␈αλAurifeuille␈αλin
␈β	≡␈↓ ↓H␈εα1873␈αλ[see␈α	Dickson's␈ε∂␈αλHistory␈εα,␈ε∩␈α
1␈εα,␈α	p.␈αλ383].␈αThe␈α	problem␈αλno␈α␈w␈α	boils␈αλdo␈α␈wn␈α	to␈αλexamining
␈β	I␈↓ ↓H␈εαeach␈αof␈αthe␈α33-digit␈αfactors␈αin␈α(14).
␈β	p␈↓ π;␈ε¬1␈α↓07␈↓ λ"␈ε¬5␈α↓4
␈β	u␈↓ α␈εαA␈αλcomputer␈αλprogram␈α	readily␈αλdisco␈α␈v␈α␈ers␈αλthat␈↓ π)␈εα2␈↓ πi␈ε⊗␈␈↓ λ⊂␈εα2␈↓ λB␈εα+␈αβ1␈α
=␈α
5␈ε⊗␈αβ↓␈εα␈αβ857␈ε⊗␈αβ↓␈↓ 
≠␈ελn␈↓ 
=␈εα,␈α	where
␈β
α␈↓ 
/␈ε¬0
␈β
K␈↓ ∧λ␈ελn␈↓ ∧5␈εα=␈α
37866809061660057264219253397␈↓ 
p␈εα(15)
␈β
Y␈↓ ∧≤␈ε¬0
␈β"␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈α	29-digit␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
having␈α
no␈α
prime␈α
factors␈α
less␈α	than␈α
1000.␈αA␈α	m␈α␈ultiple-precision
␈βM␈↓ ↓H␈εαcalculation␈αusing␈αthe␈α\binary␈αmethod"␈αof␈αSection␈α4.6.3␈αsho␈α␈ws␈αthat
␈β≥␈↓ ¬<␈εn␈↓ ¬X␈ε→␈␈ε¬1
␈β$␈↓ ¬*␈εα3␈↓ ε
␈εαmod␈↓ εT␈ελn␈↓ π␈εα=␈α
1,
␈β&␈↓ ¬M␈επ0
␈β1␈↓ εh␈ε¬0
␈βz␈↓ ↓H␈εαso␈α
w␈α␈e␈α
suspect␈α
that␈↓ βm␈ελn␈↓ ∧~␈εαis␈α
prime.␈αIt␈α
is␈α
certainly␈α
out␈α
of␈α
the␈α
question␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ 	␈ελn
␈β
π␈↓ ∧↓␈ε¬0␈↓ ≡␈ε¬0
␈β
%␈↓ ↓H␈εαis␈α
prime␈α
by␈αtrying␈α
the␈α10␈α
million␈α
million␈αor␈α
so␈αpoten␈α␈tial␈α
divisors,␈αbut␈α
the␈α
method
␈β
P␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈απabo␈α␈v␈α␈e␈αλgiv␈α␈es␈αλa␈αλfeasible␈αλtest␈αλfor␈αλprimality:␈α	our␈αλnext␈αλgoal␈αλis␈αλto␈αλfactor␈↓ 
E␈ελn␈↓ 
j␈ε⊗␈␈εα␈αα1.
␈β
↑␈↓ 
Y␈ε¬0
␈β
|␈↓ ↓H␈εαWith␈αlittle␈αdi}culty,␈αour␈αcomputer␈αwill␈αtell␈αus␈αthat
␈β∞R␈↓ α⊂␈ελn␈↓ α;␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
=␈α
2␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ2␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ19␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ107␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ353␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬g␈ελn␈↓ ε
␈εα,␈↓ εb␈ελn␈↓ π∞␈εα=␈α
13191270754108226049301.
␈β∞`␈↓ α$␈ε¬0␈↓ ¬{␈ε¬1␈↓ εv␈ε¬1
␈β∂$␈↓ α.␈εn␈↓ αJ␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂)␈↓ ↓H␈εαHere␈↓ α≤␈εα3␈↓ β␈ε⊗≤␈εα␈α
1,␈αso␈↓ ∧α␈ελn␈↓ ∧1␈εαis␈αnot␈α
prime;␈αby␈αcon␈α␈tin␈α␈uing␈αAlgorithm␈αA␈αor␈αAlgorithm␈αB
␈β∂,␈↓ α?␈επ1
␈β∂6␈↓ ∧↔␈ε¬1
␈β∂T␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α|nd
␈β∂␈␈↓ βA␈ελn␈↓ βn␈εα=␈α
91813␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬⊂␈ελn␈↓ ¬3␈εα,␈↓ ε␈ελn␈↓ ε7␈εα=␈α
143675413657196977.
␈β⊂
␈↓ βU␈ε¬1␈↓ ¬$␈ε¬2␈↓ ε∨␈ε¬2
␈β⊂?␈↓ αu␈εn␈↓ β∩␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαThis␈απtime␈↓ αc␈εα3␈↓ βC␈εαmod␈↓ ∧
␈ελn␈↓ ∧:␈εα=␈α
1,␈α	so␈απw␈α␈e␈αλwill␈αλtry␈αλto␈απpro␈α␈v␈α␈e␈αλthat␈↓ λ,␈ελn␈↓ λV␈εαis␈αλprime.␈αThis␈απrequires
␈β⊂G␈↓ βπ␈επ2
␈β⊂Q␈↓ ∧"␈ε¬2␈↓ λ@␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactorization␈↓ βV␈ελn␈↓ ∧␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
=␈α
2␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ2␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ2␈ε⊗␈απ↓␈εα␈αε2␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ3␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ3␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ547␈ε⊗␈απ↓␈↓ π>␈ελn␈↓ πa␈εα,␈αwhere␈↓ λ]␈ελn␈↓ 	
␈εα=␈α
1824032775457.
␈β⊂|␈↓ βk␈ε¬2␈↓ πS␈ε¬3␈↓ λr␈ε¬3
␈β⊃∃␈↓ α9␈εn␈↓ αV␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α'␈εα3␈↓ βπ␈εαmod␈↓ βQ␈ελn␈↓ ∧␈ε⊗≤␈εα␈α1,␈α∞w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α
that␈↓ ε>␈ελn␈↓ εn␈εαis␈α∞composite,␈α
and␈α
Algorithm␈α
A␈α
|nds
␈β⊃≡␈↓ αJ␈επ3
␈β⊃(␈↓ βe␈ε¬3␈↓ εS␈ε¬3
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα372␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α→␈ελn␈↓ αK␈εα=␈α∂1103␈ε⊗␈α
↓␈↓ βe␈ελn␈↓ ∧λ␈εα,␈α∂where␈↓ ¬
␈ελn␈↓ ¬?␈εα=␈α∂1653701519.␈α⊗The␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	_␈ελn␈↓ 	J␈εαbehav␈α␈es␈α∂lik␈α␈e␈α∂a
␈βα5␈↓ α-␈ε¬3␈↓ βy␈ε¬4␈↓ ¬!␈ε¬4␈↓ 	-␈ε¬4
␈βαN␈↓ β⊂␈εn␈↓ β,␈ε→␈␈ε¬1
␈βαS␈↓ ↓H␈εαprime␈α(i.e.,␈↓ α}␈εα3␈↓ β↑␈εαmod␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧U␈εα=␈α
1),␈αso␈αw␈α␈e␈αcalculate
␈βαW␈↓ β!␈επ4
␈βαa␈↓ ∧<␈ε¬4
␈ββ␈↓ ∧/␈ελn␈↓ ∧Z␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
=␈α
2␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ7␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ19␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ23␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ137␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ1973.
␈ββ~␈↓ ∧C␈ε¬4
␈ββE␈↓ ↓H␈εαGood;␈αthis␈αis␈αour␈α|rst␈αcomplete␈αfactorization.␈αWe␈αare␈αno␈α␈w␈α
ready␈αto␈αbacktrack␈αto
␈ββp␈↓ ↓H␈εαthe␈αλprevious␈αλsubproblem,␈α	pro␈α␈ving␈αλthat␈↓ ε ␈ελn␈↓ εK␈εαis␈αλprime.␈αUsing␈αλthe␈αλprocedure␈αλsuggested
␈ββ}␈↓ ε5␈ε¬4
␈β∧≤␈↓ ↓H␈εαby␈αex␈α␈ercise␈α10,␈αw␈α␈e␈αcompute␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αvalues:
␈β∧O␈↓ ε∂␈εn␈↓ ε+␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈↓ εo␈εp
␈β∧T␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ¬"␈ελp␈↓ ¬|␈ελx␈↓ π∧␈εαmod␈↓ πN␈ελn
␈β∧W␈↓ ε ␈επ4
␈β∧a␈↓ πb␈ε¬4
␈β¬
␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ¬"␈εα2␈↓ εm␈εα1␈↓ λ9␈εα(1)
␈β¬5␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ¬"␈εα7␈↓ ε%␈εα766408626␈↓ λ9␈εα(1)
␈β¬`␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ¬⊂␈εα19␈↓ ε%␈εα332952683␈↓ λ9␈εα(1)
␈βε␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ¬⊂␈εα23␈↓ ε≤␈εα1154237810␈↓ λ9␈εα(1)
␈βε∃␈↓ 
p␈εα(16)
␈βε7␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ∧}␈εα137␈↓ ε%␈εα373782186␈↓ λ9␈εα(1)
␈βεb␈↓ ∧∩␈εα2␈↓ ∧l␈εα1973␈↓ ε%␈εα490790919␈↓ λ9␈εα(1)
␈βπ
␈↓ ∧∩␈εα3␈↓ ¬"␈εα2␈↓ εm␈εα1␈↓ λ9␈εα(1)
␈βπ8␈↓ ∧∩␈εα5␈↓ ¬"␈εα2␈↓ εm␈εα1␈↓ λ9␈εα(1)
␈βπc␈↓ ∧∩␈εα7␈↓ ¬"␈εα2␈↓ ε≤␈εα1653701518␈↓ λE␈εα1
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εα(Here␈α
\(1)"␈α	means␈α
a␈α
result␈α
of␈α
1␈α
that␈α
needn't␈α
be␈α
computed␈α
since␈α
it␈α
can␈α
be␈α	deduced
␈βλ;␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
previous␈α
calculations.)␈α∞Th␈α␈us␈↓ ¬h␈ελn␈↓ ε_␈εαis␈α
prime,␈α
and␈↓ πu␈ελn␈↓ λ!␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α
has␈αbeen␈α
completely
␈βλH␈↓ ¬⎇␈ε¬4␈↓ λ
␈ε¬2
␈βλf␈↓ ↓H␈εαfactored.␈α∀A␈α∂similar␈α∞calculation␈α∂sho␈α␈ws␈α∂that␈↓ εz␈ελn␈↓ π,␈εαis␈α∂prime,␈α∂and␈α∂this␈α∂complete␈α∞fac-
␈βλt␈↓ π∂␈ε¬2
␈β	⊃␈↓ ↓H␈εαtorization␈α
of␈↓ β∩␈ελn␈↓ β;␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α
|nally␈α
sho␈α␈ws␈α
[after␈αstill␈α
another␈α
calculation␈αlik␈α␈e␈α
(16)]␈α
that␈↓ 	␈ελn
␈β	∨␈↓ β'␈ε¬0␈↓ ≡␈ε¬0
␈β	=␈↓ ↓H␈εαis␈αprime.
␈β	h␈↓ α␈εαThe␈αnext␈αquan␈α␈tity␈αto␈αbe␈αfactored␈αis␈αthe␈αother␈αhalf␈αof␈α(14),␈αnamely
␈β
≠␈↓ εα␈ε¬107␈↓ εs␈ε¬54
␈β
!␈↓ ¬∃␈ελn␈↓ ¬B␈εα=␈↓ ¬p␈εα2␈↓ ε5␈εα+␈↓ εa␈εα2␈↓ π_␈εα+␈αλ1.
␈β
.␈↓ ¬)␈ε¬5
␈β
U␈↓ α2␈εn␈↓ αN␈ε→␈␈ε¬1
␈β
Z␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α ␈εα3␈↓ β␈εαmod␈↓ βJ␈ελn␈↓ βw␈ε⊗≤␈εα␈α
1,␈απw␈α␈e␈αεkno␈α␈w␈αεthat␈↓ ε_␈ελn␈↓ εA␈εαis␈απnot␈αεprime,␈απand␈αεAlgorithm␈αεB␈αεsho␈α␈ws␈αεthat
␈β
]␈↓ αC␈επ5
␈β
g␈↓ β↑␈ε¬5␈↓ ε-␈ε¬5
␈β¬␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓y␈εα=␈α∂843589␈ε⊗␈α	↓␈↓ β5␈ελn␈↓ βX␈εα,␈α⊂where␈↓ ∧\␈ελn␈↓ ¬∞␈εα=␈α∞192343993140277293096491917.␈α∀Unfortunately,
␈β∩␈↓ ↓\␈ε¬5␈↓ βJ␈ε¬6␈↓ ∧q␈ε¬6
␈β+␈↓ ↓Z␈εn␈↓ ↓v␈ε→␈␈ε¬1
␈β0␈↓ ↓H␈εα3␈↓ α(␈εαmod␈↓ αr␈ελn␈↓ β ␈ε⊗≤␈εα␈α1,␈α
so␈αw␈α␈e␈α
are␈α
left␈α
with␈αa␈α
27-digit␈α
nonprime␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈α∞Con␈α␈tin␈α␈uing
␈β4␈↓ ↓k␈επ6
␈β=␈↓ βε␈ε¬6
␈β[␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α	B␈α
migh␈α␈t␈α
w␈α␈ell␈α	exhaust␈α
our␈α
patience␈α
(not␈α	our␈α
budget←nobody␈α
is␈α	paying
␈βε␈↓ ↓H␈εαfor␈αλthis,␈αλw␈α␈e're␈αλusing␈αλidle␈αλtime␈αλon␈αλa␈αλw␈α␈eek␈α␈end).␈αBut␈αλthe␈αλsiev␈α␈e␈αλmethod␈αλof␈απAlgorithm␈αλD
␈β2␈↓ ↓H␈εαwill␈αbe␈αable␈αto␈αcrack␈↓ ∧∀␈ελn␈↓ ∧C␈εαin␈α␈to␈αits␈αt␈α␈w␈α␈o␈αfactors,
␈β?␈↓ ∧(␈ε¬6
␈βk␈↓ ∧λ␈ελn␈↓ ∧5␈εα=␈α
8174912477117␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ23528569104401.
␈βx␈↓ ∧≤␈ε¬6
␈β
$␈↓ ↓H␈εαThis␈α	result␈αλcould␈ε∂␈α	not␈εα␈α	hav␈α␈e␈α	been␈α	disco␈α␈v␈α␈ered␈α	by␈α	Algorithm␈α	A␈α	in␈α	a␈α	reasonable␈αλlength
␈β
O␈↓ ↓H␈εαof␈αtime.␈α(A␈αfew␈αmillion␈αiterations␈αof␈αAlgorithm␈αB␈αw␈α␈ould␈αprobably␈αhav␈α␈e␈αsu}ced.)
␈β
u␈↓ εG␈ε¬21␈α↓4
␈β
z␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αthe␈αcomputation␈αis␈αcomplete:␈↓ ε5␈εα2␈↓ εz␈εα+␈αλ1␈αhas␈αthe␈αprime␈αfactorization
␈β∞3␈↓ β⊗␈εα5␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ857␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ843589␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ8174912477117␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ23528569104401␈ε⊗␈αλ↓␈↓ 	2␈ελn␈↓ 	U␈εα,
␈β∞@␈↓ 	F␈ε¬0
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελn␈↓ α]␈εαis␈αthe␈α29-digit␈αprime␈αin␈α(15).␈αA␈αcertain␈αamoun␈α␈t␈αof␈αgood␈αfortune␈αen␈α␈tered
␈β∞y␈↓ αC␈ε¬0
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈αλthese␈αλcalculations,␈α
for␈αλif␈αλw␈α␈e␈α	had␈αλnot␈αλstarted␈α	with␈αλthe␈α	kno␈α␈wn␈αλfactorization␈αλ(14)
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαit␈αis␈αquite␈αprobable␈αthat␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈α|rst␈αhav␈α␈e␈αcast␈αout␈αthe␈αsmall␈αfactors,␈αreducing
␈β∂m␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈εαto␈↓ α⊃␈ελn␈↓ α4␈ελn␈↓ αW␈εα.␈αThis␈α
55-digit␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
w␈α␈ould␈α
hav␈α␈e␈α
been␈α
m␈α␈uch␈α
more␈α
di}cult␈α
to␈α	factor←
␈β∂{␈↓ α&␈ε¬6␈↓ αI␈ε¬0
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α∂D␈α∞w␈α␈ould␈α∂be␈α∂useless␈α∂and␈α∂Algorithm␈α∂B␈α∂w␈α␈ould␈α∂hav␈α␈e␈α∂to␈α∂w␈α␈ork␈α∞o␈α␈v␈α␈ertime
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαbecause␈αof␈αthe␈αhigh␈αprecision␈αnecessary.
␈β⊂o␈↓ α␈εαDozens␈α∞of␈α∂further␈α∞n␈α␈umerical␈α∂examples␈α∞can␈α∂be␈α∞found␈α∂in␈α∞an␈α∂article␈α∞by␈α∞John
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαBrillhart␈αand␈αJ.␈αL.␈αSelfridge,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α21␈εα␈α(1967),␈α87↑96.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα373
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Impro␈α␈v␈α␈ed␈α
primality␈α
tests.␈εα␈α⊗Since␈α
the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
procedure␈αfor␈α
pro␈α␈ving␈α
that␈↓ 
⊂␈ελn␈↓ 
0␈εαis␈α
prime
␈βαS␈↓ ↓H␈εαrequires␈α	the␈α	complete␈α	factorization␈α	of␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ ε+␈ε⊗␈␈εα␈α∧1,␈α	it␈α	will␈α
bog␈α	do␈α␈wn␈α	for␈α	large␈↓ 
α␈ελn␈↓ 
↔␈εα.␈αAnother
␈βα}␈↓ ↓H␈εαtechnique,␈αλwhich␈απuses␈αλthe␈απfactorization␈απof␈↓ εG␈ελn␈↓ ε↑␈εα+␈αα1␈αλinstead,␈αλis␈απdescribed␈αλin␈απex␈α␈ercise␈απ15;
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈ελn␈↓ απ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αturns␈αout␈αto␈αbe␈αtoo␈αhard,␈↓ ¬g␈ελn␈↓ ε¬␈εα+␈αλ1␈αmigh␈α␈t␈αbe␈αeasier.
␈ββU␈↓ α␈εαSigni|can␈α␈t␈αλimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈ts␈αλare␈αλavailable␈αλfor␈αλdealing␈αλwith␈αλlarge␈↓ 	6␈ελn␈↓ 	L␈εα.␈α
For␈αλexample,
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαBrillhart,␈α
Lehmer,␈α
and␈α
Selfridge␈α
[␈ε∂Math.␈α
Comp.␈ε∩␈α
29␈εα␈α
(1975),␈α
620↑647,␈αCorollary␈α	11]
␈β∧,␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α∂dev␈α␈eloped␈α⊂a␈α∂method␈α⊂that␈α∂w␈α␈orks␈α⊂when␈↓ π∂␈ελn␈↓ π/␈ε⊗␈␈εα␈α1␈α∂and␈↓ λI␈ελn␈↓ λi␈εα+␈α
1␈α∂hav␈α␈e␈α⊂been␈α∂only
␈β∧R␈↓ ε∨␈ε→␈␈↓ εL␈ε→␈␈↓ λ↑␈ε¬+␈↓ 	
␈ε¬+
␈β∧W␈↓ ↓H␈εαpartially␈αfactored:␈αSuppose␈↓ ∧{␈ελn␈↓ ¬_␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
=␈↓ ε∞␈ελf␈↓ ε<␈ελr␈↓ εt␈εαand␈↓ π:␈ελn␈↓ πW␈εα+␈αλ1␈α
=␈↓ λM␈ελf␈↓ λ{␈ελr␈↓ 	'␈εα,␈αwhere␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w
␈β∧⎇␈↓ ¬<␈ε→␈␈↓ ε=␈ε¬+
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαthe␈αcomplete␈α
factorizations␈α
of␈↓ ¬+␈ελf␈↓ ¬e␈εαand␈↓ ε,␈ελf␈↓ εZ␈εα,␈α
and␈α
w␈α␈e␈α
also␈αkno␈α␈w␈α
that␈α
all␈α
factors␈αof
␈β¬∞␈↓ ¬z␈ε↓␈␈↓ λO␈ε↓↓
␈β¬(␈↓ ↓W␈ε→␈␈↓ αW␈ε¬+␈↓ ε⊗␈ε¬3␈↓ ε6␈ε→␈␈↓ εd␈ε¬+␈↓ πh␈ε→␈␈↓ λ&␈ε¬+
␈β¬-␈↓ ↓H␈ελr␈↓ α↓␈εαand␈↓ αG␈ελr␈↓ β␈εαare␈ε⊗␈α∃␈↓ βk␈ελb␈↓ βy␈εα.␈α∞If␈αthe␈αproduct␈↓ ελ␈ελb␈↓ ε%␈ελf␈↓ εS␈ελf␈↓ ππ␈εαmax␈↓ πK␈εα(␈↓ πW␈ελf␈↓ λ¬␈εα,␈↓ λ∃␈ελf␈↓ λC␈εα)␈↓ λi␈εαis␈αgreater␈α
than␈α2␈↓ 
n␈ελn␈↓ ∧␈εα,␈αa
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εαsmall␈α	amoun␈α␈t␈α
of␈α	additional␈α
computation,␈α
described␈α	in␈α	their␈α
paper,␈α
will␈α	determine
␈βε∧␈↓ ↓H␈εαwhether␈αor␈αnot␈↓ β?␈ελn␈↓ βa␈εαis␈αprime.␈α∞Therefore␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
of␈αup␈αto␈α
35␈αdigits␈α
can␈αusually␈αbe
␈βε/␈↓ ↓H␈εαtested␈α∞for␈α∂primality␈α∞in␈α∞2␈α∂or␈α∞3␈α∂seconds,␈α∂simply␈α∞by␈α∂casting␈α∞out␈α∂all␈α∞prime␈α∞factors
␈βεZ␈↓ ↓H␈εα<␈α
30030␈α∞from␈↓ β9␈ελn␈↓ βX␈ε⊗ε␈εα␈α	1␈α∞[see␈α∞J.␈α∞L.␈α∞Selfridge␈α∞and␈α
M.␈α∞C.␈α∞Wunderlich,␈ε∂␈α∂Proc.␈α⊃Fourth
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε∂Manitoba␈α∞Conf.␈α∃Numer.␈α∀Math.␈εα␈α∃(1974),␈α∂109↑120].␈α∃The␈α∂partial␈α∂factorization␈α∞of
␈βπ+␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ε∨␈ε¬2
␈βπ1␈↓ ↓H␈εαother␈αquan␈α␈tities␈αlik␈α␈e␈↓ ∧␈ελn␈↓ ∧6␈ε⊗ε␈↓ ∧`␈ελn␈↓ ∧⎇␈εα+␈αε1␈αand␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε4␈εα+␈απ1␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αimpro␈α␈v␈α␈e␈αthis␈αmethod
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαstill␈αλfurther␈α	[see␈α	H.␈α	C.␈α	Williams␈α	and␈αλJ.␈α	S.␈α	Judd,␈ε∂␈α
Math.␈αλComp.␈ε∩␈α	30␈εα␈α	(1976),␈α	157↑172].
␈βλα␈↓ λP␈εn␈↓ λb␈ε→␈␈ε¬1
␈βλλ␈↓ α␈εαIn␈αpractice,␈α
when␈↓ ∧)␈ελn␈↓ ∧K␈εαhas␈αno␈αsmall␈α
prime␈αfactors␈αand␈↓ λ>␈εα3␈↓ 	∪␈εαmod␈↓ 	]␈ελn␈↓ 	⎇␈εα=␈α1,␈αit␈αhas
␈βλ∪␈↓ π	␈ε↓␈
␈βλ3␈↓ ↓H␈εαalmost␈α∞always␈α∞turned␈α∞out␈α∞that␈↓ ¬>␈ελn␈↓ ¬b␈εαis␈α∞prime.␈↓ π↔␈εαOne␈α∞of␈α∞the␈α∞rare␈α∞ex␈α␈ceptions␈α∞in␈α∞the
␈βλ>␈↓ λD␈ε↓↓
␈βλY␈↓ ¬A␈ε¬28
␈βλ[␈↓ ¬⊂␈ε¬1
␈βλ↑␈↓ ↓H␈εαauthor's␈α∂experience␈α⊂is␈↓ ∧3␈ελn␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈εα2␈↓ ¬h␈ε⊗␈␈εα␈α9)␈α⊂=␈α⊂2341␈ε⊗␈α
↓␈εα␈α16381.␈↓ λq␈εαOn␈α⊂the␈α⊂other␈α∂hand,
␈βλn␈↓ ¬⊂␈∧λn¬⊂α∂
␈βλq␈↓ ¬⊂␈ε¬7
␈β		␈↓ ↓H␈εαsome␈α⊂nonprime␈α⊂values␈α⊂of␈↓ ∧j␈ελn␈↓ ¬⊂␈εαare␈α⊂de|nitely␈α⊂bad␈α⊃news␈α⊂for␈α⊂the␈α⊂primality␈α⊂test␈α⊂w␈α␈e
␈β	/␈↓ π!␈εn␈↓ π3␈ε→␈␈ε¬1
␈β	4␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α	discussed,␈αbecause␈α	it␈α
migh␈α␈t␈α
happen␈α	that␈↓ π∞␈ελx␈↓ πd␈εαmod␈↓ λ.␈ελn␈↓ λN␈εα=␈α
1␈α	for␈α
all␈↓ 	⎇␈ελx␈↓ 
→␈εαrelativ␈α␈ely
␈β	`␈↓ ↓H␈εαprime␈α∂to␈↓ α`␈ελn␈↓ β¬␈εα(see␈α⊂ex␈α␈ercise␈α∂9).␈α⊗One␈α∂such␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂is␈↓ πf␈ελn␈↓ λ␈εα=␈α∂3␈ε⊗␈α↓␈εα␈α
11␈ε⊗␈α
↓␈εα␈α
17␈α⊂=␈α∂561;␈α⊃here
␈β
ε␈↓ 	X␈ε¬80
␈β
␈↓ ↓H␈ελ∃␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελn␈↓ ↓}␈εα)␈α∞=␈↓ αJ␈εαlcm␈↓ βα␈εα(2,␈αε10,␈αε16)␈α∞=␈α∞80␈α∞in␈α∞the␈α∂notation␈α∞of␈α∞Eq.␈α∂3.2.1.2↑9,␈α∂so␈↓ 	E␈ελx␈↓ 	{␈εαmod␈↓ 
E␈εα561␈α
=
␈β
1␈↓ α+␈ε¬5␈α↓60
␈β
6␈↓ ↓H␈εα1␈α
=␈↓ α_␈ελx␈↓ α\␈εαmod␈↓ β&␈εα561␈α∞whenev␈α␈er␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬,␈εαis␈α∞relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α∞to␈α∞561.␈α∩Our␈α∞procedure␈α∞w␈α␈ould
␈β
a␈↓ ↓H␈εαrepeatedly␈α∞fail␈α∞to␈α∂sho␈α␈w␈α∞that␈α∞such␈α∂an␈↓ ε≥␈ελn␈↓ εA␈εαis␈α∞prime,␈α∂un␈α␈til␈α∞w␈α␈e␈α∂had␈α∞stum␈α␈bled␈α∞across
␈β␈↓ ↓H␈εαone␈α
of␈α
its␈α
divisors.␈α∂To␈α
impro␈α␈v␈α␈e␈α
the␈α∞method,␈α
w␈α␈e␈α
need␈α
a␈α
quick␈α
way␈α
to␈α
determine
␈β8␈↓ ↓H␈εαthe␈αnonprimality␈αof␈αnonprime␈↓ ¬(␈ελn␈↓ ¬=␈εα,␈αev␈α␈en␈αin␈αsuch␈αpathological␈αcases.
␈βc␈↓ α␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈αsimple␈αprocedure␈αis␈αguaran␈α␈teed␈αto␈αdo␈αthe␈αjob␈αwith␈αhigh␈αprob-
␈β∞␈↓ ↓H␈εαability:
␈βS␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλP␈εα␈αλ(␈ε∂Probabilistic␈αλprimality␈α	test␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊂Giv␈α␈en␈αλan␈αλodd␈αλin␈α␈teger␈↓ 	*␈ελn␈↓ 	?␈εα,␈α	this␈αλalgorithm
␈β}␈↓ ↓H␈εαattempts␈α	to␈α
decide␈α
whether␈α
or␈α	not␈↓ ¬b␈ελn␈↓ ε↓␈εαis␈α
prime.␈αBy␈α
repeating␈α
the␈α
algorithm␈α	sev␈α␈eral
␈β
)␈↓ ↓H␈εαtimes,␈α
as␈αexplained␈α
in␈α
the␈αremarks␈α
belo␈α␈w,␈αit␈α
is␈α
possible␈α
to␈αbe␈α
extremely␈α
con|den␈α␈t
␈β
U␈↓ ↓H␈εαabout␈απthe␈αλprimality␈αλof␈↓ ∧"␈ελn␈↓ ∧8␈εα,␈αλin␈αλa␈αλprecise␈απsense,␈α	y␈α␈et␈απthe␈αλprimality␈αλwill␈απnot␈αλbe␈απrigorously
␈β
{␈↓ ∧/␈εk
␈β∞␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈ed.␈αLet␈↓ β
␈ελn␈↓ β)␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ ∧≥␈εα2␈↓ ∧>␈ελq␈↓ ∧N␈εα,␈αwhere␈↓ ¬L␈ελq␈↓ ¬h␈εαis␈αodd.
␈β∞8␈↓ ↓N␈ε∩P1.␈↓ α␈εα[Generate␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα.]␈α→Let␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧Q␈εαbe␈αa␈αrandom␈αin␈α␈teger␈αin␈αthe␈αrange␈α1␈α
<␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	K␈εα<␈↓ 	y␈ελn␈↓ 
∞␈εα.
␈β∞k␈↓ εU␈εq
␈β∞p␈↓ ↓N␈ε∩P2.␈↓ α␈εα[Exponen␈α␈tiate.]␈α∃Set␈↓ ∧M␈ελj␈↓ ∧g␈ε⊗ ␈εα␈α
0␈α
and␈↓ ¬v␈ελy␈↓ ε∀␈ε⊗ ␈↓ εB␈ελx␈↓ εh␈εαmod␈↓ π2␈ελn␈↓ πH␈εα.␈α∃(As␈α
in␈αour␈α
previous␈α
primality
␈β∂⊗␈↓ αo␈εq
␈β∂≠␈↓ α␈εαtest,␈↓ α\␈ελx␈↓ βα␈εαmod␈↓ βL␈ελn␈↓ βn␈εαshould␈αbe␈αcalculated␈αin␈↓ εd␈ελO␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈εαlog␈↓ π>␈ελq␈↓ πN␈εα)␈αsteps,␈αcf.␈αSection␈α4.6.3.)
␈β∂K␈↓ ∧z␈ε
j
␈β∂N␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ ¬¬␈εq
␈β∂T␈↓ ↓N␈ε∩P3.␈↓ α␈εα[Done?]␈α∨(No␈α␈w␈↓ ∧α␈ελy␈↓ ∧%␈εα=␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ¬→␈εαmod␈↓ ¬c␈ελn␈↓ ¬x␈εα.)␈α If␈↓ εU␈ελj␈↓ εu␈εα=␈α∂0␈α⊂and␈↓ λ∪␈ελy␈↓ λ7␈εα=␈α∂1,␈α⊂or␈α⊂if␈↓ 	k␈ελy␈↓ 
∂␈εα=␈↓ 
B␈ελn␈↓ 
b␈ε⊗␈␈εα␈α
1,
␈β∂␈␈↓ α␈εαterminate␈α
the␈α
algorithm␈α
and␈α
say␈α
\␈↓ ε ␈ελn␈↓ ε@␈εαis␈α
probably␈α
prime."␈αIf␈↓ 	≤␈ελj␈↓ 	6␈εα>␈α
0␈α
and␈↓ 
D␈ελy␈↓ 
b␈εα=␈α
1,
␈β⊂*␈↓ α␈εαgo␈αto␈αstep␈αP5.
␈β⊂]␈↓ πd␈ε¬2
␈β⊂b␈↓ ↓N␈ε∩P4.␈↓ α␈εα[Increase␈↓ β≤␈ελj␈↓ β,␈εα.]␈α∂Increase␈↓ ∧U␈ελj␈↓ ∧m␈εαby␈αλ1.␈α
If␈↓ ¬c␈ελj␈↓ ¬⎇␈εα<␈↓ ε+␈ελk␈↓ ε=␈εα,␈α	set␈↓ πβ␈ελy␈↓ π"␈ε⊗ ␈↓ πP␈ελy␈↓ πx␈εαmod␈↓ λB␈ελn␈↓ λ←␈εαand␈αλreturn␈αλto␈αλstep␈απP3.
␈β⊃~␈↓ ↓N␈ε∩P5.␈↓ α␈εα[Not␈αλprime.]␈α∞Terminate␈αλthe␈αλalgorithm␈απand␈αλsay␈αλ\␈↓ πk␈ελn␈↓ λλ␈εαis␈αλde|nitely␈απnot␈αλprime."
␈β⊃∨␈↓ ~␈∧⊃∨~≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα374␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα#␈↓ 	+␈εk
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈α∩idea␈α∩underlying␈α∩Algorithm␈α∪P␈α∩is␈α∩that␈α∩if␈↓ πi␈ελn␈↓ λ∪␈εα=␈α∀1␈α+␈↓ 	→␈εα2␈↓ 	:␈ελq␈↓ 	\␈εαis␈α∩prime␈α∩and
␈βαN␈↓ ↓Z␈εq
␈βαS␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓n␈εαmod␈↓ α8␈ελn␈↓ αW␈ε⊗≤␈εα␈α
1,␈αthe␈αsequence␈αof␈αvalues
␈ββ≥␈↓ λ¬␈ε
k
␈ββ ␈↓ ∧α␈ε¬2␈↓ ∧⊃␈εq␈↓ ¬K␈ε¬4␈↓ ¬Y␈εq␈↓ πw␈ε¬2␈↓ λ∩␈εq
␈ββ&␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧$␈εαmod␈↓ ∧n␈ελn␈↓ ¬∧␈εα,␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬l␈εαmod␈↓ ε6␈ελn␈↓ εL␈εα,␈↓ π␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π0␈εα,␈↓ πd␈ελx␈↓ λ%␈εαmod␈↓ λo␈ελn
␈ββu␈↓ ↓H␈εαwill␈α∞end␈α∞with␈α∞1,␈α∂and␈α∞the␈α∞value␈α∞just␈α∞preceding␈α∂the␈α∞|rst␈α∞appearance␈α∞of␈α∞1␈α∞will␈α∞be
␈β∧↓␈↓ αC␈ε↓␈
␈β∧≠␈↓ ¬?␈ε¬2
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓d␈ε⊗␈␈εα␈αλ1.␈↓ αQ␈εαThe␈αonly␈αsolutions␈αto␈↓ ¬+␈ελy␈↓ ¬W␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ π-␈ελp␈↓ π@␈εα)␈αare␈↓ λ∩␈ελy␈↓ λ0␈ε⊗⊃␈α
ε␈εα1,␈αwhen␈↓ 
π␈ελp␈↓ 
%␈εαis␈αprime,
␈β∧,␈↓ π
␈ε↓↓
␈β∧K␈↓ ↓H␈εαsince␈α(␈↓ α,␈ελy␈↓ αH␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ β≡␈ελy␈↓ β:␈εα+␈αλ1)␈αm␈α␈ust␈αbe␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ εn␈ελp␈↓ π␈εα.
␈β∧s␈↓ ~␈ε¬1
␈β∧w␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α22␈αpro␈α␈v␈α␈es␈αthe␈αbasic␈αfact␈αthat␈αAlgorithm␈αP␈αwill␈αbe␈αwrong␈αat␈αmost
␈β¬π␈↓ ~␈∧¬π~α∂
␈β¬	␈↓ ~␈ε¬4
␈β¬"␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α
time,␈α
for␈α
all␈↓ βl␈ελn␈↓ ∧α␈εα.␈αActually␈α
it␈α
will␈α
rarely␈α
fail␈α
at␈α
all,␈αfor␈α
most␈↓ 	≡␈ελn␈↓ 	4␈εα;␈α
but␈α
the␈α
crucial
␈β¬M␈↓ ↓H␈εαpoin␈α␈t␈αis␈αthat␈αthe␈αprobability␈αof␈αfailure␈αis␈αbounded␈ε∂␈αregardless␈εα␈αof␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ 
w␈ελn␈↓ ␈εα.
␈β¬x␈↓ α␈εαSuppose␈α∞w␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α␈ok␈α␈e␈α∞Algorithm␈α∞P␈α∞repeatedly,␈α∂choosing␈↓ λg␈ελx␈↓ 	π␈εαindependen␈α␈tly␈α∞and
␈βε#␈↓ ↓H␈εαat␈α
random␈α∞whenev␈α␈er␈α
w␈α␈e␈α∞get␈α
to␈α∞step␈α
P1.␈α⊃If␈α∞the␈α
algorithm␈α∞ev␈α␈er␈α
reports␈α∞that␈↓ 
q␈ελn␈↓ ∀␈εαis
␈βεO␈↓ ↓H␈εαnonprime,␈αw␈α␈e␈αcan␈αsay␈αthat␈↓ ∧v␈ελn␈↓ ¬↔␈εαde|nitely␈αisn't␈αprime.␈αBut␈αif␈αthe␈αalgorithm␈αreports
␈βεz␈↓ ↓H␈εα25␈α	times␈α
in␈α
a␈α	ro␈α␈w␈α
that␈↓ ∧%␈ελn␈↓ ∧D␈εαis␈α
\probably␈α
prime,"␈α
w␈α␈e␈α
can␈α	say␈α
that␈↓ 	
␈ελn␈↓ 	)␈εαis␈α
\almost␈α	surely
␈βπ ␈↓ π)␈ε¬25
␈βπ%␈↓ ↓H␈εαprime."␈α∃For␈α∂the␈α∂probability␈α∂is␈α∂less␈α∂than␈α∂(1/4␈↓ π≥␈εα)␈↓ πT␈εαthat␈α∂such␈α∂a␈α∂25-times-in-a-ro␈α␈w
␈βπP␈↓ ↓H␈εαprocedure␈α
giv␈α␈es␈α
the␈α
wrong␈α
information␈α
about␈↓ π∂␈ελn␈↓ π%␈εα.␈αThis␈α
is␈α
less␈α
than␈α
one␈α
chance␈α
in␈α
a
␈βπ{␈↓ ↓H␈εαquadrillion;␈αev␈α␈en␈αif␈αw␈α␈e␈αcerti|ed␈αa␈αbillion␈αdi{eren␈α␈t␈αprimes␈αwith␈αsuch␈αa␈αprocedure,
␈βλ#␈↓ λZ␈ε¬1
␈βλ'␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂expected␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂mistak␈α␈es␈α⊂w␈α␈ould␈α∂be␈α⊂less␈α⊂than␈↓ 	↔␈εα.␈α↔It's␈α⊂m␈α␈uch␈α∂more
␈βλ7␈↓ λ.␈∧λ7λ.αe
␈βλ9␈↓ λ.␈ε¬1␈α↓00␈α↓000␈α↓0
␈βλR␈↓ ↓H␈εαlik␈α␈ely␈αthat␈α
our␈αcomputer␈α
has␈α
dropped␈αa␈α
bit␈αin␈α
its␈α
calculations,␈αdue␈α
to␈αhardware
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαmalfunctions␈α	or␈α	cosmic␈α
radiations,␈α
than␈α	that␈α
Algorithm␈α	P␈α
has␈α	repeatedly␈α	guessed
␈β	(␈↓ ↓H␈εαwrong!
␈β	S␈↓ α␈εαProbabilistic␈α
algorithms␈α∞lik␈α␈e␈α
this␈α
lead␈α∞us␈α
to␈α
question␈α∞our␈α
traditional␈α
stand-
␈β	␈␈↓ ↓H␈εαards␈αof␈αreliability.␈αDo␈α
w␈α␈e␈αreally␈ε∂␈αneed␈εα␈αto␈αhav␈α␈e␈αa␈α
rigorous␈αproof␈αof␈αprimality?␈αFor
␈β
*␈↓ ↓H␈εαpeople␈α⊂un␈α␈willing␈α⊃to␈α⊂abandon␈α⊃traditional␈α⊃notions␈α⊂of␈α⊃proof,␈α∩Gary␈α⊂L.␈α⊃Miller␈α⊂has
␈β
P␈↓ ∧+␈ε
r
␈β
S␈↓ ∧F␈∧
S∧Fα⊗
␈β
T␈↓ ∧"␈ε⊗p
␈β
U␈↓ ↓H␈εαdemonstrated␈αthat,␈αif␈↓ ∧F␈ελn␈↓ ∧g␈εαis␈αnot␈αan␈αin␈α␈teger␈αfor␈αan␈α␈y␈αin␈α␈teger␈↓ λd␈ελr␈↓ λ}␈ε⊗∃␈εα␈α
2␈α(this␈αcondition
␈β␈↓ ↓H␈εαbeing␈α
easily␈αcheck␈α␈ed),␈α
and␈α
if␈α
a␈α
certain␈α
w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α
conjecture␈α
in␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αtheory
␈β+␈↓ ↓H␈εαcalled␈α	the␈αλExtended␈α	Riemann␈α	Hypothesis␈α	can␈α	be␈α	pro␈α␈v␈α␈ed,␈α	then␈α	either␈↓ 	j␈ελn␈↓ 
	␈εαis␈α	prime␈αλor
␈βR␈↓ ∧≥␈ε¬2
␈βW␈↓ ↓H␈εαthere␈αλis␈αλan␈↓ αn␈ελx␈↓ β␈εα<␈α
4(␈↓ βW␈εαln␈↓ β{␈ελn␈↓ ∧⊃␈εα)␈↓ ∧3␈εαsuch␈αλthat␈α	Algorithm␈αλP␈αλwill␈αλdisco␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈αλnonprimality␈α	of␈↓ 
␈ελn␈↓ "␈εα.
␈βα␈↓ ↓H␈εα[See␈ε∂␈αλJ.␈αλComp.␈α	System␈αλSci.␈ε∩␈αλ13␈εα␈α	(1976),␈α	300↑317.␈α
The␈α	constan␈α␈t␈αλ4␈αλin␈α	this␈αλupper␈αλbound
␈β-␈↓ ↓H␈εαis␈α∞due␈α∂to␈α∂Peter␈α∂Wein␈α␈berger,␈α∂whose␈α∂paper␈α∂on␈α∂the␈α∞subject␈α∂is␈α∂not␈α∂y␈α␈et␈α∞published.]
␈βS␈↓ 	c␈ε¬5
␈βX␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈α∞w␈α␈e␈α∂w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α∞a␈α∞rigorous␈α∂way␈α∞to␈α∞test␈α∞primality␈α∂in␈↓ λg␈ελO␈↓ 	↓␈εα(␈↓ 	
␈εαlog␈↓ 	A␈ελn␈↓ 	W␈εα)␈↓ 	␈␈εαelemen␈α␈tary
␈β}␈↓ ∀␈ε¬3
␈β
β␈↓ ↓H␈εαoperations,␈α	as␈α
opposed␈α	to␈α	a␈α
probabilistic␈α	method␈α	whose␈α	running␈α
time␈α	is␈↓ 
_␈ελO␈↓ 
2␈εα(␈↓ 
>␈εαlog␈↓ 
r␈ελn␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈β
/␈↓ ↓H␈εαBut␈αone␈αmigh␈α␈t␈αw␈α␈ell␈αask␈αwhether␈αan␈α␈y␈αpurported␈αproof␈αof␈αthe␈αExtended␈αRiemann
␈β
Z␈↓ ↓H␈εαHypothesis␈α∂will␈α⊂ev␈α␈er␈α⊂be␈α∂as␈α⊂reliable␈α⊂as␈α∂repeated␈α⊂application␈α∂of␈α⊂Algorithm␈α⊂P␈α∂on
␈β∞¬␈↓ ↓H␈εαrandom␈↓ αL␈ελx␈↓ α↑␈εα's.
␈β∞0␈↓ α␈εαA␈α
probabilistic␈α
test␈α
for␈α
primality␈αwas␈α
|rst␈α
proposed␈α
in␈α
1974␈α
by␈α
R.␈αSolo␈α␈vay
␈β∞[␈↓ ↓H␈εαand␈αλV.␈αλStrassen,␈α	who␈αλdevised␈αλthe␈αλin␈α␈teresting␈αλbut␈αλsomewhat␈αλmore␈αλcomplicated␈αλtest
␈β∂π␈↓ ↓H␈εαdescribed␈α
in␈α
ex␈α␈ercise␈α
23(b).␈α∂[See␈ε∂␈α
SIAM␈α
J.␈α
Computing␈ε∩␈α
6␈εα␈α
(1977),␈α∞84↑85;␈ε∩␈α
7␈εα␈α
(1978),
␈β∂2␈↓ ↓H␈εα118.]␈α≥Algorithm␈α∂P␈α∞is␈α∂a␈α∂simpli|ed␈α∞v␈α␈ersion␈α∂of␈α∞a␈α∂procedure␈α∞due␈α∂to␈α∞M.␈α∂O.␈α∞Rabin,
␈β∂]␈↓ ↓H␈εαbased␈αin␈αpart␈αon␈αideas␈αof␈αGary␈αL.␈αMiller␈α[cf.␈ε∂␈αAlgorithms␈αand␈αComplexity␈εα,␈αed.␈αby
␈β⊂λ␈↓ ↓H␈εαJ.␈αF.␈αTraub␈α(New␈αYork:␈αAcademic␈αPress,␈α1976),␈α35↑36].
␈β⊂F␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈απvia␈απcon␈α␈tin␈α␈ued␈απfractions.␈εα␈α
The␈απfactorization␈απprocedures␈απw␈α␈e␈αεhav␈α␈e␈απdiscussed
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαso␈α
far␈α
will␈α
often␈α
balk␈α
at␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
of␈α
30␈α
digits␈α
or␈α
more,␈αand␈α
another␈α
idea␈α
is␈α
needed
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαif␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α∞to␈α
go␈α∞m␈α␈uch␈α∞further.␈α∩Fortunately␈α∞there␈α∞is␈α∞such␈α∞an␈α∞idea;␈α∂in␈α∞fact,␈α∞there
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα375
␈βα(␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ere␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂ideas,␈α⊃due␈α⊂respectiv␈α␈ely␈α∂to␈α⊂A.␈α⊂M.␈α⊂Legendre␈α∂and␈α⊂M.␈α⊂Kraitchik,␈α⊂which
␈βαS␈↓ ↓H␈εαD.␈α⊂H.␈α⊂Lehmer␈α⊂and␈α⊂R.␈α⊂E.␈α⊂Po␈α␈w␈α␈ers␈α⊃used␈α⊂to␈α⊂devise␈α⊂a␈α⊂new␈α⊂technique␈α⊂man␈α␈y␈α⊂y␈α␈ears
␈βα}␈↓ ↓H␈εαago␈α[␈ε∂Bull.␈α
Amer.␈αMath.␈α
Soc.␈ε∩␈α37␈εα␈α
(1931),␈α
770↑776].␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
the␈αmethod␈α
was␈αnot
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαused␈αat␈αthat␈α
time␈αbecause␈αit␈α
was␈αcomparativ␈α␈ely␈αunsuitable␈α
for␈αdesk␈αcalculators.
␈ββU␈↓ ↓H␈εαThis␈α	negativ␈α␈e␈α	judgmen␈α␈t␈α	prevailed␈α	un␈α␈til␈α	the␈α	late␈α	1960s,␈α	when␈α	John␈α	Brillhart␈α	found
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αLehmer↑Po␈α␈w␈α␈ers␈αapproach␈αdeserv␈α␈ed␈αto␈αbe␈αresurrected,␈αsince␈αit␈αwas␈αquite
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell-suited␈α
to␈αcomputer␈αprogramming.␈αIn␈α
fact,␈αhe␈αand␈αMichael␈αA.␈αMorrison␈α
later
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαdev␈α␈eloped␈αλit␈αλin␈α␈to␈αλthe␈αλcurren␈α␈t␈αλchampion␈αλof␈αλall␈αλmethods␈απfor␈αλfactoring␈αλlarge␈αλn␈α␈um␈α␈bers:
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαIt␈α∞handles␈α∞typical␈α∞25-digit␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞in␈α∞about␈α∞30␈α∞seconds,␈α∞and␈α∞40-digit␈α∞n␈α␈um␈α␈bers
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαin␈αabout␈α
50␈α
min␈α␈utes,␈α
on␈α
an␈αIBM␈α
360/91␈α
computer␈α[see␈ε∂␈α
Math.␈α
Comp.␈ε∩␈α
29␈εα␈α(1975),
␈β¬X␈↓ ↓H␈εα183↑205].␈α
In␈α1970␈α
the␈αmethod␈α
had␈αits␈α
|rst␈αtriumphan␈α␈t␈αsuccess,␈α
disco␈α␈v␈α␈ering␈αthat
␈β¬}␈↓ ↓Z␈ε¬128
␈βεβ␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α
␈εα+␈αλ1␈α
=␈α
59649589127497217␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ5704689200685129054721.
␈βε.␈↓ α␈εαThe␈αbasic␈αidea␈αis␈αto␈αsearch␈αfor␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ πα␈ελx␈↓ π!␈εαand␈↓ πg␈ελy␈↓ λπ␈εαsuch␈αthat
␈βεd␈↓ ↓}␈ε¬2␈↓ αY␈ε¬2
␈βεk␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α↔␈ε⊗⊃␈↓ αE␈ελy␈↓ αq␈εα(modulo␈↓ β⎇␈ελN␈↓ ∧∨␈εα),␈↓ ¬β0␈α
<␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ¬`␈εα,␈↓ ¬p␈ελy␈↓ ε∞␈εα<␈↓ ε<␈ελN␈↓ ε↑␈εα,␈↓ π6␈ελx␈↓ πR␈ε⊗≤␈↓ λ␈ελy␈↓ λ∀␈εα,␈↓ λl␈ελx␈↓ 	π␈εα+␈↓ 	3␈ελy␈↓ 	Q␈ε⊗≤␈↓ 	␈␈ελN␈↓ 
!␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈βπ"␈↓ λ⊃␈ε¬2␈↓ λi␈ε¬2
␈βπ'␈↓ ↓H␈εαFermat's␈α
method␈α
imposes␈α
the␈α
stronger␈αrequiremen␈α␈t␈↓ π}␈ελx␈↓ λ(␈ε⊗␈␈↓ λU␈ελy␈↓ 	β␈εα=␈↓ 	3␈ελN␈↓ 	T␈εα,␈α
but␈α
actually
␈βπR␈↓ ↓H␈εαthe␈αλcongruence␈α	(17)␈αλis␈α	enough␈αλto␈α	split␈↓ ε␈ελN␈↓ ε6␈εαin␈α␈to␈αλfactors:␈αIt␈αλimplies␈α	that␈↓ 	]␈ελN␈↓ 
π␈εαis␈α	a␈αλdivisor
␈βπx␈↓ αλ␈ε¬2␈↓ αc␈ε¬2
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈ελx␈↓ α ␈ε⊗␈␈↓ αN␈ελy␈↓ β␈εα=␈α⊂(␈↓ β@␈ελx␈↓ β]␈ε⊗␈␈↓ ∧␈ελy␈↓ ∧∨␈εα)(␈↓ ∧7␈ελx␈↓ ∧T␈εα+␈↓ ¬α␈ελy␈↓ ¬⊗␈εα),␈α⊃y␈α␈et␈↓ ¬⎇␈ελN␈↓ ε.␈εαdivides␈α∂neither␈↓ λ(␈ελx␈↓ λE␈ε⊗␈␈↓ λt␈ελy␈↓ 	↔␈εαnor␈↓ 	Z␈ελx␈↓ 	w␈εα+␈↓ 
%␈ελy␈↓ 
:␈εα;␈α⊂hence
␈βλ(␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελN␈↓ α+␈εα,␈↓ α;␈ελx␈↓ αV␈ε⊗␈␈↓ ββ␈ελy␈↓ β↔␈εα)␈αand␈↓ βv␈εαgcd␈↓ ∧,␈εα(␈↓ ∧8␈ελN␈↓ ∧Z␈εα,␈↓ ∧j␈ελx␈↓ ¬¬␈εα+␈↓ ¬1␈ελy␈↓ ¬E␈εα)␈α
are␈αproper␈α
factors␈αof␈↓ λ.␈ελN␈↓ λ\␈εαthat␈α
can␈αbe␈α
found␈αby
␈βλS␈↓ ↓H␈εαEuclid's␈αalgorithm.
␈βλ␈␈↓ α␈εαOne␈α∂way␈α∂to␈α∞disco␈α␈v␈α␈er␈α∂solutions␈α∂of␈α∂(17)␈α∞is␈α∂to␈α∂look␈α∂for␈α∂values␈α∞of␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
⊗␈εαsuch␈α∞that
␈β	%␈↓ ↓Z␈ε¬2
␈β	*␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓u␈ε⊗⊃␈↓ α&␈ελa␈↓ αD␈εα(modulo␈↓ βP␈ελN␈↓ βr␈εα),␈α
for␈α∞small␈α
values␈α∞of␈ε⊗␈α
j␈↓ εS␈ελa␈↓ εe␈ε⊗j␈εα.␈α⊂As␈α∞w␈α␈e␈α
will␈α∞see,␈α∞it␈α
is␈α∞often␈α
a␈α
simple
␈β	U␈↓ ↓H␈εαmatter␈αto␈αpiece␈αtogether␈αsolutions␈αof␈αthis␈αcongruence␈αto␈αobtain␈αsolutions␈αof␈α(17).
␈β	{␈↓ αJ␈ε¬2␈↓ ∧↔␈ε¬2
␈β
␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α	if␈↓ α7␈ελx␈↓ αb␈εα=␈↓ β⊂␈ελa␈↓ β'␈εα+␈↓ βO␈ελk␈↓ βa␈ελN␈↓ ∧α␈ελd␈↓ ∧.␈εαfor␈α	some␈↓ ¬;␈ελk␈↓ ¬V␈εαand␈↓ ε→␈ελd␈↓ ε-␈εα,␈α
with␈α	small␈ε⊗␈α
j␈↓ πv␈ελa␈↓ λπ␈ε⊗j␈εα,␈α
the␈α	fraction␈↓ 	d␈ελx␈↓ 	w␈εα/␈↓ 
	␈ελd␈↓ 
&␈εαis␈α	a␈α	good
␈β
%␈↓ ∧	␈∧
%∧	α4
␈β
&␈↓ βe␈ε⊗p
␈β
+␈↓ ↓H␈εαappro␈α␈ximation␈αto␈↓ ∧	␈ελk␈↓ ∧≠␈ελN␈↓ ∧C␈εα;␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αif␈↓ ε3␈ελx␈↓ εF␈εα/␈↓ εX␈ελd␈↓ εy␈εαis␈αan␈αespecially␈αgood␈αappro␈α␈ximation
␈β
P␈↓ α≠␈∧
Pα≠α4
␈β
Q␈↓ ↓w␈ε⊗p
␈β
R␈↓ ∧m␈ε¬2␈↓ ¬|␈ε¬2
␈β
W␈↓ ↓H␈εαto␈↓ α≠␈ελk␈↓ α-␈ελN␈↓ αO␈εα,␈α⊂the␈α⊂di{erence␈ε⊗␈α∂j␈↓ ∧Z␈ελx␈↓ ¬ε␈ε⊗␈␈↓ ¬4␈ελk␈↓ ¬F␈ελN␈↓ ¬h␈ελd␈↓ ε
␈ε⊗j␈εα␈α⊂will␈α∂be␈α⊂small.␈α⊗This␈α⊂observation␈α∂suggests
␈β
|␈↓ πd␈∧
|πdα4
␈β
⎇␈↓ π@␈ε⊗p
␈βα␈↓ ↓H␈εαlooking␈α∂at␈α∞the␈α∂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fraction␈α∂expansion␈α∂of␈↓ πd␈ελk␈↓ πv␈ελN␈↓ λ↔␈εα,␈α⊂since␈α∂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∂seen␈α∞(Eq.
␈β-␈↓ ↓H␈εα4.5.3↑12)␈αthat␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfractions␈αyield␈αgood␈αrational␈αappro␈α␈ximations.
␈βX␈↓ α␈εαCon␈α␈tin␈α␈ued␈α∞fractions␈α
for␈α∞quadratic␈α∞irrationalities␈α
hav␈α␈e␈α∞man␈α␈y␈α∞pleasan␈α␈t␈α
prop-
␈ββ␈↓ ↓H␈εαerties,␈αwhich␈αare␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α4.5.3↑12.␈αThe␈αalgorithm␈αbelo␈α␈w␈αmak␈α␈es␈αuse␈αof
␈β/␈↓ ↓H␈εαthese␈αproperties␈αto␈αderiv␈α␈e␈αsolutions␈αto␈αthe␈αcongruence
␈βe␈↓ ∧(␈ε¬2␈↓ ¬<␈εe␈↓ ¬e␈εe␈↓ ε∞␈εe␈↓ εg␈εe
␈βk␈↓ ∧∃␈ελx␈↓ ∧@␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬0␈εα)␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬{␈ελp␈↓ ε$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈ελp␈↓ π≠␈εα(modulo␈↓ λ'␈ελN␈↓ λI␈εα).␈↓ 
p␈εα(18)
␈βm␈↓ ¬G␈επ0␈↓ ¬p␈επ1␈↓ ε→␈επ2␈↓ εr␈ε
m
␈β⎇␈↓ ¬e␈ε¬1␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ εg␈εm
␈β
'␈↓ ↓H␈εαHere␈α∂w␈α␈e␈α∂use␈α∂a␈α⊂|x␈α␈ed␈α∂set␈α∂of␈α⊂small␈α∂primes␈↓ εU␈ελp␈↓ π∧␈εα=␈α∂2,␈↓ πd␈ελp␈↓ λ∩␈εα=␈α⊂3,␈↓ λr␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	"␈εα,␈α⊂up␈α∂to␈↓ 
#␈ελp␈↓ 
N␈εα;␈α⊂only
␈β
4␈↓ εf␈ε¬1␈↓ πu␈ε¬2␈↓ 
4␈εm
␈β
M␈↓ ε>␈ε¬(␈↓ εH␈εp␈↓ εW␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β
R␈↓ ↓H␈εαprimes␈↓ α;␈ελp␈↓ αZ␈εαsuch␈αthat␈αeither␈↓ ∧←␈ελp␈↓ ∧{␈εα=␈α
2␈αor␈α(␈↓ ¬␈␈ελk␈↓ ε⊃␈ελN␈↓ ε2␈εα)␈↓ π/␈εαmod␈↓ πy␈ελp␈↓ λ∃␈ε⊗∀␈εα␈α
1␈αshould␈αappear␈αin␈αthis
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εαlist,␈α∂since␈α∂other␈α∂primes␈α∂will␈α∂nev␈α␈er␈α∂be␈α∂factors␈α∂of␈α∂the␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂generated␈α∂by␈α∂the
␈β∞(␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞(see␈α∞ex␈α␈ercise␈α∂14).␈α∪If␈α∞(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬\␈εα,␈↓ ¬l␈ελe␈↓ ε⊗␈εα,␈↓ ε&␈ελe␈↓ εO␈εα,␈↓ ε←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εα,␈↓ π∨␈ελe␈↓ πU␈εα),␈↓ πz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ*␈εα,␈α∂(␈↓ λO␈ελx␈↓ λl␈εα,␈↓ λ|␈ελe␈↓ 	%␈εα,␈↓ 	5␈ελe␈↓ 	↑␈εα,␈↓ 	n␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
≡␈εα,␈↓ 
.␈ελe␈↓ 
b␈εα)␈α∞are
␈β∞6␈↓ ¬M␈ε¬1␈↓ ¬y␈ε¬01␈↓ ε3␈ε¬11␈↓ π,␈εm␈↓ πF␈ε¬1␈↓ λ←␈εr␈↓ 		␈ε¬0␈↓ 	_␈εr␈↓ 	B␈ε¬1␈↓ 	Q␈εr␈↓ 
;␈εm␈↓ 
U␈εr
␈β∞T␈↓ ↓H␈εαsolutions␈αof␈α(18)␈αsuch␈αthat␈αthe␈αv␈α␈ector␈αsum
␈β∂
␈↓ λC␈ε→0␈↓ 	↓␈ε→0␈↓ 
␈ε→0
␈β∂⊂␈↓ αN␈εα(␈↓ αZ␈ελe␈↓ β∧␈εα,␈↓ β∀␈ελe␈↓ β>␈εα,␈↓ βN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β}␈εα,␈↓ ∧∞␈ελe␈↓ ∧C␈εα)␈αλ+␈↓ ¬β␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬5␈εα+␈αλ(␈↓ ¬m␈ελe␈↓ ε⊗␈εα,␈↓ ε&␈ελe␈↓ εO␈εα,␈↓ ε←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εα,␈↓ π∨␈ελe␈↓ πS␈εα)␈α
=␈α
(2␈↓ λ5␈ελe␈↓ λQ␈εα,␈αε2␈↓ λs␈ελe␈↓ 	⊂␈εα,␈↓ 	 ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	P␈εα,␈αε2␈↓ 	r␈ελe␈↓ 
~␈εα)␈↓ 
p␈εα(19)
␈β∂≥␈↓ αg␈ε¬0␈α↓1␈↓ β!␈ε¬11␈↓ ∧≠␈εm␈↓ ∧5␈ε¬1␈↓ ¬z␈ε¬0␈↓ ελ␈εr␈↓ ε3␈ε¬1␈↓ εA␈εr␈↓ π,␈εm␈↓ πE␈εr
␈β∂"␈↓ λC␈ε¬0␈↓ 	↓␈ε¬1␈↓ 
␈εm
␈β∂L␈↓ ↓H␈εαis␈ε∂␈αev␈α␈en␈εα␈αin␈αeach␈αcomponen␈α␈t,␈αthen
␈β∂h␈↓ εy␈ε↓␈
␈β∂⎇␈↓ λ
␈ε≠0
␈β∂}␈↓ πa␈ε≠0␈↓ λd␈ε≠0
␈β⊂↓␈↓ π}␈εe
␈β⊂α␈↓ πU␈εe␈↓ λX␈εe
␈β⊂λ␈↓ β↓␈ελx␈↓ β≡␈εα=␈α
(␈↓ βX␈ελx␈↓ β⎇␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧W␈εα)␈↓ ∧i␈εαmod␈↓ ¬3␈ελN␈↓ ¬U␈εα,␈↓ ε-␈ελy␈↓ εK␈εα=␈↓ ππ␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ πI␈εα)␈↓ πl␈ελp␈↓ λ∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λE␈ελp␈↓ λu␈εα)␈↓ 	π␈εαmod␈↓ 	Q␈ελN␈↓ 
p␈εα(20)
␈β⊂
␈↓ λ
␈επ1
␈β⊂∞␈↓ πa␈επ0␈↓ λ`␈ε
m
␈β⊂∃␈↓ βh␈ε¬1␈↓ ∧=␈εm
␈β⊂~␈↓ λX␈εm
␈β⊂≠␈↓ π}␈ε¬1
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαyields␈αa␈αsolution␈αto␈α(17),␈αex␈α␈cept␈αfor␈αthe␈αpossibility␈αthat␈↓ λ.␈ελx␈↓ λK␈ε⊗⊃␈α
ε␈↓ 	≥␈ελy␈↓ 	1␈εα.␈αCondition␈α(19)
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαessen␈α␈tially␈α∞says␈α∂that␈α∂the␈α∂v␈α␈ectors␈α∞are␈α∂linearly␈α∂dependen␈α␈t␈α∂modulo␈α∞2,␈α⊂so␈α∂w␈α␈e␈α∞m␈α␈ust
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αa␈αsolution␈αto␈α(19)␈αif␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αfound␈αat␈αleast␈↓ πI␈ελm␈↓ πp␈εα+␈αλ2␈αsolutions␈αto␈α(18).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα376␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α∂E␈εα␈α⊂(␈ε∂Factoring␈α⊂via␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α∂fractions␈↓ πC␈εα)␈ε∩.␈εα␈α Giv␈α␈en␈α⊂a␈α∂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈teger␈↓ ␈ελN
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαand␈α∂a␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈teger␈↓ ∧7␈ελk␈↓ ∧X␈εαsuch␈α⊂that␈↓ ε␈ελk␈↓ ε∩␈ελN␈↓ εC␈εαis␈α⊂not␈α∂a␈α⊂perfect␈α⊂square,␈α⊃this␈α∂algorithm
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαattempts␈αto␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈αsolutions␈α
to␈αthe␈α
congruence␈α(18)␈α
for␈α|x␈α␈ed␈↓ 	,␈ελm␈↓ 	K␈εα,␈α
by␈αanalyzing
␈ββ"␈↓ π6␈∧β"π6α4
␈ββ#␈↓ π∩␈ε⊗p
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαthe␈αcon␈α␈v␈α␈ergen␈α␈ts␈αto␈αthe␈αcon␈α␈tin␈α␈ued␈αfraction␈αfor␈↓ π6␈ελk␈↓ πG␈ελN␈↓ πi␈εα.␈α_(Another␈αalgorithm,␈αwhich
␈ββS␈↓ ↓H␈εαuses␈αthe␈αoutputs␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αfactors␈αof␈↓ ε,␈ελN␈↓ εM␈εα,␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αex␈α␈ercise␈α12.)
␈β∧↓␈↓ εI␈∧∧↓εIα≤
␈β∧α␈↓ ε%␈ε⊗p␈↓ π%␈ε→0␈↓ 	1␈ε→0␈↓ 
∪␈ε→0
␈β∧π␈↓ ↓L␈ε∩E1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α∨Set␈↓ ∧∩␈ελD␈↓ ∧<␈ε⊗ ␈↓ ∧o␈ελk␈↓ ¬↓␈ελN␈↓ ¬"␈εα,␈ελ␈α⊂R␈ε⊗␈α∂ ␈α∂b␈↓ εI␈ελD␈↓ εe␈ε⊗c␈εα,␈↓ π␈ελR␈↓ π<␈ε⊗ ␈εα␈α∂2␈ελR␈εα,␈↓ λ4␈ελU␈↓ λ`␈ε⊗ ␈↓ 	∪␈ελU␈↓ 	G␈ε⊗ ␈↓ 	z␈ελR␈↓ 
≠␈εα,␈↓ 
4␈ελV␈↓ 
]␈ε⊗ ␈εα␈α∂1,
␈β∧-␈↓ α&␈ε→0␈↓ β[␈ε¬2␈↓ ¬,␈ε→0
␈β∧2␈↓ α␈ελV␈↓ α<␈ε⊗ ␈↓ αo␈ελD␈↓ β∀␈ε⊗␈␈↓ βB␈ελR␈↓ βj␈εα,␈↓ ∧∧␈ελP␈↓ ∧,␈ε⊗ ␈ελ␈α∂R␈εα,␈↓ ¬∩␈ελP␈↓ ¬B␈ε⊗ ␈εα␈α∂1,␈↓ ε!␈ελA␈↓ εH␈ε⊗ ␈εα␈α∂0,␈↓ π'␈ελS␈↓ πL␈ε⊗ ␈εα␈α∂0.␈α≡(This␈α∂algorithm␈α∂follo␈α␈ws
␈β∧]␈↓ α␈εαthe␈α⊂general␈α⊃procedure␈α⊂of␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊂4.5.3↑12,␈α∩|nding␈α⊂the␈α⊂con␈α␈tin␈α␈ued␈α⊂fraction
␈β¬α␈↓ ∧∧␈∧¬α∧∧α4
␈β¬β␈↓ β`␈ε⊗p␈↓ πλ␈ε→0␈↓ πr␈ε→0␈↓ λ[␈ε→0
␈β¬λ␈↓ α␈εαexpansion␈α
of␈↓ ∧∧␈ελk␈↓ ∧⊗␈ελN␈↓ ∧8␈εα.␈α∂The␈α
variables␈↓ ε5␈ελU␈↓ εS␈εα,␈↓ εj␈ελU␈↓ π∂␈εα,␈↓ π&␈ελV␈↓ π@␈εα,␈↓ πX␈ελV␈↓ πy␈εα,␈↓ λ⊂␈ελP␈↓ λ*␈εα,␈↓ λA␈ελP␈↓ λb␈εα,␈↓ λz␈ελA␈↓ 	∩␈εα,␈α
and␈↓ 	p␈ελS␈↓ 
∪␈εαrepresen␈α␈t,
␈β¬4␈↓ α␈εαrespectiv␈α␈ely,␈α	what␈α	that␈αλex␈α␈ercise␈αλcalls␈ελ␈α	R␈εα␈αβ+␈↓ π
␈ελU␈↓ π3␈εα,␈ελ␈α	R␈εα␈αβ+␈↓ λ	␈ελU␈↓ λ↑␈εα,␈↓ λq␈ελV␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	*␈ελV␈↓ 	{␈εα,␈↓ 
∞␈ελp␈↓ 
7␈εαmod␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β¬A␈↓ π!␈εn␈↓ λ ␈εn␈↓ λ2␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	¬␈εn␈↓ 	>␈εn␈↓ 	P␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
∨␈εn
␈β¬Z␈↓ 
m␈ε→0
␈β¬←␈↓ α␈ελp␈↓ α`␈εαmod␈↓ β*␈ελN␈↓ βL␈εα,␈↓ βd␈ελA␈↓ ∧
␈εα,␈α∞and␈↓ ∧l␈ελn␈↓ ¬λ␈εαmod␈↓ ¬R␈εα2.␈α⊂We␈α∞will␈α
always␈α∞hav␈α␈e␈α
0␈α
<␈↓ 	#␈ελV␈↓ 	I␈ε⊗∀␈↓ 	z␈ελU␈↓ 
$␈ε⊗∀␈↓ 
T␈ελR␈↓ 
u␈εα,␈α
so
␈β¬l␈↓ α≥␈εn␈↓ α/␈ε→␈␈ε¬1␈↓ β{␈εn
␈βε¬␈↓ λ¬␈ε→0
␈βε
␈↓ α␈εαthe␈αhighest␈αprecision␈αis␈αneeded␈αonly␈αfor␈↓ π␈ελP␈↓ π&␈εαand␈↓ πl␈ελP␈↓ λ
␈εα.)
␈βε9␈↓ π≤␈ε→0␈↓ λI␈ε→0␈↓ λ␈␈ε→0
␈βε>␈↓ ↓L␈ε∩E2.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β)␈ελU␈↓ βG␈εα,␈↓ β\␈ελV␈↓ βv␈εα,␈↓ ∧␈ελS␈↓ ∧!␈εα.]␈α⊗Set␈↓ ¬λ␈ελT␈↓ ¬,␈ε⊗ ␈↓ ¬Z␈ελV␈↓ ¬t␈εα,␈↓ ε	␈ελV␈↓ ε-␈ε⊗ ␈↓ ε[␈ελA␈↓ εs␈εα(␈↓ ε␈␈ελU␈↓ π*␈ε⊗␈␈↓ πT␈ελU␈↓ πr␈εα)␈απ+␈↓ λ/␈ελV␈↓ λP␈εα,␈↓ λe␈ελV␈↓ 	⊂␈ε⊗ ␈↓ 	>␈ελT␈↓ 	X␈εα,␈↓ 	m␈ελA␈↓ 
∂␈ε⊗ ␈α
b␈↓ 
K␈ελU␈↓ 
h␈εα/␈↓ 
z␈ελV␈↓ ∀␈ε⊗c␈εα,
␈βεd␈↓ α*␈ε→0␈↓ ∧␈ε→0
␈βεi␈↓ α␈ελU␈↓ α;␈ε⊗ ␈↓ αi␈ελU␈↓ βπ␈εα,␈↓ β≥␈ελU␈↓ βD␈ε⊗ ␈↓ βr␈ελR␈↓ ∧~␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ∧R␈ελU␈↓ ∧v␈εαmod␈↓ ¬@␈ελV␈↓ ¬Z␈εα),␈↓ ¬|␈ελS␈↓ ε≤␈ε⊗ ␈εα␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π⊂␈ελS␈↓ π&␈εα.
␈βε⎇␈↓ βX␈ε↓␈
␈βπ↔␈↓ ¬e␈ε¬2␈↓ εx␈ε¬2␈↓ λ∃␈εS
␈βπ≥␈↓ ↓L␈ε∩E3.␈↓ α␈εα[Factor␈↓ β
␈ελV␈↓ β'␈εα.]␈↓ βf␈εαNo␈α␈w␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈↓ ¬K␈ελP␈↓ ¬⎇␈ε⊗␈␈↓ ε*␈ελk␈↓ ε<␈ελN␈↓ ε↑␈ελQ␈↓ π∀␈εα=␈α∂(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λ	␈εα)␈↓ λ'␈ελV␈↓ λA␈εα,␈α∂for␈α∞some␈↓ 	q␈ελQ␈↓ 
→␈εαrelativ␈α␈ely
␈βπ(␈↓ ¬␈␈ε↓↓
␈βπH␈↓ α␈εαprime␈αto␈↓ β≥␈ελP␈↓ β6␈εα,␈αby␈αex␈α␈ercise␈α4.5.3(c).␈↓ ε%␈εαSet␈α(␈↓ εn␈ελe␈↓ π	␈εα,␈↓ π→␈ελe␈↓ π5␈εα,␈↓ πE␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πu␈εα,␈↓ λ¬␈ελe␈↓ λ,␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ λ|␈ελS␈↓ 	∩␈εα,␈αε0,␈↓ 	D␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	t␈εα,␈αε0),␈↓ 
7␈ελT␈↓ 
Z␈ε⊗ ␈↓ λ␈ελV␈↓ "␈εα.
␈βπU␈↓ ε{␈ε¬0␈↓ π&␈ε¬1␈↓ λ∩␈εm
␈βπs␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α
do␈α
the␈α
follo␈α␈wing,␈α
for␈α
1␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬|␈ελj␈↓ ε_␈ε⊗∀␈↓ εG␈ελm␈↓ εg␈εα:␈α
If␈↓ π#␈ελT␈↓ πC␈εαmod␈↓ λ
␈ελp␈↓ λ6␈εα=␈α0,␈α
set␈↓ 	H␈ελT␈↓ 	m␈ε⊗ ␈↓ 
≤␈ελT␈↓ 
5␈εα/␈↓ 
G␈ελp␈↓ 
r␈εαand
␈βλ␈↓ λ≡␈εj␈↓ 
X␈εj
␈βλ≡␈↓ α␈ελe␈↓ α0␈ε⊗ ␈↓ α↑␈ελe␈↓ β␈εα+␈αλ1,␈αand␈αrepeat␈αthis␈αprocess␈αun␈α␈til␈↓ π∨␈ελT␈↓ π?␈εαmod␈↓ λ	␈ελp␈↓ λ1␈ε⊗≤␈εα␈α
0.
␈βλ,␈↓ α→␈εj␈↓ αk␈εj␈↓ λ~␈εj
␈βλR␈↓ ↓L␈ε∩E4.␈↓ α␈εα[Solution?]␈α→If␈↓ βm␈ελT␈↓ ∧⊂␈εα=␈α
1,␈αoutput␈αthe␈αvalues␈α(␈↓ π∪␈ελP␈↓ π-␈εα,␈↓ π=␈ελe␈↓ πY␈εα,␈↓ πi␈ελe␈↓ λ∧␈εα,␈↓ λ∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λD␈εα,␈↓ λT␈ελe␈↓ λ{␈εα),␈αwhich␈αcomprise␈αa
␈βλ←␈↓ πJ␈ε¬0␈↓ πv␈ε¬1␈↓ λa␈εm
␈βλ⎇␈↓ α␈εαsolution␈α	to␈α
(22).␈α(If␈α	enough␈α	solutions␈α
hav␈α␈e␈α	been␈α	generated,␈α
w␈α␈e␈α	may␈α	terminate
␈β	(␈↓ α␈εαthe␈αalgorithm␈αno␈α␈w.)
␈β	W␈↓ βu␈ε→0␈↓ εa␈ε→0␈↓ 
≡␈ε→0
␈β	\␈↓ ↓L␈ε∩E5.␈↓ α␈εα[Advance␈↓ β+␈ελP␈↓ βE␈εα,␈↓ β\␈ελP␈↓ β|␈εα.]␈α≠If␈↓ ∧P␈ελV␈↓ ∧u␈ε⊗≤␈εα␈α1␈α
or␈↓ ¬p␈ελU␈↓ ε→␈ε⊗≤␈↓ εH␈ελR␈↓ εh␈εα,␈α
set␈↓ π8␈ελT␈↓ π]␈ε⊗ ␈↓ λ␈ελP␈↓ λ&␈εα,␈↓ λ=␈ελP␈↓ λb␈ε⊗ ␈εα␈α(␈↓ 	≥␈ελA␈↓ 	5␈ελP␈↓ 	W␈εα+␈↓ 
∧␈ελP␈↓ 
%␈εα)␈↓ 
7␈εαmod␈↓ ↓␈ελN␈↓ "␈εα,
␈β
α␈↓ α&␈ε→0
␈β
π␈↓ α␈ελP␈↓ α9␈ε⊗ ␈↓ αh␈ελT␈↓ βα␈εα.␈α∂Otherwise␈α
the␈α
con␈α␈tin␈α␈ued␈α
fraction␈α
process␈α
has␈α
started␈α
to␈α
repeat␈α
its
␈β
∪␈↓ 	<␈ε↓␈
␈β
2␈↓ α␈εαcy␈α␈cle,␈α⊂ex␈α␈cept␈α⊂perhaps␈α∂for␈↓ ¬-␈ελS␈↓ ¬C␈εα,␈α⊃so␈α∂the␈α∂algorithm␈α⊂terminates.␈↓ 	J␈εαThe␈α⊂cy␈α␈cle␈α∂will
␈β
]␈↓ α␈εαusually␈α∞be␈α∞so␈α∂long␈α∞that␈α∞this␈α∞doesn't␈α∞happen,␈α∂unless␈↓ λH␈ελk␈↓ λZ␈ελN␈↓ 	
␈εαis␈α∞nearly␈α∞a␈α∞perfect
␈β
i␈↓ αz␈ε↓↓
␈β	␈↓ α␈εαsquare.
␈β∞␈↓ β0␈∧∞β0≠∂
␈βE␈↓ α␈εαWe␈α
can␈α
illustrate␈α	the␈α
application␈α
of␈α
Algorithm␈α	E␈α
to␈α
relativ␈α␈ely␈α
small␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈βp␈↓ ↓H␈εαby␈α
considering␈α∞the␈α
case␈↓ ∧G␈ελN␈↓ ∧u␈εα=␈α
197209,␈↓ ε*␈ελk␈↓ εH␈εα=␈α1,␈↓ π"␈ελm␈↓ πN␈εα=␈α3,␈↓ λ(␈ελp␈↓ λT␈εα=␈α2,␈↓ 	.␈ελp␈↓ 	Z␈εα=␈α3,␈↓ 
4␈ελp␈↓ 
`␈εα=␈α5.
␈β⎇␈↓ λ9␈ε¬1␈↓ 	?␈ε¬2␈↓ 
E␈ε¬3
␈β≠␈↓ ↓H␈εαThe␈αcomputation␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β`␈↓ β≥␈ελU␈↓ ∧␈ελV␈↓ ∧p␈ελA␈↓ ¬w␈ελP␈↓ ππ␈ελS␈↓ πq␈ελT␈↓ 	=␈εαOutput
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE1:␈↓ β⊂␈εα888␈↓ ∧!␈εα1␈↓ ∧|␈εα0␈↓ ε
␈εα444␈↓ π␈εα0␈↓ πf␈εα←
␈β
A␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα876␈↓ ∧∂␈εα73␈↓ ∧j␈εα12␈↓ ε
␈εα444␈↓ π␈εα1␈↓ πf␈εα73
␈β
l␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα882␈↓ β⎇␈εα145␈↓ ∧|␈εα6␈↓ ¬{␈εα5329␈↓ π␈εα0␈↓ πf␈εα29
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα857␈↓ ∧∂␈εα37␈↓ ∧j␈εα23␈↓ ¬i␈εα32418␈↓ π␈εα1␈↓ πf␈εα37
␈β∞=␈↓ 	-␈ε¬2␈↓ 
)␈ε¬4␈↓ 
d␈ε¬2␈↓ ≡␈ε¬1
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα751␈↓ β⎇␈εα720␈↓ ∧|␈εα1␈↓ ¬W␈εα159316␈↓ π␈εα0␈↓ πx␈εα1␈↓ λA␈εα15931␈↓ 	≠␈εα6␈↓ 	E␈ε⊗⊃␈εα␈α
+␈↓ 
↔␈εα2␈↓ 
@␈ε⊗↓␈↓ 
R␈εα3␈↓ 
z␈ε⊗↓␈↓ ␈εα5
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα852␈↓ β⎇␈εα143␈↓ ∧|␈εα5␈↓ ¬W␈εα191734␈↓ π␈εα1␈↓ πT␈εα143
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα681␈↓ β⎇␈εα215␈↓ ∧|␈εα3␈↓ ¬E␈εα1319410␈↓ εy␈εα43
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα863␈↓ β⎇␈εα656␈↓ ∧|␈εα1␈↓ ¬W␈εα193139␈↓ π␈εα1␈↓ πf␈εα41
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα883␈↓ ∧∂␈εα33␈↓ ∧j␈εα26␈↓ ¬W␈εα127871␈↓ π␈εα0␈↓ πf␈εα11
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα821␈↓ β⎇␈εα136␈↓ ∧|␈εα6␈↓ ¬W␈εα165232␈↓ π␈εα1␈↓ πf␈εα17
␈β⊂A␈↓ 	-␈ε¬2␈↓ 
)␈ε¬0␈↓ 
d␈ε¬4␈↓ ≡␈ε¬1
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα877␈↓ β⎇␈εα405␈↓ ∧|␈εα2␈↓ ¬W␈εα133218␈↓ π␈εα0␈↓ πx␈εα1␈↓ λA␈εα13321␈↓ 	≠␈εα8␈↓ 	E␈ε⊗⊃␈εα␈α
+␈↓ 
↔␈εα2␈↓ 
@␈ε⊗↓␈↓ 
R␈εα3␈↓ 
z␈ε⊗↓␈↓ ␈εα5
␈β⊂l␈↓ 	-␈ε¬2␈↓ 
)␈ε¬3␈↓ 
d␈ε¬1␈↓ ≡␈ε¬0
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα875␈↓ ∧∂␈εα24␈↓ ∧j␈εα36␈↓ ¬i␈εα37250␈↓ π␈εα1␈↓ πx␈εα1␈↓ λS␈εα3725␈↓ 	≠␈εα0␈↓ 	E␈ε⊗⊃␈α
␈␈↓ 
↔␈εα2␈↓ 
@␈ε⊗↓␈↓ 
R␈εα3␈↓ 
z␈ε⊗↓␈↓ ␈εα5
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαAfter␈αE4:␈↓ β⊂␈εα490␈↓ β⎇␈εα477␈↓ ∧|␈εα1␈↓ ¬i␈εα93755␈↓ π␈εα0␈↓ πf␈εα53
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα377
␈βα(␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈tin␈α␈uing␈α
the␈αcomputation␈αgiv␈α␈es␈α25␈αoutputs␈α
in␈αthe␈α|rst␈α100␈α
iterations;␈αin␈α
other
␈βαS␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ords,␈α
the␈αalgorithm␈α
is␈α
|nding␈αsolutions␈α
quite␈αrapidly.␈αBut␈α
some␈αof␈α
the␈α
solutions
␈βα}␈↓ ↓H␈εαare␈α	trivial.␈αFor␈α	example,␈α
if␈α	the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	computation␈α	w␈α␈ere␈α	con␈α␈tin␈α␈ued␈α	13␈α	more␈α	times,
␈ββ%␈↓ ¬z␈ε¬2␈↓ εV␈ε¬4␈↓ π∩␈ε¬2␈↓ πM␈ε¬0
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
obtain␈αthe␈α
output␈α
19719␈↓ ¬h␈εα7␈↓ ε∀␈ε⊗⊃␈↓ εD␈εα2␈↓ εm␈ε⊗↓␈↓ π␈εα3␈↓ π)␈ε⊗↓␈↓ π;␈εα5␈↓ π\␈εα,␈α
which␈α
is␈α
of␈α
no␈α
in␈α␈terest␈αsince
␈ββU␈↓ ↓H␈εα197197␈ε⊗␈α
⊃␈α
␈␈εα12.␈α∩The␈α∞|rst␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞solutions␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞are␈α∞already␈α∞enough␈α∞to␈α∞complete
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactorization:␈αWe␈αhav␈α␈e␈αfound␈αthat
␈β∧P␈↓ ¬-␈ε¬2␈↓ ε⊃␈ε¬2␈↓ εL␈ε¬3␈↓ πε␈ε¬1␈↓ π!␈ε¬2
␈β∧V␈↓ β#␈εα(159316␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ133218␈↓ ¬!␈εα)␈↓ ¬E␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈↓ ¬␈␈εα2␈↓ ε(␈ε⊗↓␈↓ ε:␈εα3␈↓ εb␈ε⊗↓␈↓ εt␈εα5␈↓ π∃␈εα)␈↓ πC␈εα(modulo␈α197209);
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαth␈α␈us␈α(17)␈α
holds␈α
with␈↓ ∧∩␈ελx␈↓ ∧0␈εα=␈α(159316␈ε⊗␈α	↓␈εα␈αλ133218)␈↓ εp␈εαmod␈↓ π:␈εα197209␈α=␈α126308,␈↓ 	d␈ελy␈↓ 
β␈εα=␈α540.␈α∞By
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαEuclid's␈αλalgorithm,␈↓ βx␈εαgcd␈↓ ∧.␈εα(126308␈ε⊗␈αβ␈␈εα␈α∧540,␈αε197209)␈α
=␈α
199;␈α
hence␈αλw␈α␈e␈α	obtain␈α	the␈αλpretty
␈βεα␈↓ ↓H␈εαfactorization
␈βε-␈↓ ¬ ␈εα197209␈α
=␈α
199␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ991.
␈βεq␈↓ α␈εαAlgorithm␈α∂E␈α∂begins␈α∞its␈α∂attempt␈α∂to␈α∞factorize␈↓ πW␈ελN␈↓ λλ␈εαby␈α∞essen␈α␈tially␈α∂replacing␈↓ ␈ελN
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓}␈ελk␈↓ α⊂␈ελN␈↓ α2␈εα,␈α∂and␈α∂this␈α∞is␈α∂a␈α∞rather␈α∂curious␈α∂way␈α∞to␈α∂proceed␈α∂(if␈α∞not␈α∂do␈α␈wnrigh␈α␈t␈α∞stupid).
␈βπG␈↓ ↓H␈εαNev␈α␈ertheless,␈αit␈αturns␈α
out␈αto␈αbe␈α
a␈αgood␈αidea,␈α
since␈αcertain␈αvalues␈α
of␈↓ 	w␈ελk␈↓ 
∃␈εαwill␈αmak␈α␈e
␈βπs␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ α¬␈ελV␈↓ α*␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αdivisible␈αby␈αmore␈αsmall␈αprimes,␈αhence␈αthey␈αwill␈αbe␈αmore␈αlik␈α␈ely␈αto
␈βλ≡␈↓ ↓H␈εαfactor␈α
completely␈α∞in␈α∞step␈α∞E3.␈α∩On␈α
the␈α∞other␈α∞hand,␈α∂a␈α
large␈α∞value␈α∞of␈↓ 	t␈ελk␈↓ 
∀␈εαwill␈α
mak␈α␈e
␈βλI␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ α
␈ελV␈↓ α4␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α⊂larger,␈α⊃hence␈α⊂they␈α⊂will␈α⊂be␈α⊂less␈α∂lik␈α␈ely␈α⊂to␈α⊂factor␈α⊂completely;␈α∩w␈α␈e
␈βλt␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈α
to␈α∞balance␈α
these␈α∞tendencies␈α
by␈α∞choosing␈↓ π)␈ελk␈↓ πI␈εαwisely.␈α⊂Consider,␈α∞for␈α
example,
␈β	~␈↓ πT␈ε¬2␈↓ λh␈ε¬2␈↓ 
¬␈εS
␈β	∨␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞divisibility␈α∂of␈↓ βl␈ελV␈↓ ∧∀␈εαby␈α∂po␈α␈w␈α␈ers␈α∂of␈α∞5.␈α∀We␈α∂hav␈α␈e␈↓ π;␈ελP␈↓ πm␈ε⊗␈␈↓ λ~␈ελk␈↓ λ,␈ελN␈↓ λN␈ελQ␈↓ 	¬␈εα=␈α∞(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ 	y␈εα)␈↓ 
↔␈ελV␈↓ 
@␈εαin␈α∞step
␈β	E␈↓ ¬T␈ε¬2␈↓ εs␈ε¬2
␈β	K␈↓ ↓H␈εαE3,␈α⊂so␈α∂if␈α⊂5␈α∂divides␈↓ ∧␈ελV␈↓ ∧)␈εαw␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈↓ ¬:␈ελP␈↓ ¬r␈ε⊗⊃␈↓ ε&␈ελk␈↓ ε8␈ελN␈↓ εY␈ελQ␈↓ π∩␈εα(modulo␈α5).␈α⊗In␈α∂this␈α⊂congruence␈↓ ∩␈ελQ
␈β	v␈↓ ↓H␈εαcannot␈α⊂be␈α∂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α⊂5,␈α⊃since␈α⊂it␈α⊂is␈α⊂relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α⊂to␈↓ λk␈ελP␈↓ 	¬␈εα,␈α⊃so␈α⊂w␈α␈e␈α⊂may␈α∂write
␈β
≤␈↓ α%␈ε¬2
␈β
!␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελP␈↓ ↓m␈εα/␈↓ ↓␈␈ελQ␈↓ α→␈εα)␈↓ α>␈ε⊗⊃␈↓ αl␈ελk␈↓ α}␈ελN␈↓ β)␈εα(modulo␈α5).␈αIf␈αλw␈α␈e␈αλassume␈αλthat␈↓ εz␈ελP␈↓ π≤␈εαand␈↓ π↑␈ελQ␈↓ λ␈εαare␈αλrandom␈αλrelativ␈α␈ely␈απprime
␈β
L␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tegers,␈α⊂so␈α∂that␈α∂the␈α∂24␈α∂possibilities␈α⊂of␈α∂(␈↓ εL␈ελP␈↓ εk␈εαmod␈↓ π5␈εα5,␈↓ πW␈ελQ␈↓ πw␈εαmod␈↓ λA␈εα5)␈ε⊗␈α⊂≤␈εα␈α∂(0,␈αε0)␈α∂are␈α∂equally
␈β
t␈↓ π␈␈ε¬4␈↓ λ:␈ε¬8␈↓ 	q␈ε¬8
␈β
w␈↓ ↓H␈εαlik␈α␈ely,␈αthe␈αprobability␈αthat␈α5␈αdivides␈↓ ε⊃␈ελV␈↓ ε7␈εαis␈αtherefore␈↓ λ_␈εα,␈↓ λS␈εα,␈α0,␈α0,␈αor␈↓ 
⊗␈εαaccording
␈βλ␈↓ πw␈∧λπwα≥␈↓ λ2␈∧λλ2α≥␈↓ 	j␈∧λ	jα≥
␈β
␈↓ πw␈ε¬2␈α↓4␈↓ λ2␈ε¬2␈α↓4␈↓ 	j␈ε¬24
␈β#␈↓ ↓H␈εαas␈↓ ↓t␈ελk␈↓ αε␈ελN␈↓ α.␈εαmod␈↓ αx␈εα5␈α
is␈α0,␈α
1,␈α
2,␈α
3,␈α
or␈α
4.␈α∞Similarly␈α
the␈α
probability␈α
that␈α25␈α
divides␈↓ 
E␈ελV␈↓ 
l␈εαis␈α0,
␈βJ␈↓ ↓S␈ε¬40␈↓ αu␈ε¬40
␈βN␈↓ ↓{␈εα,␈α∂0,␈α∂0,␈↓ β+␈εαrespectiv␈α␈ely,␈α∂unless␈↓ ¬i␈ελk␈↓ ¬{␈ελN␈↓ ε+␈εαis␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∂of␈α∞25.␈α∪In␈α∞general,␈α∂giv␈α␈en␈α∞an
␈β↑␈↓ ↓L␈∧↑↓Lα,␈↓ αm␈∧↑αmα,
␈βa␈↓ ↓L␈ε¬600␈↓ αm␈ε¬6␈α↓00
␈βt␈↓ ∧-␈ε¬(␈↓ ∧6␈εp␈↓ ∧E␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ 
O␈εe
␈βy␈↓ ↓H␈εαodd␈αprime␈↓ αr␈ελp␈↓ β⊂␈εαwith␈α(␈↓ βm␈ελk␈↓ β␈␈ελN␈↓ ∧!␈εα)␈↓ ¬≥␈εαmod␈↓ ¬g␈ελp␈↓ εβ␈εα=␈α
1,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈↓ λ"␈ελV␈↓ λG␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 
=␈ελp␈↓ 
f␈εαwith
␈β¬␈↓ β$␈ε↓␈␈↓ ∧h␈ε↓↓
␈β∨␈↓ βD␈εe␈↓ βP␈ε→␈␈ε¬1
␈β$␈↓ ↓H␈εαprobability␈α
2/␈↓ β2␈ελp␈↓ β{␈εα(␈↓ ∧π␈ελp␈↓ ∧ ␈εα+␈αε1)␈↓ ∧v␈εα;␈αand␈α
the␈αav␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
times␈↓ 	∃␈ελp␈↓ 	2␈εαdivides␈↓ 
*␈ελV␈↓ 
N␈εαcomes
␈βJ␈↓ αG␈ε¬2
␈βO␈↓ ↓H␈εαto␈α
2␈↓ α∧␈ελp␈↓ α⊗␈εα/(␈↓ α4␈ελp␈↓ α[␈ε⊗␈␈εα␈αε1).␈αThis␈α
analysis,␈αsuggested␈α
by␈αR.␈α
Schroeppel,␈αsuggests␈α
that␈α
the␈α
best
␈β{␈↓ ↓H␈εαchoice␈αof␈↓ α↑␈ελk␈↓ α{␈εαis␈αthat␈αwhich␈αmaximizes
␈β
-␈↓ ∧g␈ε↓X
␈β
M␈↓ π=␈ε¬1
␈β
P␈↓ ¬:␈ελf␈↓ ¬K␈εα(␈↓ ¬W␈ελp␈↓ ¬j␈εα,␈↓ ¬z␈ελk␈↓ ε␈ελN␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε?␈εαlog␈↓ εs␈ελp␈↓ π
␈ε⊗␈␈↓ πV␈εαlog␈↓ λ
␈ελk␈↓ λ≤␈εα,␈↓ 
p␈εα(21)
␈β
`␈↓ π=␈∧
`π=α∂
␈β
c␈↓ π=␈ε¬2
␈β∞α␈↓ ∧N␈εp␈↓ ∧g␈ε¬prime
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελf␈↓ αK␈εαis␈αthe␈αfunction␈αde|ned␈αin␈αex␈α␈ercise␈α13,␈αfor␈αthis␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αexpected
␈β∞g␈↓ ¬α␈∧∞g¬αα"
␈β∞h␈↓ ∧↑␈ε⊗p
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαvalue␈αof␈αthe␈αlogarithm␈αof␈↓ ¬α␈ελN␈↓ ¬#␈εα/␈↓ ¬5␈ελT␈↓ ¬[␈εαwhen␈αw␈α␈e␈αreach␈αstep␈αE4.
␈β∂→␈↓ α␈εαBest␈α⊃results␈α⊃will␈α⊃be␈α∩obtained␈α⊃with␈α⊃Algorithm␈α⊃E␈α⊃when␈α⊃both␈↓ 	↑␈ελk␈↓ 
␈εαand␈↓ 
L␈ελm␈↓ 
|␈εαare
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell␈αchosen.␈α∂But␈αbefore␈α
w␈α␈e␈α
study␈α
the␈αchoice␈α
of␈↓ π6␈ελm␈↓ πV␈εα,␈αlet␈α
us␈α
consider␈α
an␈αimportan␈α␈t
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαre|nemen␈α␈t␈αof␈αthe␈αalgorithm:␈αComparing␈αstep␈αE3␈αwith␈αAlgorithm␈αA␈↓ 	e␈εα,␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞factoring␈α∞of␈↓ βO␈ελV␈↓ βw␈εαcan␈α∞stop␈α∂whenev␈α␈er␈α∞w␈α␈e␈α∞|nd␈↓ π/␈ελT␈↓ πN␈εαmod␈↓ λ_␈ελp␈↓ λD␈ε⊗≤␈εα␈α∞0␈α∂and␈ε⊗␈α∞b␈↓ 	m␈ελT␈↓ 
ε␈εα/␈↓ 
_␈ελp␈↓ 
6␈ε⊗c␈α∞∀␈↓ ∧␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β⊂(␈↓ λ)␈εj␈↓ 
)␈εj␈↓ ∃␈εj
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α∨␈ελT␈↓ αD␈εαwill␈αthen␈αbe␈αeither␈α1␈αor␈αprime.␈αIf␈↓ εH␈ελT␈↓ εm␈εαis␈αa␈αprime␈αgreater␈αthan␈↓ 	`␈ελp␈↓ 
⊗␈εα(it␈αwill␈αbe
␈β⊂S␈↓ 	q␈εm
␈β⊂l␈↓ α]␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαat␈αmost␈↓ αJ␈ελp␈↓ α}␈εα+␈↓ β)␈ελp␈↓ β[␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αin␈αsuch␈αa␈αcase),␈αw␈α␈e␈αcan␈αstill␈αoutput␈α(␈↓ λZ␈ελP␈↓ λs␈εα,␈↓ 	β␈ελe␈↓ 	∨␈εα,␈↓ 	/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	←␈εα,␈↓ 	o␈ελe␈↓ 
⊗␈εα,␈↓ 
&␈ελT␈↓ 
?␈εα),␈αsince
␈β⊂}␈↓ β:␈εm␈↓ 	⊂␈ε¬0␈↓ 	|␈εm
␈β⊃β␈↓ α]␈εm
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαa␈αcomplete␈α
factorization␈α
has␈αbeen␈α
obtained.␈α∞The␈α
second␈αphase␈α
of␈α
the␈αalgorithm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα378␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwill␈α
use␈α
only␈α
those␈α
outputs␈α
whose␈α
prime␈↓ εS␈ελT␈↓ εl␈εα's␈α
hav␈α␈e␈α
occurred␈α
at␈α
least␈α
t␈α␈wice.␈α∂This
␈βαS␈↓ ↓H␈εαmodi|cation␈αgiv␈α␈es␈αthe␈α
e{ect␈αof␈α
a␈αm␈α␈uch␈αlonger␈α
list␈αof␈α
primes,␈αwithout␈αincreasing
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactorization␈αtime.
␈ββ*␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α⊂let's␈α⊂mak␈α␈e␈α⊃a␈α⊂heuristic␈α⊂analysis␈α⊂of␈α⊂the␈α⊃running␈α⊂time␈α⊂of␈α⊂Algorithm␈α⊂E␈↓ "␈εα,
␈ββU␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈α∞unpublished␈α∞ideas␈α∞of␈α∂R.␈α∞Schroeppel.␈α∪We␈α∞will␈α∞assume␈α∞for␈α∞con␈α␈v␈α␈enience
␈β∧␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∪␈ελk␈↓ α.␈εα=␈α
1.␈αThe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	outputs␈α	needed␈α	to␈α	produce␈α	a␈α	factorization␈α	of␈↓ 
%␈ελN␈↓ 
G␈εα,␈α	using
␈β∧,␈↓ ↓H␈εαthe␈αmodi|cation␈αin␈αthe␈α
preceding␈αparagraph,␈αwill␈αbe␈αroughly␈αproportional␈α
to␈αthe
␈β∧R␈↓ ε_␈ε¬2␈↓ 	,␈ε¬2
␈β∧W␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsuitable␈α
primes␈αless␈αthan␈↓ εε␈ελp␈↓ ε2␈εα;␈αthis␈α
will␈αbe␈αof␈α
order␈↓ 	␈ελm␈↓ 	@␈εαlog␈↓ 	t␈ελm␈↓ 
∀␈εα,␈αbut␈αlet's
␈β∧i␈↓ ε_␈εm
␈β∧⎇␈↓ αg␈ε¬2
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαsay␈α	it␈α	is␈↓ αH␈ελm␈↓ αv␈εα.␈αEach␈α	ex␈α␈ecution␈α	of␈α
step␈α	E3␈α	will␈α
tak␈α␈e␈α	about␈α	order␈↓ λq␈ελm␈↓ 	~␈εαunits␈α	of␈α	time;␈α
and
␈β¬'␈↓ 	,␈∧¬'	,α"
␈β¬(␈↓ 	λ␈ε⊗p
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαif␈αw␈α␈e␈αassume␈αthat␈↓ βg␈ελV␈↓ ∧
␈εαis␈αrandomly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α0␈αand␈α2␈↓ 	,␈ελN␈↓ 	Y␈εαour␈αchance␈αof
␈β¬9␈↓ λS␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β¬R␈↓ 
a␈∧¬R
aα"
␈β¬S␈↓ 	3␈ε¬2␈↓ 
=␈ε⊗p
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαa␈αsuccessful␈α
output␈α
per␈α
iteration␈α
will␈α
be␈αappro␈α␈ximately␈↓ λ9␈ελF␈↓ λa␈εα(␈↓ λm␈εαlog␈↓ 	!␈ελp␈↓ 	M␈εα)/(␈↓ 	w␈εαlog␈↓ 
+␈εα2␈↓ 
a␈ελN␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα,
␈β¬j␈↓ 	3␈εm
␈βε∧␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελF␈↓ αT␈εαis␈αDickman's␈αfunction␈αof␈αFig.␈α11␈αand␈αEq.␈α(6).␈αUnder␈αthese␈αassumptions,
␈βε/␈↓ ↓H␈εαthe␈αtotal␈αrunning␈αtime␈αis␈αroughly␈αproportional␈αto
␈βπβ␈↓ π;␈∧πβπ;α"
␈βπ∧␈↓ π↔␈ε⊗p
␈βπ¬␈↓ ∧⊃␈ε¬3␈↓ λS␈ε¬2
␈βπ␈↓ βr␈ελm␈↓ ∧ ␈εα/␈↓ ∧8␈ελF␈↓ ∧Q␈εα(1/␈↓ ¬↓␈ελ␈↓ ¬∃␈εα),␈↓ ¬y␈ελ␈↓ ε↔␈εα=␈α
(␈↓ εQ␈εαlog␈↓ π¬␈εα2␈↓ π;␈ελN␈↓ πb␈εα)/(␈↓ λ␈εαlog␈↓ λ@␈ελp␈↓ λm␈εα).␈↓ 
p␈εα(22)
␈βπ≥␈↓ λS␈εm
␈βπC␈↓ ε\␈ε↓␈␈↓ 	←␈ε↓↓
␈βπc␈↓ ↓H␈εαIt␈α∞is␈α∂possible␈α∞to␈α∂sho␈α␈w␈α∞that␈↓ ∧z␈ελF␈↓ ¬∪␈εα(1/␈↓ ¬C␈ελ␈↓ ¬W␈εα)␈α∞=␈↓ ε$␈εαexp␈↓ εj␈ε⊗␈␈↓ π∞␈ελ␈↓ π(␈εαln␈↓ πL␈ελ␈↓ πi␈εα+␈↓ λ↔␈ελO␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελ␈↓ λW␈εαlog␈↓ 	␈εαlog␈↓ 	?␈ελ␈↓ 	S␈εα)␈↓ 	{␈εαas␈↓ 
*␈ελ␈↓ 
L␈ε⊗!␈α∞1␈εα;
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαin␈α
fact,␈α
N.␈α
G.␈α
de␈α
Bruijn␈α
[␈ε∂J.␈α
Indian␈α∞Math.␈α
Soc.␈ε∩␈α
15␈εα␈α
(1951),␈α
25↑32]␈α
has␈α
obtained␈α
a
␈βλ9␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈αsharper␈αestimate.␈αIf␈αw␈α␈e␈αno␈α␈w␈αchoose
␈βλr␈↓ ¬[␈ε↓p
␈β	
␈↓ ¬␈␈∧	
¬␈αα⊗
␈β	∃␈↓ ∧`␈εαln␈↓ ¬∧␈ελm␈↓ ¬-␈εα=␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈εαln␈↓ ε/␈ελN␈↓ εQ␈εα)(␈↓ εi␈εαln␈↓ π
␈εαln␈↓ π1␈ελN␈↓ πS␈εα)/24
␈β	m␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α|nd␈αthat␈α(22)␈αbecomes
␈β
(␈↓ αY␈ε↓q
␈β
6␈↓ αK␈ε↓␈␈↓ ¬U␈ε↓␈␈↓ 
;␈ε↓↓␈↓ 
I␈ε↓↓
␈β
C␈↓ α⎇␈∧
Cα⎇α↓v
␈β
O␈↓ εQ␈ε¬1/2␈↓ λ≥␈ε→␈␈ε¬1␈α↓/2
␈β
R␈↓ β↓␈ε¬3
␈β
V␈↓ α∪␈εαexp␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈εαln␈↓ βC␈ελN␈↓ βe␈εα)(␈↓ β⎇␈εαln␈↓ ∧!␈εαln␈↓ ∧E␈ελN␈↓ ∧g␈εα)␈↓ ¬¬␈εα+␈↓ ¬;␈ελO␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈εαlog␈↓ ε#␈ελN␈↓ εE␈εα)␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈εαlog␈↓ π<␈εαlog␈↓ πp␈ελN␈↓ λ⊃␈εα)␈↓ λe␈εα(␈↓ λq␈εαlog␈↓ 	%␈εαlog␈↓ 	Y␈εαlog␈↓ 

␈ελN␈↓ 
/␈εα)␈↓ 
W␈εα.
␈β
f␈↓ β↓␈∧
fβ↓α∂
␈β
h␈↓ β↓␈ε¬2
␈β4␈↓ πA␈ε∂␈↓ πM␈ε¬(␈↓ πW␈εN␈↓ πr␈ε¬)
␈β:␈↓ ↓H␈εαStating␈αthis␈αanother␈αway,␈αthe␈αrunning␈αtime␈αis␈↓ π ␈ελN␈↓ π{␈εα,␈αwhere
␈β∞␈↓ ε"␈ε↓r␈↓ εF␈∧∞εFα↓
␈β↔␈↓ εJ␈εα3␈↓ εd␈εαln␈↓ πλ␈εαln␈↓ π,␈ελN
␈β.␈↓ ¬"␈ελ∂␈↓ ¬0␈εα(␈↓ ¬<␈ελN␈↓ ¬↑␈εα)␈ε⊗␈α
→
␈β>␈↓ εJ␈∧>εJα∩␈↓ εd␈∧>εdαj
␈βF␈↓ εJ␈εα2␈↓ εv␈εαln␈↓ π~␈ελN
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαgoes␈α∞to␈α∂0␈α∞as␈↓ β⊗␈ελN␈↓ βF␈ε⊗!␈α∞1␈εα.␈α∪These␈α∂asymptotic␈α∞form␈α␈ulas␈α∂are␈α∞too␈α∂crude␈α∞to␈α∂be␈α∞applied
␈β
>␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α␈ελN␈↓ α/␈εαin␈αa␈α
practical␈α
range,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er;␈α
some␈α
extensiv␈α␈e␈α
tests␈αby␈α
M.␈α
L.␈αWunderlich
␈β
d␈↓ λl␈ε¬3␈α↓0␈↓ 
?␈ε¬41
␈β
i␈↓ ↓H␈εαindicate␈αthat␈↓ β≡␈ελm␈↓ βG␈εα=␈α
150␈αis␈αa␈αnearly␈αoptim␈α␈um␈αvalue,␈αwhen␈α1␈↓ λZ␈εα0␈↓ 	∪␈εα<␈↓ 	A␈ελN␈↓ 	m␈εα<␈α
1␈↓ 
-␈εα0␈↓ 
\␈εα.
␈β∞∃␈↓ α␈εαSince␈α⊃step␈α⊃E3␈α∩is␈α⊃by␈α⊃far␈α⊃the␈α⊃most␈α∩time-consuming␈α⊃part␈α⊃of␈α⊃the␈α⊃algorithm,
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαMorrison,␈α∂Brillhart,␈α∂and␈α∂Schroeppel␈α∂hav␈α␈e␈α∂suggested␈α∞sev␈α␈eral␈α∂ways␈α∂to␈α∂abort␈α∞this
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαstep␈α∂when␈α∂success␈α⊂becomes␈α∂improbable:␈α∨(a)␈α⊂Whenev␈α␈er␈↓ λF␈ελT␈↓ λn␈εαchanges␈α⊂to␈α∂a␈α∂single-
␈β∂∩␈↓ πe␈εT␈↓ πy␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαprecision␈αvalue,␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αonly␈αif␈ε⊗␈αb␈↓ ¬T␈ελT␈↓ ¬m␈εα/␈↓ ¬␈␈ελp␈↓ ε≡␈ε⊗c␈εα␈α
>␈↓ εd␈ελp␈↓ π
␈εαand␈↓ πS␈εα3␈↓ λ*␈εαmod␈↓ λt␈ελT␈↓ 	↔␈ε⊗≤␈εα␈α
1.␈α_(b)␈αGiv␈α␈e␈αup
␈β∂$␈↓ ε⊂␈εj␈↓ εu␈εj
␈β∂=␈↓ βD␈ε¬2
␈β∂?␈↓ π6␈ε¬1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓l␈ελT␈↓ α∪␈εαis␈α∞still␈α
>␈↓ β2␈ελp␈↓ βl␈εαafter␈α∞casting␈α∞out␈α
factors␈α∞<␈↓ πO␈ελp␈↓ πz␈εα.␈α≥(c)␈α∞Cast␈α∞out␈α∞factors␈α
only
␈β∂O␈↓ π`␈εm
␈β∂R␈↓ π/␈∧∂Rπ/α≥
␈β∂T␈↓ βD␈εm
␈β∂U␈↓ π/␈ε¬10
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαup␈α
to␈↓ α%␈ελp␈↓ αD␈εα,␈αsay,␈αfor␈α
batches␈αof␈α
100␈αor␈α
so␈αconsecutiv␈α␈e␈↓ πT␈ελV␈↓ πn␈εα's;␈αcon␈α␈tin␈α␈ue␈αthe␈α
factorization
␈β∂z␈↓ α6␈ε¬5
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαlater,␈αλbut␈απonly␈απon␈απthe␈↓ ∧⊂␈ελV␈↓ ∧1␈εαfrom␈απeach␈απbatch␈αλthat␈απhas␈απproduced␈απthe␈απsmallest␈απresidual␈↓ 	␈ελT␈↓ "␈εα.
␈β⊂D␈↓ α␈εαFor␈α∞estimates␈α∞of␈α∞the␈α∞cy␈α␈cle␈α∞length␈α∞in␈α∞the␈α∞output␈α∞of␈α∞Algorithm␈α∞E,␈α∞see␈α∞D.␈α∞R.
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαHick␈α␈erson,␈ε∂␈α	Paci|c␈α	J.␈αλMath.␈ε∩␈α	46␈εα␈α	(1973),␈α	429↑432;␈α
D.␈α	Shanks,␈ε∂␈α	Proc.␈α	Boulder␈αλNum␈α␈ber
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂Theory␈αConference␈εα␈α(Univ.␈αof␈αColorado:␈α1972),␈α217↑224.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα379
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Other␈α⊂approaches.␈εα␈α"A␈α⊂completely␈α⊃di{eren␈α␈t␈α⊃method␈α⊂of␈α⊃factorization,␈α∩based␈α⊂on
␈βαS␈↓ ↓H␈εαcomposition␈α∞of␈α∞binary␈α∞quadratic␈α∞forms,␈α∂has␈α∞been␈α∞in␈α␈troduced␈α∞by␈α∞Daniel␈α∞Shanks
␈βα}␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Proc.␈α
Symp.␈αPure␈αMath.␈ε∩␈α
20␈εα␈α(1971),␈α415↑440].␈αLik␈α␈e␈α
Algorithm␈αB,␈αit␈α
will␈αfactor␈↓ ␈ελN
␈ββ%␈↓ α9␈ε¬(1/␈α↓4)+␈↓ β∃␈ε∂
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓r␈ελO␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελN␈↓ β!␈εα)␈αsteps␈αex␈α␈cept␈αunder␈αwildly␈αimprobable␈αcircumstances.
␈ββU␈↓ α␈εαStill␈α∂another␈α∂importan␈α␈t␈α∂technique␈α∂has␈α∂been␈α∂suggested␈α∂by␈α∂John␈α∂M.␈α∞Pollard
␈β∧␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Proc.␈αCam␈α␈bridge␈αPhil.␈αSoc.␈ε∩␈α
76␈εα␈α(1974),␈α521↑528].␈α
He␈αobtains␈αrigorous␈αw␈α␈orst-case
␈β∧&␈↓ β=␈ε¬(1/␈α↓4)+␈↓ ∧_␈ε∂␈↓ πX␈ε¬(␈α␈1␈α↓/8)+␈↓ λ3␈ε∂
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαbounds␈α⊂of␈↓ αu␈ελO␈↓ β⊂␈εα(␈↓ β≤␈ελN␈↓ ∧$␈εα)␈α⊂for␈α⊂factorization␈α⊂and␈↓ π≤␈ελO␈↓ π6␈εα(␈↓ πB␈ελn␈↓ λ?␈εα)␈α⊂for␈α⊂primality␈α∂testing,
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαbut␈α
with␈α∞impracticably␈α
high␈α
coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈α
proportionality;␈α∂and␈α
he␈α∞also␈α
giv␈α␈es␈α
a
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαpractical␈α
algorithm␈αfor␈α
disco␈α␈v␈α␈ering␈αprime␈α
factors␈↓ πE␈ελp␈↓ πa␈εαof␈↓ λ
␈ελN␈↓ λ6␈εαwhen␈↓ 	∪␈ελp␈↓ 	+␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α
has␈αno␈α
large
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαprime␈α
factors.␈α⊂The␈α
latter␈α
algorithm␈α∞(see␈α
ex␈α␈ercise␈α
19)␈α
is␈α∞probably␈α
the␈α
|rst␈α
thing
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαto␈αtry␈αafter␈αAlgorithms␈αA␈αand␈αB␈αhav␈α␈e␈αrun␈αtoo␈αlong␈αon␈αa␈αlarge␈↓ 	≠␈ελN␈↓ 	<␈εα.
␈βεβ␈↓ α␈εαSee␈αλalso␈απthe␈απsurv␈α␈ey␈αλby␈απR.␈αλK.␈απGuy,␈α	written␈απin␈αλcollaboration␈απwith␈αλJ.␈απH.␈απCon␈α␈way,
␈βε.␈↓ ↓H␈ε∂Proc.␈αFifth␈αManitoba␈αConf.␈αNumer.␈αMath.␈εα␈α(1975),␈α49↑89.
␈βεa␈↓ ↓H␈ε∩The␈α
largest␈α∞kno␈α␈wn␈α
primes.␈εα␈α≤We␈α
hav␈α␈e␈α∞discussed␈α
sev␈α␈eral␈α∞computational␈α
methods
␈βπ␈↓ ↓H␈εαelsewhere␈α⊃in␈α⊂this␈α⊃book␈α⊃that␈α⊃require␈α⊃the␈α⊃use␈α⊃of␈α⊃large␈α⊃prime␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers,␈α∪and␈α⊂the
␈βπ7␈↓ ↓H␈εαtechniques␈αjust␈αdescribed␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αprimes␈αof␈αup␈αto,␈αsay,␈α25␈αdigits
␈βπb␈↓ ↓H␈εαor␈α
few␈α␈er,␈α∞with␈α
relativ␈α␈e␈α∞ease.␈α⊂Table␈α∞1␈α
sho␈α␈ws␈α∞the␈α
ten␈α∞largest␈α
primes␈α∞that␈α
are␈α
less
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαthan␈α	the␈α
w␈α␈ord␈α
size␈α	of␈α
typical␈α
computers.␈α(Some␈α
other␈α
useful␈α	primes␈α
appear␈α
in␈α	the
␈βλ9␈↓ ↓H␈εαansw␈α␈er␈αto␈αex␈α␈ercise␈α4.6.4↑14.)
␈βλd␈↓ α␈εαActually␈αλm␈α␈uch␈αλlarger␈απprimes␈αλof␈αλspecial␈αλforms␈αλare␈απkno␈α␈wn,␈α	and␈αλit␈αλis␈απoccasionally
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαimportan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αprimes␈αthat␈αare␈αas␈αlarge␈αas␈αpossible.␈αLet␈αus␈αtherefore␈αconclude
␈β	:␈↓ ↓H␈εαthis␈αλsection␈αλby␈α	in␈α␈v␈α␈estigating␈αλthe␈αλin␈α␈teresting␈α	manner␈αλin␈αλwhich␈α	the␈αλlargest␈αλexplicitly
␈β	a␈↓ 
␈εn
␈β	f␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈wn␈α∞primes␈α∂hav␈α␈e␈α∂been␈α∂disco␈α␈v␈α␈ered.␈α∀Such␈α∂primes␈α∞are␈α∂of␈α∂the␈α∂form␈↓ 	y␈εα2␈↓ 
'␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈α∂for
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαvarious␈απspecial␈απvalues␈απof␈↓ ∧?␈ελn␈↓ ∧T␈εα,␈αλand␈αλso␈απthey␈απare␈απespecially␈αλsuited␈απto␈απcertain␈απapplications
␈β
<␈↓ ↓H␈εαof␈αbinary␈αcomputers.
␈β
b␈↓ ∧u␈εn␈↓ 
M␈εu␈↓ 
←␈εv
␈β
g␈↓ α␈εαA␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈α	the␈α	form␈↓ ∧c␈εα2␈↓ ¬␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈α	cannot␈α	be␈α	prime␈α	unless␈↓ λ8␈ελn␈↓ λW␈εαis␈α	prime,␈α
since␈↓ 
;␈εα2␈↓ 
r␈ε⊗␈␈εα␈α∧1
␈β
␈↓ β9␈εu
␈β∩␈↓ ↓H␈εαis␈α	divisible␈α
by␈↓ β'␈εα2␈↓ βO␈ε⊗␈␈εα␈α¬1.␈αIn␈α
1644,␈α
Marin␈α
Mersenne␈α
astonished␈α	his␈α
con␈α␈temporaries␈α	by
␈β9␈↓ ε%␈εp
␈β>␈↓ ↓H␈εαstating,␈αin␈αessence,␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ε∪␈εα2␈↓ ε;␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αare␈αprime␈αfor␈↓ λ\␈ελp␈↓ λy␈εα=␈α
2,␈α3,␈α5,␈α7,␈α13,␈α17,
␈βi␈↓ ↓H␈εα19,␈α31,␈α67,␈α127,␈α257,␈αand␈αfor␈αno␈αother␈↓ ε~␈ελp␈↓ ε8␈εαless␈αthan␈α257.␈α(This␈αstatemen␈α␈t␈αappeared
␈β∀␈↓ ↓H␈εαin␈α
connection␈α
with␈αa␈α
discussion␈α
of␈αperfect␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αin␈α
the␈α
preface␈αto␈α
his␈ε∂␈α
Cogitata
␈β?␈↓ ↓H␈ε∂Ph␈α␈ysico-Mathematics␈εα.␈αCuriously,␈αhe␈αalso␈αmade␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αremark:␈α\To␈αtell␈αif
␈βj␈↓ ↓H␈εαa␈αgiv␈α␈en␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
15␈αor␈α
20␈αdigits␈α
is␈αprime␈α
or␈αnot,␈α
all␈αtime␈α
w␈α␈ould␈αnot␈α
su}ce␈αfor
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εαthe␈αtest,␈αwhatev␈α␈er␈αuse␈αis␈αmade␈αof␈αwhat␈αis␈αalready␈αkno␈α␈wn.")␈α_Mersenne,␈αwho␈αhad
␈β
A␈↓ ↓H␈εαcorresponded␈α
frequen␈α␈tly␈α	with␈α
Fermat,␈αDescartes,␈α
and␈α
others␈α
about␈α
similar␈α	topics
␈β
l␈↓ ↓H␈εαin␈αprevious␈αy␈α␈ears,␈αgav␈α␈e␈αno␈αproof␈αof␈αhis␈α
assertions,␈αand␈αfor␈αo␈α␈v␈α␈er␈α200␈α
y␈α␈ears␈αnobody
␈β∞∩␈↓ λB␈ε¬31
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαknew␈α
whether␈αhe␈α
was␈αcorrect␈α
or␈αnot.␈αEuler␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈α
that␈↓ λ0␈εα2␈↓ λd␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αis␈α
prime␈αin␈α
1772,
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαafter␈α	having␈α	tried␈α
unsuccessfully␈α	to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α	this␈α
in␈α	previous␈α	y␈α␈ears.␈αAbout␈α	100␈α	y␈α␈ears
␈β∞e␈↓ α*␈εα∞
␈β∞i␈↓ ¬R␈ε¬1␈α↓27␈↓ λ>␈ε¬67
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαlater,␈↓ α'␈εαE␈↓ α?␈εα.␈α⊂Lucas␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
that␈↓ ¬@␈εα2␈↓ εε␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α
is␈α
prime,␈α∞but␈↓ λ,␈εα2␈↓ λd␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈α
is␈α∞not;␈α
therefore
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαMersenne␈αλwas␈α	not␈α	completely␈α	accurate.␈α
Then␈α	I.␈α	M.␈α	Pervushin␈αλpro␈α␈v␈α␈ed␈α	in␈α	1883␈αλthat
␈β∂?␈↓ ↓Z␈ε¬61
␈β∂D␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓}␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αis␈αprime␈α[cf.␈ε∂␈αIstorik␈α␈o-Mat.␈αIssledo␈α␈vani␈↓ π∩␈ε∂~␈↓ π∩␈ε∂␈↓ π≤␈ε∂a␈ε∩␈α6␈εα␈α(1953),␈α559],␈αand␈αthis␈αtouched
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαo{␈αspeculation␈αthat␈αMersenne␈αhad␈αonly␈αmade␈αa␈αcopying␈αerror,␈αwriting␈α67␈αfor␈α61.
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαEv␈α␈en␈α␈tually␈α
other␈α
errors␈α
in␈α
Mersenne's␈α
statemen␈α␈t␈α
w␈α␈ere␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered;␈α
R.␈α
E.␈α
Po␈α␈w␈α␈ers
␈β⊂A␈↓ ¬t␈ε¬89
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂AMM␈ε∩␈α18␈εα␈α
(1911),␈α
195]␈α
found␈αthat␈↓ ¬b␈εα2␈↓ ε→␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈αis␈α
prime,␈α
as␈αhad␈α
been␈α
conjectured␈αby
␈β⊂l␈↓ λc␈ε¬1␈α↓07
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαsome␈αearlier␈αwriters,␈αand␈αthree␈αy␈α␈ears␈αlater␈αhe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈↓ λQ␈εα2␈↓ 	⊗␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αalso␈αis␈αprime.
␈β⊃↔␈↓ ¬z␈ε¬257
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαM.␈αKraitchik␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈αin␈α1922␈αthat␈↓ ¬h␈εα2␈↓ ε-␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αis␈ε∂␈αnot␈εα␈αprime.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα380␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα∨␈↓ ↓H␈εα(Table␈α1␈αwill␈αgo␈αon␈αthis␈αpage,␈αit's␈αbeing␈αset␈αseparately)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα381
␈βα#␈↓ ε≤␈εp
␈βα(␈↓ α␈εαAt␈αλan␈α␈y␈αλrate,␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλof␈αλthe␈απform␈↓ ε
␈εα2␈↓ ε.␈ε⊗␈␈εα␈αα1␈αλare␈απno␈α␈w␈αλkno␈α␈wn␈αλas␈ε∂␈αλMersenne␈απn␈α␈um␈α␈bers␈εα,
␈βαS␈↓ ↓H␈εαand␈α
it␈αis␈α
kno␈α␈wn␈α
[Bryan␈α␈t␈αTuck␈α␈erman,␈ε∂␈αProc.␈α
Nat.␈α
Acad.␈αSci.␈ε∩␈α
68␈εα␈α(1971),␈α
2319↑2320]
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈α|rst␈α24␈αMersenne␈αprimes␈αare␈αobtained␈αfor␈↓ πj␈ελp␈↓ λλ␈εαequal␈αto
␈ββO␈↓ α{␈εα2,␈α3,␈α5,␈α7,␈α13,␈α17,␈α19,␈α31,␈α61,␈α89,␈α107,␈α127,␈α521,␈α607,␈α1279,
␈ββj␈↓ 
p␈εα(23)
␈β∧¬␈↓ βπ␈εα2203,␈α2281,␈α3217,␈α4253,␈α4423,␈α9689,␈α9941,␈α11213,␈α19937.
␈β∧W␈↓ ∧␈ε¬13
␈β∧\␈↓ ↓H␈εα(Note␈αthat␈α8191␈α
=␈↓ βy␈εα2␈↓ ∧/␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αdoes␈αnot␈αoccur␈αin␈αthis␈αlist;␈αMersenne␈αhad␈αstated␈αthat
␈β¬α␈↓ ↓Z␈ε¬819␈α↓1
␈β¬π␈↓ ↓H␈εα2␈↓ α≤␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α
is␈αprime,␈α∞and␈α
others␈α
had␈α
conjectured␈α
that␈α
an␈α␈y␈α
Mersenne␈αprime␈α
could
␈β¬2␈↓ ↓H␈εαperhaps␈αbe␈αused␈αin␈αthe␈αexponen␈α␈t.)
␈β¬Y␈↓ αx␈ε¬19␈α↓937
␈β¬↑␈↓ α␈εαSince␈↓ αf␈εα2␈↓ βB␈ε⊗␈␈εα␈αα1␈αλis␈αλa␈αλ6002-digit␈απn␈α␈um␈α␈ber,␈α	it␈αλis␈απclear␈αλthat␈αλsome␈αλspecial␈απtechniques
␈βε
␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
been␈α
used␈α
to␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈α
it␈α
is␈αprime.␈αAn␈α
e}cien␈α␈t␈αmethod␈α
for␈α
testing␈α
whether
␈βε,␈↓ 
≥␈εα∞
␈βε0␈↓ ¬u␈εp
␈βε5␈↓ ↓H␈εαor␈α∞not␈α∂a␈α∂giv␈α␈en␈α∂Mersenne␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬c␈εα2␈↓ ε∞␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∂is␈α∞prime␈α∂was␈α∂|rst␈α∂giv␈α␈en␈α∞by␈↓ 
~␈εαE␈↓ 
2␈εα.␈α∀Lucas
␈βε`␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Amer.␈α⊂J.␈α⊂Math.␈ε∩␈α⊂1␈εα␈α⊂(1878),␈α⊃184↑239,␈α∩289↑321,␈α⊃especially␈α⊂p.␈α⊂316]␈α⊂and␈α⊂impro␈α␈v␈α␈ed
␈βπ␈↓ ↓H␈εαby␈α
D.␈α∞H.␈α∞Lehmer␈α∞[␈ε∂Annals␈α
of␈α∞Math.␈ε∩␈α∞31␈εα␈α
(1930),␈α∂419↑448,␈α∞especially␈α∞p.␈α
443].␈α⊃The
␈βπ6␈↓ ↓H␈εαLucas-Lehmer␈α
test,␈α∞which␈α∞is␈α∞a␈α
special␈α∞case␈α∞of␈α
the␈α∞method␈α∞no␈α␈w␈α
used␈α∞for␈α
testing
␈βπb␈↓ ↓H␈εαthe␈αprimality␈αof␈↓ βN␈ελn␈↓ βo␈εαwhen␈αthe␈αfactors␈αof␈↓ ε+␈ελn␈↓ εI␈εα+␈αλ1␈αare␈αkno␈α␈wn,␈αis␈αthe␈αfollo␈α␈wing:
␈βλ'␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αL.␈ε∂␈α→Let␈↓ β]␈ελq␈↓ βy␈ε∂be␈αan␈αodd␈αprime,␈αand␈αde|ne␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ 	≥␈ελL␈↓ 	F␈ε⊗i␈ε∂␈αby␈αthe␈αrule
␈βλ5␈↓ 	4␈εn
␈βλz␈↓ εX␈ε¬2␈↓ λ*␈εq
␈β	␈↓ βa␈ελL␈↓ ∧⊂␈εα=␈α
4,␈↓ ¬(␈ελL␈↓ εε␈εα=␈α
(␈↓ ε@␈ελL␈↓ εr␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈↓ πB␈εαmod␈↓ λ␈εα(␈↓ λ_␈εα2␈↓ λ?␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).␈↓ 
p␈εα(24)
␈β	
␈↓ βx␈ε¬0␈↓ ¬?␈εn␈↓ ¬Q␈ε¬+1
␈β	∩␈↓ εX␈εn
␈β	S␈↓ α8␈εq
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε∂Then␈↓ α&␈εα2␈↓ αM␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂␈αis␈αprime␈αif␈αand␈αonly␈αif␈↓ ¬{␈ελL␈↓ εT␈εα=␈α
0␈ε∂.
␈β	f␈↓ ε∩␈εq␈↓ ε∨␈ε→␈␈ε¬2
␈β
→␈↓ β}␈ε¬3␈↓ πJ␈ε¬2
␈β
≡␈↓ α␈εαFor␈α∞example,␈↓ βl␈εα2␈↓ ∧∃␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈α∞is␈α∞prime␈α
since␈↓ εI␈ελL␈↓ ε{␈εα=␈α
(␈↓ π8␈εα4␈↓ πa␈ε⊗␈␈εα␈α
2)␈↓ λ3␈εαmod␈↓ λ⎇␈εα7␈α=␈α
0.␈α⊃This␈α∞test␈α
is
␈β
,␈↓ ε`␈ε¬1
␈β
J␈↓ ↓H␈εαparticularly␈α
w␈α␈ell␈αsuited␈α
to␈αbinary␈α
computers,␈αusing␈αm␈α␈ultiple-precision␈α
arithmetic
␈β
p␈↓ ε;␈εq
␈β
u␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α$␈ελq␈↓ α?␈εαis␈αlarge,␈αsince␈αcalculation␈α
mod␈α(␈↓ ε)␈εα2␈↓ εN␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈α
is␈αso␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t;␈αcf.␈αSection␈α
4.3.2.
␈β?␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≥We␈α∞will␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞Theorem␈α∞L␈α∞using␈α∞only␈α∞v␈α␈ery␈α∞simple␈α∞principles␈α∞of␈α∞n␈α␈um␈α␈ber
␈βj␈↓ ↓H␈εαtheory,␈αby␈αin␈α␈v␈α␈estigating␈αsev␈α␈eral␈αfeatures␈αof␈αrecurring␈αsequences␈αthat␈αare␈αof␈αinde-
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαpenden␈α␈t␈αin␈α␈terest.␈αConsider␈αthe␈αsequences␈ε⊗␈αh␈↓ ε`␈ελU␈↓ π	␈ε⊗i␈εα␈αand␈ε⊗␈αh␈↓ πs␈ελV␈↓ λ_␈ε⊗i␈εα␈αde|ned␈αby
␈β#␈↓ εw␈εn␈↓ λπ␈εn
␈βi␈↓ εO␈ελU␈↓ π-␈εα=␈α
4␈↓ πm␈ελU␈↓ λ≡␈ε⊗␈␈↓ λJ␈ελU␈↓ 	≡␈εα;
␈βj␈↓ βL␈ελU␈↓ β{␈εα=␈α
0,␈↓ ¬
␈ελU␈↓ ¬=␈εα=␈α
1,
␈βv␈↓ εf␈εn␈↓ εx␈ε¬+1␈↓ λ∧␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ λs␈ε→␈␈ε¬1
␈βx␈↓ βc␈ε¬0␈↓ ¬$␈ε¬1
␈β
¬␈↓ 
p␈εα(25)
␈β
∨␈↓ εR␈ελV␈↓ π-␈εα=␈α
4␈↓ πm␈ελV␈↓ λ≠␈ε⊗␈␈↓ λG␈ελV␈↓ 	_␈εα.
␈β
 ␈↓ βO␈ελV␈↓ β{␈εα=␈α
2,␈↓ ¬⊂␈ελV␈↓ ¬=␈εα=␈α
4,
␈β
,␈↓ εf␈εn␈↓ εx␈ε¬+1␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ[␈εn␈↓ λm␈ε→␈␈ε¬1
␈β
.␈↓ βc␈ε¬0␈↓ ¬$␈ε¬1
␈β
s␈↓ ↓H␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈αequations␈αare␈αreadily␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction:
␈β∞F␈↓ β␈␈ελV␈↓ ∧/␈εα=␈↓ ∧]␈ελU␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈↓ ¬e␈ελU␈↓ ε9␈εα;␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞S␈↓ ∧∪␈εn␈↓ ∧t␈εn␈↓ ¬¬␈ε¬+1␈↓ ¬|␈εn␈↓ ε∞␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞\␈↓ ∧]␈ε↓␈␈↓ π}␈ε↓↓
␈β∞v␈↓ ¬a␈∧∞v¬aα⊗␈↓ ελ␈εn␈↓ πD␈∧∞vπDα⊗␈↓ πl␈εn␈↓ λB␈∧∞vλBα(
␈β∞w␈↓ ¬=␈ε⊗p␈↓ π ␈ε⊗p␈↓ λ≡␈ε⊗p
␈β∞|␈↓ β|␈ελU␈↓ ∧/␈εα=␈↓ ∧k␈εα(2␈αλ+␈↓ ¬d␈εα3␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ε"␈ε⊗␈␈εα␈αλ(2␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πH␈εα3␈↓ π`␈εα)␈↓ λ␈εα/␈↓ λE␈εα12␈↓ λi␈εα;␈↓ 
p␈εα(27)
␈β∂	␈↓ ∧∪␈εn
␈β∂,␈↓ ¬S␈∧∂,¬Sα⊗␈↓ ¬z␈εn␈↓ π6␈∧∂,π6α⊗␈↓ π↑␈εn
␈β∂-␈↓ ¬/␈ε⊗p␈↓ π∩␈ε⊗p
␈β∂2␈↓ β␈␈ελV␈↓ ∧/␈εα=␈α
(2␈αλ+␈↓ ¬V␈εα3␈↓ ¬n␈εα)␈↓ ε∀␈εα+␈αλ(2␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π:␈εα3␈↓ πR␈εα)␈↓ πp␈εα;␈↓ 
p␈εα(28)
␈β∂?␈↓ ∧∪␈εn
␈β∂h␈↓ βE␈ελU␈↓ ∧/␈εα=␈↓ ∧]␈ελU␈↓ ¬
␈ελU␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈↓ ¬j␈ελU␈↓ εF␈ελU␈↓ εo␈εα.␈↓ 
p␈εα(29)
␈β∂u␈↓ β\␈εm␈↓ βv␈ε¬+␈↓ ∧∪␈εn␈↓ ∧t␈εm␈↓ ¬$␈εn␈↓ ε↓␈εm␈↓ ε≠␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε]␈εn
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαLet␈αus␈αno␈α␈w␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αan␈αauxiliary␈αresult,␈αwhen␈↓ ε{␈ελp␈↓ π→␈εαis␈αprime␈αand␈↓ λi␈ελe␈↓ 	↓␈ε⊗∃␈εα␈α
1:
␈β⊃∪␈↓ ¬D␈εe␈↓ 	\␈εe␈↓ 	h␈ε¬+1
␈β⊃→␈↓ αK␈εαif␈↓ β)␈ελU␈↓ β\␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ ¬2␈ελp␈↓ ¬P␈εα)␈↓ ε$␈εαthen␈↓ π2␈ελU␈↓ πt␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ 	J␈ελp␈↓ 
∪␈εα).␈↓ 
p␈εα(30)
␈β⊃&␈↓ β@␈εn␈↓ πI␈εn␈↓ π[␈εp
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα382␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα(␈↓ ↓H␈εαThis␈α⊂follo␈α␈ws␈α⊂from␈α⊂the␈α⊂more␈α⊂general␈α⊃considerations␈α⊂of␈α⊂ex␈α␈ercise␈α⊂3.2.2↑11,␈α⊃but␈α⊂a
␈βαN␈↓ 	!␈εe
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsimple␈α
proof␈α
for␈α
this␈α∞case␈α
can␈α
be␈α
giv␈α␈en.␈α⊂Assume␈α
that␈↓ λ≤␈ελU␈↓ λP␈εα=␈↓ 	↓␈ελb␈↓ 	∂␈ελp␈↓ 	-␈εα,␈↓ 	E␈ελU␈↓ 
%␈εα=␈↓ 
U␈ελa␈↓ 
g␈εα.␈α∂By
␈βαa␈↓ λ3␈εn␈↓ 	\␈εn␈↓ 	n␈ε¬+␈α␈1
␈βαy␈↓ ∧J␈εe␈↓ ¬p␈εe␈↓ λZ␈εe␈↓ λf␈ε¬+1
␈βα}␈↓ ↓H␈εα(29)␈α∞and␈α∂(25),␈↓ β1␈ελU␈↓ βv␈εα=␈↓ ∧)␈ελb␈↓ ∧7␈ελp␈↓ ∧U␈εα(2␈↓ ∧s␈ελa␈↓ ¬∂␈ε⊗␈␈εα␈α
4␈↓ ¬O␈ελb␈↓ ¬]␈ελp␈↓ ¬{␈εα)␈ε⊗␈α∂⊃␈εα␈α∂(2␈↓ εg␈ελa␈↓ εx␈εα)␈↓ π∧␈ελU␈↓ π<␈εα(modulo␈↓ λH␈ελp␈↓ 	⊃␈εα),␈α⊂while␈↓ 
↔␈ελU␈↓ λ␈εα=
␈ββ␈↓ βH␈ε¬2␈↓ βV␈εn␈↓ π≠␈εn␈↓ 
.␈ε¬2␈↓ 
=␈εn␈↓ 
O␈ε¬+␈α␈1
␈ββ%␈↓ ↓e␈ε¬2␈↓ α|␈ε¬2␈↓ βk␈ε¬2␈↓ 
≥␈ε¬2
␈ββ*␈↓ ↓H␈ελU␈↓ α.␈ε⊗␈␈↓ α↑␈ελU␈↓ β"␈ε⊗⊃␈↓ βY␈ελa␈↓ βz␈εα.␈α≥Similarly,␈↓ ¬L␈ελU␈↓ ε↔␈εα=␈↓ εO␈ελU␈↓ π2␈ελU␈↓ πg␈ε⊗␈␈↓ λ⊗␈ελU␈↓ λN␈ελU␈↓ 	6␈ε⊗⊃␈εα␈α∪(3␈↓ 
␈ελa␈↓ 
,␈εα)␈↓ 
8␈ελU␈↓ 
r␈εαand
␈ββ7␈↓ ¬c␈ε¬3␈↓ ¬r␈εn␈↓ εf␈ε¬2␈↓ εu␈εn␈↓ ππ␈ε¬+␈α␈1␈↓ πI␈εn␈↓ λ-␈ε¬2␈↓ λ<␈εn␈↓ λe␈εn␈↓ λw␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
O␈εn
␈ββ<␈↓ ↓e␈εn␈↓ ↓w␈ε¬+1␈↓ α|␈εn
␈ββV␈↓ ¬w␈ε¬3
␈ββ[␈↓ ↓H␈ελU␈↓ α4␈εα=␈↓ αb␈ελU␈↓ βE␈ελU␈↓ ∧!␈ε⊗␈␈↓ ∧M␈ελU␈↓ ¬∧␈ελU␈↓ ¬7␈ε⊗⊃␈↓ ¬e␈ελa␈↓ ε¬␈εα.␈αIn␈αgeneral,
␈ββh␈↓ ↓←␈ε¬3␈↓ ↓m␈εn␈↓ ↓␈␈ε¬+1␈↓ αy␈ε¬2␈↓ βλ␈εn␈↓ β→␈ε¬+1␈↓ β\␈εn␈↓ βn␈ε¬+␈α␈1␈↓ ∧d␈ε¬2␈↓ ∧r␈εn␈↓ ¬≠␈εn
␈β∧$␈↓ βq␈εk␈↓ ∧␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πV␈εk␈↓ 	U␈εe␈↓ 	a␈ε¬+1
␈β∧*␈↓ αR␈ελU␈↓ β∪␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈↓ βM␈ελk␈↓ β←␈ελa␈↓ ∧+␈εα)␈↓ ∧7␈ελU␈↓ ¬(␈εαand␈↓ ε*␈ελU␈↓ π⊗␈ε⊗⊃␈↓ πD␈ελa␈↓ λ7␈εα(modulo␈↓ 	C␈ελp␈↓ 
␈εα),
␈β∧8␈↓ αi␈εk␈↓ αw␈εn␈↓ ∧N␈εn␈↓ εA␈εk␈↓ εO␈εn␈↓ εa␈ε¬+1
␈β∧z␈↓ ↓H␈εαso␈α(30)␈αfollo␈α␈ws␈αif␈αw␈α␈e␈αtak␈α␈e␈↓ ∧Y␈ελk␈↓ ∧t␈εα=␈↓ ¬"␈ελp␈↓ ¬5␈εα.
␈β¬%␈↓ α␈εαFrom␈αform␈α␈ulas␈α(27)␈αand␈α(28)␈α
w␈α␈e␈αcan␈αobtain␈αother␈αexpressions␈αfor␈↓ 
∧␈ελU␈↓ 
8␈εαand␈↓ 
⎇␈ελV␈↓ "␈εα,
␈β¬2␈↓ 
≠␈εn␈↓ ⊃␈εn
␈β¬K␈↓ ∧∪␈εn
␈β¬L␈↓ βl␈∧¬Lβlα⊗
␈β¬M␈↓ βH␈ε⊗p
␈β¬P␈↓ ↓H␈εαexpanding␈α(2␈ε⊗␈αλε␈↓ βo␈εα3␈↓ ∧π␈εα)␈↓ ∧1␈εαby␈αthe␈αbinomial␈αtheorem:
␈βε∩␈↓ β.␈ε↓X␈↓ πc␈ε↓X
␈βε≠␈↓ βh␈ε↓∩␈↓ ∧h␈ε↓∪␈↓ λ≥␈ε↓∩␈↓ λW␈ε↓∪
␈βε≡␈↓ ∧(␈ελn␈↓ λ;␈ελn
␈βε/␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬(␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ¬S␈εk␈↓ ¬b␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε∨␈εk␈↓ 	¬␈εn␈↓ 	↔␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	B␈εk␈↓ 	Q␈ε¬+1␈↓ 
∞␈εk
␈βε5␈↓ αM␈ελU␈↓ β␈εα=␈↓ ¬∧␈εα2␈↓ ε
␈εα3␈↓ ε.␈εα,␈↓ πε␈ελV␈↓ π5␈εα=␈↓ λs␈εα2␈↓ 	|␈εα3␈↓ 
≥␈εα.␈↓ 
p␈εα(31)
␈βεB␈↓ αd␈εn␈↓ π~␈εn
␈βεM␈↓ β}␈εα2␈↓ ∧⊂␈ελk␈↓ ∧*␈εα+␈αλ1␈↓ λ3␈εα2␈↓ λE␈ελk
␈βεf␈↓ βA␈εk␈↓ πv␈εk
␈βππ␈↓ 
]␈ε↓␈␈↓ 
{␈ε↓↓
␈βπ∨␈↓ 
k␈εp
␈βπ'␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αif␈αw␈α␈e␈αset␈↓ β)␈ελn␈↓ βH␈εα=␈↓ βv␈ελp␈↓ ∧	␈εα,␈αwhere␈↓ ¬ε␈ελp␈↓ ¬%␈εαis␈αan␈αodd␈αprime,␈αand␈αif␈αw␈α␈e␈αuse␈αthe␈αfact␈αthat␈↓ ∀␈εαis
␈βπ:␈↓ 
l␈εk
␈βπR␈↓ ↓H␈εαa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ β≥␈ελp␈↓ β;␈εαex␈α␈cept␈αwhen␈↓ ¬
␈ελk␈↓ ¬&␈εα=␈α
0␈αor␈↓ ε≡␈ελk␈↓ ε:␈εα=␈↓ εh␈ελp␈↓ εz␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βλ≠␈↓ ∧W␈ε¬(␈↓ ∧a␈εp␈↓ ∧p␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈βλ!␈↓ βg␈ελU␈↓ ∧↔␈ε⊗⊃␈↓ ∧E␈εα3␈↓ ¬B␈εα,␈↓ ε~␈ελV␈↓ εG␈ε⊗⊃␈εα␈α
4␈↓ πY(modulo␈↓ λe␈ελp␈↓ λw␈εα).␈↓ 
p␈εα(32)
␈βλ/␈↓ β}␈εp␈↓ ε.␈εp
␈βλl␈↓ π⊗␈εp␈↓ π&␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	S␈ε¬(␈↓ 	]␈εp␈↓ 	l␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈βλq␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓q␈ελp␈↓ α↔␈ε⊗≤␈εα␈α∪3,␈α∪Fermat's␈α⊃theorem␈α∩tells␈α⊃us␈α∩that␈↓ π∧␈εα3␈↓ πd␈ε⊗⊃␈εα␈α∪1;␈α∀hence␈α∩(␈↓ 	A␈εα3␈↓ 
I␈ε⊗␈␈εα␈α1)␈ε⊗␈α↓
␈β	↔␈↓ ↓f␈ε¬(␈↓ ↓o␈εp␈↓ ↓}␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ ∧p␈ε¬(␈↓ ∧z␈εp␈↓ ¬	␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β	≤␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈εα3␈↓ αZ␈εα+␈α
1)␈ε⊗␈α⊂⊃␈εα␈α∂0,␈α⊂and␈↓ ∧↑␈εα3␈↓ ¬j␈ε⊗⊃␈α∂ε␈εα1.␈α⊗When␈↓ π↑␈ελU␈↓ λ∀␈ε⊗⊃␈α∂␈␈εα1,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈↓ 
(␈ελU␈↓ λ␈εα=
␈β	)␈↓ πu␈εp␈↓ 
?␈εp␈↓ 
N␈ε¬+1
␈β	G␈↓ ↓H␈εα4␈↓ ↓Z␈ελU␈↓ α
␈ε⊗␈␈↓ α8␈ελU␈↓ β~␈εα=␈α∂4␈↓ β←␈ελU␈↓ ∧⊂␈εα+␈↓ ∧>␈ελV␈↓ ∧l␈ε⊗␈␈↓ ¬~␈ελU␈↓ ¬{␈ε⊗⊃␈α⊂␈␈↓ εS␈ελU␈↓ π$␈εα;␈α⊃hence␈↓ λ'␈ελU␈↓ λ}␈εαmod␈↓ 	H␈ελp␈↓ 	j␈εα=␈α⊂0.␈α⊗When
␈β	U␈↓ ↓q␈εp␈↓ αO␈εp␈↓ α←␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ βv␈εp␈↓ ∧R␈εp␈↓ ¬1␈εp␈↓ ¬@␈ε¬+1␈↓ εj␈εp␈↓ εy␈ε¬+1␈↓ λ>␈εp␈↓ λM␈ε¬+1
␈β	r␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓x␈ε⊗⊃␈εα␈α
+1,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ β|␈ελU␈↓ ∧X␈εα=␈α
4␈↓ ¬_␈ελU␈↓ ¬F␈ε⊗␈␈↓ ¬r␈ελU␈↓ εN␈εα=␈α
4␈↓ π∞␈ελU␈↓ π<␈ε⊗␈␈↓ πh␈ελV␈↓ λ∪␈ε⊗␈␈↓ λ?␈ελU␈↓ 	≠␈ε⊗⊃␈α
␈␈↓ 	m␈ελU␈↓ 
>␈εα;␈αhence
␈β
␈↓ ↓←␈εp␈↓ ∧∪␈εp␈↓ ∧"␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬/␈εp␈↓ ε	␈εp␈↓ ε_␈ε¬+1␈↓ π%␈εp␈↓ π|␈εp␈↓ λV␈εp␈↓ λf␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
∧␈εp␈↓ 
∪␈ε→␈␈ε¬1
␈β
≡␈↓ ↓H␈ελU␈↓ α∨␈εαmod␈↓ αi␈ελp␈↓ βε␈εα=␈α0.␈α
We␈αhav␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈α
that,␈αfor␈αall␈α
primes␈↓ λ!␈ελp␈↓ λ3␈εα,␈α
there␈αis␈αan␈α
in␈α␈teger␈↓ 
t␈ελ∂␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελp␈↓  ␈εα)
␈β
+␈↓ ↓←␈εp␈↓ ↓n␈ε→␈␈ε¬1
␈β
I␈↓ ↓H␈εαsuch␈αthat
␈β
t␈↓ ∧/␈ελU␈↓ ¬&␈εαmod␈↓ ¬p␈ελp␈↓ ε
␈εα=␈α
0,␈ε⊗␈↓ π%j␈↓ π/␈ελ∂␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελp␈↓ π[␈εα)␈ε⊗j␈α
∀␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(33)
␈βα␈↓ ∧F␈εp␈↓ ∧U␈ε¬+␈↓ ∧r␈ε∂␈↓ ∧}␈ε¬(␈↓ ¬λ␈εp␈↓ ¬↔␈ε¬)
␈β5␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αif␈↓ βα␈ελN␈↓ β0␈εαis␈αan␈α␈y␈αpositiv␈α␈e␈αin␈α␈teger,␈α
and␈αif␈↓ πλ␈ελm␈↓ π2␈εα=␈↓ πa␈ελm␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ
␈ελN␈↓ λ.␈εα)␈α
is␈αthe␈αsmallest␈αpositiv␈α␈e
␈βa␈↓ ↓H␈εαin␈α␈teger␈αsuch␈αthat␈↓ β←␈ελU␈↓ ∧C␈εαmod␈↓ ¬
␈ελN␈↓ ¬9␈εα=␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βo␈↓ βv␈εm␈↓ ∧⊂␈ε¬(␈↓ ∧→␈εN␈↓ ∧4␈ε¬)
␈β0␈↓ αZ␈ελU␈↓ β	␈εαmod␈↓ βS␈ελN␈↓ β}␈εα=␈α
0␈↓ ¬ε␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈↓ π≤␈ελn␈↓ π>␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	7␈ελm␈↓ 	W␈εα(␈↓ 	c␈ελN␈↓ 
∧␈εα).␈↓ 
p␈εα(34)
␈β=␈↓ αq␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εα(This␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ β&␈ελm␈↓ βE␈εα(␈↓ βQ␈ελN␈↓ βs␈εα)␈αis␈αcalled␈αthe␈α\rank␈αof␈α
apparition"␈αof␈↓ λD␈ελN␈↓ λq␈εαin␈αthe␈αsequence.)␈αTo
␈β
+␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈e␈α
(34),␈αobserv␈α␈e␈αthat␈α
the␈αsequence␈↓ ε∀␈ελU␈↓ εE␈εα,␈↓ εZ␈ελU␈↓ π6␈εα,␈↓ πK␈ελU␈↓ λ'␈εα,␈↓ λ<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λp␈εαis␈αcongruen␈α␈t␈α
modulo
␈β
8␈↓ ε+␈εm␈↓ εq␈εm␈↓ π␈ε¬+1␈↓ πb␈εm␈↓ π|␈ε¬+2
␈β
V␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓r␈εαto␈↓ α≠␈ελa␈↓ α,␈ελU␈↓ αR␈εα,␈↓ αe␈ελa␈↓ αw␈ελU␈↓ β≤␈εα,␈↓ β0␈ελa␈↓ βB␈ελU␈↓ βg␈εα,␈↓ βz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧*␈εα,␈α
where␈↓ ¬"␈ελa␈↓ ¬>␈εα=␈↓ ¬l␈ελU␈↓ εN␈εαmod␈↓ π_␈ελN␈↓ πC␈εαis␈αλrelativ␈α␈ely␈α	prime␈α	to␈↓ 

␈ελN␈↓ 
4␈εαbecause
␈β
c␈↓ αC␈ε¬0␈↓ β∞␈ε¬1␈↓ βY␈ε¬2␈↓ εβ␈εm␈↓ ε≥␈ε¬+1
␈β∞↓␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελU␈↓ α3␈εα,␈↓ αC␈ελU␈↓ β↔␈εα)␈α
=␈α
1.
␈β∞∂␈↓ α!␈εn␈↓ αZ␈εn␈↓ αk␈ε¬+1
␈β∞,␈↓ α␈εαWith␈αthese␈αpreliminaries␈αout␈αof␈αthe␈αway,␈αw␈α␈e␈αare␈αready␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αTheorem␈αL␈↓ "␈εα.
␈β∞X␈↓ ↓H␈εαBy␈α(24)␈αand␈αinduction,
␈β∞⎇␈↓ πε␈εq
␈β∂β␈↓ ¬¬␈ελL␈↓ ¬8␈εα=␈↓ ¬f␈ελV␈↓ ε≡␈εαmod␈↓ εh␈εα(␈↓ εt␈εα2␈↓ π≠␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).␈↓ 
p␈εα(35)
␈β∂∞␈↓ ελ␈ε
n
␈β∂⊂␈↓ ¬≤␈εn␈↓ ¬z␈ε¬2
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α
it␈α
follo␈α␈ws␈α	from␈α
the␈α
iden␈α␈tity␈α
2␈↓ εa␈ελU␈↓ π?␈εα=␈α
4␈↓ π␈␈ελU␈↓ λ-␈εα+␈↓ λV␈ελV␈↓ 	ε␈εαthat␈↓ 	R␈εαgcd␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελU␈↓ 
=␈εα,␈↓ 
M␈ελV␈↓ 
r␈εα)␈ε⊗␈α
∀
␈β∂Q␈↓ εx␈εn␈↓ π
␈ε¬+1␈↓ λ⊗␈εn␈↓ λj␈εn␈↓ 
+␈εn␈↓ 
a␈εn
␈β∂o␈↓ ↓H␈εα2,␈α⊃since␈α⊃an␈α␈y␈α⊃common␈α⊂factor␈α⊃of␈↓ ¬K␈ελU␈↓ ε¬␈εαand␈↓ εP␈ελV␈↓ πε␈εαm␈α␈ust␈α⊃divide␈↓ λT␈ελU␈↓ 	∞␈εαand␈α⊃2␈↓ 	k␈ελU␈↓ 
?␈εα,␈α⊃while
␈β∂⎇␈↓ ¬b␈εn␈↓ εd␈εn␈↓ λk␈εn␈↓ 
α␈εn␈↓ 
∪␈ε¬+1
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ ↓}␈εα(␈↓ α
␈ελU␈↓ α3␈εα,␈↓ αC␈ελU␈↓ β↔␈εα)␈α
=␈α
1.␈α
So␈↓ ∧/␈ελU␈↓ ∧`␈εαand␈↓ ¬#␈ελV␈↓ ¬Q␈εαhav␈α␈e␈αλno␈αλodd␈αλfactor␈αλin␈αλcommon,␈α	and␈αλif␈↓ 
∪␈ελL␈↓ 
l␈εα=␈α
0
␈β⊂(␈↓ α!␈εn␈↓ αZ␈εn␈↓ αk␈ε¬+1␈↓ ∧F␈εn␈↓ ¬7␈εn␈↓ 
*␈εq␈↓ 
7␈ε→␈␈ε¬2
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e
␈β⊂↑␈↓ λ~␈εq
␈β⊂d␈↓ βq␈ελU␈↓ ∧N␈εα=␈↓ ∧|␈ελU␈↓ ¬N␈ελV␈↓ ε(␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α∀(modulo␈↓ λλ␈εα2␈↓ λ/␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),
␈β⊂q␈↓ ∧⊗␈ε
q␈↓ ∧"␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬!␈ε
q␈↓ ¬-␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ ¬q␈ε
q␈↓ ¬|␈ε≠␈␈επ2
␈β⊂s␈↓ ∧λ␈ε¬2␈↓ ¬∪␈ε¬2␈↓ ¬b␈ε¬2
␈β⊃∀␈↓ λ⊂␈εq
␈β⊃~␈↓ ¬K␈ελU␈↓ ε(␈ε⊗@⊃␈↓ εV␈εα0␈α
(modulo␈↓ π}␈εα2␈↓ λ%␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).
␈β⊃'␈↓ ¬q␈ε
q␈↓ ¬|␈ε≠␈␈επ2
␈β⊃)␈↓ ¬b␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα383
␈βα!␈↓ ∧&␈εq␈↓ λt␈εq
␈βα&␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α∂if␈↓ βπ␈ελm␈↓ β5␈εα=␈↓ βh␈ελm␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ ∧∀␈εα2␈↓ ∧=␈ε⊗␈␈εα␈α
1)␈α∂is␈α∂the␈α∂rank␈α∂of␈α∂apparition␈α∂of␈↓ λb␈εα2␈↓ 	␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈α⊂it␈α∂m␈α␈ust␈α∂be␈α∞a
␈βαL␈↓ αx␈εq␈↓ β¬␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧w␈εq␈↓ ¬∧␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ε⎇␈εq␈↓ π
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
[␈εq
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαdivisor␈αof␈↓ αf␈εα2␈↓ β<␈εαbut␈αnot␈αof␈↓ ∧e␈εα2␈↓ ¬0␈εα;␈αth␈α␈us␈↓ ε∪␈ελm␈↓ ε=␈εα=␈↓ εk␈εα2␈↓ π5␈εα.␈αWe␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈↓ 	|␈ελn␈↓ 
≠␈εα=␈↓ 
I␈εα2␈↓ 
p␈ε⊗␈␈εα␈αε1
␈βαx␈↓ λP␈εe␈↓ 	)␈εe
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ust␈α∞therefore␈α∞be␈α∞prime:␈α⊂Let␈α∞the␈α∞factorization␈α∂of␈↓ πh␈ελn␈↓ λ␈εαbe␈↓ λ>␈ελp␈↓ λf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	⊗␈ελp␈↓ 	@␈εα.␈α∩All␈α∞primes␈↓ ∞␈ελp
␈ββ␈↓ λ[␈επ1␈↓ 	4␈ε
r
␈ββ
␈↓ ∨␈εj
␈ββ∂␈↓ λP␈ε¬1␈↓ 	)␈εr
␈ββ#␈↓ λ2␈εq
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαare␈α
greater␈α
than␈α
3,␈αsince␈↓ ∧I␈ελn␈↓ ∧i␈εαis␈αodd␈α
and␈α
congruen␈α␈t␈α
to␈α(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λ&␈εα)␈↓ λE␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
=␈ε⊗␈α
␈␈εα2␈α
(modulo␈α3).
␈ββN␈↓ λQ␈εq
␈ββS␈↓ ↓H␈εαFrom␈α(30),␈α(33),␈αand␈α(34)␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat␈↓ ε>␈ελU␈↓ εi␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ λ?␈εα2␈↓ λf␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈αwhere
␈ββ`␈↓ εU␈εt
␈β∧¬␈↓ ∧↑␈ε↓␈␈↓ λ|␈ε↓↓
␈β∧≡␈↓ ∧}␈εe␈↓ ¬∀␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π5␈εe␈↓ πL␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∧$␈↓ βa␈ελt␈↓ βx␈εα=␈↓ ∧&␈εαlcm␈↓ ∧l␈ελp␈↓ ¬@␈εα(␈↓ ¬L␈ελp␈↓ ¬s␈εα+␈↓ ε∨␈ελ∂␈↓ ε:␈εα),␈↓ ε\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π␈εα,␈↓ π"␈ελp␈↓ πw␈εα(␈↓ λβ␈ελp␈↓ λ)␈εα+␈↓ λU␈ελ∂␈↓ λp␈εα)␈↓ 	
␈εα,
␈β∧'␈↓ ¬	␈επ1␈↓ π@␈ε
r
␈β∧2␈↓ ¬]␈ε¬1␈↓ ε,␈ε¬1␈↓ λ∀␈εr␈↓ λb␈εr
␈β∧6␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ π5␈εr
␈β∧p␈↓ 	α␈εq
␈β∧u␈↓ ↓H␈εαand␈α∩each␈↓ αm␈ελ∂␈↓ β~␈εαis␈ε⊗␈α∩ε␈εα1.␈α Therefore␈↓ ¬O␈ελt␈↓ ¬o␈εαis␈α∩a␈α∪m␈α␈ultiple␈α∩of␈↓ λα␈ελm␈↓ λ7␈εα=␈↓ λp␈εα2␈↓ 	≠␈ε⊗␈␈εα␈α
1.␈α Let␈↓ 
P␈ελn␈↓ λ␈εα=
␈β¬β␈↓ αz␈εj␈↓ 
e␈ε¬0
␈β¬¬␈↓ ↓H␈ε↓Q␈↓ ε4␈ε↓Q
␈β¬~␈↓ αe␈εe␈↓ α{␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πQ␈εe␈↓ πh␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β¬≤␈↓ 
 ␈εr
␈β¬≥␈↓ λw␈ε¬1␈↓ 
α␈ε¬6
␈β¬!␈↓ αR␈ελp␈↓ β&␈εα(␈↓ β2␈ελp␈↓ βZ␈εα+␈↓ ∧π␈ελ∂␈↓ ∧!␈εα);␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈↓ ¬S␈ελn␈↓ εβ␈ε⊗∀␈↓ π?␈ελp␈↓ λ∪␈εα(␈↓ λ∨␈ελp␈↓ λF␈εα+␈↓ 	
␈ελp␈↓ 	(␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ 
∀␈εα)␈↓ 
.␈ελn␈↓ 
C␈εα.␈α⊃Also,
␈β¬#␈↓ αp␈ε
j␈↓ π\␈ε
j
␈β¬.␈↓ βC␈εj␈↓ ∧∀␈εj␈↓ ¬h␈ε¬0␈↓ λ0␈εj␈↓ 	≠␈εj
␈β¬1␈↓ λw␈∧¬1λwα∂␈↓ 
α␈∧¬1
αα∂
␈β¬3␈↓ ↓j␈ε¬1␈ε→∀␈↓ α∃␈εj␈↓ α"␈ε→∀␈↓ α?␈εr␈↓ εV␈ε¬1␈ε→∀␈↓ π↓␈εj␈↓ π∞␈ε→∀␈↓ π+␈εr␈↓ λw␈ε¬5␈↓ 
α␈ε¬5
␈β¬4␈↓ α`␈εj␈↓ πL␈εj
␈β¬N␈↓ ¬R␈εr␈↓ ¬`␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬S␈↓ ↓H␈εαbecause␈↓ αL␈ελp␈↓ αr␈εα+␈↓ β≡␈ελ∂␈↓ βE␈εαis␈αev␈α␈en,␈↓ ∧F␈ελt␈↓ ∧]␈ε⊗∀␈↓ ¬␈ελn␈↓ ¬.␈εα/␈↓ ¬@␈εα2␈↓ ε␈εα,␈αsince␈αa␈αfactor␈α
of␈αt␈α␈w␈α␈o␈αis␈αlost␈αeach␈αtime␈αthe
␈β¬a␈↓ α]␈εj␈↓ β+␈εj␈↓ ¬ ␈ε¬0
␈β¬}␈↓ ↓H␈εαleast␈α
common␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
ev␈α␈en␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
is␈α
tak␈α␈en.␈α∞Com␈α␈bining␈α
these␈α
results,
␈βε$␈↓ ∧1␈εr␈↓ ¬M␈εr
␈βε&␈↓ ∧∪␈ε¬3␈↓ ¬/␈ε¬3
␈βε*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ αR␈ελm␈↓ α|␈ε⊗∀␈↓ β+␈ελt␈↓ βB␈ε⊗∀␈εα␈α2(␈↓ ∧%␈εα)␈↓ ∧>␈ελn␈↓ ∧↑␈εα<␈α4(␈↓ ¬A␈εα)␈↓ ¬[␈ελm␈↓ ε¬␈εα<␈α
3␈↓ εE␈ελm␈↓ εe␈εα;␈αhence␈↓ π`␈ελr␈↓ πz␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈αand␈↓ 	
␈ελt␈↓ 	$␈εα=␈↓ 	S␈ελm␈↓ 	␈␈εαor␈↓ 
+␈ελt␈↓ 
B␈εα=␈α2␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα,
␈βε:␈↓ ∧∪␈∧ε:∧∪α∂␈↓ ¬/␈∧ε:¬/α∂
␈βε<␈↓ ∧∪␈ε¬5␈↓ ¬/␈ε¬5
␈βεU␈↓ ↓H␈εαa␈α∂po␈α␈w␈α␈er␈α∂of␈α∂2.␈α∃Therefore␈↓ ∧Y␈ελe␈↓ ¬β␈εα=␈α∂1,␈↓ ¬b␈ελe␈↓ ε␈εα=␈α∂1,␈α⊂and␈α∂if␈↓ πX␈ελn␈↓ π|␈εαis␈α∂not␈α∂prime␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∂hav␈α␈e
␈βεb␈↓ ∧f␈ε¬1␈↓ ¬o␈εr
␈βε{␈↓ α'␈εq␈↓ βM␈εk␈↓ ∧H␈εl␈↓ ε#␈εk␈↓ πU␈εl
␈βπ␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈εα=␈↓ α∃␈εα2␈↓ α;␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α
=␈α
(␈↓ β;␈εα2␈↓ βb␈εα+␈αε1)(␈↓ ∧6␈εα2␈↓ ∧W␈ε⊗␈␈εα␈αε1)␈αwhere␈↓ ε⊃␈εα2␈↓ ε7␈εα+␈απ1␈α
and␈↓ πC␈εα2␈↓ πd␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈αare␈α
prime.␈αBut␈αthe␈α
latter
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαis␈αobviously␈αimpossible␈αwhen␈↓ ¬~␈ελq␈↓ ¬6␈εαis␈αodd,␈αso␈↓ εV␈ελn␈↓ εw␈εαis␈αprime.
␈βπQ␈↓ ¬}␈εq
␈βπV␈↓ α␈εαCon␈α␈v␈α␈ersely,␈α
suppose␈α
that␈↓ ¬≡␈ελn␈↓ ¬>␈εα=␈↓ ¬l␈εα2␈↓ ε⊂␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α	is␈α
prime;␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
sho␈α␈w␈α
that␈↓ 
∪␈ελV␈↓ 
l␈ε⊗⊃␈εα␈α
0
␈βπc␈↓ 
5␈ε
q␈↓ 
A␈ε≠␈␈επ␈α␈2
␈βπe␈↓ 
'␈ε¬2
␈βλα␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελn␈↓ αi␈εα).␈α⊃For␈α
this␈α∞purpose␈α
it␈α∞su}ces␈α
to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ λ&␈ελV␈↓ 	α␈ε⊗⊃␈α␈␈εα2␈α
(modulo␈↓ ↓␈ελn␈↓ ⊗␈εα),
␈βλ∞␈↓ λH␈ε
q␈↓ λT␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βλ⊂␈↓ λ:␈ε¬2
␈βλ(␈↓ ∧∂␈ε¬2
␈βλ-␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α ␈ελV␈↓ αy␈εα=␈α
(␈↓ β3␈ελV␈↓ ∧β␈εα)␈↓ ∧&␈ε⊗␈␈εα␈αλ2.␈αNo␈α␈w
␈βλ9␈↓ αB␈ε
q␈↓ αN␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ βV␈ε
q␈↓ βa␈ε≠␈␈επ2
␈βλ<␈↓ α4␈ε¬2␈↓ βG␈ε¬2
␈βλf␈↓ β~␈ε↓␈␈↓ ¬⊃␈ε↓↓␈↓ ε⊂␈ε↓␈␈↓ λπ␈ε↓↓
␈βλy␈↓ ¬∨␈εn␈↓ ¬1␈ε¬+1␈↓ λ∃␈εn␈↓ λ'␈ε¬+1
␈β	␈↓ βX␈∧	βXα⊗␈↓ ∧E␈∧	∧Eα⊗␈↓ εN␈∧	εNα⊗␈↓ π<␈∧	π<α⊗
␈β	↓␈↓ β4␈ε⊗p␈↓ ∧!␈ε⊗p␈↓ ε*␈ε⊗p␈↓ π_␈ε⊗p
␈β	ε␈↓ α∩␈ελV␈↓ αl␈εα=␈↓ β(␈εα(␈↓ β[␈εα2␈↓ βu␈εα+␈↓ ∧I␈εα6␈↓ ∧a␈εα)/2␈↓ ¬d␈εα+␈↓ ε≡␈εα(␈↓ εR␈εα2␈↓ εl␈ε⊗␈␈↓ π?␈εα6␈↓ πW␈εα)/2
␈β	∪␈↓ α4␈ε
q␈↓ α@␈ε≠␈␈επ1
␈β	∃␈↓ α&␈ε¬2
␈β	=␈↓ βa␈ε↓X␈↓ λp␈ε↓X
␈β	F␈↓ ∧≠␈ε↓∩␈↓ ¬␈ε↓∪␈↓ 	*␈ε↓∩␈↓ 
≤␈ε↓∪
␈β	I␈↓ ∧1␈ελn␈↓ ∧N␈εα+␈αλ1␈↓ 	@␈ελn␈↓ 	↑␈εα+␈αλ1
␈β	N␈↓ ¬a␈εn␈↓ ¬r␈ε¬+1␈ε→␈α↓␈␈ε¬␈α␈2␈↓ εI␈εk␈↓ π⊗␈ε¬2␈↓ π$␈εk
␈β	Z␈↓ β,␈ε→␈␈↓ βI␈εn␈↓ ¬F␈∧	Z¬Fα⊗␈↓ ε{␈∧	Zε{α⊗␈↓ π⎇␈ε¬(␈α␈1␈ε→␈α↓␈␈↓ λ2␈εn␈↓ λC␈ε¬)/2␈↓ 
J␈εk
␈β	[␈↓ ¬"␈ε⊗p␈↓ εW␈ε⊗p
␈β	`␈↓ αl␈εα=␈↓ β~␈εα2␈↓ ¬J␈εα2␈↓ ε␈␈εα6␈↓ π=␈εα=␈↓ πk␈εα2␈↓ 
8␈εα3␈↓ 
X␈εα.
␈β	x␈↓ ∧L␈εα2␈↓ ∧↑␈ελk␈↓ 	\␈εα2␈↓ 	n␈ελk
␈β
⊃␈↓ βs␈εk␈↓ 	β␈εk
␈β
b␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α&␈ελn␈↓ αG␈εαis␈αprime,␈αthe␈αbinomial␈αcoe}cien␈α␈t
␈β,␈↓ ∧M␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∪␈↓ ε
␈ε↓∩␈↓ εG␈ε↓∪␈↓ π⊃␈ε↓∩␈↓ λ⊃␈ε↓∪
␈β0␈↓ ∧c␈ελn␈↓ ¬↓␈εα+␈αλ1␈↓ ε*␈ελn␈↓ πQ␈ελn
␈βF␈↓ ¬←␈εα=␈↓ εe␈εα+
␈β←␈↓ ∧␈␈εα2␈↓ ¬⊃␈ελk␈↓ ε#␈εα2␈↓ ε5␈ελk␈↓ π'␈εα2␈↓ π9␈ελk␈↓ πS␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β-␈↓ ↓H␈εαis␈αdivisible␈αby␈↓ β.␈ελn␈↓ βO␈εαex␈α␈cept␈αwhen␈↓ ¬≡␈ελk␈↓ ¬:␈εα=␈α
0␈αand␈↓ εL␈ελk␈↓ εh␈εα=␈α
(␈↓ π"␈ελn␈↓ π@␈εα+␈αλ1)/2;␈αhence
␈βx␈↓ ∧β␈ε¬(␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≡␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ εT␈ε¬(␈↓ ε↑␈εn␈↓ εp␈ε¬+1)/2
␈β}␈↓ βq␈εα2␈↓ ∧u␈ελV␈↓ ¬N␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈αλ+␈↓ εB␈εα3␈↓ πL␈εα(modulo␈↓ λX␈ελn␈↓ λm␈εα).
␈β
␈↓ ¬↔␈ε
q␈↓ ¬#␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β

␈↓ ¬	␈ε¬2
␈β
J␈↓ β␈ε¬(␈↓ β∃␈εq␈↓ β#␈ε¬+␈α␈1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ ∧␈ε¬2␈↓ ∧g␈ε¬(␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬α␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ ε0␈ε¬(␈↓ ε:␈εq␈↓ εG␈ε¬+1)/2␈↓ π$␈ε¬(␈↓ π.␈εn␈↓ π@␈ε→␈␈ε¬1)
␈β
P␈↓ ↓H␈εαHere␈α
2␈ε⊗␈α∞⊃␈εα␈α
(␈↓ αz␈εα2␈↓ βt␈εα)␈↓ ∧∂␈εα,␈α∞so␈↓ ∧U␈εα2␈↓ ¬a␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈↓ ε≡␈εα2␈↓ π_␈εα)␈↓ λα␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α∞by␈α∞Fermat's␈α
theorem.
␈β
{␈↓ ↓H␈εαFinally,␈αby␈αa␈αsimple␈αcase␈αof␈α
the␈αlaw␈αof␈αquadratic␈αreciprocity␈α(ex␈α␈ercise␈α1.2.4↑47),
␈β∞!␈↓ ↓Z␈ε¬(␈↓ ↓c␈εn␈↓ ↓u␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β∞&␈↓ ↓H␈εα3␈↓ αR␈ε⊗⊃␈α␈␈εα1,␈α
since␈↓ ∧(␈ελn␈↓ ∧D␈εαmod␈↓ ¬∞␈εα3␈α=␈α1␈α
and␈↓ εA␈ελn␈↓ ε]␈εαmod␈↓ π'␈εα4␈α=␈α3.␈α∂This␈α
means␈↓ 	a␈ελV␈↓ 
=␈ε⊗⊃␈α␈␈εα2,
␈β∞3␈↓ 
∧␈ε
q␈↓ 
∂␈ε≠␈␈επ1
␈β∞5␈↓ 	u␈ε¬2
␈β∞Q␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓t␈ελV␈↓ αM␈ε⊗⊃␈εα␈α
0.
␈β∞V␈↓ β?␈∧∞Vβ?≠∂
␈β∞↑␈↓ α⊗␈ε
q␈↓ α"␈ε≠␈␈επ␈α␈2
␈β∞`␈↓ αλ␈ε¬2
␈β∂O␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β⊂≡␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈αλth␈α␈e␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ ∧3␈ε	d␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧a␈ε	d␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬∂␈ε	d␈↓ ¬+␈εβ,␈↓ ¬<␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬k␈εβo␈α␈f␈αλtrial␈αλd␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈απi␈α↓n␈απAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈απA␈αλcon␈α}tain␈α␈s␈αλa␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β⊂)␈↓ ∧C␈εε0␈↓ ∧p␈εε1␈↓ ¬≡␈εε2
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αis␈αno␈α␈t␈αprime,␈αwh␈α␈y␈α
wil␈α↓l␈αit␈αnev␈α}er␈αap␈α␈pe␈α␈ar␈αin␈αth␈α␈e␈αout␈α␈pu␈α␈t?
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈αit␈αi␈α↓s␈αk␈α␈no␈α␈wn␈αth␈α␈at␈αthe␈αin␈α␈pu␈α␈t␈↓ ε¬␈ε	N␈↓ ε/␈εβto␈αAlgorith␈α␈m␈αA␈αis␈αe␈α␈qua␈α␈l␈αto␈α3␈αor␈αmo␈α␈re,␈αco␈α␈uld
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αA2␈αb␈α␈e␈αeliminate␈α␈d?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα384␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈ere␈α	is␈α
a␈α	n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ε↔␈ε	P␈↓ ε9␈εβwith␈α	th␈α␈e␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α	prop␈α␈erty␈α␈:␈αIf␈α	100␈α␈0␈ε↔␈α	∀␈↓ 
n␈ε	n␈↓ ␈ε↔∀
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈000␈α␈000␈α␈,␈αt␈α␈hen␈↓ β≤␈ε	n␈↓ β<␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αif␈αa␈α␈nd␈α
only␈α
i␈α↓f␈↓ ε¬␈εβg␈α␈cd␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	n␈↓ εV␈εβ,␈↓ εe␈ε	P␈↓ ε|␈εβ)␈α
=␈α	1.
␈ββ∂␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈αλM␈α␈.␈α	Pollard␈α␈.)␈α∩In␈απthe␈απnota␈α␈tion␈αλo␈α␈f␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈αλ3.1↑␈α␈7␈αλan␈α␈d␈αλS␈α␈ection␈απ1.2.1␈α␈1.3,␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈ββ7␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈αλav␈α}erag␈α␈e␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλleast␈↓ ¬4␈ε	n␈↓ ¬P␈εβsu␈α␈ch␈αλth␈α␈at␈↓ ε↑␈ε	X␈↓ π∂␈εβ=␈↓ π9␈ε	X␈↓ λ+␈εβli␈α↓e␈α␈s␈α	b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ1.5␈↓ 
∞␈ε	Q␈↓ 
&␈εβ(␈↓ 
1␈ε	m␈↓ 
O␈εβ)␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈α∧0.5
␈ββA␈↓ εu␈εn
␈ββB␈↓ πU␈εl␈↓ π\␈εε(␈↓ πe␈εn␈↓ πu␈εε)␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈ββ↑␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
1.625␈↓ αZ␈ε	Q␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	m␈↓ β~␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈απ0.5.
␈β∧≠␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Use␈α
F␈α↓e␈α␈rmat's␈α
meth␈α␈od␈α
(Algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
D)␈α∞to␈α
|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α
facto␈α␈rs␈α∞o␈α␈f␈α∞10␈α␈541␈α
b␈α␈y␈α
ha␈α␈nd␈α␈,
␈β∧C␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈αare␈α
3,␈α5,␈α7,␈αand␈α
8.
␈β¬␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β↔␈ε	p␈↓ β2␈εβi␈α↓s␈α
a␈α␈n␈α
od␈α␈d␈α
p␈α␈rime␈α
an␈α␈d␈α
if␈↓ ¬|␈ε	N␈↓ ε%␈εβis␈α
n␈α␈ot␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α	of␈↓ λA␈ε	p␈↓ λR␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β¬$␈↓ ε-␈εε2␈↓ πX␈εε2
␈β¬(␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ αn␈ε	x␈↓ β␈εβsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈α
0␈ε↔␈α∀␈↓ ∧o␈ε	x␈↓ ¬
␈εβ<␈↓ ¬;␈ε	p␈↓ ¬Y␈εβan␈α␈d␈↓ ε≤␈ε	x␈↓ εB␈ε↔␈␈↓ εl␈ε	N␈↓ π_␈ε↔⊃␈↓ πF␈ε	y␈↓ πq␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λs␈ε	p␈↓ 	∧␈εβ)␈α
h␈α␈as␈α
a␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈↓ 
w␈ε	y␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬P␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈αto␈α
(␈↓ αR␈ε	p␈↓ αk␈ε↔ε␈εβ␈απ1)/2␈α␈.
␈βε
␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	25␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈blems␈αof␈αpro␈α␈gra␈α␈mming␈αth␈α␈e␈αsiev␈α␈e␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈αD␈αo␈α␈n␈αa␈αbin␈α␈ary
␈βε4␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uter␈α
wh␈α␈en␈α
th␈α␈e␈αta␈α␈ble␈α
en␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈αfo␈α␈r␈αm␈α␈odu␈α␈lus␈↓ ε]␈ε	m␈↓ π∞␈εβdo␈α
n␈α␈ot␈α
exa␈α␈ctly␈α
|ll␈α
an␈α
in␈α␈te␈α␈gral␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βε?␈↓ εy␈εi
␈βε\␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αmemo␈α␈ry␈αw␈α␈ord␈α␈s.
␈βπ∃␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπ⊗␈↓ πa␈ε∞B.␈α␈C.
␈βπ→␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂The␈α∂\siev␈α}e␈α∂of␈α⊂Era␈α␈tosth␈α␈ene␈α␈s,␈α↓"␈εβ␈α⊂3␈α␈rd␈α∂cen␈α}tury␈↓ λ↔␈εβ)␈α!The␈α∂follo␈α␈wing␈α∂p␈α␈roced␈α␈ure
␈βπA␈↓ ↓H␈εβe␈α␈vide␈α␈n␈α␈tly␈α
d␈α␈i␈α↓sc␈α␈o␈α␈v␈α␈ers␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
od␈α␈d␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αless␈α
th␈α␈an␈α	a␈α
giv␈α␈en␈α	i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈↓ 	~␈ε	N␈↓ 	3␈εβ,␈αsince␈α
it␈α
rem␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈s
␈βπh␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αλth␈α␈e␈αλno␈α␈np␈α␈rime␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers:␈α
S␈α␈tart␈αλwith␈αλa␈α␈l␈α↓l␈αλth␈α␈e␈αλod␈α␈d␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αλless␈αλth␈α␈an␈↓ 	π␈ε	N␈↓ 	&␈εβ;␈α
th␈α␈en␈απsucc␈α␈essiv␈α␈ely
␈βλ␈↓ ∧;␈εε2
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈i␈α↓k␈α}e␈αou␈α␈t␈αth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ ∧*␈ε	p␈↓ ∧H␈εβ,␈↓ ∧↑␈ε	p␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬ε␈ε	p␈↓ ¬+␈εβ+␈αλ2),␈↓ ε¬␈ε	p␈↓ ε"␈εβ(␈↓ ε-␈ε	p␈↓ εR␈εβ+␈αλ4),␈↓ π,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πS␈εβ,␈αof␈αth␈α␈e␈↓ λJ␈ε	k␈↓ λZ␈εβth␈αp␈α␈rime␈↓ 	e␈ε	p␈↓ 
α␈εβ,␈αfor␈↓ 
L␈ε	k␈↓ 
g␈εβ=␈α2␈α␈,
␈βλ≠␈↓ ∧m␈εk␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ ε∃␈εk␈↓ ε=␈εk␈↓ 	u␈εk
␈βλ∨␈↓ ∧;␈εk
␈βλ4␈↓ ε%␈εε2
␈βλ8␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈,␈α4␈α␈,␈↓ α∩␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α>␈εβ,␈αun␈α}ti␈α↓l␈αrea␈α␈chin␈α␈g␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ ¬ ␈ε	p␈↓ ¬H␈εβwi␈α↓th␈↓ ε∀␈ε	p␈↓ ε<␈εβ>␈↓ εf␈ε	N␈↓ π¬␈εβ.
␈βλB␈↓ ¬0␈εk
␈βλG␈↓ ε%␈εk
␈βλb␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
ad␈α␈ap␈α␈t␈α
the␈α
p␈α␈roc␈α␈edu␈α␈re␈α
just␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed␈α
in␈α␈t␈α␈o␈α
an␈α	algorith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈α
is␈α
directly
␈β	
␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ited␈αto␈α
e}cien␈α}t␈αcomp␈α␈ute␈α␈r␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αus␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αn␈α␈o␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β	G␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	n␈↓ βP␈εβbe␈α	an␈α	od␈α␈d␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber,␈↓ ¬h␈ε	n␈↓ ε¬␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈α␈.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α	i␈α↓f␈α	the␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ 	>␈ε	∃␈↓ 	R␈εβ(␈↓ 	]␈ε	n␈↓ 	q␈εβ)␈α	of␈α
Th␈α␈eorem
␈β	n␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.2B␈αλis␈αλa␈αλd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αλof␈↓ ∧	␈ε	n␈↓ ∧ ␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αλb␈α␈ut␈αλn␈α␈ot␈αλeq␈α␈ual␈αλto␈↓ εH␈ε	n␈↓ ε`␈ε↔␈␈εβ␈αβ1,␈α	t␈α␈hen␈↓ πo␈ε	n␈↓ λ␈εβm␈α␈us␈α␈t␈αλhav␈α}e␈αλth␈α␈e␈αλform␈↓ 
(␈ε	p␈↓ 
E␈ε	p␈↓ 
g␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∪␈ε	p
␈β	y␈↓ 
8␈εε1␈↓ 
U␈εε2␈↓ #␈εt
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈↓ αa␈ε	p␈↓ αr␈εβ's␈αare␈αd␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct␈αprime␈α␈s␈αand␈↓ ¬o␈ε	t␈↓ ε∧␈ε↔∃␈εβ␈α
3.
␈β
O␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
S␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(Jo␈α␈hn␈α
Se␈α␈l␈α↓fridg␈α␈e.)␈α→P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αif,␈αfor␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈rime␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈↓ 	⊗␈ε	p␈↓ 	2␈εβo␈α␈f␈↓ 	Y␈ε	n␈↓ 	t␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈αther␈α␈e␈αis
␈β
w␈↓ ∧)␈εε(␈↓ ∧2␈εn␈↓ ∧B␈ε~␈␈εε1)/␈↓ ∧⎇␈εp␈↓ ππ␈εn␈↓ π↔␈ε~␈␈εε1
␈β
{␈↓ ↓H␈εβa␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ α\␈ε	x␈↓ β∧␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧_␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβmod␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬r␈ε↔≤␈εβ␈α
1␈α
bu␈α␈t␈↓ εu␈ε	x␈↓ πB␈εβmod␈↓ λπ␈ε	n␈↓ λ$␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ 	@␈ε	n␈↓ 	←␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.
␈βε␈↓ αk␈εp
␈β
␈↓ ∧)␈εp␈↓ ππ␈εp
␈β8␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αoutp␈α␈ut␈α␈s␈α
d␈α␈oes␈αAlgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈αE␈αgiv␈α␈e␈αwh␈α␈en␈↓ π|␈ε	N␈↓ λ&␈εβ=␈α197␈α␈20␈α␈9,␈↓ 	L␈ε	k␈↓ 	g␈εβ=␈α5␈α␈,␈↓ 
:␈ε	m␈↓ 
b␈εβ=␈α1␈α␈?
␈βZ␈↓ αF␈∧ZαFα↓⊃
␈β[␈↓ α%␈ε↔p
␈β\␈↓ ∧⎇␈∧\∧⎇αα#
␈β`␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈↓ αJ␈εβ5␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈972␈α␈09␈↓ β`␈εβ=␈α	992␈απ+␈ε↔␈απ?␈↓ ∧⎇␈εβ1,␈αε4␈α␈95␈α␈,␈αε2,␈αε4␈α␈95,␈α¬1,␈αε19␈α␈84␈↓ π ␈ε↔?␈εβ␈α␈.]
␈β→␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β≥␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α
an␈α	algorith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈α
uses␈α
th␈α␈e␈α
ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α
of␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α	E␈αto␈α
|␈α␈nd␈α	a␈α
pro␈α␈pe␈α␈r
␈βE␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α∂of␈↓ αX␈ε	N␈↓ αq␈εβ,␈α⊃pro␈α}vide␈α␈d␈α⊂t␈α␈hat␈α∂Al␈α↓g␈α␈orithm␈α∂E␈α⊂h␈α␈as␈α⊂p␈α␈rod␈α␈uced␈α∂en␈α␈ou␈α␈gh␈α∂ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α⊂to␈α∂de␈α␈du␈α␈ce␈α⊂a
␈βl␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α
of␈α(17).
␈β
*␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈↓ ∧T␈ε	p␈↓ ∧q␈εβa␈α␈nd␈αa␈αpo␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ π9␈ε	d␈↓ πK␈εβ,␈αwha␈α␈t␈αis␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈αof␈↓ 
⊃␈ε	f␈↓ 
!␈εβ(␈↓ 
,␈ε	p␈↓ 
=␈εβ,␈↓ 
L␈ε	d␈↓ 
↑␈εβ),␈αthe
␈β
M␈↓ ¬↑␈εε2␈↓ εD␈εε2
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αtimes␈↓ ∧:␈ε	p␈↓ ∧W␈εβd␈α␈ivides␈↓ ¬H␈ε	A␈↓ ¬r␈ε↔␈␈↓ ε≠␈ε	d␈↓ ε.␈ε	B␈↓ εQ␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ π=␈ε	A␈↓ π←␈εβa␈α␈nd␈↓ λ ␈ε	B␈↓ λB␈εβa␈α␈re␈αrand␈α␈om␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αtha␈α␈t
␈β
y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αex␈α}cep␈α␈t␈αf␈α↓o␈α␈r␈αthe␈αc␈α␈ond␈α␈ition␈↓ ε#␈εβg␈α␈cd␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	A␈↓ εv␈εβ,␈↓ π¬␈ε	B␈↓ π≠␈εβ)␈α	=␈α
1?
␈β∞6␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α	tha␈α␈t␈α	th␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ¬D␈ε	T␈↓ ¬d␈εβin␈α	step␈αλE3␈α	o␈α␈f␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm␈αλE␈α	wi␈α↓ll␈α	n␈α␈ev␈α␈er␈αλbe␈α	a␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β∞Z␈↓ ¬1␈εε(␈↓ ¬:␈εp␈↓ ¬H␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αan␈αo␈α␈dd␈α
prime␈↓ β<␈ε	p␈↓ βX␈εβfor␈αwh␈α␈ich␈α(␈↓ ∧w␈ε	k␈↓ ¬π␈ε	N␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ε∀␈εβmod␈↓ εY␈ε	p␈↓ εs␈εβ>␈α
1␈α␈.
␈β∂↔␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂≠␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M34␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(Luc␈α␈as␈α∞a␈α␈nd␈α
Leh␈α␈mer.)␈α≡L␈α↓e␈α␈t␈↓ ε	␈ε	P␈↓ ε.␈εβan␈α␈d␈↓ εr␈ε	Q␈↓ π↔␈εβbe␈α
relativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∞in␈α␈t␈α␈egers,␈α∞an␈α␈d␈α
l␈α↓e␈α␈t
␈β∂B␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓s␈εβ=␈α	0,␈↓ αA␈ε	U␈↓ αl␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ β:␈ε	U␈↓ ∧∂␈εβ=␈↓ ∧:␈ε	P␈↓ ∧Q␈ε	U␈↓ ∧|␈ε↔␈␈↓ ¬#␈ε	Q␈↓ ¬;␈ε	U␈↓ ε⊂␈εβfor␈↓ εB␈ε	n␈↓ ε←␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈α
if␈↓ λn␈ε	N␈↓ 	⊗␈εβis␈α
a␈α	po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β∂M␈↓ ↓]␈εε0␈↓ αV␈εε1␈↓ βP␈εn␈↓ β`␈εε+1␈↓ ∧g␈εn␈↓ ¬P␈εn␈↓ ¬`␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∂f␈↓ ∧	␈εε2
␈β∂j␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αto␈α
2␈↓ βr␈ε	P␈↓ ∧≥␈ε↔␈␈εβ␈αλ8␈↓ ∧V␈ε	Q␈↓ ∧n␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
if␈↓ ¬b␈ε	U␈↓ ε;␈εβm␈α␈od␈↓ ε␈␈ε	N␈↓ π'␈εβ=␈α
0,␈αwh␈α␈il␈α↓e␈↓ λM␈ε	U␈↓ 	Q␈εβmo␈α␈d␈↓ 
⊗␈ε	N␈↓ 
>␈ε↔≤␈εβ␈α	0␈αfo␈α␈r
␈β∂u␈↓ ¬x␈εN␈↓ ε∂␈εε+␈α↓1
␈β∂v␈↓ λc␈εε(␈↓ λk␈εN␈↓ 	β␈εε+1)/␈↓ 	>␈εp
␈β⊂∩␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈αp␈α␈rime␈↓ αr␈ε	p␈↓ β∂␈εβd␈α␈ividin␈α␈g␈↓ ∧⊂␈ε	N␈↓ ∧7␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αthe␈α␈n␈↓ ¬Q␈ε	N␈↓ ¬{␈εβi␈α↓s␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e.␈α~(This␈αgiv␈α␈es␈αa␈αtest␈αfor␈αprima␈α␈l␈α↓ity␈αwh␈α␈en
␈β⊂9␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfacto␈α␈rs␈αof␈↓ β∃␈ε	N␈↓ β<␈εβ+␈απ1␈αare␈αk␈α␈no␈α␈wn␈α
i␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈αof␈αthe␈αfa␈α␈ctors␈αof␈↓ λ
␈ε	N␈↓ λ0␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈αThe␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ 
C␈ε	U␈↓ 
z␈εβcan
␈β⊂D␈↓ 
X␈εm
␈β⊂a␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈απev␈α␈alua␈α␈ted␈απin␈↓ β&␈ε	O␈↓ β?␈εβ(␈↓ βJ␈εβlog␈↓ βz␈ε	m␈↓ ∧↔␈εβ)␈απstep␈α␈s;␈α	cf.␈απex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4.6.3↑␈α␈26.)␈α∂[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α	Se␈α␈e␈απthe␈αεproo␈α␈f␈απof␈απTheo␈α␈rem␈απL.]
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M50␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Are␈αth␈α␈ere␈αin|␈α␈nitely␈α
man␈α}y␈αMe␈α␈rsenn␈α␈e␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈es?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ πRF␈α⎇A␈α}CTORING␈α	INTO␈α	P␈α␈RIMES␈↓ 
v␈εα385
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈αR.␈αPratt.)␈α→A␈αcomp␈α␈lete␈αpro␈α␈of␈αof␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈ali␈α↓ty␈α
by␈α
the␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}erse␈αof␈αFerma␈α␈t's
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈em␈αta␈α␈k␈α␈es␈αt␈α␈he␈αfo␈α␈rm␈αo␈α␈f␈αa␈αtree␈αwho␈α␈se␈αn␈α␈od␈α␈es␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αform␈α(␈↓ λW␈ε	q␈↓ λe␈εβ,␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	ε␈εβ),␈αwhe␈α␈re␈↓ 
π␈ε	q␈↓ 
!␈εβand␈↓ 
c␈ε	x␈↓ ␈εβare
␈βαy␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ositiv␈α␈e␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈α	satisfying␈α	th␈α␈e␈α	f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	arithm␈α␈etic␈α
c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns:␈α∃(i)␈α
If␈α
(␈↓ 	8␈ε	q␈↓ 	P␈εβ,␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	{␈εβ),␈↓ 
→␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
F␈εβ,␈α
(␈↓ 
d␈ε	q␈↓ 
y␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈ββ∧␈↓ 	D␈εε1␈↓ 	n␈εε1␈↓ 
p␈εt␈↓ _␈εt
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
the␈α
so␈α␈ns␈α
o␈α␈f␈α∞(␈↓ β;␈ε	q␈↓ βJ␈εβ,␈↓ βX␈ε	x␈↓ βj␈εβ)␈α
th␈α␈en␈↓ ∧P␈ε	q␈↓ ∧k␈εβ=␈↓ ¬→␈ε	q␈↓ ¬7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬d␈ε	q␈↓ εε␈εβ+␈α	1␈α␈.␈α≡[In␈α
p␈α␈articu␈α␈l␈α↓a␈α␈r,␈α∞if␈α∞(␈↓ λm␈ε	q␈↓ λ|␈εβ,␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	≤␈εβ)␈α
h␈α␈as␈α
no␈α
s␈α␈ons␈α
th␈α␈en
␈ββ,␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ¬p␈εk
␈ββD␈↓ ε1␈εε(␈↓ ε9␈εq␈↓ εE␈ε~␈␈εε1)/␈↓ π␈εr
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓`␈εβ=␈α	2.]␈α_(ii)␈αIf␈α
(␈↓ β#␈ε	r␈↓ β2␈εβ,␈↓ βA␈ε	y␈↓ βS␈εβ)␈αis␈α
a␈α
son␈α
o␈α␈f␈α(␈↓ ¬⊂␈ε	q␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬-␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ)␈α
the␈α␈n␈↓ ε∨␈ε	x␈↓ π∩␈εβm␈α␈od␈↓ πV␈ε	q␈↓ πn␈ε↔≤␈εβ␈α
1␈α␈.␈α_(iii␈α↓)␈α
For␈α
eac␈α␈h␈α
no␈α␈de␈α
(␈↓ 
i␈ε	q␈↓ 
x␈εβ,␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈ββl␈↓ α[␈εq␈↓ αg␈ε~␈␈εε1
␈ββp␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αI␈ε	x␈↓ β∩␈εβmod␈↓ βW␈ε	q␈↓ βp␈εβ=␈α1.␈α≠F␈α↓ro␈α␈m␈αthe␈α␈se␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈αi␈α↓t␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ λ}␈ε	q␈↓ 	→␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αan␈α␈d␈↓ 
\␈ε	x␈↓ 
y␈εβi␈α↓s␈αa
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αroo␈α␈t␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∧∀␈ε	q␈↓ ∧"␈εβ,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αn␈α␈ode␈α␈s␈α(␈↓ ε␈ε	q␈↓ ε∂␈εβ,␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε/␈εβ)␈α↓.␈α→[For␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈e␈αtree
␈β∧d␈↓ ¬v␈εβ(1␈α␈009␈α␈,␈αε11␈α␈)
␈β¬;␈↓ α$␈εβ(2,␈αε1␈α␈)␈↓ β2(2,␈αε1␈α␈)␈↓ ∧A(2␈α␈,␈αε1)␈↓ ¬O(2,␈α¬1)␈↓ ε](7,␈αε3␈α␈)␈↓ πk(␈α↓3␈α␈,␈αε2)␈↓ λz(3,␈α¬2)
␈βε⊃␈↓ ¬u␈εβ(␈α↓2␈α␈,␈αε1)␈↓ π∧(3␈α␈,␈αε2)␈↓ λ∩(2,␈αε1␈α␈)␈↓ 	 (2,␈αε1)
␈βεg␈↓ π'␈εβ(2,␈α¬1)
␈βπ7␈↓ ↓H␈εβd␈α␈emo␈α␈nstra␈α␈tes␈αth␈α␈at␈α100␈α␈9␈αi␈α↓s␈αprime␈α␈.␈α↓]␈α~Pro␈α␈v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αsu␈α␈ch␈αa␈αtree␈αwi␈α↓th␈αro␈α␈ot␈α(␈↓ 	<␈ε	q␈↓ 	J␈εβ,␈↓ 	Y␈ε	x␈↓ 	k␈εβ)␈αha␈α␈s␈αat␈αmos␈α␈t
␈βπ←␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	q␈↓ ↓q␈εβ)␈αn␈α␈od␈α␈es,␈αwhere␈↓ βM␈ε	f␈↓ βh␈εβi␈α↓s␈αa␈α
rath␈α␈er␈αsl␈α↓o␈α}wl␈α↓y␈α
gro␈α}w␈α↓in␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈α␈.
␈βλ∞␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ∩␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α∞a␈α∞h␈α␈euristic␈α∞pro␈α␈of␈α∞of␈α∂(7␈α␈),␈α⊂a␈α␈nalog␈α␈ou␈α␈s␈α∂to␈α∞th␈α␈e␈α∞tex␈α␈t'␈α↓s␈α∞d␈α␈erivat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞of␈α∞(6).
␈βλ8␈↓ πI␈∧λ8πIα~
␈βλ9␈↓ π'␈ε↔p
␈βλ:␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈αis␈αthe␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈te␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ ε4␈ε	p␈↓ ε⎇␈ε↔∀␈↓ πI␈ε	p␈↓ πh␈εβ?
␈βλE␈↓ εD␈εt␈↓ εN␈ε~␈␈εε1␈↓ πX␈εt
␈βλj␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλn␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈α
M␈α␈.␈αPollard␈α␈.␈α↓)␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
ho␈α}w␈α
to␈α
co␈α␈mpu␈α␈te␈α
a␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ λD␈ε	M␈↓ λq␈εβth␈α␈at␈α
is␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓b␈α␈le␈α
by␈α	all
␈β	∃␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimes␈↓ α1␈ε	p␈↓ αK␈εβsu␈α␈ch␈α	t␈α␈hat␈↓ β[␈ε	p␈↓ βp␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	is␈α	a␈α	d␈α␈ivisor␈α	o␈α␈f␈α	some␈αλgiv␈α␈en␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ λ∃␈ε	D␈↓ λ.␈εβ.␈α∀[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈α
Co␈α␈nside␈α␈r␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β	9␈↓ ββ␈εn
␈β	=␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α
form␈↓ αs␈ε	a␈↓ β→␈ε↔␈␈εβ␈αε1.]␈α⊗S␈α␈uc␈α␈h␈α
a␈α␈n␈↓ ∧u␈ε	M␈↓ ¬"␈εβis␈α	usefu␈α␈l␈α
in␈α
fa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
for␈α	by␈α	co␈α␈mpu␈α␈ting␈↓ 
∀␈εβgc␈α␈d␈↓ 
F␈εβ(␈↓ 
Q␈ε	M␈↓ 
t␈εβ,␈↓ α␈ε	N␈↓ !␈εβ)
␈β	d␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αd␈α␈isco␈α␈v␈α}er␈αa␈αfacto␈α␈r␈αof␈↓ ∧k␈ε	N␈↓ ¬∧␈εβ.␈α∞E␈α↓x␈α␈ten␈α␈d␈αth␈α␈i␈α↓s␈αid␈α␈ea␈αto␈αa␈α␈n␈αe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αmet␈α␈hod␈αtha␈α␈t␈αha␈α␈s␈α
h␈α␈igh
␈β
␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αof␈αdisco␈α␈v␈α}ering␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
fa␈α␈ctors␈↓ ε→␈ε	p␈↓ ε7␈εβo␈α␈f␈α
a␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ 	"␈ε	N␈↓ 	;␈εβ,␈α
whe␈α␈n␈α
a␈α␈ll␈α
prime
␈β
/␈↓ ¬␈␈εε3
␈β
4␈↓ ↓H␈εβp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αfacto␈α␈rs␈αo␈α␈f␈↓ β=␈ε	p␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αa␈α␈re␈αless␈αtha␈α␈n␈α1␈↓ ¬o␈εβ0␈↓ ε_␈εβe␈α␈x␈α␈cep␈α␈t␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈αo␈α␈ne␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈αfac␈α␈tor␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αth␈α␈an
␈β
W␈↓ ↓i␈εε5
␈β
[␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ ↓X␈εβ0␈↓ ↓v␈εβ.␈α∩[F␈α↓o␈α␈r␈α∞ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∂t␈α␈he␈α
secon␈α␈d-lar␈α␈gest␈α
prime␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈ing␈α
(14)␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
b␈α␈e␈α∞d␈α␈etec␈α␈ted␈α
by␈α
th␈α␈is
␈β
␈␈↓ ∧/␈εε4␈↓ ∧d␈εε2
␈ββ␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d,␈αsince␈αit␈αis␈α1␈απ+␈↓ ∧≡␈εβ2␈↓ ∧C␈ε↔↓␈↓ ∧S␈εβ5␈↓ ∧x␈ε↔↓␈εβ␈απ67␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈07␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈99␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ4␈α␈123␈α␈1.]
␈β6␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
19␈αwith␈↓ ¬w␈ε	p␈↓ ε∂␈εβ+␈αλ1␈α
replac␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ πb␈ε	p␈↓ πz␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈βj␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M49␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	m␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β\␈ε	p␈↓ βm␈εβ)␈αb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αo␈α␈f␈αitera␈α␈tions␈αre␈α␈quired␈α
by␈α
A␈α↓lg␈α␈orithm␈αB␈αto␈αca␈α␈st␈αou␈α␈t
␈β⊃␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αfacto␈α␈r␈↓ β@␈ε	p␈↓ βP␈εβ.␈αIs␈↓ ∧λ␈ε	m␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	p␈↓ ∧A␈εβ)␈α
=␈↓ ¬␈ε	O␈↓ ¬_␈εβ(␈↓ ¬E␈ε	p␈↓ ¬[␈εβ)␈αas␈↓ ε~␈ε	p␈↓ ε4␈ε↔!␈α
1␈εβ?
␈β∩␈↓ ¬E␈∧∩¬Eα⊃
␈β∀␈↓ ¬#␈ε↔p
␈βA␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βE␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈α
O.␈α
Ra␈α␈bin.)␈α⊗Let␈↓ ¬≡␈ε	p␈↓ ¬H␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α
th␈α␈at␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
P␈α
gu␈α␈esses␈α	wrong␈α␈,
␈βO␈↓ ¬.␈εn
␈βi␈↓ ∧?␈εε1
␈βl␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈↓ α ␈ε	n␈↓ α4␈εβ.␈αS␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ βh␈ε	p␈↓ ∧⊃␈εβ<␈↓ ∧[␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬=␈ε	n␈↓ ¬Q␈εβ.
␈βw␈↓ βx␈εn
␈β{␈↓ ∧?␈∧{∧?α
␈β⎇␈↓ ∧?␈εε4
␈β
∪␈↓ ¬!␈εp
␈β
 ␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈ε⊂␈α
Jaco␈α␈bi␈α
sym␈α␈b␈α␈ol␈εβ␈α
(␈↓ ¬3␈εβ)␈α
is␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
t␈α␈o␈α
be␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈α0␈α␈,␈αor␈α
+1␈α
for␈α
all␈αin␈α␈te␈α␈gers␈↓ 
W␈ε	p␈↓ 
q␈ε↔∃␈εβ␈α
0
␈β
.␈↓ ¬!␈∧
.¬!α∞
␈β
0␈↓ ¬"␈εq
␈β
A␈↓ ε8␈εp
␈β
J␈↓ π#␈εε(␈↓ π+␈εq␈↓ π7␈ε~␈␈εε1)/2
␈β
N␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈α∞od␈α␈d␈α∞in␈α␈t␈α␈egers␈↓ β⎇␈ε	q␈↓ ∧~␈εβ>␈α∞1␈α∞b␈α␈y␈α∞th␈α␈e␈α∞ru␈α␈les␈α∞(␈↓ εI␈εβ)␈ε↔␈α∞⊃␈↓ π∩␈ε	p␈↓ λ␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 	∞␈ε	q␈↓ 	≥␈εβ)␈α∞wh␈α␈en␈↓ 
∂␈ε	q␈↓ 
,␈εβis␈α∞p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e;
␈β
]␈↓ ε8␈∧
]ε8α∞
␈β
←␈↓ ε9␈εq
␈β
p␈↓ ↓V␈εp␈↓ α:␈εp␈↓ β≡␈εp
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓h␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ αO␈εβ)␈↓ α`␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β␈εβ(␈↓ β2␈εβ)␈αwhen␈↓ ∧∨␈ε	q␈↓ ∧9␈εβis␈αthe␈αp␈α␈rod␈α␈uct␈↓ ε⊂␈ε	q␈↓ ε.␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εZ␈ε	q␈↓ ε{␈εβof␈↓ π"␈ε	t␈↓ π9␈εβp␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈α(no␈α␈t␈αnece␈α␈ssarily␈αd␈α␈i␈α↓stin␈α␈ct).
␈β∞λ␈↓ ε≤␈εε1␈↓ εf␈εt
␈β∞␈↓ ↓V␈∧∞↓Vα∞␈↓ α6␈∧∞α6α⊗␈↓ β≠␈∧∞β≠α∀
␈β∞
␈↓ ↓W␈εq␈↓ α6␈εq␈↓ β≠␈εq
␈β∞∀␈↓ β%␈ε
t
␈β∞∃␈↓ α@␈επ1
␈β∞+␈↓ βK␈εp
␈β∞8␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβPro␈α␈v␈α␈e␈α⊂that␈α⊃(␈↓ β]␈εβ)␈α⊃satis|␈α␈es␈α⊃the␈α⊂f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓in␈α␈g␈α⊃relatio␈α␈nsh␈α␈i␈α↓p␈α␈s,␈α∪h␈α␈ence␈α⊂i␈α↓t␈α⊃c␈α␈an␈α⊃b␈α␈e␈α⊃co␈α␈mpu␈α␈ted
␈β∞F␈↓ βK␈∧∞FβKα∞
␈β∞H␈↓ βL␈εq
␈β∞←␈↓ ε?␈εp␈↓ π5␈εp␈↓ πG␈εεmo␈α␈d␈↓ π{␈εq␈↓ λT␈εε2␈↓ λ`␈εp␈↓ 
␈εp
␈β∞b␈↓ βV␈εε0␈↓ ¬␈εε1␈↓ 	V␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈β∞l␈↓ α␈εβe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly:␈α&(␈↓ βf␈εβ)␈α∃=␈α∃0␈α␈;␈α'(␈↓ ¬≠␈εβ)␈α∀=␈α∃1;␈α&(␈↓ εQ␈εβ)␈α∀=␈α∃(␈↓ λ
␈εβ)␈α↓;␈α&(␈↓ λr␈εβ)␈α∃=␈α∀(␈↓ 	f␈εβ)␈α↓(␈↓ 
∩␈εβ);␈α&(␈↓ 
l␈εβ)␈α∀=
␈β∞z␈↓ βV␈∧∞zβVα
␈↓ ¬␈∧∞z¬α
␈↓ ε?␈∧∞zε?α∞␈↓ π5␈∧∞zπ5αR␈↓ λT␈∧∞zλTα≠␈↓ 	V␈∧∞z	Vα
␈↓ 
␈∧∞z
α∞␈↓ 
[␈∧∞z
[α
␈β∞|␈↓ βV␈εq␈↓ ¬␈εq␈↓ ε@␈εq␈↓ πX␈εq␈↓ λ[␈εq␈↓ 	V␈εq␈↓ 
↓␈εq␈↓ 
\␈εq
␈β∂∞␈↓ λ*␈εp␈↓ 
s␈εq
␈β∂↔␈↓ 	C␈εε(␈↓ 	K␈εp␈↓ 	Y␈ε~␈␈εε1)(␈↓ 
⊂␈εq␈↓ 
≤␈ε~␈␈εε1)/4
␈β∂≠␈↓ α␈εβ(+1,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈α¬+␈α↓1␈α␈)␈α
a␈α␈ccord␈α␈ing␈α	as␈↓ ¬[␈ε	q␈↓ ¬o␈εβmod␈↓ ε4␈εβ8␈α	=␈α	(1,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε7␈α␈);␈α∃(␈↓ λ<␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	8␈εβ)␈↓ 
c␈εβ(␈↓ ∧␈εβ)␈α	if
␈β∂)␈↓ λ*␈∧∂)λ*α∞␈↓ 
r␈∧∂)
rα∞
␈β∂+␈↓ λ+␈εq␈↓ 
r␈εp
␈β∂D␈↓ ∧U␈εα(
␈β∂G␈↓ α␈εβbo␈α␈th␈↓ αX␈ε	p␈↓ αs␈εβa␈α␈nd␈↓ β2␈ε	q␈↓ βK␈εβa␈α␈re␈α
o␈α␈dd␈α␈.␈↓ ∧a␈εβTh␈α␈e␈α
latte␈α␈r␈α
law,␈α
which␈α	is␈α
a␈α	recip␈α␈rocity␈α	relatio␈α␈n␈α
re␈α␈du␈α␈cing␈α	the
␈β∂a␈↓ βd␈εp␈↓ εF␈εq
␈β∂n␈↓ α␈εβev␈α␈alua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈α(␈↓ βv␈εβ)␈αto␈α
the␈α
eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ation␈α
of␈α(␈↓ εW␈εβ),␈αha␈α␈s␈αbee␈α␈n␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
1.2.4↑␈α␈47(d␈α␈)
␈β∂⎇␈↓ βd␈∧∂⎇βdα∞␈↓ εE␈∧∂⎇εEα∞
␈β∂␈␈↓ βe␈εq␈↓ εE␈εp
␈β⊂↔␈↓  ␈εα)
␈β⊂~␈↓ α␈εβwhe␈α␈n␈αεb␈α␈oth␈↓ β&␈ε	p␈↓ β<␈εβand␈↓ βx␈ε	q␈↓ ∧␈εβare␈α¬prime␈α␈,␈απso␈αεits␈αεv␈α␈alidity␈α¬in␈α¬that␈α¬spe␈α␈cial␈αεca␈α␈se␈αεma␈α␈y␈α¬be␈α¬assu␈α␈med␈α¬he␈α␈re.
␈β⊂N␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓o␈α}va␈α␈y␈α∂an␈α␈d␈α∂Stra␈α␈ssen␈α␈.␈α↓)␈α!Pro␈α␈v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈α∂if␈↓ ε\␈ε	n␈↓ ε␈␈εβis␈α∂odd␈α∞bu␈α␈t␈α⊂n␈α␈ot␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,␈α⊃th␈α␈e␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α⊂o␈α␈f
␈β⊂k␈↓ π∀␈εx
␈β⊂q␈↓ π}␈εε(␈↓ λε␈εn␈↓ λ↔␈ε~␈␈εε1)/2
␈β⊂u␈↓ α␈εβin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ β	␈ε	x␈↓ β'␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈α
1␈ε↔␈α∀␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬(␈εβ<␈↓ ¬V␈ε	n␈↓ ¬w␈εβan␈α␈d␈α
0␈ε↔␈α≤␈εβ␈α(␈↓ π'␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ πm␈ε	x␈↓ λk␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 	l␈ε	n␈↓ 
␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈t␈α
mos␈α␈t
␈β⊃∧␈↓ π∪␈∧⊃∧π∪α⊃
␈β⊃ε␈↓ π∪␈εn
␈β⊃~␈↓ α⊂␈εε1␈↓ α⎇␈εα(
␈β⊃≥␈↓ α ␈ε	⎇␈↓ α5␈εβ(␈↓ αA␈ε	n␈↓ αU␈εβ).␈↓ β	␈εβTh␈α}us,␈α	the␈α	fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α	testin␈α␈g␈α	p␈α␈roced␈α␈ure␈αλcorrec␈α␈tl␈α↓y␈αλde␈α␈termine␈α␈s␈α	wheth␈α␈er␈α	o␈α␈r␈α	no␈α␈t
␈β⊃+␈↓ α⊂␈∧⊃+α⊂α
␈β⊃-␈↓ α⊂␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα386␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα&␈↓ εX␈εε1
␈βα)␈↓ α␈εβa␈αgiv␈α}en␈↓ βα␈ε	n␈↓ β"␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rime,␈α
with␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈ε↔␈α∃␈↓ εu␈εβfor␈αall␈α|x␈α}ed␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λ?␈εβ:␈α∞\␈α␈Gen␈α␈erate␈↓ 	v␈ε	x␈↓ 
∀␈εβa␈α␈t␈αrand␈α␈om
␈βα7␈↓ εX␈∧α7εXα
␈βα9␈↓ εX␈εε2
␈βαF␈↓ ε$␈εx
␈βαM␈↓ ¬↓␈εε(␈↓ ¬	␈εn␈↓ ¬→␈ε~␈␈εε1)/2
␈βαQ␈↓ α␈εβwith␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ β≤␈ε	x␈↓ β7␈εβ<␈↓ βa␈ε	n␈↓ βu␈εβ.␈αIf␈α0␈ε↔␈α	≤␈↓ ∧o␈ε	x␈↓ ¬j␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ ε7␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ πM␈ε	n␈↓ πa␈εβ),␈αsay␈α
that␈↓ 	β␈ε	n␈↓ 	"␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈βα←␈↓ ε#␈∧α←ε#α⊃
␈βαa␈↓ ε#␈εn
␈βαu␈↓ π≡␈εα)
␈βαx␈↓ α␈εβoth␈α␈erwise␈αsay␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧#␈ε	n␈↓ ∧C␈εβis␈αd␈α␈e|n␈α␈itely␈αn␈α␈ot␈αprime␈α␈.␈α↓"
␈ββ'␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ+␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(A.␈αSh␈α␈amir.)␈α~Co␈α␈nside␈α␈r␈αa␈α␈n␈αab␈α␈stract␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αth␈α␈at␈αcan␈α
perfo␈α␈rm␈αthe␈αo␈α␈pera␈α␈-
␈ββR␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈↓ α≤␈ε	x␈↓ α6␈εβ+␈↓ α`␈ε	y␈↓ αs␈εβ,␈↓ β
␈ε	x␈↓ β%␈ε↔␈␈↓ βO␈ε	y␈↓ βa␈εβ,␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧∪␈ε↔↓␈↓ ∧&␈ε	y␈↓ ∧8␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈ε↔␈α
b␈↓ ¬ ␈ε	x␈↓ ¬1␈εβ/␈↓ ¬B␈ε	y␈↓ ¬T␈ε↔c␈εβ␈α∞o␈α␈n␈α∞in␈α}teger␈α␈s␈↓ π≥␈ε	x␈↓ π<␈εβan␈α␈d␈↓ π␈␈ε	y␈↓ λ∨␈εβof␈α∞a␈α␈rbitra␈α␈ry␈α∞len␈α␈gth␈α␈,␈α∂in␈α
jus␈α␈t
␈ββz␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne␈αun␈α␈i␈α↓t␈αof␈αtime,␈αn␈α␈o␈αm␈α␈atter␈αho␈α␈w␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αthose␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αa␈α␈re.␈α
The␈αm␈α␈ach␈α␈ine␈αs␈α␈tores␈αin␈α}teger␈α␈s
␈β∧!␈↓ ↓H␈εβin␈α∞a␈α∂r␈α␈and␈α␈om-a␈α␈ccess␈α∞memo␈α␈ry␈α∞and␈α∞it␈α∂ca␈α␈n␈α∂se␈α␈l␈α↓e␈α␈ct␈α∂d␈α␈i␈α↓{eren␈α}t␈α∂p␈α␈rogr␈α␈am␈α∂ste␈α␈ps␈α∂d␈α␈ep␈α␈end␈α␈ing␈α∞on
␈β∧I␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈eth␈α␈er␈αλor␈αλn␈α␈ot␈↓ β"␈ε	x␈↓ β<␈εβ=␈↓ βg␈ε	y␈↓ βy␈εβ,␈α	giv␈α␈en␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ∧y␈εβand␈↓ ¬7␈ε	y␈↓ ¬J␈εβ.␈α
Th␈α␈e␈αλpu␈α␈rpo␈α␈se␈αλof␈αλth␈α␈is␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈αλis␈αλto␈αλd␈α␈emon␈α␈strate␈απtha␈α␈t
␈β∧q␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈α
is␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈maz␈α␈i␈α↓n␈α␈gly␈α	f␈α↓a␈α␈st␈α
way␈α	to␈α	f␈α↓a␈α␈ctorize␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
on␈α	such␈α	a␈α	comp␈α␈ute␈α␈r.␈α↔[Th␈α␈erefore␈α	it
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβwill␈αpro␈α␈bab␈α␈ly␈αb␈α␈e␈αq␈α␈uite␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αto␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αfacto␈α␈rization␈α
is␈αinh␈α␈eren␈α}tl␈α↓y␈α
d␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αo␈α␈n␈ε⊂␈αrea␈α␈l
␈β¬@␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es,␈αaltho␈α␈ug␈α␈h␈αw␈α␈e␈αsu␈α␈spec␈α␈t␈αt␈α␈hat␈αit␈αis.]
␈β¬r␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβFind␈αa␈αwa␈α␈y␈αto␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ ∧n␈ε	n␈↓ ¬α␈εβ!␈αin␈↓ ¬>␈ε	O␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈εβlog␈↓ ε⊃␈ε	n␈↓ ε%␈εβ)␈αste␈α␈ps␈αon␈αs␈α␈uch␈αa␈α
comp␈α␈ute␈α␈r,␈αgiv␈α}en␈αan␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈βε~␈↓ α␈εβva␈α␈lue␈↓ αg␈ε	n␈↓ βπ␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∂If␈↓ ∧p␈ε	A␈↓ ¬∪␈εβis␈α
a␈α
su␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αlarge␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α∞the␈αbino␈α␈mial␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈βε ␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α1␈ε↓↓
␈βε:␈↓ α~␈εm
␈βε=␈↓ 
9␈εm
␈βεA␈↓ αI␈εβ=␈↓ αs␈ε	m␈↓ β⊂␈εβ!␈α↓/␈α␈(␈↓ β5␈ε	m␈↓ βZ␈ε↔␈␈↓ ∧β␈ε	k␈↓ ∧∪␈εβ)!␈↓ ∧-␈ε	k␈↓ ∧=␈εβ!␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αre␈α␈adily␈αfro␈α␈m␈αthe␈αv␈α␈alue␈α
of␈α(␈↓ 	W␈ε	A␈↓ 	u␈εβ+␈αλ1␈↓ 
.␈εβ)␈↓ 
Q␈εβ.]
␈βεR␈↓ α∨␈εk
␈βεt␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈αho␈α}w␈αto␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈αa␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ¬n␈ε	f␈↓ ¬}␈εβ(␈↓ ε	␈ε	n␈↓ ε≥␈εβ)␈αin␈↓ ε[␈ε	O␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈εβlog␈↓ π.␈ε	n␈↓ πB␈εβ)␈αstep␈α␈s␈αo␈α␈n␈αsuc␈α␈h␈αa␈αcom␈α␈pu␈α␈ter,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βπ≠␈↓ α␈εβan␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αv␈α␈alue␈↓ ∧β␈ε	n␈↓ ∧"␈ε↔∃␈εβ␈α2␈α␈,␈αhav␈α␈ing␈αthe␈αf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈rop␈α␈erties:␈↓ λ↑␈ε	f␈↓ λn␈εβ(␈↓ λy␈ε	n␈↓ 	
␈εβ)␈α
=␈↓ 	N␈ε	n␈↓ 	n␈εβif␈↓ 
∞␈ε	n␈↓ 
.␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈βπC␈↓ α␈εβoth␈α␈erwise␈↓ β≡␈ε	f␈↓ β.␈εβ(␈↓ β9␈ε	n␈↓ βM␈εβ)␈α	i␈α↓s␈α	a␈αλprop␈α␈er␈α	(bu␈α␈t␈α	no␈α␈t␈α	nec␈α␈essarily␈α	p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e)␈α	divisor␈α	o␈α␈f␈↓ 	≡␈ε	n␈↓ 	2␈εβ.␈α∀[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α
If␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
h␈ε↔≤␈εβ␈α
4␈α␈,
␈βπh␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ε'␈εα)
␈βπk␈↓ α␈εβon␈α␈e␈αsuc␈α␈h␈αfun␈α␈ction␈↓ ∧_␈ε	f␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	n␈↓ ∧G␈εβ)␈αi␈α↓s␈↓ ∧␈␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬=␈ε	m␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	n␈↓ ¬y␈εβ),␈↓ ε∪␈ε	n␈↓ ε3␈εβ,␈αwhere␈↓ π(␈ε	m␈↓ πE␈εβ(␈↓ πP␈ε	n␈↓ πd␈εβ)␈α	=␈↓ λ#␈εβmin␈↓ λZ␈ε↔f␈↓ λq␈ε	m␈↓ 	↔␈ε↔j␈↓ 	*␈ε	m␈↓ 	G␈εβ!␈↓ 	V␈εβm␈α␈od␈↓ 
~␈ε	n␈↓ 
7␈εβ=␈α
0␈↓ 
x␈ε↔g␈↓ 	␈εβ.]
␈βλ~␈↓ ↓H␈εα(
␈βλ≥␈↓ ↓T␈εβAs␈α
a␈α
con␈α␈seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
of␈α
(b),␈α∞w␈α␈e␈α∞c␈α␈an␈α
co␈α␈mplete␈α␈l␈α↓y␈α
fa␈α␈ctor␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ 	=␈ε	n␈↓ 	↑␈εβby␈α
d␈α␈oing␈α
o␈α␈nly
␈βλA␈↓ α:␈εε2
␈βλE␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε	n␈↓ α/␈εβ)␈↓ αM␈εβarith␈α␈metic␈απo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s␈απon␈αεa␈α␈rbitrar␈α␈i␈α↓ly␈αεlarge␈αεin␈α␈te␈α␈gers:␈α	Giv␈α␈e␈α␈n␈αεa␈απp␈α␈artial␈αεfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βλN␈↓ 	X␈ε↓P
␈βλi␈↓ λ_␈εα(␈↓ 	⊗␈εα)
␈βλl␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβ=␈↓ α∃␈ε	n␈↓ α:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αf␈ε	n␈↓ βε␈εβ,␈α
eac␈α␈h␈α
n␈α␈on␈α␈prime␈↓ ∧␈␈ε	n␈↓ ¬*␈εβc␈α␈an␈αbe␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈α
b␈α␈y␈↓ π:␈ε	f␈↓ πJ␈εβ(␈↓ πU␈ε	n␈↓ πs␈εβ)␈ε↔␈α	↓␈↓ λ$␈ε	n␈↓ λB␈εβ/␈↓ λS␈ε	f␈↓ λb␈εβ(␈↓ λn␈ε	n␈↓ 	␈εβ)␈↓ 	/␈εβin␈↓ 
β␈ε	O␈↓ 
≠␈εβ(␈↓ 
&␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 
V␈ε	n␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈βλw␈↓ α(␈εε1␈↓ αz␈εr␈↓ ¬∩␈εi␈↓ πh␈εi␈↓ λ7␈εi␈↓ 	↓␈εi␈↓ 
j␈εi
␈β	⊃␈↓ ¬␈εα)
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε	n␈↓ α/␈εβ)␈αstep␈α␈s,␈αa␈α␈nd␈α
this␈αre|␈α␈nem␈α␈en␈α␈t␈αop␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αrepe␈α␈ated␈α
un␈α}ti␈α↓l␈αall␈↓ 	H␈ε	n␈↓ 	q␈εβare␈αp␈α␈rime.
␈β	≡␈↓ 	[␈εi
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓⊂⊃∩∪_→~≡ !018:<>@ABCPQRSXYZ[pqrxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=	∞∂⊗!"'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=	
!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=∞'*.0AEFILNOSTabdefghiknoprstvxy||/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,./0123456789<=>Macdegilmnoprxx/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+/0123456789<ademovv/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=012345677/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=β
∞∂⊂∃⊗_→≤≡∨ABCDEFGHIJLNOPQRSTUVXabcdefghijklmnpqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=β
∞∂∃⊗_→≠≡0123456789ABCDEFGHIKMNOPQSTUVXYabcdefghjkmnpqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∂≡ANSTbcdeijklmnpqrstuvxx/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=≡Nbdijklmnpqrstxyzz/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=jkmnpqrtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=.ABCDEFGHILMNOPRSTUVYY/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∞∪~≤',-.245:ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTWZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz||/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∪",.123456:?ABCDEFGHIJMNPQRST\abcdefghilmnopqrstuvwxyz||/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=
'-.0123456789ABCDEFHILMOPRSTWXabcdefghiklmnopqrstuvwxyy/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789CFLPagilnoprstyy/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=()*+,0123456:ABCDEFHIJKLMNOPQRSTUVXZrr/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓α∧ε∂⊃∀∃→≤ !1?@IJK[\bcdefghijkpx⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓ελ	⊃∩∀∃≤ !1?I[↑bcdefgjpp/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcpp/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∧∀∃!01bcc/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]='*.12345ACDEFGHILMNOPRSTXabcdefghilmnorstuvyy